创新设计二轮理科数学 教师WORD文档微专题2　三角恒等变换与解三角形.doc

微专题2三角恒等变换与解三角形高考定位1.三角函数的化简与求值是高考的命题重点，其中关键是运用倍角公式、两角和与差公式进行恒等变换，“角”的变换是三角恒等变换的核心；2.正、余弦定理及应用是高考的必考内容，主要考查边、角、面积的计算及有关的范围问题，常与三角恒等变换交汇融合，注重基础知识、基本能力的考查.1.(2021·全国乙卷)cos2cos2()A. B. C. D.答案D解析因为cossinsin ，所以cos2cos2cos2sin2cos .故选D.2.(2022·新高考卷)若sin()cos()2cossin ，则()A.tan()1B.tan()1C.tan()1D.tan()1答案C解析由题意得sin cos sin cos cos cos sin sin 2×(cos sin )sin ，整理，得sin cos sin cos cos cos sin sin 0，即sin()cos()0，所以tan()1，故选C.3.(2021·全国甲卷)在ABC中，已知B120°，AC，AB2，则BC()A.1 B. C. D.3答案D解析法一由余弦定理得AC2AB2BC22AB·BCcos B，得BC22BC150，解得BC3或BC5(舍去).故选D.法二由正弦定理，得sin C，从而cos C(C是锐角)，所以sin A sin (BC)sin (BC)sin Bcos Ccos Bsin C××.又，所以BC3.故选D.4.(2021·浙江卷)在ABC中，B60°，AB2，M是BC的中点，AM2， 则AC_；cos MAC_.答案2解析由B60°，AB2，AM2，及余弦定理可得BM4，因为M为BC的中点，所以BC8.在ABC中，由余弦定理可得AC2AB2BC22BC·AB·cos B4642×8×2×52，所以AC2，所以在AMC中，由余弦定理得cosMAC.5.(2022·全国乙卷)设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin Csin(AB)sin Bsin(CA).(1)若A2B，求C；(2)证明：2a2b2c2.(1)解由A2B，ABC，可得A.将A2B代入sin Csin(AB)sin Bsin(CA)，可得sin Csin Bsin Bsin(CA).因为B(0，)，所以sin B0，所以sin Csin(CA).又A，C(0，)，所以CCA，即A2C，与A联立，解得C.(2)证明法一由sin Csin(AB)sin Bsin(CA)，可得sin Csin Acos Bsin Ccos Asin Bsin Bsin Ccos Asin Bcos Csin A，结合正弦定理可得，accos Bbccos Abccos Aabcos C，即accos Babcos C2bccos A(*).由余弦定理得，accos B，abcos C，2bccos Ab2c2a2，将上述三式代入(*)式并整理，得2a2b2c2.法二因为ABC，所以sin Csin(AB)sin(AB)sin(AB)sin2Acos2Bcos2Asin2Bsin2A(1sin2B)(1sin2A)sin2Bsin2Asin2B，同理有sin Bsin(CA)sin(CA)sin(CA)sin2Csin2A.又sin Csin(AB)sin Bsin(CA)，所以sin2Asin2Bsin2Csin2A，即2sin2Asin2Bsin2C，故由正弦定理可得2a2b2c2.热点一三角恒等变换1.三角求值“三大类型”“给角求值”“给值求值”“给值求角”.2.三角恒等变换“四大策略”(1)数值代换：常用到“1”的代换，1sin2cos2tan 45°等.(2)项的拆分与角的配凑：如sin22cos2(sin2cos2)cos2，()等.(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次.(4)弦、切互化，实现角和函数名的统一. 例1 (1)(2022·长沙长郡中学调研)已知且12cos27sin 240，若tan()3，则tan ()A.或7 B.或1C.1 D.(2)(2022·深圳质检)已知，(0，)且tan ，cos ，则()A. B. C. D.答案(1)D(2)B解析(1)由12cos27sin 240，得4cos27sin cos 2sin20，2tan27tan 40，由，得tan 4.又tan()3，tan tan()，故选D.(2)因为，(0，)且tan ，cos ，所以，sin ，tan 3，因为tan()1，所以.故选B.易错提醒(1)求三角函数值时，要注意根据角的范围判断三角函数值的符号来确定其值.(2)对于给值求角问题，要根据已知角求这个角的某个三角函数值，然后结合角的范围求出角的大小，求解时，要尽量缩小角的取值范围，避免产生增解.训练1 (1)(2022·重庆诊断)已知，若sin ，则cos()A. B.C. D.(2)(2022·盐城二模)计算所得的结果为()A.1 B. C. D.2答案(1)D(2)C解析(1)由且sin ，得cos ，则coscos cos sin sin .