创新设计二轮理科数学 教师WORD文档微专题1　三角函数的图象与性质.doc

上篇核心热点突破板块一三角函数与平面向量微专题1三角函数的图象与性质高考定位三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点内容，主要从以下两个方面进行考查：1.三角函数的图象，主要涉及图象变换问题以及由图象确定解析式问题，主要以选择题、填空题的形式考查；2.利用三角函数的性质求解三角函数的值、单调区间、最值、值域、参数等，主要以客观题或解答题其中一问的形式考查.1.(2020·全国卷)若为第四象限角，则()A.cos 2>0 B.cos 2<0C.sin 2>0 D.sin 2<0答案D解析法一由题意，知2k<<2k(kZ).所以4k<2<4k(kZ)，此时2的终边落在第三、四象限及y轴的负半轴上，所以sin 2<0，而cos 2<0，cos 20或cos 2>0.法二(特殊化)取，则cos 20，sin 21，排除A，B，C选项，只有D适合.2.(2022·浙江卷)为了得到函数y2sin 3x的图象，只要把函数y2sin图象上所有的点()A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度答案D解析因为y2sin2sin，所以要得到函数ysin 3x的图象，只要把函数y2sin的图象上所有的点向右平移个单位长度，故选D.3.(2022·北京卷)已知函数f(x)cos2xsin2x，则()A.f(x)在上单调递减B.f(x)在上单调递增C.f(x)在上单调递减D.f(x)在上单调递增答案C解析依题意可知f(x)cos2xsin2xcos 2x.对于A选项，因为x，所以2x，函数f(x)cos 2x在上单调递增，所以A选项不正确；对于B选项，因为x，所以2x，函数f(x)cos 2x在上不单调，所以B选项不正确；对于C选项，因为x，所以2x，函数f(x)cos 2x在上单调递减，所以C选项正确；对于D选项，因为x，所以2x，函数f(x)cos 2x在上不单调，所以D选项不正确.故选C.4.(2022·新高考卷)记函数f(x)sinb(>0)的最小正周期为T.若<T<，且yf(x)的图象关于点中心对称，则f()A.1 B. C. D.3答案A解析因为<T<，所以<<，解得2<<3.因为yf(x)的图象关于点中心对称，所以b2，且sinb2，即sin0，所以k(kZ)，又2<<3，所以<<，所以4，解得，所以f(x)sin2，所以fsin2sin 21.故选A.5.(2020·全国卷)关于函数f(x)sin x有如下四个命题：f(x)的图象关于y轴对称；f(x)的图象关于原点对称；f(x)的图象关于直线x对称；f(x)的最小值为2.其中所有真命题的序号是_.答案解析f(x)sin x的定义域为x|xk，kZ，关于原点对称，又f(x)sin(x)f(x)，而f(x)f(x)，f(x)为奇函数，不是偶函数，错误，正确.fcos x，fcos x，ff，f(x)的图象关于直线x对称，正确.当x时，f(x)<0，错误.故填.热点一三角函数的定义、诱导公式及基本关系式1.同角关系：sin2cos21，tan .2.由(sin ±cos )21±2sin cos 知，sin cos ，sin cos ，sin cos 知一可求二.3.诱导公式：在，kZ的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”. 例1 (1)已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y3x上，则sin()A.± B. C. D.±(2)若tan 2，则等于()A. B. C. D.答案(1)A(2)C解析(1)当为第一象限角时，由题意得sin ，cos ，所以sin(sin cos )×.当为第三象限角时，由题意得sin ，cos ，所以sin(sin cos )×.故选A.(2)法一因为tan 2，所以角的终边在第二或第四象限，所以或所以sin (sin cos )sin2sin cos .故选C.法二(弦化切法)因为tan 2，所以sin (sin cos ).故选C.法三(正弦化余弦法)因为tan 2，所以sin 2cos ，则sin (sin cos ).故选C.规律方法(1)利用同角三角函数的关系化简要遵循一定的原则，如切弦互化、化异为同、化高为低、化繁为简等.(2)应用同角三角函数的关系进行开方运算时，要利用角的范围确定三角函数值的符号.