创新设计二轮理科数学 教师WORD文档微专题22　直线与圆锥曲线的位置关系.doc

微专题22直线与圆锥曲线的位置关系高考定位直线与圆锥曲线的位置关系是高考命题的重点和热点，每年会出现一道综合性解答题，作为压轴题，难度较大，另外，考查直线与圆锥曲线关系的小题也时常出现，多为中档难度.1.(2021·新高考卷)抛物线y22px(p>0)的焦点到直线yx1的距离为，则p()A.1 B.2 C.2 D.4答案B解析抛物线的焦点坐标为，其到直线xy10的距离d，解得：p2(p6舍去).故选B.2.(2021·天津卷)已知双曲线1(a0，b0)的右焦点与抛物线y22px(p0)的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C，D两点，若|CD|AB|，则双曲线的离心率为()A. B. C.2 D.3答案A解析设双曲线1(a0，b0)与抛物线y22px(p0)的公共焦点为(c，0)，则抛物线y22px(p0)的准线为xc.把xc代入双曲线方程，得1，解得y±，所以|AB|，又因为双曲线的渐近线方程为y±x，所以|CD|，所以，即cb，所以a2c2b2c2，所以双曲线的离心率e.故选A.3.(2022·全国甲卷)记双曲线C：1(a0，b0)的离心率为e，写出满足条件“直线y2x与C无公共点”的e的一个值_.答案2(1，内的任意值均可)解析双曲线C的渐近线方程为y±x，若直线y2x与双曲线C无公共点，则2，4，e215，又e1，e(1，填写(1，内的任意值均可.4.(2022·新高考卷)已知直线l与椭圆1在第一象限交于A，B两点，l与x轴、y轴分别交于M，N两点，且|MA|NB|，|MN|2，则l的方程为_.答案xy20解析法一设直线l的方程为1(m>0，n>0)，分别令y0，x0，得点M(m，0)，N(0，n).设A(x1，y1)，B(x2，y2).由题意知线段AB与线段MN有相同的中点，所以即因为kABkMN，所以.将A(x1，y1)，B(x2，y2)代入椭圆方程，得相减得0，由题意知x1x20，x1x2，所以·，即·，整理得m22n2.又|MN|2，所以由勾股定理，得m2n212，由并结合m>0，n>0，得所以直线l的方程为1，即xy20.法二设直线l的方程为1(m>0，n>0)，分别令y0，x0，得点M(m，0)，N(0，n).由题意知线段AB与线段MN有相同的中点，设为Q，则Q，则kAB，kOQ.由椭圆中点弦的性质知，kAB·kOQ，即·，以下同法一.5.(2022·新高考卷)已知点A(2，1)在双曲线C：1(a>1)上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0.(1)求l的斜率；(2)若tan PAQ2，求PAQ的面积.解(1)将点A的坐标代入双曲线方程得1，化简得a44a240，得a22，故双曲线C的方程为y21.由题易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为ykxm，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立直线l与双曲线C的方程，消y整理得(2k21)x24kmx2m220，2k210时，(4km)24(2k21)(2m22)8(m212k2)>0，故x1x2，x1x2.kAPkAQ0，化简得2kx1x2(m12k)(x1x2)4(m1)0，故(m12k)4(m1)0，整理得(k1)(m2k1)0，又直线l不过点A，即m2k10，故k1.(2)不妨设直线PA的倾斜角为，由题意知PAQ2，所以tan PAQtan 22，解得tan 或tan (舍去).由得x1，所以|AP|x12|，同理得x2，所以|AQ|x22|.因为tan PAQ2，所以sin PAQ，故SPAQ|AP|AQ|sin PAQ×××.热点一中点弦问题已知A(x1，y1)，B(x2，y2)为圆锥曲线E上两点，AB的中点C(x0，y0)，直线AB的斜率为k.(1)若椭圆E的方程为1(a>b>0)，则k·；(2)若双曲线E的方程为1(a>0，b>0)，则k·；(3)若抛物线E的方程为y22px(p>0)，则k.