创新设计二轮理科数学 教师WORD文档微专题19　立体几何中的动点及其轨迹问题.doc

微专题19立体几何中的动点及其轨迹问题1.解答立体几何中的动点及其轨迹问题的关键是把空间问题转化为平面问题，一般可以从两个方面考虑：一是利用曲线的定义，二是用解析法求出轨迹方程.2.动点轨迹的常见类型：线段、圆、球、椭圆、双曲线、抛物线等.类型一定性的研究动点的轨迹解决此类问题，最关键的是利用线面的平行、垂直关系，抓住变化过程的不变关系，结合曲线的定义作出判断. 例1 (1)如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为正方形，侧面PAD底面ABCD，M为底面ABCD内的一个动点，且满足MPMC，则点M在正方形ABCD内的轨迹为()(2)在正方体ABCDA1B1C1D1的面AB1内有一点P到直线AB与到直线B1C1的距离相等，则动点P所在曲线的形状为()A.线段 B.一段椭圆弧C.双曲线的一部分 D.抛物线的一部分答案(1)A(2)D解析(1)根据题意可知PDDC，则点D符合“M为底面ABCD内的一个动点，且满足MPMC”.设AB的中点为N，根据题目条件可知PANCBN，所以PNCN，点N也符合“M为底面ABCD内的一个动点，且满足MPMC”.故动点M的轨迹肯定过点D和点N，而到点P与到点C的距离相等的点为线段PC的垂直平分线，线段PC的垂直平分面与平面AC的交线是一直线.(2)因为B1C1平面AB1，所以PB1就是P到直线B1C1的距离，P到直线AB的距离是PM，即动点P到定点B1的距离等于到定直线AB的距离，故由抛物线的定义知动点P的轨迹为抛物线的一段，点P在正方体ABCDA1B1C1D1的面AB1内，故选D.训练1 已知在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AA1与平面A1B1C1D1垂直，且ADAB，E为CC1的中点，P在对角面BB1D1D内运动，若EP与AC成30°角，则点P的轨迹为()A.圆 B.抛物线C.双曲线 D.椭圆答案A解析因为在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AA1与平面A1B1C1D1垂直，且ADAB，所以该平行六面体ABCDA1B1C1D1是一个底面为菱形的直四棱柱，所以对角面BB1D1D底面ABCD，AC对角面BB1D1D.取AA1的中点F，连接EF，则EFAC.因为EP与AC成30°角，所以EP与EF成30°角.设EF与对角面BB1D1D的交点为O，则EO对角面BB1D1D，所以点P的轨迹是以EO为轴的一个圆锥的底面圆周，故选A.类型二定量的研究动点的轨迹当涉及动点轨迹的长度、最值等量的计算时，一般要用未知变量表示轨迹，然后借助于函数的性质求解. 例2 (1)已知在三棱锥PABC中，O为AB中点，PO平面ABC，APB90°，PAPB2，则下列说法不正确的是()A.若O为ABC的外心，则PC2B.若ABC为等边三角形，则APBCC.当ACB90°时，PC与平面PAB所成角的范围为D.当PC4时，M为平面PBC内动点，若OM平面PAC，则点M在PBC内的轨迹长度为2(2)(2022·成都诊断)如图，在圆柱的轴截面ABCD中，AB4，BC2，O1，O2分别为圆柱上、下底面的中心，M为O1O2的中点，动点P在圆柱下底面内(包括圆周).若AMMP，则点P形成的轨迹的长度为_.答案(1)B(2)解析(1)O为ABC的外心，可得OAOBOC，PO平面ABC，可得POOC，即有PC2，A正确；若ABC为等边三角形，若APBC，又APPB，可得AP平面PBC，即APPC，由POOC可得PC2AC，矛盾，故B错误；若ACB90°，设PC与平面PAB所成角为，可得OCOAOB，PC1，设C到平面PAB的距离为d，由VCPABVPABC，可得d·×2×2××AC·BC，即有AC·BC2d4，当且仅当ACBC2时取得等号，可得d的最大值为，sin ，即的取值范围为，C正确；取BC的中点N，PB的中点K，连接OK，ON，KN，由中位线定理可得ONAC，OKPA，可得平面OKN平面PAC，可得M在线段KN上，而KNPC2，可得D正确.(2)以O2为坐标原点，以O2B方向为y轴，以底面内垂直于O2B的直线为x轴，以O2O1方向为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为AB4，BC2，所以A(0，2，0)，M(0，0，1)，设P(x，y，0)，所以(0，2，1)，(x，y，1).又AMMP，所以·2y10，所以y，即点P形成的轨迹是底面上与x轴平行，且过O2B靠近点O2的四等分点的线段(也是底面圆的一条弦)，所以形成的轨迹长度为22.训练2 (2022·许昌调研)在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧棱长为6，底面是边长为8的菱形，且ABC120°，点E在边BC上，且满足BE3EC，动点M在该四棱柱的表面上运动，并且总保持MEBD1，则动点M的轨迹围成的图形的面积为_.答案15解析如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，因为底面是菱形，侧棱垂直底面，所以AC平面BDD1B1，所以BD1AC.