创新设计二轮理科数学 教师WORD文档微专题31　不等式.doc

微专题31不等式高考定位1.高考时不等式的考查主要是不等式的性质与解法、线性规划问题，基本不等式及其应用等.2.多以选择、填空题的形式呈现，中等或偏下难度.1.(2019·全国卷)若a>b，则()A.ln(ab)>0 B.3a<3bC.a3b3>0 D.|a|>|b|答案C解析法一由函数yln x的图象(图略)知，当0<ab<1时，ln(ab)<0，故A不正确；因为函数y3x在R上单调递增，所以当a>b时，3a>3b，故B不正确；因为函数yx3在R上单调递增，所以当a>b时，a3>b3，即a3b3>0，故C正确；当b<a<0时，|a|<|b|，故D不正确.故选C.法二当a0.3，b0.4时，ln(ab)<0，3a>3b，|a|<|b|，故排除A，B，D.故选C.2.(2020·上海卷)下列不等式恒成立的是()A.a2b22ab B.a2b22abC.ab2 D.ab2答案B解析由基本不等式可知a2b22ab，故A不正确；a2b22aba2b22ab0，即(ab)20恒成立，故B正确；当a1，b1时，不等式不成立，故C不正确；当a0，b1时，不等式不成立，故D不正确.故选B.3.(2022·全国乙卷)若x，y满足约束条件则z2xy的最大值是()A.2 B.4 C.8 D.12答案C解析法一由题意作出可行域，如图阴影部分所示，转化目标函数z2xy为y2xz，上下平移直线y2xz，可得当直线过点(4，0)时，直线截距最小，z最大，所以zmax2×408.故选C.法二由得此时z2×022；由得此时z2×204；由得此时z2×408.综上所述，z2xy的最大值为8，故选C.4.(2019·天津卷)设xR，使不等式3x2x2<0成立的x的取值范围为_.答案解析3x2x2<0变形为(x1)(3x2)<0，解得1<x<，故使不等式成立的x的取值范围为.5.(2020·天津卷)已知a0，b0，且ab1，则的最小值为_.答案4解析因为a0，b0，ab1，所以原式24，当且仅当，即ab4时，等号成立.故的最小值为4.热点一不等式的性质与解法判断关于不等式命题真假的常用方法(1)作差法、作商法，作商法要注意除数的正负.(2)利用不等式的性质推理判断.(3)利用函数的单调性.(4)特殊值验证法，注意特殊值法只能排除错误的命题，不能判断正确的命题. 例1 (1)(2022·黄山二模)设实数a，b满足a>b，则下列不等式一定成立的是()A.a2>b2 B.<C.ac2>bc2 D.3a3b>2(2)若不等式(a24)x2(a2)x10的解集是空集，则实数a的取值范围是()A. B.C. D.2答案(1)D(2)B解析(1)对于A，当a2，b4时不成立，故A错误；对于B，当a，b1时，2，0，即>，故B错误；对于C，当c0时不成立，故C错误；对于D，因为a>b，所以3a>3b>0，又3b>0，所以3a3b>3b3b22(等号成立的条件是b0)，故D正确.(2)当a240时，解得a2或a2，当a2时，不等式可化为4x10，解集不是空集，不符合题意；当a2时，不等式可化为10，此式不成立，解集为空集.当a240时，要使不等式的解集为空集，则有解得2<a<.综上，实数a的取值范围是.易错提醒求解含参不等式ax2bxc<0恒成立问题的易错点(1)对参数进行讨论时分类不完整，易忽略a0时的情况.(2)不会通过转换把参数作为主元进行求解.(3)不考虑a的符号.训练1 (1)(2022·长沙质检)已知不等式ax2bxc>0(a，b，c为参数)的解集为x|2<x<1，那么不等式cx2axb>0(a，b，c为参数)的解集为()A.B.(1，)C.D.(，1)(2)如果a>b，c>d，则下列不等式恒成立的是()A.ac>bd B.ac>bdC.> D.ac>bd答案 (1)D(2)B解析(1)不等式ax2bxc>0(a，b，c为参数)的解集为x|2<x<1，方程ax2bxc0(a，b，c为参数)的两根为2和1，且a<0，不等式cx2axb>0可化为2x2x1>0，解得x<1或x>，不等式cx2axb>0的解集为(，1).故选D.(2)对于A，若a2，b1，c1，d1，则ac1<bd2，所以A错误；对于B，因为a>b，c>d，所以ac>bd，所以B正确；对于C，若a2，b1，c1，d1，则<1，所以C错误；对于D，若a2，b1，c1，d2，则acbd2，所以D错误.故选B.热点二线性规划1.截距型：形如zaxby，求这类目标函数的最值常将函数zaxby转化为yx(b0)，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值.2.距离型：形如z(xa)2(yb)2，设动点P(x，y)，定点M(a，b)，则z|PM|2.3.斜率型：形如z(xa)，设动点P(x，y)，定点M(a，b)，则zkPM. 例2 (1)(2022·焦作二模)已知x，y满足约束条件则3x2y的最大值为()A.1 B.4 C.7 D.11(2)(2022·贵阳调研)已知x，y满足(a>0)，且zx2y2，若z的最大值是其最小值的倍，则a的值为()A.1 B.2 C.3 D.4答案(1)D(2)A解析(1)画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，联立方程组解得即B(1，4)，平移直线3x2y0至经过点B时目标函数u3x2y取得最大值，即umax3×12×(4)11.