高中数学第6章综合训练.docx

第六章综合训练一、选择题(本题共8小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.2023北京房山一模在x-2x4的展开式中,x2的系数是()A.-8B.8C.-4D.42.如图是一把算盘的初始状态,自右向左,分别是个位、十位、百位、,上面一粒珠(简称上珠)代表5,下面一粒珠(简称下珠)代表1,即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小.现在从个位、十位和百位这三组中随机选择往下拨1粒上珠,且往上拨2粒下珠,则算盘可表示的数的个数为()A.9B.18C.27D.363.从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动,则男女生都有的不同的选法种数是()A.18B.24C.30D.364.已知(1+ax)6=1+12x+bx2+a6x6,则实数b的值为()A.15B.20C.40D.605.2023甘肃武威月考若对xR,(ax+b)5=(x+2)5-5(x+2)4+10(x+2)3-10(x+2)2+5(x+2)-1恒成立,其中a,bR,则a+b=()A.-1B.0C.2D.36.(x+2y)5(x-2y)7的展开式中x9y3的系数为()A.-160B.-80C.160D.807.如图所示,要给四块区域分别涂上五种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同颜色,则不同的涂色方法种数为()A.320B.160C.96D.608.2023江西南昌模拟假设空间站要安排甲、乙等6名航天员开展实验,三个舱中每个舱至少一人至多三人,则不同的安排方法有()A.450种B.72种C.90种D.360种二、选择题(本题共4小题,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求)9.某学生想在物理、化学、生物、思想政治、历史、地理、信息技术这七门课程中选三门作为选考科目,下列说法错误的是()A.若任意选择三门课程,选法种数为A73B.若物理和化学至少选一门,选法种数为C21×C52C.若物理和历史不能同时选,选法种数为C73-C22×C51D.若物理和化学至少选一门,且物理和历史不能同时选,选法种数为C21×C52-C5110.如图,用4种不同的颜色,对四边形中的四个区域进行着色,要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色,则不同的着色方法数可以表示为()A.A43×A21B.A42×A42C.A42×(A21)2D.C41×A32+C42×(A22)211.2023江苏苏州期中在x-12x9的展开式中()A.常数项为212B.x3项的系数为-92C.系数最大项为第3项D.有理项共有5项12.2023江苏宿迁期中若x5=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+a5(1+x)5,其中a0,a1,a2,a5为实数,则()A.a0=1B.a1+a2+a5=1C.a1+a3+a5=-16D.a0+a1+2a2+3a3+4a4+5a5=-1三、填空题(本题共4小题)13.某群中甲、乙、丙、丁、戊五名成员先后抢4个不同的红包,每人最多抢一个红包,且红包全被抢光,则甲、乙两人都抢到红包的情况有种. 14.将5位志愿者分成3组,其中两组各2人,另一组1人,分赴某大型展览会的三个不同场馆服务,不同的分配方案有种. 15.(1+2x)4展开式的各项系数的和为. 16.已知(x-2)(x+m)5=a6x6+a5x5+a1x+a0,m为常数,若a5=-7,则m=,a6+a5+a1=. 四、解答题(本题共6小题,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.2023黑龙江尖山月考已知(2x-1)2 023=a0+a1x+a2x2+a2 023x2 023.(1)求a0;(2)求a1+a2+a3+a2 023;(3)求a1+2a2+3a3+2 023a2 023.18.从分别印有数字0,3,5,7,9的5张卡片中,任意抽出3张组成三位数.(1)求可以组成多少个大于500的三位数;(2)求可以组成多少个三位数;(3)若印有9的卡片,既可以当9用,也可以当6用,求可以组成多少个三位数.19.在3x-123xn的展开式中,前三项系数的绝对值成等差数列.(1)求展开式的第四项;(2)求展开式的常数项;(3)求展开式中各项的系数和.20.有7本不同的书:(1)全部分给6个人,每人至少一本,有多少种不同的分法?(2)全部分给5个人,每人至少一本,有多少种不同的分法?21.2023安徽合肥期中(1)高二(10)班元旦晚会有2个唱歌节目a和b,2个相声节目c和d.要求排出一个节目单,满足第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目,列出所有可能的排列.