创新设计二轮理科数学 教师WORD文档微专题3　三角中的最值、范围问题.doc

微专题3三角中的最值、范围问题高考定位1.三角中的最值与范围问题是高考的难点，三种题型都有可能出现.2.三角中的最值与范围问题一般都与三角函数的图象与性质有关.1.(2018·全国卷)若f(x)cos xsin x在a，a上是减函数，则a的最大值是()A. B. C. D.答案A解析法一f(x)cos xsin xcos，且函数ycos x在区间0，上单调递减，则由0x，得x.因为f(x)在a，a上是减函数，所以解得a，所以0<a，所以a的最大值是，故选A.法二因为f(x)cos xsin x，所以f(x)sin xcos x，则由题意，知f(x)sin xcos x0在a，a上恒成立，即sin xcos x0，即sin0在a，a上恒成立，结合函数ysin的图象可知有解得a，所以0<a，所以a的最大值是，故选A.2.(2022·全国甲卷)设函数f(x)sin在区间(0，)上恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是()A. B.C. D.答案C解析由题意可得>0，故由x(0，)，得x.根据函数f(x)在区间(0，)上恰有三个极值点，知<，得<.根据函数f(x)在区间(0，)上恰有两个零点，知2<3，得<.综上，的取值范围为.3.(2018·北京卷)若ABC的面积为(a2c2b2)，且C为钝角，则B_；的取值范围是_.答案60°(2，)解析ABC的面积Sacsin B(a2c2b2)×2accos B，所以tan B，因为0°<B<90°，所以B60°.因为C为钝角，所以0°<A<30°，所以0<tan A<，所以>2，故的取值范围为(2，).4.(2022·新高考卷)记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.(1)若C，求B；(2)求的最小值.解(1)因为，所以，所以，所以cos Acos Bsin Bsin Asin B，所以cos(AB)sin B，所以sin Bcos Ccos .因为B，所以B.(2)由(1)得cos(AB)sin B，所以sinsin B，且0<AB<，所以0<B<，0<(AB)<，所以(AB)B，解得A2B，由正弦定理得4cos2B52545，当且仅当cos2B时取等号，所以的最小值为45.热点一三角函数式的最值、范围求三角函数式的最值或范围问题，首先把函数式化为一个角的同名三角函数形式，接着利用三角函数的有界性或单调性求解. 例1 (2022·郑州调研)已知函数f(x)2sin xcos x2cos2x.(1)求f的值；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.解(1)因为f(x)2sin xcos x2cos2xsin 2x2×sin 2xcos 2x2sin，所以f2sin2sin 1.(2)因为x，所以2x，所以sin，所以，当2x，即x时，f(x)取到最大值2；当2x，即x0时，f(x)取到最小值.易错提醒求三角函数式的最值范围问题要注意：(1)把三角函数式正确地化简成单一函数形式；(2)根据所给自变量的范围正确地确定x的范围，从而根据三角函数的单调性求范围.训练1 (2022·潍坊质检)在函数yf(x)的图象关于直线x对称，函数yf(x) 的图象关于点P对称，函数yf(x)的图象经过点Q，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答.问题：已知函数f(x)sin xcos cos xsin 的最小正周期为，且_，判断函数f(x)在区间上是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时的x值；若不存在，说明理由.解f(x)sin xcos cos xsin sin(x)，由已知函数f(x)的周期T，得2，所以f(x)sin(2x).若选，则有2×k(kZ)，解得k(kZ).又因为|<，所以.所以f(x)sin.当x时，则2x，所以当2x，即x时，函数f(x)取得最大值，最大值为1.若选，则有2×k(kZ)，解得k(kZ).又因为|<，所以.所以f(x)sin，当x时，则2x，所以当2x，即x时，函数f(x)取得最大值，最大值为1.若选，则有2×2k(kZ)，解得2k(kZ).又因为|<，所以，所以f(x)sin.当x时，则2x，显然，函数f(x)在该区间上没有最大值.热点二解三角形中的最值、范围三角形中的最值、范围问题的解题策略(1)定基本量：根据题意画出图形，找出三角形中的边、角，利用正弦、余弦定理求出相关的边、角，并选择边、角作为基本量，确定基本量的范围.(2)构建函数：根据正弦、余弦定理或三角恒等变换，将所求范围的变量表示成函数形式.(3)求最值：利用基本不等式或函数的单调性等求函数的最值. 例2 (2022·德州二模)在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知6cos2cos A5.(1)求A；(2)若a2，求b2c2的取值范围.解(1)由已知得6sin2Acos A5，整理得6cos2Acos A10，解得cos A或cos A.又A，所以cos A，即A.(2)由余弦定理a2b2c22bccos A及a2，A得4b2c2bc，即b2c24bc，由正弦定理得，即bsin B，csin C，又CB，所以bcsin Bsin Csin Bsinsin B·cos Bsin2Bsin 2Bcos 2Bsin，又由解得<B<，所以<2B<，所以sin，所以bc，所以b2c24bc.