创新设计二轮理科数学 教师WORD文档微专题24　定点问题.doc

微专题24定点问题高考定位解析几何中的定点问题是高考考查的热点，难度较大，是高考的压轴题，其类型一般为直线过定点与圆过定点等.高考真题 (2022·全国乙卷改编)已知椭圆E：1，设过点P(1，2)的直线交E于M，N两点，点A(0，2)，B是椭圆上的两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足.证明：直线HN过定点.证明当直线MN的斜率不存在时，lMN：x1，由得y2，y±.结合题意可知M(1，)，N(1，)，过M且平行于x轴的直线的方程为y.易知点T的横坐标xT(0，直线AB的方程为y(2)·(x0)，即yx2，由得xT3，T(3，).，H(52，)，lHN：y(x1)，即yx2.此时直线HN过定点(0，2).当直线MN的斜率存在时，如图，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，lMN：ykxm(由直线MN过点P(1，2)，可得km2).由得(3k24)x26kmx3m2120，0，x1x2，x1x2.过M且平行于x轴的直线的方程为yy1，与直线AB的方程联立，得得xT，T(，y1).，H(3y16x1，y1)，lHN：yy2(xx2)，即yxy2·x2.令x0，得yy2.y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2mk(x1x2)m2，y1y2(kx1m)(kx2m)k(x1x2)2m，x1y2x2y1x1(kx2m)x2(kx1m)2kx1x2m(x1x2)，(x1y2x2y1)3y1y2，(x1x2)63(y1y2)6，y2，直线HN过定点(0，2).综上，直线HN过定点(0，2).样题1 (2022·泸州二诊改编)已知椭圆C：1的左、右顶点分别为A，B，斜率不为0的直线l与椭圆C交于M，N两点，若直线BM的斜率是直线AN斜率的两倍，证明直线l经过定点，并求出定点的坐标.证明设直线l的方程为xmyb，易得A(2，0)，B(2，0)，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由得(3m24)y26mby3b2120，则y1y2，y1y2，又kBM，kAN，所以，化简得my1y2(b2)(y1y2)(3b2)y20，将y1y2，y1y2代入得(3b2)0，由于y2不恒为0，所以3b20，即b，故xmy过定点，即直线l过定点.样题2 (2022·武汉模拟改编)已知椭圆C：y21，椭圆C的上顶点为A，过点的直线l与椭圆C交于两个不同的点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N.证明：以MN为直径的圆过y轴上的定点.证明由题意知直线l的斜率存在，可设直线l：ykx，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由得(4k22)x24kx30，所以x1x2，x1x2，直线AP的方程为yx1，直线AQ的方程为yx1，可得M，N，以MN为直径的圆的方程为：y20，即x2y2x0，因为6，所以在中，令x0，得y26，即以MN为直径的圆过y轴上的定点(0，±).样题3 (2022·重庆调研改编)已知椭圆C：y21，过点P(0，1)的两条直线分别和椭圆C交于不同两点A，B(A，B异于点P且不关于坐标轴对称)，直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，且k1·k21，试问直线AB是否恒过一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.解直线AB恒过一定点.理由如下：由题意可知，直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB的方程为ykxm(k0，m1)，A(x1，y1)，B(x2，y2).联立得得(4k21)x28kmx4m240，64k216m216>0，x1x2，x1x2，y1y2k(x1x2)2m2m，y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2m2，k1k21，整理得3m22m50，m或m1(舍去)，直线AB恒过一定点.规律方法动线过定点问题的两大类型及解法(1)动直线l过定点问题，解法：设动直线方程(斜率存在)为ykxt，由题设条件将t用k表示为tmk，得yk(xm)，故动直线过定点(m，0).(2)动曲线C过定点问题，解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点.训练 (2022·河南名校联考改编)已知抛物线C：y24x，点P(1，2).若点M，N在抛物线C上，且kPM·kPN，求证：直线MN过定点.