创新设计二轮理科数学 教师WORD文档微专题21　圆锥曲线的基本问题.doc

微专题21圆锥曲线的基本问题高考定位圆锥曲线的方程与几何性质是高考的重点，多以选择题、填空题或解答题的一问的形式命题，难度较小.1.(2021·新高考卷)已知F1，F2是椭圆C：1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为()A.13 B.12 C.9 D.6答案C解析由椭圆C：1，得|MF1|MF2|2×36，则|MF1|·|MF2|329，当且仅当|MF1|MF2|3时等号成立.故选C.2.(2022·全国乙卷)设F为抛物线C：y24x的焦点，点A在C上，点B(3，0)，若|AF|BF|，则|AB|()A.2 B.2 C.3 D.3答案B解析法一由题意可知F(1，0)，抛物线的准线方程为x1.设A(，y0)，则由抛物线的定义可知|AF|1，又|BF|312，故由|AF|BF|，可得12，解得y0±2，所以A(1，2)或A(1，2).不妨取A(1，2)，故|AB|2，故选B.法二由题意可知F(1，0)，故|BF|2，所以|AF|2.又抛物线通径长为4，所以|AF|2为通径长的一半，所以AFx轴，所以|AB|2，故选B.3.(2022·全国甲卷)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点.若·1，则C的方程为()A.1 B.1C.1 D.y21答案B解析依题意得A1(a，0)，A2(a，0)，B(0，b)，所以(a，b)，(a，b)，·a2b2(a2b2)c21，故c1，又C的离心率e，所以a3，a29，b2a2c28，所以C的方程为1，故选B.4.(2022·全国甲卷)椭圆C：1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称.若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为()A. B. C. D.答案A解析设P(m，n)(n0)，则Q(m，n)，易知A(a，0)，所以kAP·kAQ·(*).因为点P在椭圆C上，所以1，得n2(a2m2)，代入(*)式，得，结合b2a2c2，得3a24c2，所以e.故选A.5.(2022·北京卷)已知双曲线y21的渐近线方程为y±x，则m_.答案3解析法一依题意得m<0，双曲线的方程化为标准方程为y21，此时双曲线的渐近线的斜率为±±，解得m3.法二依题意得m<0，令y20，得y±x，则±±，解得m3.热点一圆锥曲线的定义与标准方程1.圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF1|PF2|2a(2a>|F1F2|).(2)双曲线：|PF1|PF2|2a(0<2a<|F1F2|).(3)抛物线：|PF|PM|，l为抛物线的准线，点F不在定直线l上，PMl于点M.2.求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值. 例1 (1)(2022·桂林模拟)已知双曲线C：x21的左，右焦点为F1，F2，P为双曲线右支上的一点，PF1F230°，I是PF1F2的内心，则下列结论错误的是()A.PF1F2是直角三角形B.点I的横坐标为1C.|PI|22D.PF1F2的内切圆的面积为(2)(2022·新乡二模)已知圆C1：(x)2y21与圆C2：(x)2y29相交于A，B两点，若圆C1，C2的圆心为椭圆E的焦点，A，B在椭圆E上，则椭圆E的标准方程为_.答案(1)D(2)1解析(1)由已知可得|PF1|PF2|2，|F1F2|2，设|PF2|x，|PF1|x2，则cosPF1F2，得x2，所以|PF2|2，|PF1|4，即|PF2|2|F1F2|2|PF1|2，所以PF2F1F2，所以A正确；设内接圆半径为r，则·(|PF1|PF2|F1F2|)·r·|PF2|·|F1F2|，得r1，所以I的坐标为(1，1)，面积为S·(1)2(42)，所以B正确，D错误；由题意P(，2)，|PI|2(1)，所以C正确；故选D.(2)设椭圆E的方程为1(a>b>0)，由题意可得：|AC1|AC2|134，2c|C1C2|2，又A在椭圆E上，可知2a4，而c，所以b，故椭圆E的标准方程为1.