02 模块二　数列 【正文】听课手册.docx

微专题5等差数列、等比数列微点1等差、等比数列基本量计算例1 (1)已知公差不为零的等差数列an满足a2+a7=a8+1,且a2,a4,a8成等比数列,则a2023=( )A.2023B.-2023C.0D.12023(2)2023·福建泉州模拟 已知等差数列an满足(n+1)an=n2-8n+k,数列bn是以1为首项,3为公比的等比数列.求an和bn;令cn=anbn,求数列cn的最大项.自测题1.已知an为等差数列,a2=-2,a1+a10=a3+4,则a5=( )A.1B.2C.3D.42.已知Sn是等比数列an的前n项和,a3=1,2S3=7a2,则S5= . 微点2等差、等比数列的性质例2 (1)2023·新课标卷 记Sn为等比数列an的前n项和,若S4=-5,S6=21S2,则S8=( )A.120B.85C.-85D.-120(2)2023·福建厦门模拟 已知等差数列an的前n项和为Sn,S9=18,S3=3,则S6=( )A.9B.212C.12D.272听课笔记    自测题1.已知各项均为正数的等比数列an满足a685=a684+2a683,若存在两项am,an,使得am·an=2a1,则1m+4n的最小值为( )A.9B.73C.94D.1332.已知Sn为等差数列an的前n项和,若S16>0,a7+a9<0,则当Sn取最小值时,n的值为. 微点3等差、等比数列的证明例3 2023·广东潮州二模 已知数列an满足a1=3,an+1=an2-2an+2.(1)证明数列ln(an-1)是等比数列,并求数列an的通项公式;(2)若bn=1an+1an-2,数列bn的前n项和为Sn,求证:Sn<2.自测题已知数列an满足a1=2,且对任意的nN*,an+1=an2n,n是奇数,2n+1an+2,n是偶数.(1)求a2,a3的值,并证明数列a2n-1+23是等比数列;(2)设bn=a2n-1(nN*),求数列bn的前n项和Tn.微点4数列模型与应用例4 (多选题)如图所示的形状出现在南宋数学家杨辉所著的详解九章算法·商功中,后人称为“三角垛”,“三角垛”最上层有1个球,第二层有3个球,第三层有6个球,设第n层有an个球,从上往下n层球的总数为Sn,则( )A.S5=35B.an+1-an=nC.an=n(n+1)2D.1a1+1a2+1a3+1a100=200101听课笔记    自测题2023·哈尔滨九中三模 我国古代数学著作九章算术中有如下问题:“今有蒲(水生植物名)生一日,长三尺.莞(植物名,俗称水葱、席子草)生一日,长一尺.蒲生日自半,莞生日自倍.问几何日而长等?”意思是:今有蒲生长1日,长为3尺;莞生长1日,长为1尺.蒲的生长逐日减半,莞的生长逐日增加1倍.若蒲、莞长度相等,则所需的时间约为日.(结果保留一位小数,参考数据:lg 20.30,lg 30.48) 【规律提炼】 等差数列与等比数列作为两种基本的数列,是解决数列问题的基础.1.掌握并应用两种基本数列通项公式、求和公式的推演与方法;2.掌握利用基本量方法和方程思想解决基本量的计算与利用性质优化求解的方法;3.关注利用数列的变化规律,时刻牢记等差数列与二次函数、等比数列与指数函数的关联性与区别. 1.2023·天津卷 已知an为等比数列,Sn为数列an的前n项和,an+1=2Sn+2,则a4的值为( )A.3B.18C.54D.1522.2020·全国卷 数列an中,a1=2,am+n=aman,若ak+1+ak+2+ak+10=215-25,则k=( )A.2B.3C.4D.53.2022·新高考全国卷 中国的古建筑不仅是挡风遮雨的住处,更是美学和哲学的体现.如图是某古建筑物的剖面图,AA',BB',CC',DD'是桁,DD1,CC1,BB1,AA1是脊,OD1,DC1,CB1,BA1是相等的步,相邻桁的脊、步的比分别为DD1OD1=0.5,CC1DC1=k1,BB1CB1=k2,AA1BA1=k3,若k1,k2,k3是公差为0.1的等差数列,直线OA的斜率为0.725,则k3=( )A.0.75B.0.8C.0.85D.0.94.2023·新课标卷 记Sn为数列an的前n项和,设甲:an为等差数列;乙:Snn为等差数列,则( )A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件5.2023·北京卷 我国度量衡的发展有着悠久的历史,战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”.已知9枚环权的质量(单位:铢)从小到大构成项数为9的数列an,该数列的前3项成等差数列,后7项成等比数列,且a1=1,a5=12,a9=192,则a7=;数列an所有项的和为. 6.2023·全国乙卷 已知an为等比数列,a2a4a5=a3a6,a9a10=-8,则a7=. 