例1 (1)(2022·宝鸡二模)椭圆1中以点M(2，1)为中点的弦所在直线方程为()A.4x9y170B.4x9y170C.x3y230D.x3y230(2)(2022·南充二诊)已知椭圆C：1(a>b>0)的左焦点为F，过点F的直线xy0与椭圆C相交于不同的两点A，B，若P为线段AB的中点，O为坐标原点，直线OP的斜率为，则椭圆C的方程为()A.y21 B.1C.1 D.1答案(1)A(2)B解析(1)设点M(2，1)为中点的弦的端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有两式相减得0，因为M(2，1)为中点，所以2，1，所以斜率k(或直接利用结论k·×)，所以所求直线方程为y1(x2)，即4x9y170.(2)直线xy0过点F(，0)，所以c，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由1，1两式相减并化简得·，即·1，a22b2b2c2，所以bc，a2，所以椭圆C的方程为1.规律方法(1)处理中点弦问题的常用方法：根与系数的关系，点差法.(2)利用点差法需注意保证直线与曲线相交.训练1 已知双曲线C：1(a>0，b>0)的右焦点为F，虚轴的上端点为B，点P，Q在双曲线上，且点M(2，1)为线段PQ的中点，PQBF，双曲线的离心率为e，则e2等于()A. B.C. D.答案A解析法一由题意知F(c，0)，B(0，b)，则kPQkBF.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则两式相减，得.因为线段PQ的中点为M(2，1)，所以x1x24，y1y22，又kPQ，所以，整理得a22bc，所以a44b2c24c2(c2a2)，即4e44e210，得e2，或e2(舍去).法二由题意知F(c，0)，B(0，b)，则kBF.设直线PQ的方程为y1k(x2)，即ykx2k1，代入双曲线方程，得(b2a2k2)x22a2k(2k1)xa2(2k1)2a2b20.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1x24，所以4，又kkBF，所以2a2·4b24a2.整理得a22bc，所以c2b22bc0，即10，得1，或1(舍去)，则e2.热点二弦长问题已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k(k0)，则|AB|x1x2|或|AB|y1y2|.例2 如图所示，已知抛物线x24y的焦点为F，过点F任作直线l(l与x轴不平行)交抛物线于A，B两点，点A关于y轴的对称点为点C.(1)求证：直线BC与y轴的交点D为定点；(2)过点A，B分别作抛物线的切线，两条切线交于点E，求的最小值及此时直线l的方程.(1)证明设A(x1，y1)，B(x2，y2).易知F(0，1)，直线l斜率存在且不为0，可设直线l的方程为ykx1(k0).由消去y并整理得x24kx40，>0， 点A，C关于y轴对称，C(x1，y1)，kCB，直线BC的方程为y(xx2)，令x0，得y1，直线BC与y轴的交点D为定点(0，1).(2)解由yx2，得y，过点A的切线方程为y(xx1)，即yx.同理可得过点B的切线方程为yx.由得由(1)可得E(2k，1)，|DE|2|k|.又|AB|x1x2|·4(k21)，24，当且仅当k±1时等号成立，此时直线l的方程为yx1或yx1.规律方法(1)设直线方程要注意斜率不存在的情况.若已知直线过(t，0)，可设直线方程为xmyt(m0)；(2)联立直线、曲线的方程组消元后，一需要二次项系数不等零，二需要0；(3)点差法，要检验中点是否在圆锥曲线内部，若中点在曲线内部，可不必检验0.训练2 (2022·兰州质检)椭圆C：1(a>b>0)经过点P，且两焦点与短轴的两个端点的连线构成一个正方形.(1)求椭圆C的方程；(2)过椭圆C的右焦点F作直线l交C于A，B两点，且2，求|AB|.解(1)两焦点与短轴的两个端点的连线构成一个正方形，bc，椭圆过点P，1，又a2b2c2，解得a22，b21，椭圆C的方程为y21.(2)F(1，0)，设lAB：xmy1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程得得(m22)y22my10，2，y12y2，2，m2，|AB|·|y1y2|·.热点三直线与圆锥曲线位置关系的应用直线与圆锥曲线位置关系的判定方法(1)联立直线的方程与圆锥曲线的方程.(2)消元得到关于x或y的一元二次方程.