创新设计二轮理科数学 教师WORD文档微专题39　同构函数.doc

微专题39同构函数首先将题目中的等式或不等式经过适当的整理变形，表示成两侧具有相同的结构，然后利用这个结构式构造相对应的函数，再利用函数的单调性解题，我们通常称这种解题方法为“同构”.类型一地位同等同构型1.含有同等地位的两个变量x1，x2或x，y或a，b的等式或不等式，如果进行整理(即同构)后，等式或不等式两边具有结构的一致性，往往暗示应构造函数，应用函数单调性解决.2.含有二元变量x1，x2的函数，常见的同构类型有以下几种：(1)g(x1)g(x2)>f(x2)f(x1)g(x1)f(x1)>g(x2)f(x2)，构造函数(x)g(x)f(x)；(2)>k(x1<x2)f(x1)f(x2)<kx1kx2f(x1)kx1<f(x2)kx2，构造函数(x)f(x)kx；(3)<(x1<x2)f(x1)f(x2)>f(x1)>f(x2)，构造函数(x)f(x).例1 (1)若2alog2a4b2log4b，则()A.a>2b B.a<2bC.a>b2 D.a<b2(2)若0<x1<x2<1，则()A.ex2e x1>ln x2ln x1B.e x1e x2>ln x2ln x1C.x2e x1>x1e x2D.x2e x1<x1e x2答案(1)B(2)C解析(1)由指数和对数的运算性质可得2alog2a4b2log4b22blog2b.令f(x)2xlog2x，则f(x)在(0，)上单调递增.又22blog2b<22blog2b122blog2(2b)，2alog2a<22blog2(2b)，即f(a)<f(2b)，a<2b.故选B.(2)A选项，e x2e x1>ln x2ln x1e x2ln x2>e x1ln x1，设f(x)exln x.f(x)ex，设g(x)xex1，则有g(x)(x1)ex>0恒成立，所以g(x)在(0，1)单调递增，因为g(0)1<0，g(1)e1>0，从而存在x0(0，1)，使得g(x0)0.由单调性可判断出，x(0，x0)，g(x)<0f(x)<0；x(x0，1)，g(x)>0f(x)>0，所以f(x)在(0，1)不单调，不等式不会恒成立，A不正确；B选项，e x1e x2>ln x2ln x1e x1ln x1>e x2ln x2，设函数f(x)exln x，可知f(x)单调递增，所以f(x1)<f(x2)，B错误；C选项，x2e x1>x1e x2>，构造函数f(x)，f(x)，则f(x)<0在x(0，1)恒成立，所以f(x)在(0，1)单调递减，所以f(x1)>f(x2)成立，C正确，D错误.训练1 (1)若2x2y<3x3y，则()A.ln(yx1)>0 B.ln(yx1)<0C.ln|xy|>0 D.ln|xy|<0(2)(2022·八省联考)已知a<5且ae55ea，b<4且be44eb，c<3且ce33ec，则()A.c<b<a B.b<c<aC.a<c<b D.a<b<c答案(1)A(2)D解析(1)设函数f(x)2x3x.因为函数y2x与y3x在R上均单调递增，所以f(x)在R上单调递增.原已知条件等价于2x3x<2y3y，即f(x)<f(y)，所以x<y，即yx>0，所以A正确，B不正确.因为|xy|与1的大小不能确定，所以C，D不正确.(2)由题得，故令f(x)(x>0)，f(x)，f(x)在(，1)上单调递增，在(1，)上单调递减，f(a)f(5)，f(b)f(4)，f(c)f(3)，f(1)，如图所示，0<a<b<c<1，选D.类型二指对跨阶同构型1.对于一个指数，直线、对数三阶的问题可以通过跨阶函数的同构，转化为两阶问题解决，通常在一些求参数的取值范围、零点个数、证明不等式中应用跨阶同构来快速解题.跨阶同构需要构造一个母函数，即外层函数，这个母函数需要满足：指对跨阶，单调性和最值易求.2.