规律方法应用椭圆或双曲线的焦点三角形时注意：(1)定义；(2)余弦定理(勾股定理)；(3)涉及最值与范围时要应用基本不等式.训练1 (1)(2022·合肥一模)过点，且与双曲线y21有相同焦点的椭圆的标准方程为()A.1 B.1C.1 D.1答案D解析由题意c2，双曲线y21的左焦点为F1(2，0)，右焦点为F2(2，0)，设P，则2a|PF1|PF2|2，所以a，b21046，所以椭圆的方程为1.(2)(2022·肇庆二模)已知点P是抛物线x28y上的一个动点，则点P到点A(2，0)的距离与到抛物线的准线的距离之和的最小值为_.答案2解析设点P在抛物线的准线上的投影为点P，抛物线的焦点为点F，则F(0，2)，由抛物线的定义，知点P到抛物线的准线的距离|PP|PF|，则点P到A(2，0)的距离与到该抛物线的准线的距离之和|PA|PP|PA|PF|AF|2.热点二椭圆、双曲线的几何性质1.求离心率的两种方法(1)椭圆的离心率e(0<e<1)，双曲线的离心率e(e>1).(2)根据条件建立关于a，b，c的齐次式，消去b后，转化为关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围.2.与双曲线1(a>0，b>0)共渐近线bx±ay0的双曲线方程为(0). 考向1椭圆、双曲线的几何性质(不含离心率)例2 (1)(2022·北京门头沟一模)已知双曲线C：1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作圆x2y2a2的切线，交双曲线右支于M，若F1MF2，则C的渐近线方程为()A.y±x B.y±xC.y±2x D.y±x答案B解析如图所示，设MF1与圆相切于点N，过F2作F2PF1M，故|PF2|2|ON|2a，|PF1|2b，又F1MF2，则|MP|PF2|2a，则|MF1|PF1|MP|2a2b，|MF2|PF2|2a，由双曲线定义得|MF1|MF2|2a2b2a2a，即ba，故渐近线方程为y±x±x，故选B.(2)(2022·南宁质检)椭圆C：1(b2<18且b>0)的上、下顶点分别为A，C，如图，点B在椭圆上(异于椭圆顶点)，点D在椭圆内，平面四边形ABCD满足BADBCD90°，且SABC2SADC，则该椭圆的短轴长为_.答案6解析根据题意可得A(0，b)，C(0，b)，设B(x1，y1)，D(x2，y2).连接BD，由BADBCD90°可得点A，B，C，D均在以BD为直径的圆E(E为BD中点)上，又原点O为圆E上的弦AC的中点，所以圆心E在AC的垂直平分线上，即圆心E在x轴上，所以y1y20.又SABC2SADC，所以x12x2，故圆心E的坐标为，所以圆E的方程为y2xy，将(0，b)代入圆E的方程，结合1可得b29，所以b3，短轴长为6.考向2离心率问题例3 (1)(2022·许昌调研)F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是椭圆C上异于顶点的一点，I是PF1F2的内切圆圆心，若PF1F2的面积等于IF1F2的面积的3倍，则椭圆C的离心率为_.(2)(2022·泰安一模)已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们一个公共点，且F1PF2，椭圆、双曲线的离心率分别为e1，e2，则ee的最小值是_.答案(1)(2)1解析(1)由于椭圆关于原点对称，不妨设点P在x轴上方.设点P纵坐标为yP，点I纵坐标为yI，内切圆半径为r，椭圆长轴长为2a，焦距为2c，则SPF1F2yP·|F1F2|3SIF1F23×yI·|F1F2|，得yP3yI，又SPF1F2SIF1F2SIF1PSIPF2，即yP·|F1F2|r·|F1F2|r·|PF1|r·|PF2|，又yIr，化简得yP·|F1F2|yI·(|F1F2|PF1|PF2|)，即3×2c2c2a，解得a2c，可得离心率为.(2)由题意，可设椭圆的长半轴为a1，双曲线的实半轴为a2，由椭圆和双曲线的定义可知，PF1PF22a1，PF1PF22a2，则PF1a1a2，PF2a1a2，又F1PF260°，由余弦定理可得(2c)2(a1a2)2(a1a2)22(a1a2)(a1a2)cos 60°，整理得4c2a3a，即4，则1，所以ee(ee)1121，当且仅当ee时等号成立.