故选D.(2)原式.热点二正弦定理和余弦定理1.正弦定理：在ABC中，2R(R为ABC的外接圆半径).变形：a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C，sin A，sin B，sin C，abcsin Asin Bsin C等.2.余弦定理：在ABC中，a2b2c22bccos A.变形：b2c2a22bccos A，cos A.例2 (1)(2022·邢台联考)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(ab)·(sin Asin B)csin Cb(1cos A)·sin C，则cos A()A. B. C. D.(2)(2022·烟台模拟)在ABC中，已知C120°，sin B2sin A，且ABC的面积为2，则AB的长为_.答案(1)A(2)2解析(1)由题意及正弦定理可得(ab)(ab)c2bc(1cos A)，整理得a2b2c2bc(1cos A)，因为a2b2c22bccos A，所以2cos A1cos A，解得cos A.(2)设角A，B，C的对边分别为a，b，c.由sin B2sin A及正弦定理可得b2a，SABCabsin Ca×2a×2，a2，b4，由余弦定理可得c24162×2×4×28，c2.规律方法(1)利用正、余弦定理解三角形时，涉及边与角的余弦的积时，常用正弦定理将边化为角，涉及边的平方时，一般用余弦定理.(2)涉及边a，b，c的齐次等式时，常用正弦定理转化为角的正弦值，再利用三角公式进行变形.训练2 (1)(2022·泰安三模)在ABC中，AC3，BC2，cos C，则tan A()A. B. C. D.(2)在ABC中，cos C，AC4，BC3，则cos B等于()A. B. C. D.答案(1)D(2)A解析(1)由余弦定理得AB2AC2BC22BC·ACcos C32222×3×2×4，所以AB2，所以ABBC，所以AC，所以cos Acos C，则sin A，故tan A.故选D.(2)由余弦定理得AB2AC2BC22AC·BCcos C42322×4×3×9，所以AB3，所以cos B.故选A.热点三正弦定理、余弦定理的综合应用1.利用正、余弦定理解决实际问题的一般流程：2.涉及正、余弦定理与三角形面积的综合问题求三角形面积时常用Sabsin C形式的面积公式.3.在ABC中，有abcos Cccos B，bacos Cccos A，cacos Bbcos A，称为射影定理，在小题中使用可快速化简，大题解答时需有简单证明过程.例3 (2021·全国甲卷)2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86(单位：m).三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A，B，C满足ACB45°，ABC60°.由C点测得B点的仰角为15°，BB与CC的差为100；由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面ABC的高度差AACC约为(1.732)()A.346 B.373 C.446 D.473答案B解析如图所示，根据题意过C作CECB，交BB于E，过B作BDAB，交AA于D，则BE100，CBCE.在ACB中，CAB180°ACBABC75°，则BDAB，又在B点处测得A点的仰角为45°，所以ADBD，所以高度差AACCADBE100100100100100(1)100373.例4 (2022·北京海淀区模拟)设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asin Bbcos A.(1)求A；(2)从以下三组条件中选择一组条件作为已知条件，使ABC存在且唯一确定，并求ABC的面积.第组条件：a，c5.第组条件：cos C，c4.第组条件：AB边上的高h，a3.注：如果选择多种情形分别解答，按第一个解答计分.解(1)因为asin Bbcos A，由正弦定理可得sin Asin Bsin Bcos A，又B(0，)，所以sin B0，则sin Acos A，即tan A，又A(0，)，所以A.(2)若选择第组条件，由余弦定理可得a2b2c22bccos A，即19b2255b，解得b2或3，不符合题意，故不能选第组条件.若选择第组条件，因为C(0，)，cos C，所以sin C，由正弦定理可得a3，则sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C××，此时ABC的面积Sacsin B×3×4×43.若选择第组条件，因为AB边上的高h，所以bsin ，则b2，由余弦定理a2b2c22bccos A，得94c22c，解得c1(舍负)，此时ABC的面积Sbcsin A×2×(1)×.规律方法(1)对于解三角形的开放性问题，要根据自己的实际情况，选择自己最熟悉，易转化的条件用以求解.