2024届邕衡金卷·名校联盟柳州高中、南宁三中一轮复习诊断性联考数学试题含答案.pdf

数学试题 第 1 页（共 4 页）邕衡金卷名校联盟 柳州高中、南宁三中2024届一轮复习诊断性联考 数 学 注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合 A=1,3,4，集合 B=2,3,4,6，则如图中的阴影部分表示（）A 3,4 B1 C2,6 D1,2,3,4,6 2已知命题 p：xR，lg3xx+，则 p 为（）A,lg3xRxx+B,lg3xRxx+100 的 n 的最小值是（）A 8 B7 C6 D5 8某同学参加学校组织的数学知识竞赛，在 5 道四选一的单选题中有 3 道有思路，有 2 道完全没有思路，有思路的题目每道做对的概率为12，没有思路的题目只好任意猜一个答案若从这 5 道题目中任选 2 题，则该同学 2 道题目都做对的概率为（）A14 B732 C316 D532 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分 9若复数 z 满足 zi=1i，则下列命题正确的有（）A z 的虚部是1 B|z|=2 Cz2=2 Dz 是方程 x2+2x+2=0 的一个根 10在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称 为“简 谐 运 动”在 适 当 的 直 角 坐 标 系 下，某 个 简 谐 运 动 可 以 用 函 数()()()sin0,0,f xAxA=+的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A 2=，频率为1，初相为6 B函数()fx的图象关于直线6x=对称 C函数()fx在13,1224上的值域为0,2 D若把()fx图像上所有点的横坐标缩短为原来的23倍，纵坐标不变，再向左平移12个单位，则所得函数是2sin 312yx=+数学试题 第 3 页（共 4 页）11在边长为 2 的正方体1111ABCDA BC D中，动点 M 满足1AMxAByADzAA=+，（,x y zR且0,0,0 xyz)，下列说法正确的是（）A 当1,0,0,14xzy=时，1B MMD+的最小值为13 B当11,2xyz=时，异面直线 BM 与 CD1所成角的余弦值为105 C当1xyz+=，且2 53AM=时，则 M 的轨迹长度为4 23 D当1,0 xyz+=时，AM 与平面 AB1D1所成角的正弦值的最大值为63 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分 12已知向量()()1,3,1am b=若()2ab/()2ab+，则实数 m 的值为 .13已知511()(2)axxxx+（a 为常数）的展开式中所有项的系数和为 32，则展开式中 x2的系数为 （用数字作答）.14已知数列 1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，其中第一项是 20，接下来的两项是 20，21，再接下来的三项是 20，21，22，依此类推，若该数列的前 n 项和为 Sn，若 log2(Sn)Z，n N*，则 称(n,log2(Sn)为“好 数 对”，如 log2(S1)=log220=0，log2(S2)=log221=1,则(1,0)，(2,1)都是“好数对”，当66n时，第一次出现的“好数对”是 .四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.（13 分）记ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c，已知sinsinsinsinabACABc=+（1）求角 B 的大小；（2）若 b=2，求ABC 周长的最大值 16.（15 分）某校为了丰富学生课余生活，体育节组织定点投篮比赛为了解学生喜欢篮球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各 100 名进行调查，部分数据如表所示：喜欢篮球 不喜欢篮球 合计 男生 40 女生 30 合计 数学试题 第 4 页（共 4 页）（1）根据所给数据完成上表，依据小概率值0.001=的2独立性检验，能否据此推断该校学生喜欢篮球与性别有关？（2）篮球指导老师从喜欢篮球的学生中抽取了2名男生和1名女生进行投篮示范已知这两名男生投进的概率均为34，这名女生投进的概率为23，每人投篮一次，假设各人投篮相互独立，求 3 人投进总次数 X 的分布列和数学期望.