创新设计二轮理科数学 教师WORD文档微专题4　平面向量的基本运算和应用.doc

微专题4平面向量的基本运算和应用高考定位1.平面向量是高考的热点和重点，命题突出向量的基本运算和工具性，在解答题中常与三角函数、直线和圆锥曲线的位置关系等问题相结合，主要以条件的形式出现，涉及向量共线、数量积等.2.常以选择题、填空题的形式考查，中低档难度.1.(2022·全国乙卷)已知向量a，b满足|a|1，|b|，|a2b|3，则a·b()A.2 B.1 C.1 D.2答案C解析由|a2b|3，可得|a2b|2a24a·b4b29，又|a|1，|b|，所以a·b1，故选C.2.(2022·新高考卷)在ABC中，点D在边AB上，BD2DA.记m，n，则()A.3m2n B.2m3nC.3m2n D.2m3n答案B解析因为BD2DA，所以3，所以33()232m3n.故选B.3.(2021·全国乙卷)已知向量a(2，5)，b(，4)，若ab，则_.答案解析法一(定义法)因为ab，所以存在实数k，使akb，即(2，5)k(，4)，得解得法二(结论法)因为ab，所以2×450，解得.4.(2021·全国甲卷)已知向量a(3，1)，b(1，0)，cakb.若ac，则k_.答案解析c(3，1)(k，0)(3k，1).因为ac，所以a·c3(3k)1×1103k0，得k.5.(2021·全国甲卷)若向量a，b满足|a|3，|ab|5，a·b1，则|b|_.答案3解析由|ab|5得(ab)225，即a22a·bb225，结合|a|3，a·b1，得322×1|b|225，所以|b|218，|b|3.热点一平面向量的线性运算共线定理及推论1.已知向量a(x1，y1)，a0，b(x2，y2)，则abbax1y2x2y10.2.若，O为直线外一点，则A，B，C三点共线1. 例1 (1)(2022·济南质检)等边三角形ABC中，2，AD与BE交于F，则下列结论正确的是()A.B.C.D.(2)已知a(3，2)，b(1，2)，c(4，1)，若(akc)(2ba)，则实数k_.答案(1)C(2)解析(1)如图，D为BC的中点，()，A错误；2，()，()，B错误；设，R，则，B，F，E三点共线，1，解得，C正确；()，D错误.(2)由题意得akc(34k，2k)，2ba(5，2).(akc)(2ba)，2×(34k)(5)×(2k)0，解得k.规律方法进行向量的线性运算时，要尽可能地将向量转化到同一个平行四边形或三角形中，利用平行四边形法则或三角形法则求解.训练1 (1)(2022·郑州调研)已知ABC所在平面内的一点P满足，则点P必在()A.ABC的外部 B.ABC的内部C.边AB上 D.边AC上(2)在边长为2的正方形ABCD中，E为CD的中点，AE交BD于F.若x3y，则xy()A.1 B. C. D.答案(1)C(2)B解析(1)由，得0，所以2，即A，B，P三点共线，所以点P在边AB上.故选C.(2)法一以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(2，0)，D(0，2)，E(1，2)，则(2，0)，(0，2)，(1，2)，则x3y(2x，6y).根据题意，得，则.所以2x，6y，则x，y，xy，故选B.法二根据题意，得，所以DFFB，所以DFDB，所以()，又因为x3y，所以解得所以xy.故选B.热点二平面向量的数量积1.若a(x，y)，则|a|.2.若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|.3.若a(x1，y1)，b(x2，y2)，为a与b的夹角，则cos .例2 (1)(2022·西安调研)已知ABC的外心为O，2，|2，则·的值是()A. B. C.2 D.6(2)设等边三角形ABC的边长为1，平面内一点M满足，则向量与夹角的余弦值为()A. B. C. D.答案(1)D(2)D解析(1)由2，得，即，则O为BC的中点.O为ABC的外心，|，ABC为直角三角形，且ABAC，如图所示.又|2|，OAB为等边三角形，OAB60°，OAC30°，在RtABC中，|2，·|·|·cosOAC2×2×6，故选D.(2)法一ABC是等边三角形，与的夹角为，··2·×12×1×1×cos .222·×1×1×cos ，|.设与的夹角为，则cos ，故选D.法二以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，ABC的边长为1，A，B，C，(1，0)，|.易知|1.设与的夹角为，则cos ，故选D.规律方法求解数量积问题的四种方法：(1)定义法；(2)向量法；(3)基底法；(4)投影法.训练2 (1)(2022·日照联考)如图，AB是单位圆O的直径，C，D是半圆弧上的两个三等分点，则·()A.1 B. C. D.