(2)与面积有关的问题，一般要根据已知角来选择三个面积公式(Sabsin Cbcsin Aacsin B)中的一个，同时再用正、余弦定理进行边角转化.训练3 (1)(2022·湖南三湘名校联考)如图是2021年9月17日13时34分神舟十二号返回舱(图中C)接近地面的场景.伞面是表面积为1 200 m2的半球面(不含底面圆)，伞顶B与返回舱底端C的距离为半球半径的5倍，直线BC与水平地面垂直于D，D和观测点A在同一水平线上，在A测得点B的仰角DAB30°，且sinBAC，则此时返回舱底端离地面的距离CD_(3.14，sinACB，计算过程中，球半径四舍五入保留整数).答案20 m解析设半球的半径为r m，则2r21 200，r14，BC5r70 m.在ABC中，由正弦定理得，则AB70××180(m)，BD90 m，则CDBDBC20(m).(2)(2022·青岛调研)从2bsin Aatan B，a2b2acc2，sin Bcos B1这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并解答.在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且_.()求B的大小；()若b2，SABC，求ABC的周长.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.解()若选：因为2bsin Aatan B，所以2ab，所以cos B，因为B(0，)，所以B.若选：因为a2b2acc2，所以a2c2b2ac，所以2accos Bac，所以cos B，因为B(0，)，所以B.若选：因为sin Bcos B1，所以sin Bcos B1，所以2sin1，所以sin，因为B，所以B，所以B.()因为b2a2c22accos B，所以a2c2ac4，又SABCacsin B，所以ac2，所以(ac)23ac4，所以(ac)210，所以ac，所以ABC的周长为2.一、基本技能练1.(2022·河北省级联测)在ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，B135°，b，c，则a()A.2 B. C.3 D.2答案B解析由余弦定理得b2a2c2ac，即15a2a3，解得a(舍负).故选B.2.(2022·山东新高考联考)已知sin，则sin()A. B. C. D.答案D解析设，则，sin ，从而sinsinsincos 212sin2.故选D.3.(2022·贵阳质检)在ABC中，若asin Bcbcos A，则B()A. B. C. D.答案B解析由asin Bcbcos A及正弦定理，得sin Asin Bsin Csin Bcos A，又sin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B，则sin Asin Bsin Acos B，sin A0，tan B，又B(0，)，则B.4.(2022·深圳六校联考)已知ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，则根据条件解三角形时有两解的一组条件是()A.a1，b2，AB.a2，b1，AC.a2，b3，AD.a4，b3，A答案C解析对于A，由且a1，b2，A，得，sin B>1，所以ABC无解.对于B，由且a2，b1，A，得，sin B<1，又b<a，所以B唯一确定，ABC有一解.对于C，由且a2，b3，A，得，sin B，又b>a，B(0，)，所以B的值有2个，ABC有两解.对于D，由且a4，b3，A，得，sin B<1，又b<a，所以B唯一确定，ABC有一解.5.(2022·辽宁百校联盟质检)如图，无人机在离地面高300 m的M处，观测到山顶A处的俯角为15°，山脚C处的俯角为60°，已知ABBC，则山的高度AB为()A.150 m B.200 mC.200 m D.300 m答案B解析在RtMNC中，MCN60°，MN300 m，所以MC200 m.在ACM中，由已知得MAC15°45°60°，AMC60°15°45°，由正弦定理得，故AC200 m.在RtABC中，ABBCACsin 45°200×200 m，所以山的高度AB200 m.故选B.6.(2022·郑州二模)已知函数f(x)sin(x)在某个周期内的图象如图所示，A，B分别是f(x)图象的最高点与最低点，C是f(x)的图象与x轴的交点，则tanBAC()A. B. C. D.答案B解析过A作AD垂直于x轴于点D，设AB与x轴交于E，由题意可得函数的周期为2，设C(a，0)，则B，A，所以CD，AD1，DE，tanCAD，tanEAD，所以tanBACtan(CADEAD).故选B.7.(2022·皖南八校联考)已知sin，则sin_.答案解析因为sin，所以sinsincos2sin21.8.(2022·山东省实验中学二诊)已知cos cos ，sin sin ，则cos()_.答案解析由得得22cos()，则cos().9.(2022·济宁二模)已知tan，则cos 2_.