附：22()()()()()n adbcab cdac bd=+0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 x 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17.（15 分）在如图所示的五面体 ABCDEF 中，ABEF 共面，ADF 是正三角形，四边形 ABCD为菱形，ABC=23，EF平面 ABCD，AB=2EF=2，点 M 为 BC 中点.（1）证明：EM平面 BDF；（2）已知 EM=2，求平面 BDF 与平面 BEC 所成二面角的正弦值.18.（17 分）已知函数()ln,()(1)e1()x af xxaxa g xxaxaR=+=+.（1）若()0fx，求 a 的值；（2）当(0,1a时，证明：()()g xfx.19.（17 分）已知曲线2:4xy=.（1）若点(),T t s是上的任意一点，直线:2tl yxs=，判断直线l与的位置关系并证明.（2）若 E 是直线1y=上的动点，直线 EA 与相切于点 A，直线 EB 与相切于点 B.试问AEB 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.若直线 EA，EB 与 x 轴分别交于点 C，D，证明：|EBABECCD=.邕衡金卷邕衡金卷 名校联盟名校联盟柳州高中、南宁三中2024届一轮复习诊断性联考柳州高中、南宁三中2024届一轮复习诊断性联考数学数学注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合A=1,3,4，集合B=2,3,4,6，则如图中的阴影部分表示()A.3,4B.1C.2,6D.1,2,3,4,6【答案】C【详解】因为韦恩图中的阴影部分表示的是属于B不属于A的元素组成的集合，又A=1,3,4，B=2,3,4,6，所以韦恩图中的阴影部分表示的集合是 2,6.故选：C.2.已知命题p：xR,xlg+x3，则p为()A.xR,xlg+x3B.xR,xlg+x3C.xR,xlg+x3D.xR,xlg+x3【答案】A【详解】命题 p是存在量词命题，所以p是“xR,lgx+x100的n的最小值是()A.8B.7C.6D.5【答案】C【详解】依题意，an+1+anan+1-an=a2+a1a2-a1=2，得an+1an=3，则数列 an是首项为1，公比为3的等比数列，所以an=13n-1=3n-1，检验知，当n6时，36-1=243100成立，所以n的最小值是6.故选：C.8.某同学参加学校组织的数学知识竞赛，在5道四选一的单选题中有3道有思路，有2道完全没有思路，有思路的题目每道做对的概率为12，没有思路的题目只好任意猜一个答案.若从这5道题目中任选2题，则该同学2道题目都做对的概率为(）A.14B.732C.316D.532【答案】D【详解】若该同学从中选到2道有思路的，则都做对的概率为(12)2=14，若该同学从中选到 1道有思路的和1道完全没有思路的，则都做对的概率为1214=18,若该同学从中选到2道完全没有思路的，则都做对的概率为(14)2=116所以由全概率公式，若从这5道题目中任选2题，则该同学2道题目都做对的概率为C23C2514+C13C12C2518+C22C25116=31014+61018+110116=340+340+1160=25160=532故选：D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9.若复数z满足zi=1-i,则下列命题正确的有()A.z的虚部是-1B.z=2C.z2=2D.z是方程x2+2x+2=0的一个根【答案】ABD【详解】zi=1-iz=-1-i，故A,B正确;z2=(-1-i)2=2i，故C错误;而(-1-i)2+2(-1-i)+2=0成立，故D正确。故选：ABD10.在物理学中，把物体受到的力(总是指向平衡位置)正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”在适当的直角坐标系下，某个简谐运动可以用函数 f(x)=Asin(x+)(A0,0,|)的部分图象如图所示，则下列结论正确的是()A.=2,频率为1，初相为6B.函数 f(x)的图象关于直线x=-6对称C.函数 f(x)在12,1324上的值域为0,2D.若把 f(x)图像上所有点的横坐标缩短为原来的23倍，纵坐标不变，再向左平移12个单位，则所得函数是y=2sin 3x+12【答案】BCD【详解】由图象可得 A=2,34T=1312-3=34，T=，频率是1T=1，=2=2，f(3)=2，f(3)=2sin23+=2，即 sin23+=1，23+=2k+2(k Z)，=2k-6(k Z)，|，=-6，f(x)=2sin 2x-6，初相是-6,故A错误；f(-6)=2sin-3-6=-2,故B正确；因为x12,1324,所以2x-6 0,1112 f(x)=2sin 2x-6在12,1324上的值域为0,2，故C正确；把 f(x)的横坐标缩短为原来的23倍，纵坐标不变，得到的函数为y=2sin 3x-6，又向左平移12个单位，得到的函数为y=2sin 3 x+12-6=2sin(3x+12)，故D正确；故选：BCD11.