训练1 (1)(2022·唐山三模)已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P(1，2)，则sin2sin 2()A. B. C. D.(2)(2022·沈阳市郊联体一模)已知2sin()3sin，则sin2sin 2cos2()A. B. C. D.答案(1)B(2)B解析(1)由三角函数的定义有sin ，cos ，所以sin2sin 2sin22sin cos 2××.故选B.(2)由2sin()3sin，得2sin 3cos ，所以tan ，从而sin2sin 2cos2.故选B.热点二三角函数的图象与解析式1.三角函数图象的变换2.由三角函数的图象求解析式yAsin(x)B(A>0，>0)中的参数：(1)A，B(其中M，m分别为函数的最大值、最小值)；(2)；(3)代入特殊点求. 例2 (1)(2022·全国甲卷)将函数f(x)sin(x)(0)的图象向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是()A. B. C. D.(2)已知函数f(x)Asin(x)(A>0，>0，|<)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式为()A.f(x)2sinB.f(x)2sinC.f(x)2sinD.f(x)2sin答案(1)C(2)D解析(1)记曲线C的函数解析式为g(x)，则g(x)sin(x)sinx().因为函数g(x)的图象关于y轴对称，所以k(kZ)，得2k(kZ).因为0，所以min.故选C.(2)由最高点和最低点的纵坐标可得A2.由相邻的两个对称中心的横坐标间隔为8，可得8·，所以.由图象的对称性可得，题图中的最低点坐标为(2，2)，所以2·2k，kZ，结合|<可得.因此，函数f(x)的解析式为f(x)2sin.易错提醒(1)由yAsin x的图象得到yAsin(x)的图象时，需平移个单位长度，而不是|个单位长度.(2)代入特殊点求yAsin(x)中的参数时，一般代最高点或最低点，代入中心点时应注意是上升趋势还是下降趋势.训练2 (2022·深圳调研)函数f(x)sin(x)(>0，0<)的图象如图所示，为了得到ysin x的图象，则需将yf(x)图象的()A.横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度B.横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位长度C.横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度D.横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位长度答案C解析由题图知T2，则2，则f(x)sin(2x).由f(x)的图象过点，得0sin ，则2×2k，kZ，2k，kZ，因为0<，所以，f(x)sin.把函数f(x)sin图象的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度可得ysin x的图象.热点三三角函数的性质函数yAsin(x)(A>0，>0)的性质(1)单调性：由2kx2k(kZ)可得单调递增区间，由2kx2k(kZ)可得单调递减区间.(2)对称性：由xk(kZ)可得对称中心；由xk(kZ)可得对称轴.(3)奇偶性：k(kZ)时，函数yAsin(x)为奇函数；k(kZ)时，函数yAsin(x)为偶函数. 例3 (1)已知函数f(x)2sin(x)，其图象相邻的最高点之间的距离为，将函数yf(x)的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，且g(x)为奇函数，则()A.f(x)的图象关于点对称B.f(x)的图象关于点对称C.f(x)在上单调递增D.f(x)在上单调递增(2)函数f(x)sin cos 的最小正周期为_，最大值为_.答案(1)C(2)6解析(1)函数f(x)的图象相邻的最高点之间的距离为，其最小正周期T，则2，f(x)2sin(2x).将函数yf(x)的图象向左平移个单位长度后，可得g(x)2sin2sin的图象，g(x)是奇函数，k(kZ)，k(kZ).又|<，.故f(x)2sin.当x时，f(x)1，故f(x)的图象不关于点对称，故A错误；当x时，f(x)2，故f(x)的图象关于直线x对称，不关于点对称，故B错误；当x时，2x，f(x)单调递增，故C正确；当x时， 2x，f(x)单调递减，故D错误.