高考数学解答题专项特训：抛物线.docx

高考数学解答题专项特训：抛物线1已知过抛物线的焦点F，斜率为2的直线交抛物线于A，B两点，且（1）求抛物线的方程；（2）抛物线的准线与x轴交于点，过点的直线l交抛物线于M，N两点，当时，求直线l的方程2过点作直线与抛物线相交于，两点（1）若直线的斜率是，求弦的长度；（2）设原点为，问：直线与直线的斜率之积是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由3已知动点到直线的距离比到点距离多个单位长度，设动点的轨迹为（1）求的方程；（2）已知过点的直线交于，两点，且为坐标原点的面积为，求的方程4若抛物线上的点到其焦点的距离是点到轴距离的2倍.（1）求抛物线的标准方程；（2）已知点，过抛物线的焦点的直线交于两点，当取最小值时，求的面积.5已知抛物线C：y22px过点P(1，1)过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点 （1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（2）求证：A为线段BM的中点6已知点F为抛物线的焦点，点在抛物线上，且（1）求该抛物线的方程；（2）若点A在第一象限，且抛物线在点A处的切线交y轴于点M，求的面积7 已知抛物线：（）上的一点到准线的距离为1（1）求抛物线的方程；（2）若正方形的三个顶点、在抛物线上，求这种正方形面积的最小值8已知抛物线的焦点为，准线为，点为上的一点，过点作直线的垂线，垂足为，且，（1）求抛物线的标准方程；（2）已知的三个顶点都在抛物线上，顶点，重心恰好是抛物线的焦点，求所在的直线方程9如图，已知是抛物线上的三个点，且直线分别与抛物线相切，为抛物线的焦点（1）若点的横坐标为，用表示线段的长；（2）若，求点的坐标；（3）证明：直线与抛物线相切10已知抛物线：（1）求抛物线的焦点F的坐标和准线的方程；（2）过焦点F且斜率为的直线与抛物线交于两个不同的点A、B，求线段AB的长；（3）已知点，是否存在定点Q，使得过点Q的直线与抛物线交于两个不同的点M、N（均不与点重合），且以线段MN为直径的圆恒过点P？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由11已知斜率存在的直线过点且与抛物线交于两点.（1）若直线的斜率为1，为线段的中点，的纵坐标为2，求抛物线的方程；（2）若点也在轴上，且不同于点，直线的斜率满足，求点的坐标.12如图：小明同学先把一根直尺固定在画板上面，把一块三角板的一条直角边紧靠在直尺边沿，再取一根细绳，它的长度与另一直角边相等，让细绳的一端固定在三角板的顶点A处，另一端固定在画板上点F处，用铅笔尖扣紧绳子（使两段细绳绷直），靠住三角板，然后将三角板沿着直尺上下滑动，这时笔尖在平面上画出了圆锥曲线C的一部分图象.已知细绳长度为3，经测量，当笔尖运动到点P处，此时，.设直尺边沿所在直线为a，以过F垂直于直尺的直线为x轴，以过F垂直于a的垂线段的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系.（1）求曲线C的方程；（2）斜率为k的直线过点，且与曲线C交于不同的两点M，N，已知k的取值范围为，探究：是否存在，使得，若存在，求出的范围，若不存在，说明理由.13已知P为抛物线E：上任意一点，过点P作轴，垂足为O，点在抛物线上方（如图所示），且的最小值为9（1）求E的方程；（2）若直线与抛物线E相交于不同的两点A，B，线段AB的垂直平分线交x轴于点N，且为等边三角形，求m的值14如图，已知，直线l：，P为平面上的动点，过点P作l的垂线，垂足为点Q，且（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过点F的直线与轨迹C交于A，B两点，与直线l交于点M，设，证明定值，并求的取值范围答案解析部分1【答案】（1）解： 由题知，设直线AB的方程是，A，B两点的坐标分别为，与联立，消去y，得，所以，由抛物线定义得，所以，从而抛物线方程是；（2）解：由题知，直线MN的斜率存在且不为0，设直线MN的方程是，联立方程得，化简得，由，解得，设，则，解得，满足，直线l的方程为2【答案】（1）解：由题意可得直线的方程为，与抛物线联立，可得，设，则，可得；（2）解：设直线的方程为，与抛物线联立，可得，则，所以直线与直线的斜率之积为定值3【答案】（1）解：因为动点到直线的距离比到点距离多个单位长度，所以动点到直线的距离等于点与点的距离，可知曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，故曲线的方程为；（2）解：设，根据题意得直线的斜率不等于，设直线的方程为，由消去得，整理得，所以，的面积，解得所以直线的方程为或4【答案】（1）解：由题意得，抛物线的标准方程为（2）解：设点，抛物线的焦点坐标为.