在AB上取点F，使得BF3FA，连接EF，则EFAC，BD1EF，记AC与BD的交点为O，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(4，0，0)，D1(4，0，6)，E(1，3，0)，在BB1上取一点G，记为G(4，0，t).所以(8，0，6)，(3，3，t)，由·246t0，解得t4，即BG2GB1，所以EFG的边为点M的运动轨迹，由题意得FG2，EFAC×86，动点M的轨迹围成的图形面积为S×6×15.一、基本技能练1.如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，P为底面ABCD上的动点.PEA1C于E，且PAPE，则点P的轨迹是()A.线段 B.圆弧C.椭圆的一部分 D.抛物线的一部分答案A解析由题意知，A1APA1EP，则点P在线段AE的中垂面上运动，从而与底面ABCD的交线为线段.2.如图，AB是平面的斜线段，A为斜足，若点P在平面内运动，使得ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是()A.圆 B.椭圆C.一条直线 D.两条平行直线答案B解析由题意知，点P到线段AB的距离为定值，则点P为在以AB为旋转轴的圆柱表面上一点，故平面斜截圆柱，所得图形为椭圆.3.(2022·洛阳二模)在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，点P为正方体ABCDA1B1C1D1表面上的一个动点，且总有PCBD1，则动点P的轨迹的长度为()A.6 B.2 C.3 D.6答案A解析因为DD1平面ABCD，AC平面ABCD，所以DD1AC，而DBAC，DD1与BD相交，所以AC平面BDD1，所以ACBD1.同理可证AB1BD1，ACAB1A，所以BD1平面ACB1，所以P点的轨迹为过点C与直线BD1垂直的截面与正方体的交线，就是图形中的ACB1，它的周长为6.4.如图，斜线段AB与平面所成的角为60°，B为斜足，平面上的动点P满足PAB30°，则点P的轨迹是()A.直线 B.抛物线C.椭圆 D.双曲线的一支答案C解析由题可知，当P点运动时，在空间中，满足条件的AP绕AB旋转形成一个圆锥，用一个与圆锥高成60°角的平面截圆锥，所得图形为椭圆.5.如图所示，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，长为2的线段MN的一个端点M在棱DD1上运动，另一端点N在正方形ABCD内运动，则MN中点轨迹的面积为()A.4 B.2 C. D.答案D解析易知DD1平面ABCD，MDN90°，取线段MN的中点P，则DPMN1，所以点P的轨迹是以D为球心，1为半径的球面，故S×4×12.6.(2022·揭阳一模)如图，已知直二面角AB，P，C，D，且ADAB，BCAB，AD5，BC10，AB6，APDCPB，则点P在平面内的轨迹是()A.圆的一部分 B.椭圆的一部分C.一条直线 D.两条直线答案A解析以AB所在直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，A(3，0)，B(3，0)，设点P(x，y)，因为ADAB，BCAB，则AD，BC，AD5，BC10，AB6，APDCPB，所以RtAPDRtBPC，所以，即(x3)2y24(x3)2y2，整理得(x5)2y216，故点P的轨迹是圆的一部分.7.已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点P是平面AC内的动点， 若点P到直线A1D1的距离等于点P到直线CD的距离，则动点P的轨迹为()A.抛物线 B.双曲线C.椭圆 D.直线答案B解析如图，以A为原点，AB所在直线为x轴、AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.设P(x，y)，作PEAD于E，PFA1D1于F，连接EF，易知|PF|2|PE|2|EF|2x21，又作PNCD于N，则|PN|y1|.依题意|PF|PN|，即|y1|，化简得x2y22y0，故动点P的轨迹为双曲线，选B.8.点P为棱长是2的正方体ABCDA1B1C1D1的内切球O球面上的动点，点M为B1C1的中点，若满足DPBM，则动点P的轨迹的长度为()A. B.2 C.4 D.2答案C解析根据题意知，该正方体的内切球半径为r，如图.取BB1的中点N，连接CN，则CNBM，正方体ABCDA1B1C1D1，CN为DP在平面B1C1CB中的射影，点P的轨迹为过D，C，N的平面与内切球的交线，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，O到过D，C，N的平面的距离为1，截面圆的半径为2，点P的轨迹的长度为2×24.9.如图，长方体ABCDABCD中，ABBC，AA，上底面ABCD的中心为O，当点E在线段CC上从C移动到C时，点O在平面BDE上的射影G的轨迹长度为()A. B. C. D.答案B解析如图，以CA，CC分别为x轴，y轴正方向建立平面直角坐标系，则有C(0，0)，O(1，0)，O(1，)，设G(x，y)，由OGOG，可得·1，整理可得(x1)2，所以点O在平面BDE上的射影G的轨迹是以F为圆心，半径为的.