函数与方程思想在中学数学解题中的应用.doc

摘 要函数与方程思想是利用变量与函数之间的关系，将未知转化为已知的过程。将函数的性质作为前提条件，通过分析中学数学问题所含有变量，和变量之间存在的等量关系去建立方程和方程组；也可以将一个表面不是函数的问题通过等量关系构造一个函数将其转化为函数问题。应用函数与方程思想解题的基础是熟练掌握函数和方程相关的定义、性质、图像呈现，而在解题步骤中最为关键的是要利用题目的已知条件，通过假设、构造相关变量，最后根据等量关系推出函数关系式。在一般的解题过程中，如果可以熟练掌握函数与方程思想的解题思路，就可以中困难中剖析出重点关键部分可以做到简化解题过程，同时做到培养学生的数学思维。 关键词：函数思想；方程思想；中学数学目 录1 引言2 函数与方程思想2.1 基本概念2.2函数与方程思想关系3 函数与方程思想在解题中的应用3.1函数思想在解题中的应用3.1.1 利用函数的单调性解题3.1.2利用函数的奇偶性解题3.1.3利用函数值域解题3.1.4利用一次函数的保号性解题3.1.5利用二次函数的性质解题3.2 方程思想在解题中的应用3.2.1 将定义、性质、规律相关的问题转化为方程问题3.2.2将几何图形相关的问题转化为方程问题3.2.3将直角三角形问题转化为方程问题3.2.4将等量关系问题转化为方程问题4 结论参 考 文 献致 谢函数与方程思想在中学数学解题中的应用1 引言函数与方程思想，简单来说就是假设与转化，从数学问题中假设找到相应变量，用不同的字母赋予不同的含义，再通过转化已知，从而得到我们所未知信息。通常在解题中，可以有多种想法去解决问题，如果将字母抽象为变量，通过等量关系可以将变量转化成一个或者多个等式，再将所等到的等式抽象成函数，同时利用函数性质做基本条件进行分析，也可将一个表面不是函数的问题通过等量关系构造出函数，这便是从函数层面上去解决问题。从方程层面上去解决问题，首先要通过赋予字母来构造所需要的方程，再求方程根从而解决问题。著名的数学家菲利克斯.克莱因(F.Klein)有一句名言:“一般受教育者在数学课上应该学会的重要事情是用变量和函数来思考。”函数与方程在初学者来说是一样的，只是一个有赋予等量关系，一个却没有，这就证明了它们之间有着很紧密的关系。函数与方程的思想方法，这是一个贯穿了整个中学数学的各个领域，甚至渗透到了其他学科的一一种思想方法。数学作为基础学科，对人的智力发展，逻辑推理思维等方面都有很重要的作用，在中学数学中的函数与方程思想，能够有效的提高中学生数学思维品质和培养学生的数学核心素养。而函数与方程思想又是数学这门学科中必不可少的一种思想方法, 在每年的中考、高考数学试题中都有涉及这个知识点，同时这也是不少学生掌握不清的难点，所以函数与方程思想在中学数学解题中的应用对提高训练学生的思维能力具有很大的现实意义。近来, 由于越来越多的专家学者开始重视函数与方程思想这一数学思想的研究，并且编撰了许多相关资料，这给我们的学习和教育教学过程提供了许多便利。为了适应时代发展，本文研究的目的是为了拓展学生的思维，培养学生开拓创新的能力，从而去适应社会的需求。函数与方程思想是一个贯穿中学时代，甚至数学领域的重要接点，应用广泛，而数学有着两个非常高度明显的特点，抽象性和严谨性，在解题过程中培养学生严谨的逻辑性和思维抽象性。这要在遵循学生的年龄特征和认知规律的基础下，对学生已有的认知结构进行同化新知识，使学生充分体会到从一般到特殊的过程，感受数学的魅力，引导学生学习的积极性和主动性，激发学习兴趣，促使学生思维得到发展。