规律方法(1)确定椭圆和双曲线的离心率的值或范围，其关键就是确立一个关于a，b，c的等量关系或不等关系，然后用a，c代换b，进而求的值或范围.(2)求双曲线渐近线方程的关键在于求或的值，也可将双曲线方程中等号右边的“1”变为“0”，然后因式分解得到.训练2 (1)(2022·杭州名校联考)如图，焦点在x轴上的椭圆1(a>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上位于第一象限内的一点，且直线F2P与y轴的正半轴交于A点，APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，若|F1Q|4，则该椭圆的离心率为_.(2)(2022·河南顶尖名校联考)已知直线l1，l2是双曲线C：y21的两条渐近线，点P是双曲线C上一点，若点P到渐近线l1的距离的取值范围是，则点P到渐近线l2的距离的取值范围是_.答案(1)(2)解析(1)如图所示，不妨设另外两个切点分别为M，N，则由题意可知|F1Q|F1M|F2N|PN|PF2|PQ|PF2|4，由椭圆的定义知|PF1|PF2|2a，即|PQ|QF1|PF2|2a8，解得a4，所以c，所以椭圆的离心率e.(2)设点P(x0，y0)，由题可设双曲线的渐近线l1：x2y0，渐近线l2：x2y0.点P到直线l1的距离d1，点P到直线l2的距离d2，所以d1d2·.又y1，所以x4y4，所以d1d2，且d10，所以d2，因为d1，所以d2.热点三抛物线的几何性质抛物线的焦点弦的几个常见结论：设AB是过抛物线y22px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，是弦AB的倾斜角，则(1)x1x2，y1y2p2.(2)|AB|x1x2p.(3).(4)以线段AB为直径的圆与准线x相切. 例4 (1)(2022·烟台一模)已知点F为抛物线y22px(p>0)的焦点，点P在抛物线上且横坐标为8，O为坐标原点，若OFP的面积为2，则该抛物线的准线方程为()A.x B.x1C.x2 D.x4(2)斜率为的直线过抛物线C：y24x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB|_.答案(1)B(2)解析(1)抛物线y22px(p>0)的焦点F，由y216p，可得y±4，不妨令P(8，4)，则SOFP××4p2，解得p2，则抛物线方程为y24x，其准线方程为x1.(2)因为抛物线C的方程为y24x，所以抛物线C的焦点为F(1，0)，又直线AB过焦点F且斜率为，所以直线AB的方程为y(x1).将其代入抛物线方程，消去y并化简得3x210x30.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x21.法一又直线AB的斜率k，所以|AB|x1x2|×.法二|AB|AF|BF|x1x2p.法三由直线l的斜率k，知其倾斜角60°，则弦长|AB|.规律方法利用抛物线的几何性质解题时，要注意利用定义构造与焦半径相关的几何图形(如三角形、直角梯形等)来沟通已知量与p的关系，灵活运用抛物线的焦点弦的特殊结论，使问题简单化且减少数学运算.训练3 (1)已知抛物线C：y22px(p>0)的焦点为F，准线为l，点M是抛物线C上一点，MHl于H，若|MH|4，HFM60°，则抛物线C的方程为()A.y216x B.y28xC.y24x D.y22x(2)(2022·银川质检)已知抛物线y24x的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，延长FB交准线于点C，若|BC|2|BF|，则()A. B. C. D.答案(1)C(2)B解析(1)因为抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离，所以|MF|MH|4，又HFM60°，所以MHF为正三角形，所以|HF|4，记准线l与x轴交于点Q，则QHF30°，所以p|QF|HF|sinQHF4sin 30°2，所以该抛物线方程为y24x.(2)由题意可知抛物线的焦点坐标为F(1，0)，准线为直线x1，过A，B分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为M，N，则有|BF|BN|，|AF|AM|，因为|BC|2|BF|，所以|BC|2|BN|，所以，所以，又p2，所以|BN|BF|，|BC|，所以|CF|4，因为，所以，解得|AM|4，所以|AF|4，所以，故选B.