在边长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，动点M满足AM=xAB+yAD+zAA1,(x,y,zR且x0,y0,z0)，下列说法正确的是()A.当x=14,z=0,y0,1时，B1M+MD的最小值为13B.当x=y=1,z=12时，异面直线BM与CD1所成角的余弦值为105C.当x+y+z=1，且AM=2 53时，则M的轨迹长度为4 23D.当x+y=1,z=0时，AM与平面AB1D1所成角的正弦值的最大值为63【答案】AD【详解】对于A，在AB上取点H，使AH=14AB，在DC上取点K，使DK=14DC，因为AM=xAB+yAD，x=14，y 0,1，所以M点在线段HK上，将平面B1HKC1与平面AHKD沿着HK展开到同一平面内，如图1所述，连接B1D，交于HK于点P，此时B1,P,D三点共线，B1P+PD取得最小值，由勾股定理得B1H=22+322=52，则AB1=52+12=3，B1D=22+32=13，所以A正确。对于B，因为x=y=1,z=12，所以M为CC1的中点，连接BM，取C1D1中点N，连接MN,BN,所以BMN为异面直线BM与CD1所成角(或其补角)，易得MN=2,BM=5,BN=3,所以由余弦定理得：cosBMN=(5)2+(2)2-322 5 2=-1010,所以异面直线BM与CD1所成角的余弦值为1010，所以B错误。对于C，当x+y+z=1时，可得点M的轨迹在A1BD内(包括边界)易知AC1平面A1BD，设AC1与平面A1BD相交于点P由于VA-A1BD=VA1-ABD=43，则点A到平面A1BD的距离为AP=431334(2 2)2=2 33若AM=2 53，则MP=2 23，即点M的轨迹是以P为圆心，2 23为半径的圆，如图所示，法一：圆心P到A1EP三边距离为630，由余弦定理得x2+83-2x2 6332=89，解得A1E=2 23=PE，则A1PE=EA1P=6，所以M的轨迹长度为662 23=2 23，故C错误对于D，因为B1D1BD，BD平面AB1D1，因为MBD，点M到平面AB1D1的距离等于点B到平面AB1D1的距离，设点B到平面AB1D1的距离d，则VB-AB1D1=VD1-ABB1，VD1-ABB1=13SABB1A1D1=1312222=43易知AB1D1是边长为2 2 的等边三角形，则SAB1D1=34 2 22=2 3，由VB-AB1D1=13SAB1D1d=132 3d=43，解得d=2 33，因为AM=xAB+yAD,x+y=1，所以M在线段BD上运动，则当点M为线段BD的中点时，AM取最小值2，设直线AM与平面AB1D1所成角为，则sin=dAM=2 33AM2 332=63，D对.故选：AD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12.已知向量a=1,m,b=3,-1.若 2a-b a+2b，则实数m的值为.【答案】-13【详解】因为a=1,m,b=3,-1，所以2a-b=-1,2m+1,a+2b=7,m-2.又 2a-b a+2b，所以-m-2-7 2m+1=0，解得m=-13.故答案为：-13.13.已知 ax+1x52x-1x(a为常数)的展开式中所有项的系数和为32，则展开式中x2的系数为(用数字作答)【答案】15【详解】令x=1，则 a+15=32，即a=1，则对 x+1x5，有Tk+1=Ck5x5-k1xk=Ck5x5-2k，令5-2k=1，即k=2，有T3=C25x=10 x，即有T32x=20 x2，令5-2k=3,即k=1，有T2=C15x3=5x3，即有T2-1x=-5x2,故展开式中x2的系数为1514.已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是 20，21，22，依此类推，若该数列的前 n 项和为 Sn,若2(Snlog)Z,n N N*,则称(n,2(Snlog)为“好数对”，如2(S1log)=220log=0，2(S2log)=221log=1,则(1,0),(2,1)都是“好数对”，当n66时，第一次出现的“好数对”是.【答案】(95,14)【详解】若2(Snlog)Z,则Sn为2的整数幂，将数列排成如下的形式11，21，2，41，2，4，8第k行为：20，21，2k-1，第k行和为1(1-2k)1-2=2k-1，该数列前1+2+3+k=k(k+1)2项的和为Sk(k+1)2=(21-1)+(22-1)+(2k-1)=2k+1-k-2令k(k+1)266,k11,此时k+210.828=x0.001，6分根据小概率值=0.001的独立性检验，推断H0不成立，即认为该校学生喜欢篮球与性别有关。