(2)(2022·成都诊断)已知非零向量a，b满足|a|1，|b|1，且|ab|4，则|ab|_.答案(1)C(2)4解析(1)法一(基底法)连接OC，OD(图略)，由题意可得：·()·()···2|·|cos，|·|·cos，|·|cos，|2，易知|1，cos，cos，cos ，cos，cos ，则·1×1×1×1×1×1×1，故选C.法二(定义法)如图所示，连接BC，BD，由题意得ACBADB且CAB，DABCAD，所以ACABcosCAB1，ADABcosDAB，所以·1××cos .故选C.(2)法一由|ab|4，两边平方得：|ab|216，即a22a·bb216.由|a|1，|b|1，可得a·b0，即ab，则由向量加法的平行四边形法知构成矩形，对角线相等，即|ab|ab|4.法二设|ab|t，由题意得，|ab|2|ab|2|a|2|b|22a·b|a|2|b|22a·b2|a|22|b|216t2，即2(1)22(1)216t2，解得t4(舍负).热点三向量在平面几何中的应用用向量解决平面几何问题的基本步骤(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题.(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题.(3)把运算结果转化成几何元素. 例3 如图，在ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE2EA，AD与CE交于点O.若·6·，求的值.解法一如图，过点D作DFCE交AB于点F，由D是BC的中点，可知F为BE的中点.又BE2EA，则知EFEA，从而可得AOOD，则有()，所以6·()·22··，整理可得232，所以.法二以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示.设E(1，0)，C(a，b)，则B(3，0)，D.lAD：yx，lCE：y(x1)，联立解交点得O.·6·，(3，0)·(a，b)6·(a1，b)，即3a6，a2b23，AC，.规律方法解决向量在平面几何中的应用问题的两种方法(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示出来，这样就能进行相应的代数运算，从而使问题得到解决.(2)基底法：选取一组合适的基底，将未知向量用基底表示出来，然后根据向量的运算法则、运算律和性质求解.训练3 (1)已知菱形ABCD中，AC2，BD2，点E为CD上一点，且CE2ED，则AEB的余弦值为()A. B. C. D.(2)在ABC中，AB4，AC3，BAC90°，D在边BC上，延长AD到P，使得AP9，若m(m为常数)，则CD的长度是_.答案(1)D(2)或0解析(1)设AC与BD交于点O，以O为坐标原点，AC，BD所在的直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系如图所示，则点A(，0)，B(0，1)，E，则cosAEB.(2)法一由题意可设(1)()，其中1，01，又m，所以得，即，又PA9，则|6，|3，所以ADAC.当D与C重合时，CD0，当D不与C重合时，有ACDCDA，所以CAD180°2ACD，在ACD中，由正弦定理可得，则CD·AD2cosACD·AD2××3.综上，CD或0.法二如图，以点A为坐标原点，AB，AC所在的直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则C(0，3)，B(4，0)，(0，3)，(4，3).mm()()mm，(0，3)m(4，3)，(8m，6m9).|9，64m2(6m9)281，m或m0，当m时，P，kPA.由解得D，CD.当m0时，(0，9)，P(0，9)，此时C与D重合，CD0.综上，CD或0.一、基本技能练1.(2022·河南名校大联考)设mR，向量a(m，1)，b(4，m)，c(1，2)，则ab是ac的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案B解析由ab可得m240，所以m±2.由ac可得m20，所以m2.所以ab是ac的必要不充分条件.故选B.2.(2022·许昌调研)若向量a(1，7)，b(14，2)，c(1，1)，则()A.ab且a·b6B.ab且a·c6C.ab且a·c6D.ab且a·c6答案B解析由题意得a·b0，ab，又a·c1×(1)7×16，故选B.3.(2022·哈尔滨调研)已知平面向量a，b的夹角为，且|a|2，|b|1，则|a2b|()A.4 B.2 C.1 D.