故选C.(2)因为函数f(x)sin cos sin，所以函数f(x)的最小正周期T6，最大值为.规律方法求解函数f(x)Asin(x)h的性质的基本思路：由x的值或范围求得tx的范围，然后由ysin t的性质判断各选项.训练3 (1)(2022·济南二模)将函数f(x)sin xcos x的图象向右平移个单位后，得到函数g(x)的图象，则下列关于g(x)的说法正确的是()A.最小正周期为B.最小值为1C.图象关于点中心对称D.图象关于直线x对称(2)已知函数f(x)sin(x)(>0，0<|<)的最小正周期为，且关于中心对称，则下列结论正确的是()A.f(1)<f(0)<f(2)B.f(0)<f(2)<f(1)C.f(2)<f(0)<f(1)D.f(2)<f(1)<f(0)答案(1)D(2)B解析(1)因为f(x)sin xcos x2sin，所以g(x)2sin2sin x，所以g(x)的最小正周期为2，所以A错误；函数g(x)的最大值为2，最小值为2，所以B错误；因为g2sin 20，所以图象不关于点中心对称，所以C错误；因为g2sin 2，所以图象关于直线x对称，所以D正确.故选D.(2)根据f(x)的最小正周期为，故可得T，解得2.又其关于中心对称，故可得sin0，又|，故可得，则f(x)sin，令2k2x2k，kZ，解得x，kZ，故f(x)在上单调递增.又f(2)f，且<0<2<1<，故可得f(0)<f(2)<f(1).一、基本技能练1.化简的结果为()A.1 B.1 C.sin D.cos 答案A解析原式1.2.(2022·日照联考)已知0，2，点P(1，tan 2)是角终边上一点，则()A.2 B.2 C.2 D.2答案B解析由三角函数的定义可知，tan tan 2<0，故是第四象限角，因为0，2，所以2，故选B.3.(2022·湖北名校联考)若sin cos ，则cos()A. B. C. D.答案A解析将sin cos 两边平方可得12sin cos ，则sin 2，cossin 2.4.(2022·广州模拟)函数y2sin(x0，)的增区间是()A. B.C. D.答案C解析y2sin2sin，求y2sin的增区间等价于求y2sin的减区间，由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ；当k0时，x，即y2sin(x0，)的减区间为，则函数y2sin的增区间为.故选C.5.(2022·泉州模拟)已知sin cos ，则sin cos ()A. B. C. D.答案A解析(sin cos )212sin cos ，则2sin cos ，(sin cos )212sin cos ，sin >cos ，则sin cos .故选A.6.(2022·重庆诊断)已知函数f(x)sin1，则下列说法中不正确的是()A.f(x)的最小正周期为B.f(x)在上单调递增C.是f(x)的一个对称中心D.当x时，f(x)的最大值为答案C解析对于A选项，T，所以A选项正确.对于B选项，由2k2x2k(kZ)，解得kxk(kZ)，所以f(x)的单调递增区间是(kZ)，所以f(x)在上单调递增，所以B选项正确.对于C选项，当x时，sin0，所以为f(x)的对称中心，所以C选项不正确.对于D选项，0x，02x，2x，所以当2x时，函数f(x)取得最大值，即f(x)maxsin 1×1，所以D选项正确.7.sin ·cos ·tan的值是_.答案解析原式sin·cos·tan··××().8.把函数ysin x的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把图象向右平移个单位长度，所得图象的函数解析式为_.答案ysin解析把函数ysin x的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，得到函数ysin 2x的图象，再把该函数图象向右平移个单位长度，得到函数ysin 2sin的图象.9.设函数f(x)3sin，若存在这样的实数x1，x2，对任意的xR，都有f(x1)f(x)f(x2)成立，则|x1x2|的最小值为_.答案2解析|x1x2|的最小值为函数f(x)的半个周期，又T4，|x1x2|的最小值为2.10.已知函数f(x)2sin(x)(>0，|<)的部分图象如图所示，则f的值为_.答案1解析设f(x)的最小正周期为T，根据题中图象可知，T，故2，根据2sin0(增区间上的零点)可知，2k，kZ，即2k，kZ，又|<，故.f(x)2sin，f2sin2sin 1.11.