证明由题意知直线MN的斜率不为0，设直线MN的方程为xmyn，M，N，联立得y24my4n0，16m24×4n>0，y1y24m，y1y24n，所以kPM，kPN，因为kPM·kPN，所以，即y1y22(y1y2)360，所以4n8m360，即n2m9，满足>0，所以直线MN的方程为xmy2m9m(y2)9，所以直线MN过定点(9，2).一、基本技能练1.(2022·安徽江淮十校联考)已知双曲线C与椭圆1有相同的焦点，P(3，)是C上一点.(1)求双曲线C的标准方程；(2)记C的右顶点为M，与x轴平行的直线l与C交于A，B两点，求证：以AB为直径的圆过点M.(1)解由题意可设双曲线C的标准方程为1(a>0，b>0)，由已知得a2b26，且1，解得a2b23.所以双曲线C的方程为1.(2)证明设直线l的方程为ym，m0，将其与1联立，解得x或x.不妨设A(，m)，B(，m)，由(1)知M(，0)，则·(，m)·(，m)()()m23(m23)m20，所以，故以AB为直径的圆过点M.2.(2022·西安调研)已知M(x0，0)，N(0，y0)两点分别在x轴和y轴上运动，且|MN|1，若动点G满足2，动点G的轨迹为E.(1)求E的方程；(2)已知不垂直于x轴的直线l与轨迹E交于不同的A，B两点，Q总满足AQOBQO，证明：直线l过定点.(1)解因为2，设G(x，y)，则(x，y)2(x0，0)(0，y0)(2x0，y0).所以x2x0，yy0，则x0，y0y，又|MN|1，得xy1，即y21，所以动点G的轨迹E的方程为y21.(2)证明由题意，设直线l的方程为：ykxm，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(4k21)x28kmx4m240.由64k2m216(4k21)(m21)>0，得m2<4k21，x1x2，x1x2，直线AQ的斜率为kAQ，直线BQ的斜率为kBQ，又AQOBQO，所以kAQkBQ，即，即y1x2x1y2(y1y2)0，故2kx1x2(x1x2)m0，整理得·m0，由4k210，化简可得mk，所以ykxkk(x)，故直线l过定点(，0).3.(2022·郑州调研)已知抛物线E：x22py(p>0)的焦点为F，点T在E上.(1)求|TF|；(2)抛物线E在点T处的切线为l，经过点F的直线与抛物线E交于A，B两点(与T不重合)，抛物线在A，B两点处的切线分别为l1，l2，若l1与l2交于P点，l与l1，l2分别交于点M，N，证明：PMN的外接圆经过点F.(1)解因为点T在E上，于是p1，解得p2，所以|TF|.(2)证明由(1)可知，F坐标为(0，1)，yx2，yx，所以y|x1，所以l的方程为2x4y10，由题意直线AB的斜率存在，设AB的方程为ykx1，A，B，联立化简得x24kx40，由根与系数的关系可得x1x24k，x1x24，l1的斜率为y|xx1，所以l1的方程为yx，同理l2的方程为yx，联立l1，l2的方程解得点P的坐标为(2k，1)，联立l1，l的方程解得点M的坐标为，同理点N的坐标为，因为·1，所以l1l2，即MPN，所以MN是PMN的外接圆的直径，·x1x20，所以，F在以MN为直径的圆上，故PMN的外接圆经过点F.二、创新拓展练4.(2022·南昌质检)阿基米德不仅是著名的哲学家、物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”计算椭圆面积.椭圆的面积等于圆周率与椭圆长半轴长及短半轴长的乘积.在平面直角坐标系中，椭圆C：1(a>b>0)的面积等于2，且椭圆C的焦距为2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)点P(4，0)是x轴上的定点，直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，已知点A关于y轴的对称点为点M，点B关于原点的对称点为点N(异于点M)，且P，M，N三点共线，试探究直线l是否过定点.若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.解(1)由题意得解得椭圆C的标准方程为y21.(2)当直线l的斜率不为0时，设直线l：xmyt，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则M(x1，y1)，N(x2，y2)，由得(m24)y22mtyt240，由(2mt)24(m24)(t24)>0，得t2m24<0，又P(4，0)，由P，M，N三点共线，得kPMkPN，即，y1(x24)y2(x14)y1(my2t4)y2(my1t4)0，即2my1y2(t4)(y1y2)0，化简得8m(t1)0，若m0，则M，N重合，不符合题意.当t1时，直线l：xmy1，直线l过定点(1，0).当直线l的斜率为0时，设l：ys，易知仅当s0时，满足P，M，N三点共线，此时直线l过点(1，0).综上，直线l过定点(1，0).