江苏省南通市2024届高三第二次调研测试数学试题含答案.pdf

扫描全能王 创建#QQABSYSAogAoQBBAAQgCQwlaCgGQkAECCIoOBBAMMAAAyQNABCA=#扫描全能王 创建#QQABSYSAogAoQBBAAQgCQwlaCgGQkAECCIoOBBAMMAAAyQNABCA=#扫描全能王 创建#QQABSYSAogAoQBBAAQgCQwlaCgGQkAECCIoOBBAMMAAAyQNABCA=#扫描全能王 创建#QQABSYSAogAoQBBAAQgCQwlaCgGQkAECCIoOBBAMMAAAyQNABCA=#参考答案与评分建议 第 1 页（共 11 页）2024 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。1 已知单位向量 e1，e2的夹角为 120，则(2e1 e2)e2B0 C1 D2【答案】A 2 在正方体 ABCDA1B1C1D1中，下列关系正确的是 ADB1CBA1DBD CAC1A1C DAC1CD1【答案】D 3 一组样本数据删除一个数后，得到一组新数据：10，21，25，35，36，40若这两组数据的中位数相等，则删除的数为 A25 B30 C35 D40 【答案】B 4 已知函数 f(x)223()32xxxxfx，则 f(2log 9)83B103 C809 D829【答案】B 5 设 x 0，y 0，1xy 2，则 x 1y的最小值为 32B2 2 C322 D【答案】C 6 若函数 f(x)e ax+2 x 有大于零的极值点，则实数 a 的取值范围为 Aa 2 Ba 12 Ca 2 Da 12【答案】C 7 设抛物线 C：y 2 4x 的焦点为 F，C 的准线与 x 轴交于点 A，过 A 的直线与 C 在第一 参考答案与评分建议 第 2 页（共 11 页）象限的交点为 M，N，且|FM|3|FN|，则直线 MN 的斜率为 A32 B12 C33 D23 【答案】A 8 若 cos，cos(6)，cos(3)成等比数列，则 sin2 A34 B63 C31 D41【答案】B 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。9 已知双曲线 C：22214yxb(b 0)的右焦点为 F，直线 l：x b y 0 是 C 的一条渐近线，P 是 l 上一点，则 AC 的虚轴长为2 2 BC 的离心率为6 C|PF|的最小值为 2 D直线 PF 的斜率不等于22 【答案】AD 10已知 P(A)15，P(B|A)14若随机事件A，B相互独立，则 AP(B)13 BP(AB)120 CP(-A|B)45 DP(A-B)45 【答案】BCD 11已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，f(x)的图象关于点(2，0)对称，g(0)g(2)1，g(x y)g(x y)g(x)f(y)，则 Af(x)为偶函数 Bg(x)为偶函数 Cg(1 x)g(1 x)Dg(x)g(x)【答案】ACD 参考答案与评分建议 第 3 页（共 11 页）三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。12设mR，i 为虚数单位若集合A 1，2m (m 1)i，B 2i，1，2，且AB，则 m 【答案】1 13在ABC 中，AB 7，AC 1，M 为 BC 的中点，MAC，则 AM 【答案】3214若正四棱锥的棱长均为 2，则以所有棱的中点为顶点的十面体的体积为，该十面体的外接球的表面积为【答案】5 26；4四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15（13 分）甲公司推出一种新产品，为了解某地区消费者对新产品的满意度，从中随机调查了 1 000 名消费者，得到下表：（1）能否有95%的把握认为消费者对新产品的满意度与性别有关；（2）若用频率估计概率，从该地区消费者中随机选取 3 人，用 X 表示不满意的人数，求 X 的分布列与数学期望 附：K 2 2()()()()()n adbcabcdacbd，n a b c d.P(K2k)0.1 0.05 0.01 k 2.706 3.841 6.635 解：（1）根据题意，知 K 2 2()()()()()n adbcabcdacbd21000(4404060460)500500900 100 2 分 4093.841，所以有 95%的把握认为消费者对新产品的满意度与性别有关 5 分 满意 不满意 男 440 60 女 460 40 