规律方法求解三角形中的最值、范围问题的注意点(1)涉及求范围的问题，一定要搞清楚变量的范围，若已知边的范围，求角的范围可以利用余弦定理进行转化.(2)注意题目中的隐含条件，如ABC，0<A<，|bc|<a<bc，三角形中大边对大角等.训练2 在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知S(b2c2a2)，a4.(1)求角A的大小；(2)求ABC周长的取值范围.解(1)由S(b2c2a2)，得bcsin A(b2c2a2)×2bccos A，整理得tan A，因为A(0，), 所以A.(2)设ABC的周长为L，因为a4，A，由余弦定理得：42b2c22bccos，即42b2c2bc(bc)23bc(bc)23(bc)2，所以bc8，又bc>a4，所以Labc(8，12.热点三与三角函数性质有关的参数范围与三角函数性质有关的参数问题，主要分为三类，其共同的解法是将yAsin(x)中的x看作一个整体，结合正弦函数的图象与性质进行求解. 考向1由最值(或值域)求参数的范围例3 若函数f(x)sin(>0)在上的值域是，则的取值范围是()A. B.C. D.答案B解析因为>0，所以当x时，x.又因为函数f(x)sin(>0)在x上的值域是，所以，解得3.故选B.考向2由单调性求参数的范围例4 已知f(x)sin(2x)在上是增函数，且f(x)在上有最小值，那么的取值范围是()A. B.C. D.答案B解析由x，可得2x，又由0<<，且f(x)在上是增函数，可得，所以<.当x时，2x，由f(x)在上有最小值，可得>，则<.综上，<.故选B.考向3由函数的零点求参数的范围例5 已知a，b，其中>0，若函数f(x)a·b在区间(，2)上没有零点，则的取值范围是()A. B.C. D.答案D解析f(x)sin2xsin xsin x(sin xcos x)sin.由函数f(x)在区间(，2)上没有零点，知其最小正周期T2，即2，所以1.当x(，2)时，x，所以kZ，解得k(kZ).因为0<1，当k0时，当k1时，0<，所以.故选D.规律方法由三角函数的性质求解参数，首先将解析式化简，利用对称性、奇偶性或单调性得到含有参数的表达式，进而求出参数的值或范围.训练3 (1)(2022·马鞍山二模)若函数f(x)cos xsin x(>0)在0，内的值域为，则的取值范围为()A. B.C. D.(0，1(2)(2022·泰安一模)将函数f(x)sin4xcos4x的图象向左平移个单位长度后，得到g(x)的图象，若函数yg(x)在上单调递减，则正数的最大值为()A. B.1 C. D.答案(1)A(2)A解析(1)f(x)cos xsin xcos(>0)，当x0，时，x.又f(x)，所以，解得，故的取值范围为.(2)依题意，f(x)，其图象向左平移个单位长度得到g(x)coscossin 4x的图象，故g(x)sin(4x).令2k4x2k，kZ，由于>0，得x，kZ.由于函数g(x)在上单调递减，故解得所以当k0时，为正数的最大值.一、基本技能练1.(2022·汕头一模)将函数ycos(2x)的图象向右平移个单位长度后得到的图象对应的函数为奇函数，则|的最小值为()A. B. C. D.答案B解析将函数ycos(2x)的图象向右平移个单位长度得到ycoscos的图象，因为得到的函数为奇函数，所以k(kZ)，解得k(kZ)，则当k1时，|取得最小值.2.(2022·镇海中学检测)设>0，将函数ysin的图象向左平移个单位长度后与函数ycos的图象重合，则的最小值为()A. B. C. D.1答案B解析将函数ysin的图象向左平移个单位长度后得到图象对应的函数为ysin，与函数ycos的图象重合，所以sincos，即2k(kZ)，解得6k(kZ)，又>0，所以当k0时，有最小值且为.3.函数f(x)cos xsin x1(>0)在内存在最小值但无最大值，则的取值范围是()A. B.C.0，2 D.答案A解析f(x)2cos1，因为f(x)在内存在最小值但无最大值，当x时，x，故结合图象可得，<2，所以<.4.(2022·西安调研)在古希腊数学家海伦的著作测地术中记载了著名的海伦公式，利用三角形的三边长求三角形的面积.若三角形的三边长分别为a，b，c，则其面积S，其中p(abc).现有一个三角形的边长a，b，c满足ab7，c5，则此三角形面积的最大值为()A.17 B.C.5 D.答案D解析ab7，c5，p6，S26×(65)×(6b)×(6a)6ba6(ba)366(ba6)6×，当且仅当ba时取等号，S，即三角形面积的最大值为.5.已知函数f(x)sin cos (>0)，若存在实数x0，使得对任意的实数x，都有f(x02 022)f(x)f(x0)成立，则的最大值为()A.2 022 B.4 044 C.1 011 D.674答案A解析f(x)sin cos 2sin，由存在实数x0，对任意的实数x，都有f(x02 022)f(x)f(x0)成立，可得f(x0)，f(x02 022)分别为函数f(x)的最大值和最小值，要使得最大，只要最小正周期T2最大.当2 022，即T4 0442时，周期最大，此时2 022.6.(2022·合肥模拟)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asin A2csin C2bsin Ccos A，则角A的最大值为()A. B. C. D.