(3)利用判别式，判断直线与圆锥曲线的位置关系. 例3 (1)(2022·福州模拟)过M(2，2p)引抛物线x22py(p>0)的切线，切点分别为A，B.若AB的斜率等于2，则p等于()A. B. C.1 D.2(2)(2022·南昌模拟)已知直线yx与双曲线1(a>0，b>0)无公共点，则双曲线的离心率的取值范围为_.答案(1)C(2)(1，解析(1)抛物线x22py(p>0)，即yx2，yx，则切线斜率kyx，设切点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则kMAx1，kMBx2，又x2py1，x2py2，所以切线MA的方程为yy1x1(xx1)，即yx1xy1，同理切线MB的方程为yx2xy2，两切线均过点M(2，2p)，故即所以点A(x1，y1)，B(x2，y2)均满足方程yx2p，即A(x1，y1)，B(x2，y2)均在直线yx2p上，即直线AB的方程为yx2p，所以斜率为2，故p1.(2)双曲线的一条渐近线为yx，因为直线yx与双曲线无公共点，故有1.即e211，所以e22，又双曲线的离心率e>1，所以1<e.易错提醒(1)直线与双曲线只有一个交点，包含直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行.(2)直线与抛物线只有一个交点包含直线与抛物线相切、直线与抛物线的对称轴平行(或重合).训练3 (2022·凉山二诊)抛物线C：x22py(p>0)，若直线l：yx与C交于A，B(左侧为A，右侧为B)两点，则抛物线C在点A处的切线的斜率为()A.3 B.1 C.3 D.1答案D解析直线l与抛物线C方程联立，得解得xp或x3p，因为左侧为A，右侧为B，p>0，所以A，由x22py得yx2，yx，所以抛物线C在点A处的切线的斜率为·(p)1.一、基本技能练1.(2022·成都二诊)设经过点F(1，0)的直线与抛物线y24x相交于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为2，则|AB|()A.4 B.5 C.6 D.7答案C解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则2，解得x1x24，|AB|x1x226.2.椭圆1中，以点M(1，2)为中点的弦所在直线斜率为()A. B. C. D.答案B解析设弦AB的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1，1，两式相减得0，又弦AB中点为M(1，2)，x1x22，y1y24，即0，k.3.已知双曲线1(a>0，b>0)的右焦点为F(c，0)，直线yk(xc)与双曲线只有1个交点，则()A.|k|> B.|k|<C.|k| D.|k|答案C解析双曲线1(a>0，b>0)的渐近线方程为y±x，直线yk(xc)经过焦点F(c，0)，当k>0时，只有直线yk(xc)与渐近线yx平行，与双曲线有1个交点，可得k，同理可得，当k<0时，k，故|k|.4.已知椭圆C：1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1倾斜角为45°的直线l与椭圆交于A，B两点，点P(2，1)，则PAB的面积为()A. B. C.2 D.答案B解析椭圆1，F1(1，0)，kABtan 45°1，AB：yx1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y整理得7x28x80，x1x2，x1x2，AB，P(2，1)到yx1的距离为d，S|AB|d××.5.(2022·河南名校大联考)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y24x，点A(4，0)，B(6，0)，过A且垂直于x轴的直线与抛物线交于点C，过C作BC的垂线，交x轴于点D，则点C的坐标为(4，4)；OCD的面积为8；|OC|OD|；直线CD与抛物线相切，其中正确命题的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4答案B解析联立可得点C的坐标为(4，±4)，错误.