(2)由题意，作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示(含边界)，联立解得A(2，3)，|OA|2223213，所以zx2y2的最大值为13.又点O到直线2xay20的距离为，所以zx2y2的最小值为，所以×13(a>0)，解得a1，故选A.规律方法(1)作不等式组表示的可行域的原则是：直线定界，注意虚实，特殊点定域，常取原点.(2)确定目标函数的几何意义，运用动态变化的思想方法求目标函数的最值.训练2 (1)已知实数x，y满足约束条件则z4xy的最大值等于_.(2)(2022·桂林模拟)已知实数x，y满足约束条件则z的最小值为_.答案(1)(2)解析(1)根据约束条件作出可行域如图中阴影部分(含边界)所示，目标函数z4xy化为y4xz，z表示斜率为4的直线在y轴上的截距，平移直线y4x，当直线过xy2与x3y3的交点A时，z取最大值.(2)由题意，作出不等式组满足的平面区域，易知该区域是以点A(1，1)，B(2，1)，C(1，2)为顶点的三角形区域(包含边界)，由图知，当目标函数z经过点B(2，1)时取得最小值.热点三基本不等式及其应用基本不等式求最值的三种解题技巧(1)凑项：通过调整项的符号，配凑出符合基本不等式条件的项，使其积或和为定值.(2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而利用基本不等式求最值.(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开，即化为ymBg(x)(AB>0)，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值. 考向1利用基本不等式求最值例3 (1)(2022·银川调研)在下列函数中，最小值为2的是()A.yxB.ylg x(1<x<10)C.y(x>1)D.ysin x(2)(2022·湖北九师联盟质检)已知a>0，b0，且a|b|3，则的最小值为_.答案(1)C(2)32解析(1)对于A，当x<0时，y为负数，A不符合题意；对于B，1<x<10时，0<lg x<1，lg x22，但不存在x使lg x成立，B不符合题意；对于C，yx122(x>1)，当且仅当x1，即x2时等号成立，C符合题意；对于D，0<x<时，0<sin x<1，sin x22，但不存在x使sin x成立，D不符合题意.故选C.(2)，当b>0时，1，当b<0时，1.(a|b|)(126)42，当且仅当，即a，|b|时等号成立，所以当a，b时，取得最小值，且最小值为32.考向2求参数的范围例4 (2022·晋中二模)若对任意x>0，x35x24xax2恒成立，则实数a的取值范围是_.答案(，9解析因为对任意x>0，x35x24xax2a恒成立，只需满足a，因为x>0，所以x5259，当且仅当x，即x2时取等号.故实数a的取值范围是(，9.易错提醒利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的条件：(1)一正二定三相等，三者缺一不可；(2)若连续两次使用基本不等式求最值，必须使两次等号成立的条件一致，否则最值取不到.训练3 (1)(2022·重庆质检)若x>0，y>0且xyxy，则的最小值为()A.3 B.C.3 D.32(2)对任意m，n(0，)，都有m2amn2n20，则实数a的最大值为()A. B.2 C.4 D.答案(1)D(2)B解析(1)xyxy，(x1)(y1)1，33232，当且仅当时等号成立，故选D.(2)对任意m，n(0，)，都有m2amn2n20，m22n2amn，即a恒成立.22，当且仅当，即mn时取等号，a2，故a的最大值为2，故选B.一、基本技能练1.不等式x2的解集是()A.(，0(2，4B.0，2)4，)C.2，4)D.(，2)(4，)答案B解析当x2>0，即x>2时，(x2)24，即x22，x4；当x2<0，即x<2时，(x2)24，即2x2<0，0x<2，综上，0x<2或x4.2.若a，b，c为实数，且a<b<0，则下列说法正确的是()A.ac2<bc2 B.<C.> D.a2>ab>b2答案D解析当c0时，A不成立；>0，B错误；<0，C错误；由a<b<0，得a2>ab>b2，D正确.3.若不等式ax2xc>0的解集为，则函数ycx2xa的图象可以为()答案C解析由题意可得1和是方程ax2xc0的两个根，且a<0，解得a2，c1，则ycx2xax2x2(x2)(x1)，其图象开口向下，与x轴交于(2，0)，(1，0).故选C.4.(2022·东北三省四市模拟)已知x，y满足约束条件则z2xy的最小值为()A.8 B.12 C.14 D.20答案C解析根据约束条件作出可行域如图中阴影部分(含边界)所示，联立解得A(4，6)，将目标函数看成斜率为2的动直线，则当直线过点A(4，6)时纵截距最小为14，所以目标函数的最小值为14，故选C.5.(2022·南京调研)已知a>b>c，且abc0，则下列不等式一定成立的是()A.ab2>bc2B.ab2>b2cC.