答案解析tan，tan ，因此cos 2cos2sin2.10.(2022·长沙长郡中学质检)易经中记载着一种几何图形八卦图，图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，图中八块面积相等的曲边梯形代表八卦田.某中学开展劳动实习，去测量当地八卦田的面积，如图，现测得正八边形的边长为8 m，代表阴阳太极图的圆的半径为2 m，则每块八卦田的面积为_ m2.答案1616解析由题图可知，正八边形被分割成8个全等的等腰三角形，顶角为45°，设等腰三角形的腰长为a m，由正弦定理可得，解得a8sin ，所以等腰三角形的面积Ssin 45°32·16(1)(m2)，则每块八卦田的面积为16(1)××22(m2).11.在平面直角坐标系xOy中，锐角的顶点为坐标原点O，始边为x轴的非负半轴，终边上有一点P(1，2).(1)求cos 2sin 2；(2)若sin()，且，求角的值.解(1)锐角的终边上有一点P(1，2)，sin ，cos ，sin 22sin cos 2××，cos 22cos212×1，cos 2sin 2.(2)由，得，sin()，cos()，则sin sin()sin cos()cos sin()××，因为，所以.12.(2022·北京卷)在ABC中，sin 2Csin C.(1)求C；(2)若b6，且ABC的面积为6，求ABC的周长.解(1)因为sin 2Csin C，所以2sin Ccos Csin C.因为C(0，)，所以sin C0，所以cos C，又C(0，)，故C.(2)因为ABC的面积Sabsin C×a×6×6，所以a4.由余弦定理可得c2a2b22abcos C48367212，所以c2，所以ABC的周长为abc4626(1).二、创新拓展练13.若，且cos 2sin，则tan _.答案解析因为，所以sin cos 0.因为cos 2sin，所以(cos sin )(cos sin )(sin cos )，所以cos sin >0，可得.所以sin cos ，所以，整理得tan 或tan ，又，所以tan .14.(2022·浙江卷)若3sin sin ，则sin _，cos 2_.答案解析因为，所以，所以3sin sin 3sin sin3sin cos sin()，其中sin ，cos .所以2k，kZ，所以2k，kZ，所以sin sincos ，kZ.因为sin 3sin ，所以cos 212sin21.15.(2022·沈阳市郊联体一模)滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作滕王阁序中的“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而名传千古.如图，在滕王阁旁水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点P的仰角分别为30°，60°，45°，且ABBC75米，则滕王阁的高度OP_米.答案15解析设OPh，由题意知PAO30°，PBO60°，PCO45°，所以OA3h，OBh，OCh.在OBC中，由余弦定理OC2OB2BC22OB·BC·cosOBC，得3h2h27522×75hcosOBC，在OAB中，由余弦定理OA2OB2AB22OB·AB·cosOBA，得9h2h27522×75hcosOBA，因为cosOBCcosOBA0，所以，得12h22h22×752，解得h15，所以OPh15(米).16.(2022·北京昌平区调研)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，bc，a6.(1)若A，求c的值；(2)在下面三个条件中选择一个作为已知，求ABC的面积.cos Bcos C，cos Bsin C，B2C.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.解(1)在ABC中，由余弦定理得a2b2c22bccos A，因为bc，a6，A，所以363c2c22c2·，解得c236，所以c6.(2)若选条件：cos Bcos C.bc，由正弦定理可得sin Bsin C，又cos Bcos C，所以sin Bcos Bsin Ccos C，所以sin 2Bsin 2C，因为0<BC<，0<2B2C<2，所以2B2C或2B2C，因为bc，所以B>C，所以2B2C不成立，所以2B2C，所以BC，所以A.则在RtABC中，363c2c2，解得c3，所以b3，所以SABCbc.若选条件：cos Bsin C.在ABC中，因为bc，由正弦定理可得sin Bsin C，又cos Bsin C，所以，所以tan B，因为0<B<，所以B，所以sin Ccos B，因为0<C<，且bc，所以C，所以A.后同选择条件.若选条件：B2C.在ABC中，因为bc，由正弦定理得sin Bsin C，因为B2C，所以sin B2sin Ccos C，所以2sin Ccos Csin C，又sin C0，所以cos C，因为0<C<，所以C，所以B2C，所以A.后同选择条件.