高中数学第8章测评.docx

第八章测评一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.下表显示出样本中变量y随变量x变化的一组数据,由此判断它最符合()x45678910y14181920232528A.线性函数模型B.二次函数模型C.指数函数模型D.对数函数模型2.2023江西南昌模拟在某次独立性检验中,得到如下列联表:BA合计A=0A=1B=02008001 000B=1180a180+a合计380800+a1 180+a最后发现,两个分类变量没有关联,则a的值可能是()A.200B.720C.100D.1803.2023江西上饶二模下表是2022年我国某新能源汽车厂前5个月的销量y和月份x的统计表,根据表中的数据可得经验回归方程为y=bx+1.16,则下列四个结论正确的个数为()月份x12345销量y/万辆1.51.622.42.5变量x与y正相关;b=0.24;y与x的样本相关系数r>0;2022年7月该新能源汽车厂的销量一定是3.12万辆.A.1B.2C.3D.44.为了调查学生对网络课程的热爱程度,研究人员随机调查了相同数量的男、女学生,发现有80%的男生喜欢网络课程,有40%的女生不喜欢网络课程,且认为是否喜欢网络课程与性别有关,此推断犯错误的概率超过0.001,但不超过0.01,则被调查的男、女学生总数量可能为()附:2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.0.10.050.010.001x2.7063.8416.63510.828A.130B.190C.240D.2505.为了研究某班学生的脚长x(单位:厘米)和身高y(单位:厘米)的关系,从该班随机抽取10名学生,根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系,设其经验回归方程为y=bx+a,已知i=110xi=225,i=110yi=1 600,b=4,该班某学生的脚长为24厘米,据此估计其身高为()A.160厘米B.163厘米C.166厘米D.170厘米6.2023四川眉山仁寿期中已知某初中的男生体重y(单位:kg)与身高x(单位:cm)具有线性相关关系,根据一组样本数据(xi,yi)(i=1,2,3,n),由最小二乘法近似得到y关于x的经验回归方程为y=0.85x-85.71,则下列结论不正确的是()A.y与x是正相关的B.该回归直线必过点(x,y)C.若该初中的男生身高增加1 cm,则其体重约增加0.85 kgD.若该初中的男生身高为160 cm,则其体重必为50.29 kg7.2023安徽安庆模拟某商场为了给一种新商品进行合理定价,将该商品按事先拟定的价格进行试销,得到如下数据:单价x/元8.28.48.68.8销量y/件848378m根据表中的数据,得到销量y(单位:件)与单价x(单位:元)之间的经验回归方程为y=-16x+a,据计算,样本点(8.4,83)的残差为1.4,则m=()A.76B.75C.74D.738.2023广东梅州月考已知某科技公司2018年至2022年云计算市场规模数据,且市场规模y与年份代码x的关系可以用模型y=c1ec2x(其中e为自然对数的底数)拟合,设z=ln y,得到数据统计表如表:年份2018年2019年2020年2021年2022年年份代码x12345云计算市场规模y/千万元7.4112036.666.7z=ln y22.433.64由上表可得经验回归方程z=0.52x+a,则2025年该科技公司云计算市场规模y的预测值为()A.e5.08B.e5.6C.e6.12D.e6.5二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.下列说法不正确的是()A.相关关系是一种不确定的关系,回归分析是对相关关系的分析,因此没有实际意义B.独立性检验对分类变量关系的研究没有100%的把握,所以独立性检验研究的结果在实际中也没有多大的实际意义C.相关关系可以对变量的发展趋势进行预测,这种预测可能会是错误的D.独立性检验如果得出的结论有99%的可信度,就意味着这个结论一定是正确的10.已知由样本数据点集合(xi,yi)|i=1,2,n求得经验回归方程为y=1.5x+0.5,x=3,现发现两个数据点(1.2,2.2)和(4.8,7.8)误差较大,去除后重新求得的经验回归直线l的斜率为1.2,则()A.变量x与y具有正相关关系B.去除两个数据点后的经验回归方程为y=1.2x+1.4C.去除两个数据点后y的预测值增加速度变快D.去除两个数据点后,当x=4时,y的预测值为6.211.已知关于变量x,y的4组数据如表所示:x681012ya1064根据表中数据计算得到x,y之间的经验回归方程为y=-1.4x+20.6,x,y之间的样本相关系数为r参考公式:r=i=1n(xi-x)(yi-y)i=1n(xi-x)2i=1n(yi-y)2,下列结论正确的是()A.a=12B.