微专题6递推数列与数列求和微点1利用构造或者猜想求项或通项 例1 (1) 已知数列an的前n项和为Sn,若a1=2,Sn=Sn+1-3an-2,则S20=( )A.3202B.321-20C.3202-432D.3212-432(2)2023·深圳中学模拟 已知数列an满足a1=-3,anan+1=an-1,则a105= . 听课笔记   自测题 1.已知数列an,若a1+a2n-1=4n-6,则a7=( )A.9B.11C.13D.152.2023·北师大附中模拟 已知Sn是数列an的前n项和,且对任意的正整数n,都满足1an+1-1an=2n+2,若a1=12,则a3=,S2023= . 微点2根据通项特点求和例2 已知数列an的前n项和为Sn,且Sn=12n2+12n+1,nN*.(1)求an的通项公式;(2)若数列bn满足b1a2+b2a3+bnan+1=12×3n+1-32,nN*,求数列bn的前n项和Tn.自测题2023·长郡中学二模 已知各项均为正数的数列an的前n项和为Sn,且a1=1,an=Sn+Sn-1(n2).(1)求数列an的通项公式;(2)设数列an+22nanan+1的前n项和为Tn,求证:Tn<1.微点3递推关系探究 例3 2023·湖南雅礼中学一模 “0,1数列”是每一项均为0或1的数列,在通信技术中应用广泛.设A是一个“0,1数列”,定义数列f(A):数列A中每个0都变为“1,0,1”,A中每个1都变为“0,1,0”,得到的新数列为f(A).例如数列A:1,0,则数列f(A):0,1,0,1,0,1.已知数列A1:1,0,1,0,1,且数列Ak+1=f(Ak),k=1,2,3,记数列Ak的所有项之和为Sk,则Sk+Sk+1=. 自测题1.(多选题)佩尔数列是一个呈指数增长的整数数列,随着项数越来越大,其后一项与前一项的比值越来越接近于一个常数,该常数称为白银比.白银比和三角平方数、佩尔数及正八边形都有关系.记佩尔数列为an,且a1=0,a2=1,an+2=2an+1+an,则( )A.a10=985B.数列an+1-an是等比数列C.an=24(2+1)n-1-(-2+1)n-1D.白银比为2+12.2023·浙江湖州、衢州、丽水三地联考 已知数列1,1,3,1,3,5,1,3,5,7,1,3,5,7,9,其中第一项是1,接下来的两项是1,3,再接下来的三项是1,3,5,以此类推.将该数列前n项的和记为Sn,则使得Sn>400成立的最小正整数n的值是. 【规律提炼】1.求通项公式一般根据递推关系结构(累加法、累乘法、构造法等),求和一般是根据通项公式的特点求和(公式法、分组求和法、倒序相加法、裂项相消法、错位相减法等).2.给出递推关系求an的思路,一般是利用Sn-Sn-1=an(n2)转化为关于an的递推关系再求通项公式;另外一种是转化为Sn与n的递推关系再求an.1.2021·新高考全国卷 某校学生在研究民间剪纸艺术时,发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为20 dm×12 dm的长方形纸,对折1次共可以得到10 dm×12 dm,20 dm×6 dm两种规格的图形,它们的面积之和S1=240 dm2,对折2次共可以得到5 dm×12 dm,10 dm×6 dm,20 dm×3 dm三种规格的图形,它们的面积之和S2=180 dm2,以此类推.则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为;如果对折n次,那么k=1nSk=dm2. 2.2022·新高考全国卷 记Sn为数列an的前n项和,已知a1=1,Snan是公差为13的等差数列.(1)求an的通项公式;(2)证明:1a1+1a2+1an<2.微专题7数列中的双数列问题微点1奇偶交叉问题 例1 2023·新课标卷 已知an为等差数列,bn=an-6,n为奇数,2an,n为偶数.记Sn,Tn分别为数列an,bn的前n项和,S4=32,T3=16.(1)求an的通项公式;(2)证明:当n>5时,Tn>Sn.【规律提炼】对于数列的交叉递推关系,一般利用已知的关系得到奇数项的递推关系或偶数项的递推关系,再结合已知数列的通项公式、求和公式等来求解问题.自测题2023·山西怀仁一中二模 已知数列an满足a1=3,且an+1=2an,n是偶数,an-1,n是奇数.(1)设bn=a2n+a2n-1,证明:bn-3是等比数列;(2)设数列an的前n项和为Sn,求使得不等式Sn>2023成立的n的最小值.微点2 插项、去项、公共项问题例2 2023·哈师大附中三模 已知数列bn的前n项和为Sn,满足2Sn=3(bn-1),在等差数列cn中,c1=5,c1+c2+c3=27.(1)求bn和cn的通项公式;(2)数列bn与cn的公共项由小到大排列组成新数列an,求数列an的前20项积T20.自测题1.2023·山东菏泽二模 设数列an是以12为首项,12为公比的等比数列.在a1和a2之间插入1个数x11,使a1,x11,a2成等差数列;在a2和a3之间插入2个数x21,x22,使a2,x21,x22,a3成等差数列;在an和an+1之间插入n个数xn1,xn2,xnn,使an,xn1,xn2,xnn,an+1成等差数列.