参考答案与评分建议 第 4 页（共 11 页）（2）X的可能取值为 0，1，2，3，且1(3)10XB，7 分 则X的分布列为：39729(0)()101000P X，12319243(1)C()10101000P X，2231927(2)C()10101000P X，311(3)()101000P X 11分 所以 X的数学期望3()10E X 13 分 16（15 分）设函数 f(x)sin(x)(0，0)已知 f(x)的图象的两条相邻对称轴间的距离为2，且f(4)12（1）若 f(x)在区间(0，m)上有最大值无最小值，求实数 m 的取值范围；（2）设l 为曲线yf(x)在x 6处的切线，证明：l 与曲线yf(x)有唯一的公共点 解：（1）因为 f(x)的图象的两条相邻对称轴间的距离为2，所以f(x)的周期为，即2，解得2 2 分 又f(4)12，故1sin()22，即1cos2，又 0，故3 此时()sin(2)3f xx 4 分 因为函数 f(x)在区间(0，m)上有最大值无最小值，所以32232m，解得71212m 7 分（2）由（1）知，6()0f，()2cos(2)3fxx，则()26f 所以 l 的方程为2()6yx 10 分 参考答案与评分建议 第 5 页（共 11 页）记()sin(2)2()36p xxx，则()2cos(2)203p xx，故()p x单调递减 13 分 又6()0p，故()p x有唯一零点6所以 l 与曲线yf(x)有唯一的公共点 15 分 17（15 分）如图，边长为 4 的两个正三角形 ABC，BCD 所在平面互相垂直，E，F 分别为 BC，CD的中点，点 G 在棱 AD 上，AG 2GD，直线 AB 与平面 EFG 相交于点 H（1）从下面两个结论中选一个证明：BD/GH；直线 HE，GF，AC 相交于一点；注：若两个问题均作答，则按第一个计分（2）求直线 BD 与平面 EFG 的距离 证明：选因为E，F分别为BC，CD的中点，所以EFBD 2 分 又BD平面EFG，EF平面EFG，所以BD平面EFG 4 分 又BD平面ABD，平面ABD 平面EFGGH，所以BDGH 6分 选在ACD中，2AGGD，F为CD中点，所以GF与AC不平行 2 分 设GFACK，则KAC，KGF又AC 平面ABC，FG平面EFG，所以K 平面ABC，K 平面EFG 4 分 又平面ABC 平面EFGHE，所以KHE，所以 HE，GF，AC 相交于一点 6 分 AB C D E F G H A B C D E F G H K 参考答案与评分建议 第 6 页（共 11 页）（2）解：若第（1）问中选，由（1）知，BD平面EFG 所以点B到平面EFG的距离即为BD与平面EFG的距离 7 分 若第（1）问中选，因为E，F分别为BC，CD的中点，所以EFBD 又BD平面EFG，EF平面EFG，所以BD平面EFG 所以点B到平面EFG的距离即为BD与平面EFG的距离 7 分 连接EA，ED，因为ABC，BCD均为正三角形，E为BC的中点，所以EABC，EDBC 又平面ABC平面BCD，平面ABC 平面BCDBC，AE平面ABC，所以AE 平面BCD，又ED 平面BCD，所以EAED 9 分 以EB，ED，EA 为基底建立如图所示空间直角坐标系，则(200)B，(130)F ，4 32 3(0)33G，(200)EB，(130)EF ，4 32 3(0)33EG，设平面EFG的一个法向量为()xyz，n，则00nnEFEG，即304 32 3033xyyz，不妨取(312)，n 12 分 设点B到平面EFG的距离为d，则|2 36|28nnEBd，所以BD与平面EFG的距离为62 15 分 A B C D E F G H z x y 参考答案与评分建议 第 7 页（共 11 页）18（17 分）已知数列 an 的前 n 项和为 Sn，14nnnSaa，a11（1）证明：数列 2an 1an 为等比数列；（2）设 bn4(1)nan n，求数列 bn 的前 n 项和；（3）是否存在正整数 p，q(p 6 q)，使得 Sp，S6，Sq成等差数列？