取C(4，4)，则直线BC的方程为y2x12，所以直线CD的方程为yx2，可得D(4，0)，所以|OC|OD|，所以错误.SOCD×|OD|×|AC|×4×48，联立可得x28x160，所以644×160，故直线CD与抛物线相切，均正确.6.(2022·宜宾二诊)已知点M，抛物线C：y22px(p>0)的焦点是F，过M的直线l交抛物线于A，B两点，点N是线段AB的中点，若|NF|p，则直线l的斜率为()A.±p B.± C.±1 D.±答案D解析易知直线的斜率存在，设直线方程为yk，由消去y得k2x2(k2p2p)x0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2p，y1y2k(x1x2p)，所以N，又F，所以|NF|23p2，即2k4k210，解得k2，所以k±.7.已知P(1，1)是双曲线外一点，过P引双曲线x21的两条切线PA，PB，A，B为切点，求直线AB的方程为_.答案2xy20解析设切点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则PA：x1x1，PB：x2x1，又点P(1，1)代入得x1y11，x2y21，点A(x1，y1)，B(x2，y2)均在直线xy1上，过直线AB的方程为xy1，即2xy20.8.抛物线C：y28x的焦点为F，点M(2，2)，过点F且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若AMB90°，则k等于_.答案2解析F(2，0)，由题意可知k一定存在，所以设直线方程为yk(x2)(k0)，代入抛物线方程可得k2x2(4k28)x4k20，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x24，x1x24，所以y1y2，y1y216，因为AMB90°，所以·(x12，y12)·(x22，y22)40，解得k2.9.(2022·银川调研)已知抛物线yx2和点M(2，2)，过M的直线交抛物线于A，B两点，抛物线在点A，B处的切线l1，l2交于点P，若M为线段AB的中点，则ABP的面积为_.答案4解析设直线AB的方程为ykx22k，与yx2联立得x24kx8k80，设A，B，则x1x24k，又M为线段AB的中点，所以4k4，k1，解方程x24kx8k80可得出x10，x24，即A(0，0)，B(4，4)，由yx，则切线l1，l2的斜率分别为0，2，则切线l1，l2的方程分别为y0，y2(x4)4，联立可得P(2，0)，点P到直线AB：yx的距离d，|AB|4，则SABP|AB|·d×4×4.10.已知直线ykx2(k>0)与抛物线C：x28y相交于A，B两点，点F为C的焦点，|FA|4|FB|，则k_.答案解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知抛物线的焦点坐标为F(0，2)，直线ykx2(k>0)与抛物线C：x28y联立方程得x28kx160，所以x1x28k，x1x216，所以y1y2k(x1x2)48k24，y1y2(kx12)·(kx22)4，又因为|FA|4|FB|，所以y124(y22)，即y14y26，所以由y14y26和y1y24，解得y18，y2或y12，y22(负值舍去)，所以y1y28k248，解得k2，所以k.11.(2022·临汾二模)已知抛物线C：y22px(p>0)的焦点为F，其准线与x轴交于点P，过点P作直线l与C交于A，B两点，点D与点A关于x轴对称.(1)证明：直线BD过点F；(2)若3，求l的斜率.(1)证明设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x1，y1)，直线l的斜率为k，由题可知k一定存在，直线l的方程为：yk.由得ky22pykp20，4p24k2p2>0，则1<k<1.y1y2，y1y2p2，kBD，故直线BD的方程为yy1，即y，故直线BD过点F.(2)解由3可得由(1)可知，y1y24y2，故y2，又x13x22p，故2p，即y3y4p212y，故y，所以k2，满足>0，故k±.12.(2022·郑州二模)已知椭圆C：1的右焦点为F，点A，B，P在椭圆C上.(1)若线段AB的中点为(1，1)，求直线AB的方程；(2)若F恰好是ABP的重心，且|AF|，|PF|，|BF|依次成等差数列，求点P的坐标.