为了实现不等式两边“结构”相同的目的，需时时对指对式进行“改头换面”，常用的方法有：xeln x，xexeln xx，x2exe2ln xx，eln xx，ln xln aln ax，ln x1ln ，有时也需要对两边同时加、乘某式等.3.xln x与xex为常见同构式：xln xeln xln x，xexeln xex；xln x与xex为常见同构式：xln xln xeln x，xexeln xex. 例2 (1)已知函数f(x)aex1ln xln a，若f(x)1，则a的取值范围是_.(2)对于任意的x>0，若不等式ax>logax(a>0，且a1)恒成立，则a的取值范围是_.答案(1)1，)(2)(e，)解析(1)由f(x)aex1ln xln a1，移项得aex1ln aln x1，即eln ax1ln aln x1，两边同时加(x1)，得eln ax1xln a1ln xx，即eln ax1(xln a1)ln xeln x.设g(t)tet，则g(t)1et>0，所以g(t)单调递增，所以ln ax1ln x，即xln xln a10.设h(x)xln xln a1，则h(x)1，x>0，所以h(x)在(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，所以h(x)minh(1)1ln a10，所以a1，故a的取值范围为1，).(2)当0<a<1时，不满足ax>logax，所以a>1，由ax>logax，得exln a>，x>0，则xln a·exln a>xln xeln xln x，故只需xln a>ln x即可，即ln a>.因为f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，)上单调递减，故f(x)maxf(e)，所以ln a>，即a>e.训练2 (1)已知函数f(x)exaln(axa)a(a>0)，若f(x)>0，则实数a的取值范围为_.(2)(2022·郑州模拟)若不等式xaln xxa对x(1，)恒成立，则实数a的最小值是_.答案(1)(0，e2)(2)e解析(1)由题意可知：ex>aln(axa)aln a>ln(x1)1exln axln a>x1ln(x1)，可化为exln axln a>eln(x1)ln(x1)，只需xln a>ln(x1)，即xln(x1)>ln a.设g(x)xln(x1)，则g(x)，x(1，2)，g(x)<0，g(x)单调递减，x(2，)，g(x)>0，g(x)单调递增，故g(x)g(2)2，故ln a<2，故a<e2.综上，0<a<e2.(2)因为xaln xxa对x(1，)上恒成立，所以xxaaln xxaln xa对x(1，)上恒成立，所以lnxaln xa对x(1，)恒成立.构造函数f(t)tln t，t>0，所以ff(xa).因为f(t)1，易得f(t)在(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增.当x>1时，0<<1，xa与1的大小不定，但当实数a充分小时，只需考虑其为负数的情况，此时0<xa<1.因为f(t)在(0，1)上单调递减，所以xa，两边取对数得xaln x，所以a.令g(x)，则g(x)，所以g(x)在(1，e)上单调递增，在(e，)上单调递减，所以g(x)g(e)e，故a的最小值是e.类型三零点同构型例3 (1)(2022·兰州质检)已知函数f(x)xexa(xln x)有两个零点，则实数a的取值范围是_.(2)已知x0是函数f(x)x2ex2ln x2的零点，则e2x0ln x0_.答案(1)(e，)(2)2解析(1)f(x)xexa(xln x)exln xa(xln x)，令txln x，tR，显然该函数单调递增.由etat0有两个根，即a，即有两个交点，可画出函数图象得到a的范围是(e，).(2)x2ex2ln x20，可得x2ex22ln x，即2ln x，x2ex2e2e2ln x，xexln x，即xexln ，两边同取自然对数，ln xxlnln ，所以lnx，即2ln xx，即ln x2x，e2xx，e2x0ln x0x0ln x02.训练3 已知f(x)xln xx21，若关于x的方程xexaf(x)x2ax1有两个不同的实数解，求a的取值范围.