变量x,y正相关C.r=-7210D.r=-22312.2023江苏南京期中以下说法正确的是()A.经验回归直线y=bx+a至少经过点(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn)中的一个点B.样本相关系数r的绝对值越接近1,两个随机变量的线性相关程度越强C.已知随机变量X服从二项分布B(n,p),若E(X)=30,D(X)=20,则p=13D.设随机变量服从正态分布N(0,1),若P(>1)=p,则P(-1<<0)=12-p三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知由下表中的数据所求得的经验回归方程为y=4x+242,则实数a=. x23456y251254257a26614.某数学老师身高176 cm,他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm,170 cm和182 cm.因为儿子的身高与父亲的身高有关,故该老师可用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为cm. 15.为了调查患慢性气管炎是否与吸烟有关,调查了100名50岁以下的人,调查结果如下表:是否吸烟是否患慢性气管炎合计患慢性气管炎未患慢性气管炎吸烟20b40不吸烟c5560合计2575100根据列联表数据,求得2=(精确到0.001).依据=0.001的独立性检验,我们推断患慢性气管炎与吸烟.(填“有关”或“无关”) 附:0.050.010.001x3.8416.63510.8282=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),n=a+b+c+d.16.已知自2019年起某地区第x年的月人均收入y(单位:万元)的统计数据如表:年份2019202020212022年份编号x1234月人均收入y/万元0.60.81.11.5根据如表可得经验回归方程y=bx+a中的 b为0.3,据此模型预测该地区2023年的月人均收入为万元. 四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)为了调查某大学学生在某天上网的时间,随机对100名男生和100名女生进行了不记名的问卷调查,得到了如下的统计结果:表1:男生上网时间与频数分布表上网时间/分钟30,40)40,50)50,60)60,70)70,80人数525302515表2:女生上网时间与频数分布表上网时间/分钟30,40)40,50)50,60)60,70)70,80人数1020402010(1)将频率视为概率,若该大学共有女生750人,试估计其中上网时间不少于60分钟的人数;(2)完成下面的2×2列联表,根据小概率值=0.1的独立性检验,能否认为“大学生上网时间与性别有关联”?单位:人性别上网时间合计少于60分钟不少于60分钟男女合计附:2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.0.100.050.0100.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.82818.(12分)2023贵州凯里质检某机构为调查研究A湖泊水域覆盖面积x(单位:万平方米)和鱼群数量y(单位:千尾)的关系,用简单随机抽样的方法抽取该湖泊10个区域进行调查,得到样本数据分别为(xi,yi)(i=1,2,10),经计算得i=110xi=98,i=110yi=1 980,i=110xi2-10x2=125,i=110xiyi=19 654.(1)经研究,y与x具有较强的线性相关性,请计算y关于x的经验回归方程;(2)随着退田还湖政策的实施,A湖泊水域覆盖面积又增加了10万平方米,在保持A湖泊生态平衡的前提下,为增加经济效益,试估计该湖泊的管理者最多还能投放的鱼苗数量是多少?参考公式:经验回归直线y=bx+a的斜率和截距的最小二乘估计分别为b=i=1nxiyi-nxyi=1nxi2-nx2,a=y-bx.19.(12分)2023内蒙古赤峰松山月考为了满足同学们多元化的需求,某学校决定每周组织一次社团活动,活动内容丰富多彩,有书法、象棋、篮球、舞蹈、古风汉服走秀、古筝表演等,同学们可以根据自己的兴趣选择项目参加.为了了解学生对该活动的喜爱情况,学校采用给活动打分的方式,在全校学生中随机选取1 200名同学给活动打分,发现所给数据均在区间40,100上,现将这些数据分成6组并绘制出如图所示的频率分布直方图.