因为tanGOF，所以OGOO·sinGOF，所以OGF是等边三角形，即GFO，所以圆弧OG的长l×.10.在棱长为3的正方体ABCDA1B1C1D1中，E是AA1的中点，P是底面ABCD所在平面内一动点，设PD1，PE与底面ABCD所成的角分别为1，2(1，2均不为0)，若12，则三棱锥PBB1C1体积的最小值是()A. B. C. D.答案C解析以D为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，因为正方体的边长为3，则E，D1(0，0，3)，设P(x，y，0)(x0，y0)，则，(x，y，3).因为12，平面ABCD的一个法向量z(0，0，1)，所以cos 1cos 2，即，得，整理得x2y28x120，即(x4)2y24(0y2)，则动点P的轨迹为圆的一部分，所以点P到平面BB1C1的最小距离为1，所以三棱锥PBB1C1体积的最小值是××3×3×1.11.在长方体ABCDA1B1C1D1中，已知底面ABCD为正方形，P为A1D1的中点，AD2，AA1，点Q为正方形ABCD所在平面内的一个动点，且满足QCQP，则线段BQ的长度的最大值是_.答案6解析在正方形ABCD所在平面内建立平面直角坐标系，设Q(x，y)，则有PQ23x2(1y)2，QC2(x2)2(y2)2，因为QCQP，所以(x2)2(y2)262x22(1y)2，整理得(x2)2y24，所以点Q的轨迹是以(2，0)为圆心，以2为半径的圆，故线段BQ长度的最大值为2×226.12.如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，点M是AD中点，动点P在底面ABCD内(不包括边界)，使四面体A1BMP的体积为，则C1P的最小值是_.答案解析由已知得四面体A1BMP体积VA1MBP×2×SMBP，所以SMBP1，设点P到BM的距离为h，则SMBP××h1，解得h，所以P在底面ABCD内(不包括边界)与BM平行且距离为的线段l上，要使C1P最小，则此时P是过C作BM的垂线的垂足.点C到BM的距离为，所以CP，此时(C1P)min.二、创新拓展练13.在长方体ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是边长为3的正方形，侧棱AA1x，P为矩形CDD1C1内部(含边界)一点，M为BC中点，APDCPM，三棱锥A1PCD的体积的最大值记为V(x)，则关于函数V(x)，下列结论正确的是()A.V(x)为奇函数B.V(x)在(0，)上单调递增C.V(2)3D.V(3)答案D解析因为APDCPM，所以tanAPDtanCPM，即，则PD2PC，所以点P在以点E为圆心，半径为2的圆上，其中CE1，CF.当0<x时，(SPCD)maxx；当x>时，(SPCD)max，即V(x)易得A，B，C错误，D正确，故选D.14.在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD1，AA1，点P，Q分别为直线AC1，BB1上的动点，则平面APQ与平面BCC1B1所成二面角的最小值为()A. B. C. D.答案A解析法一如图，因为点PAC1，所以平面APQ即为平面AC1Q，根据二面角与线面角的大小关系知，当Q运动到点B时，动平面AC1Q与平面BCC1B1所成二面角的最小值即为直线AC1与平面BCC1B1所成角AC1B.由题意得AB1，AC12，所以sinAC1B，所以AC1B，故平面APQ与平面BCC1B1所成二面角的最小值为，故选A.法二如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，由题意可知平面BCC1B1的一个法向量为n(0，1，0)，平面APQ即为平面AC1Q，则点A(1，0，0)，C1(0，1，)，Q(1，1，a)，则(1，1，)，(0，1，a)，设平面AC1Q的法向量为m(x，y，z)，则取m(a，a，1).设平面AC1Q与平面BCC1B1所成二面角为，则cos ，所以当a时，(cos )max，所以min，故选A.15.如图，ABC是等腰直角三角形，ABAC，BCD90°，且BCCD3.将ABC沿BC翻折，设点A在平面BCD上的射影为点M，若点M在BCD内部(含边界)，则点M的轨迹的最大长度等于_；在翻折过程中，当点M位于线段BD上时，直线AB和CD所成的角的余弦值等于_.答案解析由题意可得点A的射影M的轨迹的最大长度为BCD的中位线长度，为CD；当点M位于线段BD上时，AM平面BCD，取BC中点为N，AC中点为P，MNP或其补角即为直线AB和CD所成的角，由中位线定理可得MNCD，PNAB，又MP为RtAMC斜边AC的中线，故MPAC，在MNP中，由余弦定理可得cosMNP.16.点M为正方体ABCDA1B1C1D1的内切球O球面上的动点，点N为B1C1上一点，NC12NB1，DMBN，若球O的体积为9，则动点M的轨迹的长度为_.答案解析如图，在BB1上取点P，使2BPPB1，连接CP，DP，BN，因为NC12NB1，所以CPBN.又DC平面BCC1B1，所以DCBN，又DCCPC，BN平面BCC1B1，则BN平面DCP，则M点的轨迹为平面DCP截球O的截面圆周.设正方体的棱长为a，则×9，解得a3.连接OD，OP，OC，由VODPCVCDPO，得点O到平面DPC的距离为，所以截面圆的半径r，则点M的轨迹长度为2×.