一、基本技能练1.(2022·绵阳二诊)已知双曲线E：1(a>0，b>0)的焦距为4，两条渐近线互相垂直，则E的方程为()A.x2y21 B.1C.1 D.1答案B解析双曲线E：1的渐近线方程为y±x，由两条渐近线互相垂直，则×1，故ab，则a2b22a24，得a，故双曲线E的方程为1.2.(2022·北京房山一模)已知M为抛物线x22py(p>0)上一点，M到抛物线的焦点的距离为4，到x轴的距离为3，则p()A. B.1 C.2 D.4答案C解析由题意可知点M的纵坐标为3，抛物线x22py(p>0)的准线方程为y，由抛物线的定义可得34，解得p2.3.(2022·九江模拟)已知双曲线C：1(a>0)的左右焦点分别为F1，F2，一条渐近线方程为xy0，若点M在双曲线C上，且|MF1|5，则|MF2|()A.9 B.1 C.1或9 D.1或7答案A解析双曲线C的渐近线方程为y±x，则，所以a2，b2，c4，由双曲线定义可知|MF1|MF2|4，则|MF2|1或9，又因为|MF2|ca2，故|MF2|9，故选A.4.(2022·沧州质检)设F1，F2是双曲线C：1(a>0，b>0)的左、右焦点，离心率e，点P为双曲线C右支上的一点，且·0，|PF2|，则双曲线C的虚轴长为()A.6 B.12 C.3 D.6答案D解析法一由已知条件得，解得所以双曲线C的虚轴长为6.故选D.法二由双曲线的定义知，|PF1|2a，又因为·0，所以F1F2PF2.所以解得结合c2a2b2，得b3，所以双曲线C的虚轴长为6.故选D.5.(2022·吉林部分名校检测)已知O为坐标原点，抛物线C：y28x上一点A到焦点F的距离为6，若点P为抛物线C的准线上的动点，则|PO|PA|的最小值为()A.4 B.4 C.4 D.6答案C解析由题意知，抛物线C：y28x的准线方程为x2，因为|AF|6，所以点A到准线的距离为6，所以点A的横坐标为4，不妨设点A在第一象限，则点A的坐标为(4，4).设坐标原点O关于准线的对称点为B，连接PB，AB，则|PO|PB|，易知B的坐标为(4，0)，所以|PO|PA|的最小值为|AB|4，故选C.6.(2022·宁波联考)如图，椭圆：1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，正六边形ABF2CDF1的一边F2C的中点恰好在椭圆上，则椭圆的离心率是()A. B.C. D.答案B解析设CF2的中点为P，正六边形的边长为2，则F1F2P60°，|F2P|1，|F1F2|2c4.如图，连接F1P，在F1F2P中，由余弦定理得|F1P|，2a|F1P|F2P|1，椭圆的离心率e.故选B.7.(2022·湘潭模拟)已知抛物线C：y22px(p>0)的焦点为F，点T在C上，且|FT|，若点M的坐标为(0，1)，且MFMT，则C的方程为()A.y22x或y28xB.y2x或y28xC.y22x或y24xD.y2x或y24x答案A解析设T(x0，y0)，则(x0，y01)，又F，所以.因为MFMT，所以·0，可得x0y010，又y2px0，所以y4y040，所以y02，x0，故T，又|FT|x0，所以，即p25p40，解得p1或p4，所以C的方程为y22x或y28x.故选A.8.(2022·开封二模)已知(2，1)是椭圆C：1(a>b>0)上一点，则连接椭圆C的四个顶点构成的四边形的面积()A.有最小值4 B.有最小值8C.有最大值8 D.有最大值16答案B解析因为(2，1)是椭圆C：1(a>b>0)上一点，所以1，即a2b24b2a2，所以a2b24b2a224ab，当且仅当a2b时取等号，所以ab4.又四边形面积为2ab，故有最小值8.9.(2022·鹤壁模拟)已知圆的方程为x2y24，若抛物线过点A(1，0)，B(1，0)，且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点的轨迹方程为()A.1(x0)B.1(x0)C.1(y0)D.1(y0)答案D解析设坐标原点为O，抛物线的焦点为F(x，y)，准线为l，过点A，B，O分别作AAl，BBl，OPl，其中A，B，P为垂足，则l为圆的切线，P为切点，且|AA|BB|2|OP|4.