(1)请将频率分布直方图补充完整,并求出样本的平均数x(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(2)从这1 200名同学中随机抽取110,经统计其中有男同学70人,其中40人打分在区间70,100上,女同学中20人打分在区间70,100上,根据所给数据,完成下面的2×2列联表,并判断依据=0.1的独立性检验,能否认为对该活动的喜爱程度与性别有关(分数在区间70,100上认为喜欢该活动).单位:人性别喜爱程度合计喜欢不喜欢男女合计附:2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),n=a+b+c+d.0.10.050.010.001x2.7063.8416.63510.82820.(12分)已知某校5名学生的数学成绩和物理成绩(满分均为100分)如下表:学生的编号i12345数学成绩xi8075706560物理成绩yi7066686462(1)假设在对这5名学生成绩进行统计时,把这5名学生的物理成绩搞乱了,数学成绩没出现问题,问:恰有2名学生的物理成绩是自己的实际成绩的概率是多少?(2)通过大量事实证明发现,一个学生的数学成绩和物理成绩具有很强的线性相关关系,在上述表格是正确的前提下,用x表示数学成绩,用y表示物理成绩,求y关于x的经验回归方程.(3)利用残差分析经验回归方程的拟合效果,若残差和在区间(-0.1,0.1)内,则称经验回归方程为“优拟方程”,问:该经验回归方程是否为“优拟方程”?参考数据和公式:y=bx+a,其中b=i=1nxiyi-nxyi=1nxi2-nx2,a=y-bx;i=15xiyi=23 190,i=15xi2=24 750,残差和公式:i=15(yi-yi).21.(12分)2023四川遂宁模拟某中学为了解学生对党史的认知情况,举行了一次党史知识竞赛,全校高一和高二共选拔100名学生参加,其中高一年级50人,高二年级50人.并规定将分数不低于135分的得分者称为“党史学习之星”,这100名学生的成绩(满分为150分)情况如表所示.单位:人年级党史学习之星合计获得“党史学习之星”未获得“党史学习之星”高一年级401050高二年级203050合计6040100(1)依据小概率值=0.01的独立性检验,分析学生获得“党史学习之星”是否与年级有关联;(2)获得“党史学习之星”的这60名学生中,按高一和高二年级采用分层随机抽样,随机抽取了6人,再从这6人中随机抽取2人代表学校参加区里的党史知识竞赛,求这2人中至少有一人是高二年级的概率.参考公式:2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.0.10.050.010.001x2.7063.8416.63510.82822.(12分)混凝土具有原材料丰富、抗压强度高、耐久性好等特点,是目前使用量最大的土木建筑材料.抗压强度是混凝土质量控制的重要技术参数之一,也是实际工程对混凝土要求的基本指标.为了解某型号某批次混凝土的抗压强度(单位:MPa)随龄期(单位:天)的发展规律,质检部门在标准试验条件下记录了10组混凝土试件在龄期xi(i=1,2,3,10)分别为2,3,4,5,7,9,12,14,17,21时抗压强度yi的值,并对数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.(1)根据散点图判断y=a+bx与y=c+dln x哪一个适宜作为抗压强度y关于龄期x的经验回归方程类型,选择其中的一个模型,并根据表中数据,建立y关于x的经验回归方程.(2)工程中常把龄期为28天的混凝土试件的抗压强度f28视作混凝土抗压强度标准值.已知该型号混凝土设置的最低抗压强度标准值为40 MPa.试预测该批次混凝土是否达标?由于抗压强度标准值需要较长时间才能评定,早期预测在工程质量控制中具有重要意义.经验表明,该型号混凝土第7天的抗压强度f7与第28天的抗压强度f28具有线性相关关系,且符合f28=1.2f7+7,试估计在早期质量控制中,龄期为7天的混凝土试件需达到的抗压强度.参考数据:ln 20.69,ln 71.95.xywi=110(xi-x)2i=110(wi-w)2i=110(xi-x)(yi-y)i=110(wi-w)(yi-y)9.429.723665.5439.255表中wi=ln xi,w=110i=110wi.附:b=i=1n(xi-x)(yi-y)i=1n(xi-x)2,a=y-bx.参考答案第八章测评1.A画出散点图(图略)可以得到这些样本点在某一条直线附近,故最符合线性函数模型.2.B两个分类变量没有关联,2001 000和180180+a基本相等,结合选项检验可知,选项B满足条件.故选B.3.B由x=1+2+3+4+55=3,y=1.5+1.6+2+2.4+2.55=2,因为经验回归直线过样本中心(x,y),所以2=3b+1.16,b=0.28,错误;可知y随着x变大而变大,所以变量x与y正相关,正确;2022年7月该新能源汽车厂的销量的估计值是y=0.28×7+1.16=3.12,错误.