(2)甲、乙、丙、丁、戊、己、庚7个人排成一排拍照片,若要求甲、乙、丙3人必须相邻,并且丁和戊不相邻,有多少种不同排法?(结果用数字表示)(3)从4名男教师和5名女教师中选出4名教师参加新教材培训,要求有男有女且至少有2名男教师参加,有多少种不同的选法?(结果用数字表示)22.2023湖南长沙期中设f(x)=(1+x2)m-(1+x)2n(mN*,nN*).(1)当m=4,n=3时,记f(x)的展开式中xi的系数为ai(i=0,1,2,3,4,5,6,8),求a3+a4的值;(2)若f(x)的展开式中x2的系数为20,求mn的最小值.参考答案第六章综合训练1.Ax-2x4的展开式通项为Tk+1=C4k·x4-k·-2xk=C4k·(-2)k·x4-2k,取4-2k=2,则k=1,系数为C41×(-2)=-8.故选A.2.B根据算盘的运算法则以及题干中描述的操作,从个位、十位、百位的上珠中选1粒往下拨,则有C31种,下珠往上拨分两种情况,全部来自个位、十位、百位,即C31种,或者来自个位、十位、百位中的两个,即C32种,故算盘表示的数的个数为C31×(C31+C32)=18.故选B.3.C由于选出的3名学生男女生都有,所以可分成两类:第1类,3人中是1男2女,共有C41×C32=4×3=12种不同的选法;第2类,3人中是2男1女,共有C42×C31=6×3=18种不同的选法.所以男女生都有的不同的选法种数是12+18=30.4.D(1+ax)6的展开式的通项为Tk+1=C6kakxk,令k=1,则C61a=12,解得a=2,则b=C62×22=60.5.C对xR,(ax+b)5=(x+2)5-5(x+2)4+10(x+2)3-10(x+2)2+5(x+2)-1恒成立,其中a,bR,令x=0,可得b5=32-80+80-40+10-1=1,b=1.令x=-2,可得(1-2a)5=-1,a=1.则a+b=2.故选C.6.D原式可以化为(x+2y)(x-2y)5(x-2y)2=(x2-4xy+4y2)(x2-4y2)5,则二项式的展开式中含x9y3的项为-4xy×C51(x2)4(-4y2)1=80x9y3,所以x9y3的系数为80,故选D.7.A根据分步乘法计数原理,区域有5种颜色可供选择,区域有4种颜色可供选择,区域和区域只要不选择区域的颜色即可,故各有4种颜色可供选择,所以不同涂色方法有5×4×4×4=320种.8.A由题知,6名航天员安排三个舱,三个舱中每个舱至少一人至多三人,可分两类情况考虑:第一类,分人数为1-2-3的三组,共有C61×C52×C33×A33=360种安排方法;第二类,分人数为2-2-2的三组,共有C62×C42×C22A33×A33=90种安排方法.所以不同的安排方法共有360+90=450种.故选A.9.ABD若任意选择三门课程,选法种数为C73,故A错误;若物理和化学至少选一门,选法种数为C21×C52+C22×C51,故B错误;若物理和历史不能同时选,选法种数为C73-C22×C51,故C正确;若物理和化学至少选一门,且物理和历史不能同时选,选法种数为C21×C52+C22×C51-C51,故D错误.故选ABD.10.ACD选项A:表示先着色中间两格和下面一格.从4种颜色中取3种,有A43种方法,上面一格,从与中间两格不同的颜色中取出一个,有A21种方法,故共有A43×A21=48种不同方法,正确;选项B:A42×A42=144,方法总数不对,错误;选项C:表示先对中间两格涂颜色.从4种颜色中取2种,共有A42种方法,上下两格都是从与中间两格不同的颜色中取出一个,各有A21种方法,故共有A42×(A21)2=48种不同方法,正确;选项D:表示两种情况:上下两格颜色相同,中间两格从3个剩下的颜色中取2种,共有C41×A32种不同方法;上下两格颜色不同,中间两格从2个剩下的颜色中取2种,共有C42×A22×A22种不同方法.综合可知方法总数为C41×A32+C42×(A22)2=48种不同方法,正确.故选ACD.11.BCD在x-12x9的展开式中,通项为Tk+1=C9k·-12k·x9-3k2,令9-3k2=0,得k=3,可得展开式中常数项为T4=C93×-18=-212,故A错误;令9-3k2=3,得k=1,可得展开式中x3项的系数为-92,故B正确;要使第k+1项的系数C9k-12k最大,需k为偶数,检验可得,当k=2时,系数C9k-12k最大,即系数最大项为第3项,故C正确;令9-3k2为整数,得k=1,3,5,7,9,共计5项,故D正确.12.BD因为x5=-1+(x+1)5=C50(-1)5(x+1)0+C51(-1)4(x+1)1+C52(-1)3(x+1)2+C53(-1)2(x+1)3+C54(-1)1(x+1)4+C55(-1)0(x+1)5=(-1)+5(x+1)-10(x+1)2+10(x+1)3-5(x+1)4+(x+1)5,所以a0=-1,a1=5,a2=-10,a3=10,a4=-5,a5=1.