函数与方程思想在中学数学解题中运用广泛，如果能够掌握，那这类题型都能迎刃而解，同样可以强化学习兴趣。2 函数与方程思想2.1 基本概念函数与方程思想是数学思想方法中的一个重要组成部分，应用极其的广泛，函数与方程思想在解题过程中主要是根据已有的数学知识做前提，将数学问题间的变量进行思维的转换，有序的进行原有认知结构的迁移，保障学生在数学知识的学习过程中能够充分理解相关知识，提高学生的解题效率。函数思想的实质是一种关系，是自变量与因变量通过某种数学法则构造的关系，通常在解题过程中，要从繁琐的题设中抽丝剥茧出关键内容，就要舍弃不必要的文字，找到本质的数学特征，抽象出变量，再建立各变量之间的函数关系,最后根据已知的函数的有关条件和性质去解决相应问题。方程思想的实质就是一种转化。在解题过程中，将未知的转化为题设中的已知条件，最关键的一种手段便是设未知数，即设元，通过设未知数，将文字特征转化为数字特征，寻找已知条件和未知内容的等量关系，建立方程或者方程组，最后通过解方程的方法去解决问题。2.2函数与方程思想关系函数与方程这两个有着相似的外壳，但正如世界上没有完全一样的两片叶子一样，名称不同，所蕴含的内容也不同。这两者互相联系、互相渗透，函数的表达式和方程的式子可以互相转变。由于这两者可以相互转变，在遇到无法使用函数性质来解决的函数问题，可以打破常规思路，通过方程的思想去解决问题；同样，许多方程的问题也可以利用函数的方法来解决。函数是通过运动中的变化去寻找关系，继而建立函数模型来解决问题。方程是在运动的变化中寻找等量关系，从动求静，继而建立方程模型来解决问题。在解题过程中，方程模型是可以通过变量之间的关系先构造出函数模型再转化的，所以两者关系密不可分。3 函数与方程思想在解题中的应用 3.1函数思想在解题中的应用函数思想的本质是按照数学问题所具有的的特征构建相应的数学模型，可以通过多种方式来构建相应的模型，比如可以利用函数的单调性和增减区间、函数的奇偶性及性质、函数的定义域和值域、函数的保号性、函数的图像及性质、还可以利用一次函数与二次函数的性质等等来构建模型，再解决相应问题。3.1.1 利用函数的单调性解题函数的单调性，也称为函数的增减性，顾名思义就是在一个指定区间内，函数值与自变量之间的变化关系。一般地，设函数 的定义域为 :如果对于属于 内某个区间上的任意两个自变量的值 、 ，当时，都有 ，那么就说函数在这个区间上是增函数。相反的，如果对于属于 内某个区间上的任意两个自变量的值 、 ，当时，都有 ，那么就说函数在这个区间上是减函数。若函数 在某个区间内是增函数，那么这个函数在这一区间内严格单调递增，所处的这个区间就是这个增函数的单调区间。相反的，在这个区间是减函数，则是单调递减。在直角坐标系中划出增减函数的图像，会发现增函数的图像是呈现逐渐上升的趋势，而减函数的图像是呈现下降的趋势。而单调性是中学数学函数中必不可少的一个性质，主要是利用函数的单调性将自变量根据题设条件转换到同一个单调区间内进行比较。这不仅可以解决相关的函数问题，还可以解决一般情况下的非函数的问题。可以利用函数的单调性来判断大小关系，也可以利用函数单调性来证明一般不等式等。例1：设函数在内有定义。对于给定的正数 ，定义函数，取函数,当时，函数的单调递增区间为（ ）A. B. C. D. 首先本题所求的是该函数的单调递增区间，根据题意，经过计算整理可以得到，这将区间分成三段，明显与指数函数有关，便可以通过指数函数的单调性来解这道题。解:由，得。又由， 得。所以，故的单调递增区间(-，-1)，所以答案选C。