(abac)(bc)>0D.(acbc)(ac)>0答案C解析由题意可知a>0，c<0.当b0时，ab2bc20，ab2b2c0，A，B不一定成立.因为b>c，a>0，所以ab>ac，所以abac>0.因为b>c，所以bc>0，所以(abac)(bc)>0，则C一定成立.因为a>b，c<0，所以ac<bc，所以acbc<0.因为a>c，所以ac>0，所以(acbc)(ac)<0，D一定不成立.故选C.6.(2022·邢台联考)函数f(x)4x的最小值为()A.2 B.2 C.4 D.3答案C解析因为4x22×，当且仅当4x，即x0时等号成立，所以f(x)4x224，当且仅当2，即x0时等号成立，故f(x)的最小值为4.7.(2022·哈尔滨模拟)习总书记提出：乡村振兴，人才是关键.要积极培养本土人才，鼓励外出能人返乡创业，为鼓励返乡创业，黑龙江对青山镇镇政府决定投入创业资金和开展“创业技术培训”帮扶返乡创业人员.预计该镇政府每年投入的创业资金构成一个等差数列an(单位：万元，nN*)，每年开展“创业技术培训”投入的资金为第一年创业资金a1的3倍，已知aa72.则预计该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为()A.72万元 B.96万元C.120万元 D.144万元答案C解析设等差数列an的公差为d，由题意可知，五年累计总投入资金为a1a2a3a4a55×3×a120a110d10a110a210(a1a2)，因为aa72，所以10(a1a2)1010120，当且仅当a1a2时取等号，故预计该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为120万元.8.已知不等式组围成的平面区域为I，现有直线ykx2将区域I分成面积相等的两个部分，则此时实数k的值为()A. B. C. D.答案B解析作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分(含边界)所示，得到的平面区域为三角形ABC，其中A(0，2)，B(2，0)，C(4，6).因为直线ykx2正好经过顶点A(0，2)，所以当该直线经过BC的中点D(3，3)时将区域I分成面积相等的两个部分，此时k，故选B.9.(2022·辽宁六校联考)已知定义在R上的偶函数f(x)|xm1|2，若正实数a，b满足f(a)f(2b)m，则的最小值为()A. B.C. D.答案B解析函数f(x)|xm1|2是偶函数，则m1，f(x)|x|2，又a>0，b>0，且f(a)f(2b)m，|a|2|2b|21，a2b5，2，当且仅当即a(1)，b(3)时取“”，故选B.10.(2022·银川模拟)设0<a<b<1，0<c<1，则下列结论正确的个数是()ln(ca1)>ln(cb1)；(c1)a<(c1)b；ab>aa>ba；logca<logcb.A.1 B.2 C.3 D.4答案B解析因为0<a<b<1，0<c<1，可得函数yax，ylogcx均是减函数，可得ab<aa，logca>logcb，所以不正确；又由函数yln x是增函数，ycx是减函数，可得ca>cb，且ca1>cb1，所以ln(ca1)>ln(cb1)，所以正确；因为0<c<1，可得c1>1，所以函数y(c1)x是增函数，可得(c1)a<(c1)b，所以正确.11.(2022·连云港二模)函数f(x)9x312x的最小值是_.答案2解析f(x)9x312x9x9x22，当且仅当9x，即x时取等号.所以最小值为2.12.(2022·临汾二模)已知正数a，b满足a2b2，则的最小值为_.答案解析因为正数a，b满足a2b2，则(a2b)(172×4)，当且仅当即b2a时取等号.故的最小值为.二、创新拓展练13.已知实数x，y满足若不等式xmy10恒成立，则实数m的取值范围是()A. B.C. D.(，4答案D解析根据不等式组作出可行域如图中阴影部分(含边界)所示，联立解得点A(3，1).易知直线xmy10过定点(1，0)，要使不等式xmy10恒成立，则可行域在直线xmy10的左上方，则3m10，即m4，所以实数m的取值范围是(，4，故选D.14.已知关于x的不等式ax22x3a<0在(0，2上有解，则实数a的取值范围是()A. B.C. D.答案A解析x(0，2时，不等式可化为ax<2；当a0时，不等式为0<2，满足题意；当a>0时，不等式化为x<，则>22，当且仅当x时取等号，所以a<，即0<a<；当a<0时，x>恒成立.综上所述，实数a的取值范围是.选A.15.若0<a<b，且ab1，则将a，b，2ab，a2b2从小到大排列为_.答案a<2ab<<a2b2<b解析0<a<b且ab1，0<a<<b<1，2b>1且2a<1，a<2b·a2a(1a)2a22a2<，即a<2ab<.又a2b2(ab)22ab12ab>1，即a2b2>.<b<1，(a2b2)b(1b)2b2b2b23b1(2b1)(b1)<0，即a2b2<b.16.若实数x，y满足则(x1)2(y3)2的最小值为_.答案10解析作出不等式组所表示的平面区域如图阴影部分(含边界)所示，则点(x，y)到点(1，3)的最小距离为点(1，3)到直线x3y0的距离，即d，所以(x1)2(y3)2的最小值为10.