解由xexaf(x)x2ax1(x0)，即xexaxln xax，即exaln xa，即exaxaxln x，ln(exa)exaln xx，令h(x)ln xx(x0)，则h(exa)h(x)，h(x)10，h(x)在(0，)上递增，exax，则xaln x，axln x(x0)，因为关于x的方程xexaf(x)x2ax1有两个不同的实数解，则方程axln x(x0)有两个不同的实数解.令(x)xln x，则(x)1，当0x1时，(x)0，当x1时，(x)0，所以函数(x)xln x在(0，1)上递减，在(1，)上递增，所以(x)min(1)1，当x0时，(x)，当x时，(x)，所以a1，综上，a的范围为(1，).一、基本技能练1.已知正实数ln >lg ，则()A.ln x>ln(y1) B.ln(x1)<lg yC.3x<2y1 D.2xy>1答案D解析ln xln y>lg ylg xln xlg x>ln ylg y，设f(x)ln xlg y，f(x)>f(y)x>y.xy>0，2xy>1，故D正确.2.(2022·湖南五市十校联考)已知x，y满足log3xlog3y<，则下列结论不正确的是()A.> B.x3<y3C.2xy<1 D.ln(yx)>0答案D解析原不等式可化为log3x<log3y，令f(x)log3x，显然f(x)在(0，)上单调递增，f(x)<f(y)，0<x<y，xy<0，A，B，C均正确，故选D.3.函数f(x)xln(ax)2(a>0)，若函数f(x)在区间(0，)内存在零点，则实数a的取值范围是()A.(0，1 B.1，)C.(0，e D.3，)答案B解析由exx1得f(x)eln(ax)1xxln(ax)2eln(ax)1x(ln(ax)1x)10，当ln(ax)1x0ln(ax)x1ax1，即a1时f(x)0成立，f(x)在(0，)上有零点.4.(2022·安庆模拟)已知m，n都是正整数，且emln n<mn，则()A.n>em B.m>emC.n<em D.m>en答案A解析因为emln n<mn，所以emm<nln neln nln n，令f(x)exx，(x>0)，所以f(x)ex1>0，故f(x)在(0，)上单调递增，由已知得f(m)<f(ln n)，故m<ln n，因为m，n都是正整数，即em<n.5.(2022·许昌调研)已知f(x)aln xx2(a>0)若对于任意两个不等的正实数x1、x2，都有>2恒成立，则a的取值范围是()A.(0，1 B.1，)C.(0，3 D.1，2e)答案B解析不妨设x1>x2>0，可得f(x1)f(x2)>2x12x2，可得f(x1)2x1>f(x2)2x2，令g(x)f(x)2xaln xx22x，则g(x1)>g(x2)，所以，函数g(x)在(0，)上为增函数，g(x)x20对任意的x>0恒成立，所以a2xx2，当x>0时，2xx2(x1)211，当且仅当x1时，等号成立，所以a1.6.已知x0是方程2x2e2xln x0的实根，则关于实数x0的判断正确的是()A.x0ln 2 B.x0C.2x0ln x00 D.2ex0ln x00答案C解析由题意得2xe2x0ln x0，即2x0e2x0eln x0(ln x0)，令f(x)xex，所以f(2x0)f(ln x0)，则f(x)ex(x1)>0，函数f(x)在定义域内单调递增，结合函数的单调性有2x0ln x0，即2x0ln x00，故选C.7.设实数m>0，若对任意的xe，不等式x2ln xme0恒成立，则m的最大值是()A. B. C.e D.2e答案C解析x2ln xme0变形为ln x·eln x·e，构造函数g(x)xex(x>0)，则g(x)(x1)ex>0，所以g(x)在(0，)上单调递增.又f(ln x)f，所以ln x，即mxln x，只需m(xln x)mine.8.已知，若eesin 2sin ，则下列结论一定成立的是()A. B.C.> D.