答案B解析|a2b|2(a2b)2a24a·b4b2|a|24|a|·|b|cos 4|b|2，因为向量a，b的夹角为，且|a|2，|b|1，所以|a2b|244×2×1×44，|a2b|2，故选B.4.(2022·济南一模)已知单位向量a，b，c，满足abc0，则a与b的夹角为()A. B. C. D.答案C解析由abc0，得abc，所以|ab|c|，即|ab|1，所以a·b，由a·b|a|b|cosa，bcosa，b，及a，b0，得a，b，故选C.5.已知向量a，b满足|a|3|b|2，a·b1，若a2b与ma3b共线，则|ma3b|等于()A.2 B.4 C. D.22答案A解析因为a2b与ma3b共线，所以，m.又|a|3|b|2，a·b1，所以|ma3b|2.6.如图，在ABC中，点O是BC的中点.过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若m，n，则mn的值为()A.1 B.2 C.2 D.答案B解析由已知得()，因为m，n，所以mn.因为O，M，N三点共线，所以mn1，所以mn2.故选B.7.(2022·张家口模拟)如果平面向量a(2，4)，b(6，12)，那么下列结论中不正确的是()A.|b|3|a|B.abC.a与b的夹角为30°D.a在b方向上的投影为2答案C解析因为a(2，4)，b(6，12)，所以b3a.在A中，由b3a，可得|b|3|a|，故A正确；在B中，由b3a，可得ab，故B正确；在C中，由b3a，可得a与b的夹角为180°，故C错误；在D中，a在b方向上的投影为2，故D正确.8.(2022·九江模拟)我国东汉数学家赵爽在为周髀算经作注时，利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若a，b，3，则()A.ab B.abC.ab D.ab答案B解析()，解得，即ab，故选B.9.(2022·烟台调研)已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足()，0，)，则点P的轨迹一定通过ABC的()A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心答案C解析如图所示，在ABC中，D为边BC的中点.因为2，所以2.因为，所以2，所以，所以点P的轨迹一定通过ABC的重心，故选C.10.如图，在ABC中，BAC，2，P为CD上一点，且满足m，若AC3，AB4，则·的值为()A.3 B. C. D.答案C解析因为2，m，所以m，因为C，P，D三点共线，所以m1，即m，因为AB4，所以AD，所以··()2·2×××3××9.11.(2022·四省八校调研)已知向量a(x，1)，b(1，2)，若ab，则|a2b|_.答案解析ab，2x10，即x，a2b，|a2b|.12.(2022·邢台联考)设向量a，b均为单位向量，且ab，则(a2b)·(3a5b)_.答案7解析ab，a，b均为单位向量，a·b0，|a|b|1，(a2b)·(3a5b)3a2a·b10b23107.二、创新拓展练13.在ABC中，向量与满足()·0，且·，则ABC为()A.等边三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等腰直角三角形答案D解析·0，分别为，方向上的单位向量，角A的平分线与BC垂直，则ABAC，由·|·|·cos B，可得cos B·，则角B，BC，A，ABC为等腰直角三角形.14.(2022·湖北九师联盟质检)将一条线段AB分割成两条线段AP，BP(AP>BP)，若，则称这种分割为黄金分割(P为黄金分割点，为黄金分割比).黄金分割不仅仅体现在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，而且在管理、工程设计等方面也有着不可忽视的作用.在ABC中，点D为线段BC的黄金分割点(BD>DC)，AB2，AC3，BAC60°，则·()A. B.C. D.答案A解析由点D为线段BC的黄金分割点，得，所以，所以··()22(2)·62(2)×2×3×，故选A.15.(2022·新高考卷改编)已知向量a(3，4)，b(1，0)，catb，若a，cb，c，则t_.答案5解析由题意，得catb( 3t，4)，所以a·c3×(3t)4×4253t，b·c1×(3t)0×43t.因为a，cb，c，所以cos a，ccos b，c，即，即3t，解得t5.16.(2022·湖南三湘名校联考)已知点P(2，0)，AB是圆x2y21的直径，则·_.答案3解析设A(x，y)，则B(x，y)，且x2y21.(2x，y)，(2x，y)，·(2x)(2x)y24(x2y2)3.