解(1)由题意，将(1，1)坐标代入C：1中，满足<1，故点(1，1)在椭圆内部，又线段AB的中点为(1，1)，可知直线AB的斜率存在，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1，1，两式相减整理得：×，由已知可得x1x2y1y22，则，所以AB的斜率为，直线AB的方程为y1(x1)，即3x4y70.(2)由已知可得F(1，0)，设P(x3，y3)，因为F恰好是ABP的重心，所以1，即x1x2x33，因为|AF|，|PF|，|BF|依次成等差数列，所以2|PF|AF|BF|.|AF|2，同理|BF|2，|PF|2.所以4x322，可得x1x22x3，于是x1x2x33x33，得x31，将x31代入椭圆方程得y3±，所以点P的坐标为或.二、创新拓展练13.(2022·宜春调研)已知以F为焦点的抛物线C：y22px(p>0)经过点(1，2)，直线l：yk(x1)与C交于A，B两点(其中点A在x轴上方)，若|AF|(32)|FB|，则l在y轴上的截距为()A.2 B.1 C. D.1答案D解析抛物线C：y22px(p>0)经过点(1，2)，所以42p，解得p2，即抛物线方程为y24x，焦点为F(1，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>0，y2<0)，联立消x得y2y40，由>0，y1y24，又|AF|(32)|FB|，即(32)，y1(32)y2，(32)y2，y1284x2，y222，x232，k1，即直线方程为yx1，故l在y轴上的截距为1，故选D.14.(2022·雅安二诊)已知抛物线C以坐标原点O为顶点，以为焦点，过(2p，0)的直线与抛物线C交于两点A，B，直线AB上的点M(1，1)满足OMAB，则|OM|·|AB|()A.2 B.4 C.40 D.80答案B解析由直线AB上的点M(1，1)满足OMAB可知：kAB1，故直线AB的方程为y1(x1)，即yx2，将(2p，0)代入yx2可得p1，则抛物线方程为y22x，联立得x26x40，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x26，x1x24，故|AB|··2，故|OM|·|AB|×24.15.(2022·白山一模)已知抛物线C：y22px，焦点为F(1，0)，过F的直线与C交于A，B两点，C在A处的切线与C的准线交于P点，若|PF|，则|AB|_.答案5解析因为焦点为F(1，0)，所以抛物线C：y24x.不妨设P在第二象限，因为|PF|，所以P(1，1).设直线AB的方程为xmy1，与y24x联立并消去x，得y24my40.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24m，y1y24，所以|AB|4(m21).设切线PA的方程为xnyt，与y24x联立并消去x，得y24ny4t0.因为16n216t0，所以n2t0，所以y24ny4n20，y2n，即y12n，y2，m，即P.所以n1，m，|AB|4(m21)5.16.(2022·合肥调研)在平面直角坐标系中，顶点在原点、以坐标轴为对称轴的抛物线C经过点(1，2).(1)求抛物线C的方程；(2)已知抛物线C关于x轴对称，过焦点F的直线交C于A，B两点，线段AB的垂直平分线交直线AB于点P，交C的准线于点Q.若|AB|PQ|，求直线AB的方程.解(1)当焦点在x轴时，设抛物线C：y22px.将点(1，2)坐标代入得p2，此时抛物线的方程为y24x.当焦点在y轴时，设抛物线C：x22py，将点(1，2)坐标代入得p，此时抛物线的方程为x2y.综上，抛物线C的方程为y24x或x2y.(2)当抛物线C的焦点在x轴时，其方程为y24x.直线AB的斜率不存在时，|AB|4，|PQ|2，不符合题意，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为yk(x1)(k0)，与抛物线的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2).由消去y得k2x2(2k24)xk20.16k216>0，x1x2，|AB|x1x224，线段AB的中点P为，直线PQ的方程为y.令x1，得y，Q，|PQ|2.由|PQ|AB|得，24，解得k±，直线AB的方程为yx或yx.