<答案D解析由，可知：sin >0，所以eesin 2sin <sin sin ，整理可得：esin <esin ，设f(x)exsin x，f(x)excos x>0，故f(x)在x上单调递增，所以<.9.(2022·东北三省四市模拟)设x，yR，满足则xy()A.0 B.2 C.4 D.6答案B解析设f(t)t52tsin t，可得f(t)为奇函数，由题意可得：f(x1)f(y1)f(y1)，x1y1xy2.10.已知，0，mR，3sin m0，cos m0，则cos()的值为()A.1 B.0 C.0.5 D.1答案B解析构造函数f(x)x3sin x，在x上为奇函数且单调递增，又0，变换3sin m，sinm，即f()f，即，cos()0，故选B.11.已知a，b(，)，且满足>ln ，则a，b，的大小关系是_.答案a>>b解析>ln bln a，ln a>ln b，令g(x)ln x，x>，g(x)>0，g(x)在(，)上单调递增.g(a)>g(b)，a>b，又>>，a>>b.12.若关于x的不等式x2e3x(k3)x2ln x1对任意x>0恒成立，则k的取值范围是_.答案(，0解析原不等式可变形为e2ln x3x(3x2ln x)kx1，e2ln x3x(3x2ln x)1kx，利用exx1，可得kx0，又x>0，故k0. 二、创新拓展练13.若不等式xln xa对x(0，)恒成立，则a的最大值为()A.1 B. C.0 D.e答案C解析由题意，得exln x1xln xa，即exln x1xln x11a，即exln x1(xln x1)1a，设txln x1，x>0.则t1，故当0<x<1时，t<0，t单调递减，当x>1时，t>0，t单调递增，所以当x1时，tmin1010，设f(t)ett，t0，f(t)et1>0，故f(t)在0，)上单调递增，f(t)minf(0)1，故1a1，可得a0.14.若关于x的方程30有三个不相等的实数根x1，x2，x3，且x1<x2<x3，则()A.1m B.1m C.6 D.8答案D解析由题意30，x>0，即30有3个不等实数根.令t(x>0)，则有t30，即t24tm30，(1)令g(x)(x>0)，则g(x)，g(x)在(0，e)上单调递增，在(e，)上单调递减(如图)，则(1)有2个实数根t1和t2，且t1t24，t1t2m3，不妨t1<0，t2>0，则有2t1t2t22(t1t2)8.15.(2022·济南模拟)若对于任意实数x>0，不等式2ae2xln xln a0恒成立，则a的取值范围是_.答案解析法一将2ae2xln xln a0变形为2ae2xln ，则2e2xln ，两边同时乘以x得2xe2xln ，即2xe2xln eln ln (*).设g(t)tet(t>0)，则g(t)(1t)et>0，所以g(t)在(0，)上单调递增，故由(*)得2xln ，则ln aln x2x.令h(x)ln x2x，x>0，则h(x)2，易知当x时，h(x)单调递增，当x时，h(x)单调递减，故h(x)maxhln 21，所以ln aln 21，即a，故a的取值范围为.法二将2ae2xln xln a0变形为eln 2a2xln xln a0，即eln 2a2xln 2aln 2x，则eln 2a2x2xln 2a2xln 2xeln 2xln 2x.设g(t)ett，易知g(t)单调递增，故2xln 2aln 2x，以下同法一.16.已知函数f(x)exaln x(其中a为参数)，若对任意x(0，)，不等式f(x)>aln a恒成立，则正实数a的取值范围是_.答案(0，e)解析由f(x)>aln a，得ln a>ln x，即exln aln a>ln x，两边同时加x得exln axln a>eln xln x.令g(t)ett，则g(xln a)>g(ln x)，因为g(t)为单调增函数，所以xln a>ln x，即ln a<xln x，令h(x)xln x，则h(x).所以h(x)在(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，所以h(x)minh(1)1，所以ln a<1，解得0<a<e.