则x22=;令Sn=x11+x21+x22+xn1+xn2+xnn,则43Sn=. 2.2023·湖南怀化二模 已知Sn为数列an的前n项和,a2=5,Sn+1=Sn+an+4.bn是等比数列,b2=9,b1+b3=30,公比q>1.(1)求数列an,bn的通项公式;(2)数列an和bn的所有项分别构成集合A,B,将AB中的元素按从小到大的顺序依次排列构成一个新数列cn,若T20=c1+c2+c3+c20,求T20的值.微点3关联数列问题例3 已知数列an与bn的前n项和分别为An和Bn,且对任意nN*,an+1-an=32(bn+1-bn)恒成立.(1)若An=3n2+3n2,b1=2,求Bn;(2)若对任意nN*,都有an=Bn,且b2a1a2+b3a2a3+b4a3a4+bn+1anan+1<13恒成立,求正整数b1的最小值.自测题2023·广东佛山一中一模 已知数列an的前n项和为Sn,数列bn为等差数列,且满足a1=-1,a2+b3=0,Sn=2an+bn(nN*).(1)求数列an和bn的通项公式;(2)若c1=b1,c2n=c2n-1+b1,c2n+1=c2n+an,求数列cn的前2n项和T2n. 1.2021·新高考全国卷 已知数列an满足a1=1,an+1=an+1,n为奇数,an+2,n为偶数.(1)记bn=a2n,写出b1,b2,并求数列bn的通项公式;(2)求an的前20项和.2.2023·新课标卷 设等差数列an的公差为d,且d>1.令bn=n2+nan,记Sn,Tn分别为数列an,bn的前n项和.(1)若3a2=3a1+a3,S3+T3=21,求an的通项公式;(2)若bn为等差数列,且S99-T99=99,求d.(1)数列作为一类特殊的函数,考查数列背景下的函数问题;(2)数列呈现了数之间的关系,考查以数列为背景的综合性问题;(3)在取值范围、不等式证明问题中,结合不等式或函数性质等知识综合考查.交汇一数列与不等式的交汇问题例1 (1)2023·河北衡水中学模拟 已知等比数列an的各项均为正数,a5116,且存在mN*,使得am+2+2am=1,则a1的最小值为. (2)2023·广东茂名一中三模 黎曼猜想由数学家波恩哈德·黎曼于1859年提出.黎曼猜想研究的对象是类似于(n)=n=1+n-s=11s+12s+13s+的无穷级数,我们经常从无穷级数的部分和11s+12s+13s+1ns入手.已知x表示不超过x的最大整数,如-3.5=-4,2=2,请你回答以下问题:112+122+132+1102=. 已知各项均为正数的数列an的前n项和为Sn,且满足Sn=12an+1an,则1S1+1S2+1S3+1S2023=. 听课笔记   自测题2023·吉林长春模拟 已知数列an是公差为正数的等差数列,且a1+a3=10,a2=4.(1)求an的通项公式;(2)求证:i=1n1ai+ai+1<n2n+2.交汇二数列与函数的交汇问题例2 2023·济宁三模 已知函数y=f(x)(xR)满足f12=33,fn+12=3·fn2(nN*).若an=log3f(n),函数g(x)=2x3-3x2+2,则ga12023+ga22023+ga32023+ga20242023=( )A.3036B.3034C.3032D.3030听课笔记    自测题(多选题)2023·湖南常德一中模拟 已知函数fn(x)=sin2nx+cos2nx(nN*),记fn(x)的最小值为an,下列说法正确的是( )A.对任意的正整数n,函数fn(x)的图象都关于直线x=4对称B.a1+a2+a3=78C.i=1nln(1+ai)<2D.设bn=n·an,Sn为bn的前n项和,则Sn<22-4bn+2交汇三数列与几何的交汇问题例3 2023·邯郸二模 若数列an从第二项起,每一项与前一项的差构成等差数列,则称数列an为二阶等差数列.某数学小组在数学探究课上,用剪刀沿直线剪一圆形纸片,将剪n(nN*)刀最多可以将圆形纸片分成的块数记为bn,经实际操作可得b1=2,b2=4,b3=7,b4=11,.根据这一规律,得到二阶等差数列bn,则b8= ;若bm=1276,则m=. 听课笔记    自测题1.2023·山东淄博三模 如图,阴影正方形的边长为1,以其对角线长为边长,各边均经过阴影正方形的顶点,作第2个正方形;然后再以第2个正方形的对角线长为边长,各边均经过第2个正方形的顶点,作第3个正方形;依此方法一直继续下去.若视阴影正方形为第1个正方形,第n个正方形的面积为an,则n=12023(log2an·cos n)=( )A.1011B.-1011 C.1012D.-1012 2.2023·福州一中模拟 数列an中,an>1(nN*),点(an,an+1) 在双曲线2y2-x2=1上.若an+2-an+1>(an+1-an)恒成立,则实数的取值范围为( )A.12,+B.12,+C.22,+D.(1,+)