故选项A错误;a1+a2+a5=5-10+10-5+1=1,故选项B正确;a1+a3+a5=5+10+1=16,故选项C不正确;a0+a1+2a2+3a3+4a4+5a5=-1+5+2×(-10)+3×10+4×(-5)+5×1=-1,故选项D正确.13.72第1步,甲、乙抢到红包,有A42=4×3=12种,第2步,其余三人抢剩下的两个红包,有A32=3×2=6种,所以甲、乙两人都抢到红包的情况有12×6=72种.14.90先分组C52C32C11A22,再把三组分配到三个不同的场馆,得共有不同的分配方案C52C32C11A22A33=90种.15.81令x=1,则二项展开式的各项的系数和为(1+2)4=81.16.-1-2由已知可得a5为x5的系数,则展开式中含x5的项为x×C51 x4·m-2×C50x5=(5m-2)x5,所以5m-2=-7,解得m=-1,令x=0,则a0=-2×(-1)5=2,令x=1,则a0+a1+a6=(1-2)(1-1)5=0,所以a6+a5+a1=-2.17.解(1)令x=0,则a0=(-1)2 023=-1.(2)令x=1,则a0+a1+a2+a2 023=(2-1)2 023=1,所以a1+a2+a2 023=1-a0=2.(3)等式两边同时求导可得4 046(2x-1)2 022=a1+2a2x+3a3x2+2 023a2 023x2 022,令x=1,则a1+2a2+2 023a2 023=4 046×(2-1)2 022=4 046.18.解(1)首位是5,7,9的三位数都大于500,故大于500的三位数有3×A42=36个.(2)可以组成三位数的个数是4×A42=48.(3)分两类:第一类,没抽印有9的卡片,则有A31×A32个三位数.第二类,抽取印有9的卡片,若没抽印有0的卡片,则有2×3A33个三位数;若抽取印有0的卡片,则有2×3A21×A22个三位数,所以,共有A31×A32+2×3A33+2×3A21×A22=78个.19.解 通项为Tk+1=(-12)kCnkxn-2k3.由已知,(-12)0Cn0,12Cn1,122Cn2成等差数列,得2×12Cn1=1+14Cn2,解得n=8,故Tk+1=(-12)kC8kx8-2k3.(1)令k=3,得T4=(-12)3C83x23=-7x23.(2)令8-2k=0,得k=4,故T5=358.(3)令x=1,得各项的系数和为128=1256.20.解 (1)根据题意,将7本书分给6个人,且每人至少1本,则必须是其中1个人2本,其他人每人1本,则分两步:第1步,将7本书,分为6组,其中1组2本,其他组每组1本,有C72=21种分组方法;第2步,将分好的6组对应6人,将6组进行全排列即可,有A66=720种方法.一共有21×720=15 120种不同的分法.(2)分两类:第1类,1人得3本,其余4人各得一本,方法数为C73×A55=4 200;第2类,2人各得2本,其余3人各得1本,方法数为12C72×C52×A55=12 600.所以所求分法种数为4 200+12 600=16 800.21.解(1)歌唱节目记为a,b,相声节目记为c,d,满足第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目的排列为acdb,adcb,bcda,bdca,共4种.(2)甲、乙、丙3人必须相邻,把他们捆绑看作一个元素与除甲、乙、丙、丁、戊外的两个元素排列,共有A33×A33种排法;在3个元素形成的4个空中插入丁和戊,共有A42种排法.故满足题意的不同排法的种数为A33×A33×A42=432.(3)第一类,选2名男教师与2名女教师,共有C42×C52=60种选法;第二类,选3名男教师与1名女教师,共有C43×C51=20种选法.所以共有60+20=80种不同的选法.22.解(1)当m=4,n=3时,f(x)=(1+x2)4-(1+x)6=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6.(1+x2)4的展开式通项为Tr+1=C4r(x2)r=C4r·x2r,令r=2,则C42·x4=6x4.(1+x)6的展开式通项为Tk+1=C6kxk,当k=3时,C63·x3=20x3;当k=4时,C64x4=15x4.a3=-20,a4=6-15=-9,a3+a4=-20-9=-29.(2)f(x)=(1+x2)m-(1+x)2n,(1+x2)m的展开式通项为Tr+1=Cmr·(x2)r=Cmrx2r,当r=1时,Cm1x2=mx2.(1+x)2n的展开式通项为Tk+1=C2nkxk,当k=2时,C2n2x2=n(n-1)x2.a2=m-n(n-1)=20,则m=20+n(n-1),故mn=20+n(n-1)n=20n+n-1,令g(n)=20n+n-1(nN*),则g'(n)=n2-20n2.当n4,且nN*时,g'(n)<0;当n5,且nN*时,g'(n)>0.g(n)在区间1,4上单调递减,在区间5,+)上单调递增,g(4)=204+4-1=8,g(5)=205+5-1=8.故g(n)的最小值为8,即mn的最小值为8.10