故选B.4.B零假设为H0:是否喜欢网络课程与性别无关.依题意,设男、女生的人数各为5x,建立2×2列联表如表所示:单位:人性别喜欢网络课程不喜欢网络课程合计男4xx5x女3x2x5x合计7x3x10x故2=10x·(8x2-3x2)25x·5x·7x·3x=10x21,由题可知6.63510x21<10.828,所以139.33510x<227.388.只有B符合题意.5.C由经验回归方程为y=4x+a,则x=110i=110xi=22.5,y=110i=110yi=160,则测量数据样本点的中心为(22.5,160),由经验回归直线过样本点的中心,则a=y-4x=160-4×22.5=70,经验回归方程为y=4x+70,当x=24时,y=4×24+70=166,则估计其身高为166厘米.6.Dy关于x的经验回归方程为y=0.85x-85.71,其中b=0.85>0,则y与x是正相关的,故A正确;由经验回归方程的性质,即经验回归直线恒过样本点的中心,可得B正确;由经验回归方程可得,若该初中的男生身高增加1 cm,则其体重约增加0.85 kg,故C正确;若该初中的男生身高为160 cm,预测其体重约为0.85×160-85.71=50.29(kg),故D错误.故选D.7.B由条件知当x2=8.4时,y2=83-1.4=81.6,代入y=-16x+a,解得a=81.6+16×8.4=216,于是y=-16x+216.又x=8.5,所以y=80,即84+83+78+m4=80,解得m=75.故选B.8.B由题意得x=3,z=3,a=z-0.52x=3-3×0.52=1.44,即经验回归方程z=0.52x+1.44,当x=8时,z=0.52×8+1.44=5.6,y=e5.6,即2025年该科技公司云计算市场规模y的预测值为e5.6.故选B.9.ABD相关关系虽然是一种不确定的关系,但是回归分析可以在某种程度上对变量的发展趋势进行预测,这种预测在尽量减小误差的条件下可以对生产与生活起到一定的指导作用;独立性检验对分类变量的检验也是不确定的,但是其结果也有一定的实际意义.故选ABD.10.ABD由样本数据点集合(xi,yi)|i=1,2,n求得经验回归方程为y=1.5x+0.5,所以y=1.5×3+0.5=5.因为重新求得的经验回归直线l的斜率为1.2,故变量x,y之间的关系是正相关,故A正确;设新的数据所有横坐标的平均值为x',所有纵坐标的平均值为y',则x'=n×3-1.2-4.8n-2=3,y'=n×5-2.2-7.8n-2=5,设重新求得的经验回归方程为y=1.2x+a,则5=1.2×3+a,故a=1.4,所以重新求得的经验回归方程为y=1.2x+1.4,故B正确;因为斜率为1.2<1.5,所以y的预测值增加速度变慢,故C错误;把x=4代入y=1.2x+1.4,得y=1.2×4+1.4=6.2,故D正确.故选ABD.11.AC经验回归直线必过点(x,y),x=9,y=-1.4x+20.6=8=a+10+6+44,解得a=12,故A正确;由经验回归方程和表格可知,变量x,y负相关,故B错误;r=i=14(xi-x)(yi-y)i=14(xi-x)2i=14(yi-y)2=(-3)×4+(-1)×2+1×(-2)+3×(-4)9+1+1+9×16+4+4+16=-7210,故C正确,D错误.故选AC.12.BCD经验回归直线y=bx+a一定经过样本中心点(x,y),而(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn)中的点并不一定过经验回归直线,故A错误;样本相关系数r的绝对值越接近1,两个随机变量的线性相关程度越强,故B正确;E(X)=np,D(X)=np(1-p),所以30×(1-p)=20,则p=13,故C正确;P(-1<<0)=P(0<<1)=P(>0)-P(>1)=12-p,故D正确.故选BCD.13.262由题意,得x=4,y=15(1 028+a),代入y=4x+242,可得15(1 028+a)=4×4+242,解得a=262.14.185由题意可得数学老师的爷爷、父亲、数学老师本人和他儿子的身高可组成三个坐标(173,170),(170,176),(176,182),设父亲身高x关于儿子身高y的经验回归方程为y=bx+a,x=173+170+1763=173,y=170+176+1823=176,b=i=13xiyi-3xyi=13xi2-3x2=1,a=y-b×x=176-173=3,y=x+3,将x=182代入,得y=185,即数学老师的孙子的身高约为185 cm.15.22.222有关由20+b=40,得b=20.由20+c=25,得c=5.零假设为H0:患慢性气管炎与吸烟无关联.故2=100×(20×55-20×5)240×60×25×7522.222>10.828=x0.001.