7分(2)依题意，X的可能值为0,1,2,3，8分P(X=0)=1-342 1-23=148，9分P(X=1)=C12341-34 1-23+1-34223=16，10分P(X=2)=C12341-3423+342 1-23=716，11分P(X=3)=34223=38，12分所以X的分布列为：X0123P1481671638数学期望E(X)=0148+116+2716+338=136.15分17.（15 分）在如图所示的五面体 ABCDEF 中，ABEF 共面，ADF 是正三角形，四边形 ABCD 为菱形，ABC=23,EF平面ABCD,AB=2EF=2，点M为BC中点.(1)证明：EM平面BDF；(2)已知EM=2，求平面BDF与平面BEC所成二面角的正弦值.【详解】(1)连接AC交BD于点O，连接OM,OF，又EF平面ABCD,EF平面ABEF，平面ABCD平面ABEF=AB，故EFAB,3分O为AC的中点，点M为BC中点，则OMABEF，OM=12AB=EF，故四边形OMEF为平行四边形，则EMOF，5分EM平面BDF，OF平面BDF，故EM平面BDF；6分法二：取CD的中点G，连接GM,GE，又EF平面ABCD,EF平面ABEF，平面ABCD平面CDEF=CD，故CDEF.3分又G为CD的中点，则DGEF,故四边形DGEF为平行四边形,则DFGE,GE平面BDF,DF平面BDF,故EG平面BDF；点M为BC中点，则GMBD,GM平面BDF,BD平面BDF,故GM平面BDF；EGGM=M,EG,GM平面EMG，故平面EMG平面BDF 5分又EM面EMG,EM平面BDF 6分(2)由(1)可知，OF=EM=2，取AD中点N，连接FN,ON,BN，在ONF中，FN=3,ON=1,OF=2，则FN2+ON2=OF2，所以ONFN，因为ADF是正三角形，所以ADFN，又ADON=N,AD,ON平面ABCD，则FN平面ABCD，BN平面ABCD，故FNBN；因为ABD是正三角形，所以BNAD，因为ADFN=N,AD,FN平面ADF，所以BN平面ADF，以N为原点，分别以NA,NB,NF所在直线为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系N-xyz，8分则A(1,0,0),B(0,3,0),C(-2,3,0),E-12,32,3，F(0,0,3),D(-1,0,0),则CB=(2,0,0),CE=32,-32,3,AB=(-1,3,0)，9分设平面BEC的法向量为m=(x,y,z)，则mCB=0mCE=0，即2x=032x-32y+3z=0，令z=1，则y=2，故m=(0,2,1)，11分BD=(-1,-3,0),DF=(1,0,3),设平面BDF的法向量为n=(a,b,c)，则nBD=0nDF=0，即-a-3b=0a+3c=0，令a=3，得平面BDF的法向量n=3,-1,-1，13分故cosm,n=mn|m|n|=-2-15 5=-35，由于平面BDF与平面BEC所成二面角为 0,，则 cos=35，所以平面BDF与平面BEC所成二面角的正弦值为sin=1-cos2=45.15分18.（17分）已知函数 f x=lnx-ax+a,g(x)=x-1ex-a-ax+1 aR.(1)若 f x0,求a的值；(2)当a 0,1时，证明：g(x)f x.【答案】(1)a=1;(2)见详解。【详解】(1)法一;f 1=0，f x0=f 11分0是 f(x)的最大值点，故也是 f(x)的极大值点，f(1)=0 3分又 f(x)=1x-a,f(1)=1-a=0a=1是 f x0的必要条件 5分下证充分性：当a=1时 f x0恒成立当a=1时，f x=lnx-x+1,f(x)=1x-1=1-xx，当x 0,1时，f(x)0；当x 1,+时，f(x)0,f(x)在(0,+)上单调递增,当x(1,+)时,f(x)f(1)=0,不符合题意;3分当0a1由 f(x)0,得x(0,1a),则 f(x)在(0,1a)上单调递增,所以 f(1a)f(1)=0,不符合题意;4分当a=1时,由 f(x)0,得x(0,1),则 f(x)在(0,1)上单调递增,由 f(x)1时,1a1,由 f(x)f(1)=0,不符合题意.6分综上所述,a=1.7分法三：由题意得xlna(x-1),x0.