当直线的斜率等于0时，不符合题意；当直线的斜率不等于0时，设过抛物线焦点的直线的方程为：，由消去得：，得，由韦达定理得因为，所以当时，取得最小值为0，此时直线的方程为.根据弦长公式有：点到直线的距离为；故面积为5【答案】（1）解：由抛物线C： 过点P（1，1），得 . 所以抛物线C的方程为 .抛物线C的焦点坐标为（ ，0），准线方程为 .（2）证明：由题意，设直线l的方程为 （ ），l与抛物线C的交点为 ， . 由 ，得 .则 ， .因为点P的坐标为（1，1），所以直线OP的方程为 ，点A的坐标为 .直线ON的方程为 ，点B的坐标为 .因为 ，所以 .A为线段BM的中点.6【答案】（1）解：由抛物线的定义可知， 即，抛物线的方程为，（2）解：，且A在第一象限，即A（4，4），显然切线的斜率存在，故可设其方程为，由，消去得，即， 令，解得，切线方程为令x=0，得，即，7【答案】（1）解：抛物线的准线方程为，由抛物线上点到准线的距离为1，结合抛物线的定义得，抛物线的方程为（2）解：方法一：如图设三个顶点有两个在轴的右侧（包括轴），设在抛物线上的三个点，点的坐标分别为，的斜率为（）则有 ，即，所以，又，所以即，代入，得，即，化简得，正方形的面积为，当且仅当时等号成立，所以，即，.方法二：的斜率为（），点的坐标为，则由，得，又，即，即，正方形的面积，令，则，设，则，单调递增，.方法三：设直线：，（为参数）代入抛物线，得，即，设，则，同理，不妨设，化简得，设，则，单调递增，8【答案】（1）解：，为等边三角形， ，又，设直线交轴于点，则在中，抛物线的方程为（2）解：设，由（1）可得焦点， 由重心坐标公式得，中点坐标为，将，的坐标代入抛物线的方程可得，作差，即，所以，即直线的斜率，所以直线的方程为，即9【答案】（1）解：设，且在抛物线上，故满足为抛物线的焦点，抛物线的准线为 ，线段的长等于点到准线的距离，即（2）解：设，显然直线的斜率存在且不为0，设直线，联立，化简得：，直线与抛物线相切，即，又直线均与抛物线相切，为方程的两根，且有，解得，将代入得：，故的坐标为（3）证明：设，直线，联立，化简可得：，又直线与抛物线相切，即，同理，直线与抛物线相切，可得，由方程可得，为方程的两根，又，故直线，联立，化简得：，直线与抛物线相切，故得证10【答案】（1）解：抛物线：，则，且焦点在轴正半轴，故抛物线的焦点，准线.（2）解：由（1）可得：，可得直线，设，联立方程，消去y得，可得，故.（3）解：存在，理由如下：设直线，联立方程，消去x得，则，可得，若以线段MN为直径的圆恒过点P，则，可得 ，可得或，若，则，可得直线，过定点，与点重合，不合题意；若，则，此时，可得直线，过定点；综上所述：直线过定点.11【答案】（1）解：因为直线的斜率为1且过点，所以直线的方程为：，设，由，得：，所以，所以，因为为线段的中点，的纵坐标为2，所以，所以抛物线的方程为：.（2）解：设直线的方程为：，得：，所以，由由，所以，即，所以，所以点的坐标为.12【答案】（1）解：依题意，笔尖到点的距离与它到直线的距离相等，因此笔尖留下的轨迹为以为焦点，为准线的抛物线，设其方程为，则，由，得，由得点的横坐标，而抛物线的准线方程为，则，解得，所以轨迹的方程为.（2）解：假设存在，使得，设，直线的方程为，由消去y得：，而，由得，即，于是，令，因此，又，即，解得或，所以存在，使得成立.13【答案】（1）解：抛物线E：的焦点，准线方程为，所以，故，又因为的最小值为9，所的最小值为，当且仅当点C，P，F三点共线时，取得最小值，此时，解得，故抛物线E的方程为（2）解：联立，消去x得，直线与抛物线E相交于不同的两点A，B，得，设，则有，所以，设线段AB的中点，则，即，直线MN的斜率，直线MN的方程为：，令，得，即，所以，又因为为等边三角形，所以，所以，解得，且满足，故所求m的值为14【答案】（1）解：设点，则，且由得，即，化简得故动点P的轨迹C的方程为：（2）解：设直线AB的方程为：，则联立直线AB与轨迹C的方程得，消去x得，则设，由韦达定理知，由，得：，整理得，所以故为定值0，的取值范围是学科网（北京）股份有限公司