已知f().(1)若cos，是第三象限角，求f()的值；(2)若，求f()的值.解f()cos .(1)cossin ，sin .是第三象限角，cos .f()cos .(2)f()coscos.12.从函数f(x)sin(x)(>0，|<)的图象向右平移个单位长度得到g(x)的图象，g(x)的图象关于原点对称，向量m(sin x，cos x)，n，>0，f(x)m·n，函数f(x)cos xsin(x)(>0)这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答.已知_，函数f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为.(1)求f的值；(2)求函数f(x)在0，上的单调递减区间.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.解(1)若选择条件，解答过程如下.依题意，f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为，则f(x)的最小正周期为，从而2，f(x)sin(2x)，g(x)sin，又g(x)的图象关于原点对称，所以g(0)0，由|<知，从而f(x)sin，f.若选择条件，解答过程如下.依题意，f(x)m·nsin xcos xcos x，即f(x)sin xcos xsin.由f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为，得f(x)的最小正周期为，从而2，f(x)sin，f.若选择条件，解答过程如下.依题意，f(x)cos xsin，即f(x)cos x，化简得f(x)sin xcos xcos2 x，即f(x)sin xcos xsin，由f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为，得f(x)的最小正周期为，从而2，f(x)sin，f.(2)由(1)可知f(x)sin，令2k2x2k，kZ，解得x，kZ，令k0，得x，从而f(x)在0，上的单调递减区间为.二、创新拓展练13.将函数ysin图象上的点P向左平移s(s>0)个单位长度得到点P.若P位于函数ysin 2x的图象上，则()A.t，s的最小值为B.t，s的最小值为C.t，s的最小值为D.t，s的最小值为答案A解析设P(x，y).由题意得tsin，且P的纵坐标与P的纵坐标相同，即y.又P在函数ysin 2x的图象上，则sin 2x，故点P的横坐标xk(kZ)或k(kZ)，结合题意可得s的最小值为.14.已知函数f(x)sin xcos x(>0)，xR.若函数f(x)在区间(，)内单调递增，且函数yf(x)的图象关于直线x对称，则的值为_.答案解析f(x)sin xcos xsin，因为f(x)在区间(，)内单调递增，且函数图象关于直线x对称，所以f()必为一个周期上的最大值，所以有·2k，kZ，所以22k，kZ.又()，即2，即2，所以.15.(2022·成都诊断)已知函数f(x)sin(x)(>0，R)在区间上单调，且满足ff.有下列结论：f0；若ff(x)，则函数f(x)的最小正周期为；关于x的方程f(x)1在区间0，2)上最多有4个不相等的实数解；若函数f(x)在区间上恰有5个零点，则的取值范围为.其中所有正确结论的编号为_.答案解析因为ff且，所以f0，正确.因为ff(x)，所以f(x)的对称轴为x，T，正确.在一个周期内f(x)1只有一个实数解，函数f(x)在区间上单调且f0，T4.当T时，f(x)sin 3x，f(x)1在区间0，2)上实数解最多为，共3个.错误.函数f(x)在区间上恰有5个零点，2T<2·<·，解得<；又因为函数f(x)在区间上单调且f0，T4，即3，所以，正确.16.(2022·济宁质检)已知函数f(x)2cos xcos2sin2x(>0)的最小正周期为.(1)求的值和函数f(x)的单调递增区间；(2)求函数f(x)在区间上的值域.解(1)f(x)2cos xcos2sin2x2sin xcos x1cos 2xsin 2xcos 2x12sin1，函数f(x)的最小正周期为T(>0)，1，f(x)2sin1，由2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ)，函数f(x)的单调递增区间为，kZ.(2)由x得2x，所以sin，则f(x)0，3.即f(x)的值域为0，3.