当x=1时，xln=a(x-1)恒成立，aR；1分当x1时，axlnx-1,2分令F(x)=xlnx-1,F(x)=x-1-xxlnx(x-1)2,令m(x)=x-1-xxln,当x1时，m(x)=-xln0,m(x)在(1,+)上单调递减，m(x)m(1)=0,F(x)0,F(x)在(1,+)上单调递减，由洛必达法则：limx1+xlnx-1=limx1+1x=1-,所以F(x)1,a1；4分当0 x1时，m(x)=-xln0,m(x)在(0,1)上单调递增，m(x)m(1)=0,F(x)1,所以a1；6分综上所述，a=1.7分(2)法一：要证g(x)f x即证g x-f(x)0.8分记h x=g x-f(x)=x-1ex-a-lnx+1-a x0，所以hx=xex-a-1x，9分令 x=xex-a-1x，x 0,+，所以x=1+xex-a+1x20，所以 x即hx在 0,+上单调递增.10分又a 0,1，h12=12e12-a-20，h1=e1-a-10，x012,1，使得hx0=0，即x0ex0-a=1x0，所以ex0-a=1x20，x0-a=-2lnx0，11分所以当x 0,x0，hx0，h x单调递增，所以h xmin=h x0=x0-1ex0-a-lnx0+1-a=x0-1x20-3lnx0-x0+1.13分由(1)知lnxx-1，故-lnx0-x0-1，15分所以h x0 x0-1x20-3 x0-1-x0+1=1-x02x0-12x0+1x20.16分又x012,1，所以h x00,故原不等式得证。17分法二：要证g(x)f x即证g x-f(x)0.8分记h x=g x-f(x)=x-1ex-a-lnx+1-a x0，所以hx=xex-a-1x，9分令 x=xex-a-1x，x 0,+，所以x=1+xex-a+1x20，所以 x即hx在 0,+上单调递增.10分又a 0,1，h12=12e12-a-20，h1=e1-a-10，x012,1，使得hx0=0，即x0ex0-a=1x0，所以ex0-a=1x20，x0-a=-2lnx0，11分所以当x 0,x0，hx0，h x单调递增，所以h xmin=h x0=x0-1ex0-a-lnx0+1-a=x0-1x20-3lnx0-x0+1.13分记t(x)=x-1x2-3lnx-x+1(x12,1),t(x)=-1x2+2x3-3x-1=-(x+2)(x2+x-1)x315分x(12,5-12)时，x2+x-10,，x(5-12,1)时，x2+x-10,t(x)0,t(1)=0,x12,1时，t(x)0,h xmin=h x00故h x0，原不等式得证 17分法三：主元法要证g(x)f x即证g x-f(x)0.8分记h x=g x-f(x)=x-1ex-a-lnx+1-a x0,以a为主元，记u(a)=x-1exe-a-a-lnx+1 0a110分u(a)=-x-1exe-a-1=-ea-x-1exea记p(a)=-ea-x-1ex,p(a)在0a1单调递减，故p(a)p(0)=-1-(x-1)ex12分记q(x)=-1-(x-1)ex,q(x)=-xex0,q(x)在(0,+)上递减，又q(x)q(0)=0,p(a)0u(a)0,Q(x)在(0,+)上递增，又Q(1)=0 x(0,1)时Q(x)0,Q(x)在(0,1)上递减，在(1,+)上递增Q(x)Q(1)=0,原不等式得证.17分19.（17分）已知曲线:x2=4y.(1)若点T(t,s)是上的任意一点,直线l:y=t2x-s,判断直线l与的位置关系并证明.(2)若E是直线y=-1上的动点,直线EA与相切于点A,直线EB与相切于点B.试问AEB是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.若直线EA,EB与x轴分别交于点C,D证明:|EB|EC|=|AB|CD|(1)将y=t2x-s代人x2=4y,得x2-2tx+4s=0.2分=4t2-16s=0,3分直线l与相切4分(2)法一：设A(x1,x124),B(x2,x224),由（1）知切线AE为y=x12x-x124,BE为y=x22x-x224,5分联立得yE=x1x24,7分又E在直线y=-1上，故x1x24=-1,8分kAEkBE=x12x12=x1x24=-1,9分故EAEB,故AEB=90 10分设A x1,y1,B x2,y2,直线AB的斜率为K,倾斜角为,则K=tan=y2-y1x2-x1=x224-x214x2-x1=x1+x2411分不妨设直线EA的斜率k10,倾斜角为1,直线EB的斜率k20,倾斜角为1,直线EB的斜率k20,倾斜角为2,所以tanECD=tan1=k1,13分tanEBA=tan-2=tan-tan21+tantan2=m2-k21+mk22=m-2k22+mk2,所以tanEBA-tanECD=m-2k22+mk2-k1=m-2k2-k12+mk22+mk2=2m-2m2+mk2=0,则tanEBA=tanECD,所以EBA=ECD,15分又EAEB,所以 RtEBARtECD,所以|EB|EC|=|AB|CD|,得证.17分