3.1.2利用函数的奇偶性解题在遇到复杂的题型时，首先需要考虑这道是否可以利用函数的奇偶性来解决，有了这个想法，往往可以节省一大半的阶梯时间，所以函数的奇偶性的重要性就凸显出来了，这也是近年来考试的一大热点。如果可以合理的利用函数的奇偶性来解题，不仅可以节约时间，还可以将函数的奇偶性推广到非函数领域来解决问题。不管是函数领域还是非函数领域，要解决对应问题，首先要根据奇偶函数的条件来判断其奇偶性，在利用奇偶函数的性质来快速的解决问题。在解决奇偶函数的问题过程中不仅可以加深对奇偶函数性质的理解及运用，还可以调动学生的积极性，培养学生相应的逻辑推理能力和做题规范程度。例2：求函数的 解析式：(1) 在 上为奇函数， 时，。本题首先就已经说明在 上为奇函数，并且给了我们当 时，函数的表达式，所以要利用奇函数的定义：函数 的定义域内任意一个都有。通过计算就可以得到在定义域上函数的解析式。解：当 时，当 时， ，所以，所以。(2) 在 上为偶函数， 时，。同样本题也给了函数在定义域偶函数，由时，便可以利用偶函数的性质： ，经过计算得到相应的当时所得到的函数。解：当 时，所以。3.1.3利用函数值域解题函数值域的概念：设 和 是函数的两个变量, 是实数集的某个子集,若对于中的每个值,变量按照一定的法则都有一个确定的值与之对应,称变量为变量的函数,记作，全体值所处的子集就是这个函数的定义域，对于所有对应的值所在的区间就是这个函数的值域。掌握定义域和值域是学习函数的前提条件，一般的函数问题都要考虑到定义域和值域这两个条件限制。中学数学函数问题的的一个重点，不仅需要学生具有一定的逻辑思维能力，还需要掌握求出值域的能力。 所以对于如何求函数的值域，是一个极其重要的点，同时也是部分学生无法掌握的点。如果能在做题过程中，能够准确有效的掌握求值域的方法，那解题就你那达到事半功倍的效果。所以接下来就简单介绍一种求解函数值域的方法例3：求函数 的值域。由于本题函数分子分母都是二次函数，利用常规的方法无法做到求该题值域。通过变式可以将原式改为项系数不为0，关于 的一元二次方程。利用判别式法求值域，当 时，可求得使方程有解的值范围，此范围内任何值代入方程，可得到一个或两个与之对应的 值，此时的值属于值域。当 时方程无解，该范围的值没有与之对应的 值，此时的值不属于值域。解：将上式化为，当，由，解得：。当，上式方程无解。所以，函数的值域为。3.1.4利用一次函数的保号性解题由一次函数 的图象可知，如果 ，则 时恒有 。我们把这个性质称为一次函数的保号性。一次函数在区间 和上同样具有保号性。所以在部分数学问题中，就可以利用到一次函数的保号性将问题转化为判断一次函数 在区间 上函数值的符号问题，从而解决问题。例4：设，求证:，本题可以将 看成的函数， 这是一次函数或者常值函数在 上的图像是一条线段，这时就可以利用一次函数保号性将问题转化为判断一次函数 在区间 上函数值的符号问题，通过计算 ,两者都大于0，所以可以判断该不等式成立。解：将原式改为一次函数。因为，所以。又 ，所以 时，恒成立。故不等式成立。3.1.5利用二次函数的性质解题 二次函数是指未知项的最高次数为二次的多项式函数。二次函数一般式可以表示为，其图像是一条主轴平行于轴的抛物线。顶点坐标为 ，对称轴为 ；而二次函数的顶点式为或，顶点坐标为 或 对称轴为 或 。二次函数不仅在中学数学阶段有着重要的作用，在许多非数学领域也有其重要的一面。在做题过程中，通过分析，利用换元，构造等手段，构造出二次函数，再利用二次函数的性质来解决问题。有很多方面都可以运用二次函数，如果出现和二次函数判别式很相像的式子时，一般情况下都可以通过构造相关的二次函数来解决问题。