依据=0.001的独立性检验,我们推断H0不成立,即认为患慢性气管炎与吸烟有关,此推断犯错误的概率不超过0.001.16.1.75x=1+2+3+44=2.5,y=0.6+0.8+1.1+1.54=1,将(2.5,1)代入y=0.3x+a中,可得a=1-0.3×2.5=0.25,则y=0.3x+0.25,把x=5代入,可得y=0.3×5+0.25=1.75.17.解(1)设上网时间不少于60分钟的女生人数为x,依题意有x750=20+10100,解得x=225,所以估计女生中上网时间不少于60分钟的人数是225.(2)填2×2列联表如下:单位:人性别上网时间合计少于60分钟不少于60分钟男6040100女7030100合计13070200零假设为H0:大学生上网与性别无关联.由表中数据可得到2=200×(60×30-40×70)2100×100×130×702.20<2.706=x0.1,根据小概率值=0.1的2独立性检验,没有充分证据推断H0不成立,因此可以认为H0成立,即认为大学生上网时间与性别无关联.18.解(1)b=i=110xiyi-10xyi=110xi2-10x2=19 654-10×9810×1 98010125=250125=2,所以a=y-bx=1 98010-2×9810=178.4,则y关于x的经验回归方程为y=2x+178.4.(2)在保持该湖泊现有生态平衡不变的情况下,当A湖泊的水域覆盖面积又增加了10万平方米时,最多还能投放鱼苗2×10=20(千尾).19.解(1)各组数据频率之和为1,故60,70)组的频率f=1-0.05-0.15-0.3-0.25-0.1=0.15,所以纵坐标为0.1510=0.015,频率分布直方图如下图:样本平均数x=45×0.05+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.1=73.5.(2)2×2列联表如下:单位:人性别喜爱程度合计喜欢不喜欢男403070女203050合计6060120零假设为H0:对该活动的喜爱程度与性别无关联.根据列联表中的数据,经计算得到2=120×(40×30-30×20)270×50×60×603.429>2.706=x0.1.依据=0.1的独立性检验,我们推断H0不成立,即认为对该活动的喜爱程度与性别有关联,此推断犯错误的概率不大于0.1.20.解(1)记事件A为“恰有2名学生的物理成绩是自己的实际成绩”,则P(A)=2C52A55=16.(2)因为x=80+75+70+65+605=70,y=70+66+68+64+625=66,b=i=15xiyi-5xyi=15xi2-5x2=0.36,a=66-0.36×70=40.8.所以经验回归方程为y=0.36x+40.8.(3)x1=80,y1=69.6;x2=75,y2=67.8;x3=70,y3=66;x4=65,y4=64.2;x5=60,y5=62.4.i=15(yi-yi)=(70-69.6)+(66-67.8)+(68-66)+(64-64.2)+(62-62.4)=0.4+(-1.8)+2-0.2-0.4=0.因为0(-0.1,0.1),所以该方程为“优拟方程”.21.解(1)零假设为H0:学生获得“党史学习之星”与年级无关联.根据列联表中的数据,经计算可得2=100×(40×30-10×20)250×50×60×4016.667>6.635=x0.01,根据小概率值=0.01的独立性检验,我们推断H0不成立,即认为学生获得“党史学习之星”与年级有关联,此推断犯错误的概率不大于0.01.(2)由题意可知,所抽取的6名学生中高一年级的有4人,记为a,b,c,d,高二年级的有2人,设为A,B,从这6人中随机抽取2人,则样本空间=(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d),(a,A),(a,B),(b,A),(b,B),(c,A),(c,B),(d,A),(d,B),(A,B),共15个样本点,其中事件M=“至少有一人是高二年级”的结果为M=(a,A),(a,B),(b,A),(b,B),(c,A),(c,B),(d,A),(d,B),(A,B),共9个样本点,故至少有一人是高二年级的概率P(M)=915=35.22.解(1)由散点图可以判断,y=c+dln x适宜作为抗压强度y关于龄期x的经验回归方程类型.令w=ln x,先建立y关于w的经验回归方程.由于d=i=110(wi-w)(yi-y)i=110(wi-w)2=555.5=10,c=y-dw=29.7-10×2=9.7,所以y关于w的经验回归方程为y=9.7+10w,因此y关于x的非线性经验回归方程为y=9.7+10ln x.(2)由(1)知,当龄期为28天,即x=28时,抗压强度y的预测值y=9.7+10ln 28=9.7+10×(2ln 2+ln 7)43.因为43>40,所以预测该批次混凝土达标.令f28=1.2f7+740,得f727.5.所以估计龄期为7天的混凝土试件需达到的抗压强度为27.5 MPa.19