创新设计二轮理科数学 教师WORD文档微专题12　数列中的不等式证明及放缩问题.doc

微专题12数列中的不等式证明及放缩问题数列不等式证明问题的常见放缩技巧(1)对的放缩，根据不同的要求，大致有三种情况(下列nN*)：(n2)；(n2)；2(n1).(2)对的放缩，根据不同的要求，大致有两种情况(下列nN*)：(n1)；(n1).类型一关于数列项的不等式证明(1)结合“累加”“累乘”“迭代”放缩；(2)利用二项式定理放缩；(3)利用基本不等式或不等式的性质；(4)转化为求最值、值域问题. 例1 设正项数列an满足a11，an1an(nN*).求证：(1)2<aa3；(2).证明(1)因为a11及an1an(n1)，所以an1，所以01.因为aa2，所以aa2(2，3，即2<aa3.(2)由(1)得2<aa3，2<aa3，2<aa3，2<aa3，故2n<aa3n，所以2n1<a3n1，即2n1<a3n2(n2)，当n1时，满足2n1a3n2，所以2n1a3n2，所以1，即.训练1 (2022·天津模拟)已知数列an满足anan1n·(n2，nN*)，a1.(1)求数列an的通项公式；(2)设数列cn满足c1，cn1·ccn，其中k为一个给定的正整数，求证：当nk时，恒有cn<1.(1)解由已知可得：(n2)，即，由累加法可求得，即ann(n2)，又n1时也成立，故ann(nN*).(2)证明由题意知cn1ccn，cn为递增数列，只需证ck<1即可.当k1时，c1<1成立，当k2时，cn1ccn<cncn1cn，即>，因此>2，ck<<1，当nk时，恒有cn<1.类型二对通项公式放缩后求和在解决与数列的和有关的不等式证明问题时，若不易求和，可根据项的结构特征进行放缩，转化为易求和数列来证明. 例2 已知数列an的前n项和为Sn，若4Sn(2n1)an11，且a11.(1)证明：数列an是等差数列，并求出an的通项公式；(2)设bn，数列bn的前n项和为Tn，求证：Tn<.证明(1)因为4Sn(2n1)an11，所以4Sn1(2n3)an1(n2)，两式相减得4an(2n1)an1(2n3)an(n2)，即(2n1)an(2n1)an1，所以，所以，所以····××，即(n2)，所以ana2.由4Sn(2n1)an11，令n1可得4S1a21a23，所以an2n1(n2)，经验证a11符合上式，所以an2n1.又由an1an2为定值，故an是等差数列.(2)由(1)得Snn2，bn，b11，显然T1<；当n2时，bn<，所以Tnb1b2bn<b11<.故Tn<.训练2 已知数列an中，a1，4an1an3(nN*).(1)证明：数列an1是等比数列，并求an前n项的和Sn；(2)令bn2n·an，求证：.证明(1)因为4an14an1，所以an11(an1).又a110，所以an10，从而，所以数列an1是以为首项，为公比的等比数列.所以an1，即an1；所以Sna1a2annnn(nN*).(2)由(1)可知，an1，所以bn2n·an2n.所以.当n1时，.当n2时，.综上，<.类型三对求和结论进行放缩对于含有数列和的不等式，若数列的和易于求出，则一般采用先求和再放缩的策略证明不等式. 例3 (2022·郑州模拟)已知正项数列an的前n项和为Sn，且满足a11，a23，an23an12an，数列cn满足22c132c242c3(n1)2cnn.(1)求出an，cn的通项公式；(2)设数列的前n项和为Tn，求证：Tn<.(1)解由an23an12an，得an2an12(an1an).又a2a12，则数列an1an是首项为2，公比为2的等比数列，an1an2×2n12n，a2a12，a3a222，a4a323，anan12n1，累加得ana12222n1，an12222n12n1.数列cn满足22c132c242c3(n1)2cnn，当n1时，c1；当n2时，22c132c242c3n2cn1n1，由可得cn，当n1时，也符合上式，故数列cn的通项公式为cn.(2)证明由(1)可得，则Tn<，故Tn<成立.训练3 已知等差数列an的前n项和为Sn，a3n3an2，且S5S34a2.(1)求数列an的通项公式；(2)设数列的前n项和为Tn，证明：Tn<.(1)解设数列an的公差为d，在a3n3an2中令n1，有a33a12，即a12d3a12，故a1d1.