例5：二次函数 的图像经过点 ，且与直线 交于 两点（如图）， 点在 轴上，过点 做 轴，垂足为点 。求二次函数的表达式。通过阅读本题，不难发现这是一道典型的二次函数的题型，通过函数图像经过的点来求解函数的表达式，首先求解这道题的方式有很多，已知该图像经过点，且与直线 交于 两点，这时两个函数图像的交点往往是关键，已知点的横坐标，代入到直线便可以得到点的坐标，同时点在轴上，即横坐标为0，代入直线也能得到的坐标，最后再将三个点的坐标代入二次函数联立方程，便可以得到函数的解析式。解：由题意可知点的横坐标为-3。因为点在直线上，点的横坐标为-3，则点坐标代入函数能使等式成立，解得点坐标为 ，再将 代入函数，解得， 所以二次函数的表达式为。图3-13.2 方程思想在解题中的应用一般在运用方程思想解题时，要从题目中的已知条件入手，找到相对应的公式定理结构，或者通过题设中存在的数量关系去建立方程结构,这就需要具备类比能力和联想，根据给出的关系进行转化，构造出方程或者是方程组,最后只要求解出相应的未知量，问题就能够获解。不过有时也需要利用一元二次方程的图像和判别式来求根，进而解决问题。3.2.1 将定义、性质、规律相关的问题转化为方程问题在中学数学学习过程中，会有许多的定义、性质、规律，通常这些都是以方程和文字的形式呈现，就比如，等式的基本性质、一元二次方程根的求解、顶点和对称轴的求解、绝对值的性质、平方根和立方根的特点等等。如果在做题中遇到这种类型的题型时，就可以直接使用所对应的方程来求解问题。例6：求函数 的值域。本题是求一个复杂函数的值域，尤其还存在根号，不易直接求得答案，所以这时我们就要隐含的数学关系，构造函数通过平方变形为方程：，这时该方程是中心在原点的椭圆的上半部分，并与x轴交于两点，而原函数则变成了 ,这是一条动直线。最后根据动直线与椭圆的图像求得该函数的值域。解：设， 通过变形为方程 ,当 时，所以与轴交于两点。设 表示斜率为-1的动直线，由 得。又由于 得 ，将点 坐标代入，所以函数 的值域为。3.2.2将几何图形相关的问题转化为方程问题在中学数学几何中也学习了许多在图形数量上的关系，例如常见的全等三角形性质、相似三角形对应边成比例、勾股定理、等腰三角形的性质、几何体的面积、体积公式等等。通过图形和题目所反馈的心里，合理的设元并建立方程，通过简单的计算就能得到我们想要的结果，并解决问题。例7:在 以点 为圆心， 为半径的圆与 交于点 ，则 的长为多少？首先这是几何问题，题目并没有给出图形，所以第一步应该根据题意画出图形，可知在以点 为圆心， 为半径的圆中，,要求得长度，在 中，已知两条腰长度都为3，作过点 使得 ,再可以根据可以得到 的正弦值，这时利用勾股定理和垂径定理求得 的长度，最后将的长度乘两倍便可以得到的长度。解：由勾股定理的ab=5，则 ,作 ,则 中， ,即。所以， 进而。3.2.3将直角三角形问题转化为方程问题解直角三角形杂糅了许多知识点，中学数学几何中的重要组成部分，同时这也是令学生头疼的一个内容，利用构造方程就是解决这类题的关键，通过分析，设出适当的未知数，找出对应边的数量关系，列出相应的方程，一般是需要两次解直角三角形才会得到答案。例8：有一只小鸟要觅食，如图，小鸟从巢A处水平飞行到觅食点B处只需8秒，有一只蚂蚁站在地面C处看着小鸟飞行（蚂蚁身高忽略不计），从C处分别测得A处的仰角为75°，B处的仰角为30°。已知小鸟的飞行速度为4米/秒，求这只小鸟的飞行高度。