若存在，求p，q；若不存在，说明理由 解：（1）当1n时，1124Saa，故20a 当2n时，14nnnSaa，114nnnSaa，1144nnnnnaaaaa，即1144nnnaaa 2 分 所以112(2)2nnnnaaaa 又21210aa，所以n N，120nnaa，所以112122nnnnaaaa，所以12nnaa是以1为首项，12为公比的等比数列 4 分（2）由（1）得，11122nnnaa 所以11221nnnnaa，所以122nnan，解得122nnna 7 分所以31211182(1)22(1)nnnnnbn nnn 所以 bn 的前n项和为：21111111(1)()822222322(1)nnnn31182(1)nn 10 分 参考答案与评分建议 第 8 页（共 11 页）（3）由（1）知，11214222nnnnnnnS 因为6pqSSS，成等差数列，所以51112222pqpq，整理得31622pqpq 12 分 因为31622pqpq，所以3162pp 又16p，p*N，经检验，只能5p 14 分 所以5332162qq，故1322qq 令2nnnd，则11102nnnndd，所以12345ddddd因为8132d，所以8q 所以存在5p，8q，使得 Sp，S6，Sq成等差数列 17 分 19（17 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆：22221yxab(a b 0)的离心率为63，直线l 与相切，与圆 O：x 2 y 2 3a 2相交于 A，B 两点当 l 垂直于 x 轴时，|AB|2 6（1）求的方程；（2）对于给定的点集 M，N，若 M 中的每个点在 N 中都存在距离最小的点，且所有最小距离的最大值存在，则记此最大值为 d(M，N)（i）若 M，N 分别为线段 AB 与圆 O，P 为圆 O 上一点，当PAB 的面积最大时，求 d(M，N)；（ii）若 d(M，N)，d(N，M)均存在，记两者中的较大者为 H(M，N)已知 H(X，Y)，H(Y，Z)，H(X，Z)均存在，证明：H(X，Z)H(Y，Z)H(X，Y)解：（1）因为当l垂直于x轴时，|AB|2 6,所以2236aa，解得3a 2分 参考答案与评分建议 第 9 页（共 11 页）又因为椭圆的离心率为的63，所以22263caabc，解得1b，所以的方程为2213xy 4分（2）（）法1：当l的斜率存在时，不妨设l的方程为：ykxm，与椭圆联立，消去y得，222316330kxkmxm因为直线l与椭圆相切，所以22264 31 330kmkm，整理得，2231mk 6分 因为圆心O到直线l的距离21mdk，所以222222312313)111mkdkkk，即13)d，7分 设PAB的面积为S，则211332 922SdABdd333dd 设 333f ddd，13d，则 22332fddd当312d 时，0fd，所以 f d单调递增；当332d时，0fd，所以 f d单调递减所以32d 时，f d取得最大值，此时max27 34S 9分 当l的斜率不存在时，由（1）知，1332 63 23 62S 因为27 33 23 64，所以32d 10分 对于线段AB上任意点E，连结OE并延长与圆O交于点F，则F是圆上与E最近的点 参考答案与评分建议 第 10 页（共 11 页）当E为线段AB的中点时，|EF|取得最大值32，所以d(M，N)32 12分 法2：设原点O到直线l的距离为d，PAB的面积为S，则3211332 93322SdABdddd 设 333f ddd，03d，则 22332fddd当302d 时，0fd，所以 f d单调递增；当332d时，0fd，所以 f d单调递减所以32d 时，f d取得最大值，此时max27 34S 6分 显然l的斜率存在，不妨设l的方程为：ykxm，与椭圆联立，消去y得，222316330kxkmxm因为直线l与椭圆相切，所以22264 31 330kmkm 整理得，2231mk 8分 因为21mdk，所以2321mk 由，解得253k，26m 10分 由对称性，不妨设直线l方程为：1563yx 对于线段AB上任意点E，连结OE并延长与圆O交于点F，则F是圆上与E最近的点 当E为线段AB的中点时，|EF|取得最大值32，所以d(M，N)32 12分（）证明：因为 H(X，Y)，H(Y，Z)，H(X，Z)均存在，参考答案与评分建议 第 11 页（共 11 页）设点12XXX，12YYY，12ZZZ，且11H XZX Z，12H YZY Z，22H XYX Y，设 Y2是集合 Y 中到 X2的最近点，根据对称性，不妨设22H XYd XYX Y，令点2X到集合 Z 的最近点为3Z，点3Z到集合 Y 的最近点为3Y 因为11X Z是集合 X 中所有点到集合 Z 最近点距离的最大值，所以1123X ZX Z 因为12YZ是集合 Y 中所有点到集合 Z 最近点距离的最大值，所以1233YZY Z 所以11122333H XZH YZX ZYZX ZY Z，15 分 因为在坐标平面中，233323X ZY ZX Y，又因为点 Y2是集合 Y 中到点 X2的最近点，所以2322X YX Y 所以H XZH YZH XY，17分