由S5S34a2得a4a54a2，所以2a13d.由，解得a13，d2，所以数列an的通项公式为an2n1.(2)证明Snn22n，所以，故Tn×，所以Tn×.因为>0，所以Tn<.类型四利用数列的单调性证明不等式若所证的数列不等式中有等号，常考虑利用数列的单调性来证明. 例4 已知等差数列an的公差d0，a125，且a1，a11，a13成等比数列.(1)求使不等式an0成立的最大自然数n；(2)记数列的前n项和为Tn，求证：Tn.(1)解由题意，可知aa1·a13，即(a110d)2a1·(a112d)，d(2a125d)0.又a125，d0，d2，an2n27，2n270，n13.5，故满足题意的最大自然数为n13.(2)证明，Tn.从而当n12时，Tn单调递增，且Tn>0；当n13时，Tn单调递增，且Tn<0，T13TnT12，由T12，T13，Tn.训练4 (2022·重庆诊断)已知数列an满足a22，且nan1(n1)an，数列bn各项均为正数，其前n项和Sn满足2S(n25n2)Snn25n0.(1)求数列an和bn的通项公式；(2)令cn，数列cn的前n项和为Tn，求证：Tn2n.(1)解由nan1(n1)an，得1，得ann.由2S(n25n2)Snn25n0，得(2Snn25n)(Sn1)0，因为数列bn各项均为正数，Sn1>0.所以Sn，当n2时，bnSnSn1n2，因为b1S13也符合上式，所以bnn2.(2)证明由(1)知cn22，Tnc1c2cn2n2×(1)，2n2322n，则Tn2n32，设f(n)Tn2n32，因为f(n1)f(n)322>0，所以f(n)单调递增，故f(n)f(1)，Tn2n.一、基本技能练1.(2022·西安二模)设等比数列an的前n项和为Sn，且an12Sn1(nN*).(1)求数列an的通项公式；(2)在an与an1之间插入n个实数，使这n2个数依次组成公差为dn的等差数列，设数列的前n项和为Tn，求证：Tn<.(1)解由两式相减得an1an2(SnSn1)2an(n2)，所以an13an(n2).因为an是等比数列，所以公比为3，又a22a11，所以3a12a11，所以a11.故an3n1.(2)证明由题设得an1an(n1)dn，所以，所以Tn，所以2Tn， 则Tn，得，Tn22，所以Tn，所以Tn<.2.(2022·焦作模拟)已知数列an的前n项和为Sn，a13，a24，Sn12Sn13Sn2(n2).(1)证明：数列an2是等比数列，并求数列an的通项公式；(2)记bn，数列bn的前n项和为Tn，证明：Tn<.证明(1)当n2时，由Sn12Sn13Sn2可变形为Sn1Sn2(SnSn1)2，即an12an2，即an122(an2)，所以2(n2)，又因为a13，a24，可得a121，a222，所以2，所以数列an2是以1为首项，2为公比的等比数列，所以an22n1，所以数列an的通项公式为an22n1.(2)由an22n1，可得bn，所以Tnb1b2b3bn，因为>0，所以<，即Tn<，又因为f(n)，nN*，单调递增，所以Tnb1，所以Tn<.3.(2022·廊坊模拟)已知公差不为0的等差数列an满足：a11且a2，a5，a14成等比数列.(1)求数列an的通项公式an和前n项和Sn；(2)证明：不等式<<2(n2且nN*).(1)解设数列an公差为d，因为a2，a5，a14成等比数列.所以aa2a14，即(14d)2(1d)(113d)，得3d26d0，又d0，所以d2.故an12(n1)2n1，Snn2(nN*).(2)证明由(1)得，因为当n2时，<<，即<<.所以1<1<11，即<<2.二、创新拓展练4.(2022·连云港六校联考)在正项数列an中，已知a2，an1an.(1)确定数列an的单调性，并求出an的最小值；(2)证明：对任意nN*，都有an成立.(1)解因为an1an，所以an1an>0，即数列an是递增数列，因此an的最小值是a1.在递推式中，令n1，则a2a1，即a1，解得a1(负值舍去)，所以an的最小值是.(2)证明由(1)知，an1>an，所以an1an<<，即<，所以<，nN*.当n2时，<，即<1，>，所以an<.当n1时，an.故对任意nN*，都有an成立.