抛物线过点A，B，|FA|AA|，|FB|BB|，|FA|FB|AA|BB|4>|AB|2，点F的轨迹是以A，B为左、右焦点，4为长轴长的椭圆.又A，B在抛物线上，焦点F不在x轴上，故抛物线的焦点的轨迹方程是1(y0).故选D.10.(2022·湖北部分重点中学联考)斜率为k的直线l与抛物线y24x相交于A，B两点，与圆(x5)2y29相切于点M，且M为线段AB的中点，则k()A.± B.± C.± D.±答案A解析设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则由两式相减得(y1y2)(y1y2)4(x1x2)，则k，设圆心C(5，0)，则kCM，直线l与圆C相切，切点为M，所以×1，解得x03.将x03代入(x5)2y29得y0±，所以k±，故选A.11.(2022·咸阳调研)设点P是椭圆y21短轴的上端点，Q是椭圆上的一个动点，则|PQ|的最大值是_.答案解析设Q(x0，y0)，由题意知P(0，1)，|PQ|，因为1y01，所以当y0时，|PQ|取得最大值，|PQ|max.12.(2022·济南三模)已知椭圆C1：1(b>0)的焦点分别为F1，F2，且F2是抛物线C2：y22px(p>0)焦点，若P是C1与C2的交点，且|PF1|7，则cosPF1F2的值为_.答案解析依题意，由椭圆定义得|PF1|PF2|12，而|PF1|7，则|PF2|5，因点F2是抛物线C2：y22px(p>0)的焦点，则该抛物线的准线l过点F1，如图，过点P作PQl于点Q，由抛物线定义知|PQ|PF2|5，而F1F2PQ，则PF1F2F1PQ，所以cosPF1F2cosF1PQ.二、创新拓展练13.(2022·渭南模拟)已知曲线C的方程为1(kR)，下列说法错误的是()A.“k>1”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的必要不充分条件B.当k5时，曲线C是半径为2的圆C.当k0时，曲线C为双曲线，其渐近线方程为y±D.存在实数k，使得曲线C为离心率为的双曲线答案D解析因为曲线C的方程为1(kR)，对于A：若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则解得1<k<5，所以“k>1”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的必要不充分条件，故A正确；对于B：当k5时曲线方程为1即x2y24，表示圆心在坐标原点(0，0)，半径为2的圆，故B正确；对于C：当k0时曲线方程为y21，则曲线C为焦点在x轴上的双曲线，其渐近线方程为y±，故C正确；对于D：若曲线C为离心率为的双曲线，则e，所以a2b2，则9kk10显然不成立，故不存在实数k，使得曲线C为离心率为的双曲线，即D错误.故选D.14.(2022·江西省赣抚吉名校联考)已知点P是双曲线C：x21上的动点，点P关于双曲线C的两条渐近线的对称点分别为A，B，设双曲线C的离心率为e，则|PA|e|PB|的最小值为()A.2 B. C.2 D.4答案C解析易得双曲线C的离心率为e2，设点P(x0，y0)，则x1，即3xy3.记点P到双曲线C的两条渐近线y±x的距离分别为d1，d2，则d1d2×.|PA|e|PB|2d14d2222，当且仅当d12d2时取“”.故选C.15.已知双曲线C：1(a>0，b>0)的焦距为2c，A是C的右顶点，在C的一条渐近线上存在M，N两点，使得|AM|AN|c，且MAN120°，写出符合条件的双曲线C的一个标准方程：_.答案x2y21(答案不唯一)解析由题意，不妨设双曲线C的一条渐近线方程为yx，即bxay0，则A(a，0)到该渐近线的距离为，在等腰MAN中，|AM|AN|c，MAN120°，所以.又a2b2c2，所以ab，ca，C的离心率e.因此符合条件的双曲线C的标准方程可以为x2y21(答案不唯一).16.已知点P在双曲线1(a0，b0)上，点A(2a，0)，当|PA|最小时，点P不在顶点位置，则该双曲线离心率的取值范围是_.答案(1，)解析设P(m，n)，由题意可知P在双曲线的右支上，可得ma，由点P在双曲线1(a0，b0)上，可得1，即有n2m2b2，则|PA|.当|PA|取得最小值时，m，此时P不在顶点，可得a，即为c22a2，即e，又e1，可得1e.