（结果保留根号）本题是很经典的中学数学关于解直角三角形的题型，要求小鸟的飞行高度，则一定要做出，这样就构建了，要求的长度，还需要一个条件，根据题意的长度可以通过构建和求得，由以上便可求飞行高度。解：如下图 作，由题意得： 所以 ，故 ，因此 ，因而 ，则， 所以小鸟的飞行高度为。图3-23.2.4将等量关系问题转化为方程问题利用方程解决实际问题是中学数学得一个最基本的方法，根据主题图、关键词、熟记的数量关系、固定量、以及生活经验找到相关数量以及它们之间的等量关系，建从而建立方程模型。比如行程问题、销售问题、等积变形、分配问题、工程问题等等例9：一条游轮在甲乙两个城市之间的河流游行，从甲城到乙城顺风需要5小时，逆风需要6小时，风速是每小时24千米，甲乙两城距离为多少？本题是根据风速时间求距离的题，题目中有顺风和逆风两种情况，顺风开船需要5小时，逆风开船需要6小时，不管顺风逆风，所行驶的路程是一样的，导致开船时间不一样是因为风速的影响，所以需要先求出静风时船只的速度，利用公式建立方程进行计算，求得轮船静风时的开船速度，最后根据 就可以求得两座城之间的距离。解：设轮船静风时的速度为千米/小时，由题意可得：，从而，。所以甲乙两城距离为 千米。4 结论通过对历年数学中考、高考试卷的分析，我们可知关于函数与方程的知识考点越来越多，运用越加灵活，所以在教学过程中，教师不仅除了教授相关内容及例题方法以外，还需要引导学生掌握相关领域的知识。数学是开发思维的一门学科，对培养学生严谨的科学态度和逻辑思维能力都有着很独特的作用，也可以起到意志力的锻炼作用，还可以培养学生分析和解决实际问题的能力、空间想象能力等等，所以说学好数学十分必要，而函数与方程思想是贯穿整个中学数学的一个重要思想，同时还渗透到了许多技术领域。在解题过程中关键就是要构造出函数或者方程，再利用相关性质来解决问题。很多学生不能掌握就是对这个思想的具体应用还不能运用，所以在解题中十分吃力，如果我们能准确应用函数与方程思想来解决相关的数学问题，问题便事倍功半，所以在我们平时的教学中要多实用这种方法，对学生强调这两个知识体系的重要性，加强这种思想方法的研究和实践，这样才能不断提高解题能力。思想方法是中学数学中的精髓所在，也是数学问题中的本质体现，只有灵活应用数学方法，才能让学生更加了解数学素养，可能在很多年以后，即使曾经做了多少题，那是应该也都忘了，能记起来的便是数学方法。总之函数与方程思想不仅需要学好函数有关性质和方程的有关性质，最重要的是可以灵活运用函数与方程，将两者的作用充分发挥到机制，通过相互的转化来解决不同的题型。就像著名的数学家菲利克斯.克莱因(F.Klein)说的：通常受教育者(学生),在数学课堂教学过程中应当学会用变量、函数去思考问题,不仅要求学生要学习相关函数知识,而且要求他们利用函数思想，积极主动地思考问题,这样才能提高教学质量和教学效率。 参 考 文 献1 万祥林.函数思想在解题中的应用J.兰州：数学教学研究，1998,(03):26-27.2 张宏伟.函数与方程思想J.深圳：数学教学通讯，2015,(Z1):87-91.3 王飞.方程思想在解题中的应用 J.秭归：数学实践，2013,(07):39-39.4 董军.函数与方程思想在解题中的应用 J.邹平：中学数学数学参考，2016,(08):41-41.5 钱伟英 .例说函数与方程思想在解题中的应用J.锡东：中学数学月刊，2014,(09):59-60.6 邹丽丽.函数与方程思想在高中数学解题中的应用J.内蒙古：高中数理化，2014,(22):6-6.7 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