答案A解析因为asin A2csin C2bsin Ccos A，由正弦定理可得，a22c22bccos A，由余弦定理得，a2b2c22bccos A，得2a2b2c2，cos A.又b23c222bc，当且仅当bc时取等号，所以cos A，所以角A的最大值为.7.已知函数f(x)cos xsin(>0)在0，上恰有一个最大值点和两个零点，则的取值范围是_.答案解析函数f(x)cos xsinsin(>0)，由x0，得x.又f(x)在0，上恰有一个最大值点和两个零点，则2<，解得<.8.(2022·兰州诊断)若函数f(x)sin(4x)在区间上单调递增，则实数的取值范围是_.答案解析当x时，4x.因为函数ysin x在上单调递增，且函数f(x)sin(4x)在区间上单调递增，所以得解得，所以实数的取值范围是.9.设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2，A2B，则a的取值范围为_.答案(2，2)解析A2B，且ABC为锐角三角形，A，B，又AB3B，3B，B，B，cos B，由正弦定理，得a4cos B，a(2，2).10.(2022·湖北九师联盟联考)如图，设ABC的内角BAC，B，ACB所对的边分别为a，b，c，若b2ac，B，D是ABC外一点，AD3，CD2，则四边形ABCD面积的最大值是_.答案6解析因为cos B，b2ac，所以a2c2acac，则(ac)20，ac，又B，所以ABC是等边三角形.在ADC中，由余弦定理可得AC2AD2CD22AD·CDcos D，由于AD3，CD2，所以b21312cos D，所以S四边形ABCDSABCSACDb2sin ·3·2sin Db23sin D(1312cos D)3sin D6sin，所以四边形ABCD面积的最大值为6.11.设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，abtan A，且B为钝角.(1)证明：BA；(2)求sin Asin C的取值范围.(1)证明由abtan A及正弦定理，得，所以sin Bcos A，即sin Bsin.又B为钝角，因此A，故BA，即BA.(2)解由(1)知，C(AB)2A>0，所以A，于是sin Asin Csin Asinsin Acos 2A2sin2Asin A12.因为0<A<，所以0<sin A<，因此<2.由此可知sin Asin C的取值范围是.12.(2022·洛阳调研)已知向量a(cos，sin)，b(sin x，sin x)，f(x)a·b.(1)求函数f(x)的最小正周期及f(x)的最大值；(2)在锐角ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f1，a2，求ABC面积的最大值并说明此时ABC的形状.解(1)由已知得a(sin x，cos x)，又b(sin x，sin x)，则f(x)a·bsin2xsin xcos x(1cos 2x)sin 2xsin，所以f(x)的最小正周期T，当2x2k(kZ)，即xk(kZ)时，f(x)取得最大值.(2)在锐角ABC中，因为fsin1，所以sin，所以A.因为a2b2c22bccos A，所以12b2c2bc，所以b2c2bc122bc，所以bc12(当且仅当bc2时等号成立)，此时ABC为等边三角形，SABCbcsin Abc3.所以当ABC为等边三角形时面积取最大值3.二、创新拓展练13.将函数ysin 2xcos 2x的图象向左平移个单位长度后得到f(x)的图象，若f(x)在上单调递减，则的取值范围为()A. B.C. D.答案C解析由题知ysin 2xcos 2xsin，则f(x)sinsin.因为x，所以2x2.又因为0<<，所以2，所以可得的取值范围为.故选C.14.在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且A，B，C成等差数列，ac2，则b的取值范围是()A.1，2) B.(0，2C.1， D.1，)答案A解析在ABC中，由A，B，C成等差数列，得2BAC.由ABC，得3B，B.由余弦定理，得b2a2c22ac×(ac)23ac43ac，又3ac(ac)23，当且仅当ac1时等号成立，即0<3ac3.143ac<4，即1b2<4，解得1b<2.15.已知函数f(x)sin(x)(>0，|)，x为f(x)的零点，x为yf(x)图象的对称轴，且f(x)在上单调，则的最大值为()A.11 B.9 C.7 D.5答案B解析因为x为f(x)的零点，x为f(x)图象的对称轴，所以(kN*)，即T·(kN*)，所以2k1(kN*)，又因为f(x)在上单调，所以，即12，当11时，验证不成立，由此得的最大值为9，故选B.16.在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2ca(b2c2a2).(1)若A，求B的大小；(2)若ac，求的最小值.解(1)因为b2ca(b2c2a2)，所以由余弦定理得cos A.因为A，所以，即ab，所以BA.(2)由(1)及正弦定理得cos A，即sin B2sin Acos Asin 2A，所以B2A或B2A.当B2A时，AC，与ac矛盾，故舍去，所以B2A.cos Bcos 2A2(cos A3)·cos A4cos2 A6cos A14.因为CAB3A>0，即A<，所以cos A>，所以当cos A时，有最小值.