创新设计二轮理科数学 教师WORD文档微专题45　不等式选讲.doc

微专题45不等式选讲高考定位本部分主要考查绝对值不等式的解法，含绝对值函数的最值，以及绝对值不等式恒成立问题，不等式的证明等，难度中等.1.(2021·全国乙卷)已知函数f(x)|xa|x3|.(1)当a1时，求不等式f(x)6的解集；(2)若f(x)>a，求a的取值范围.解(1)当a1时，f(x)|x1|x3|，故f(x)6即|x1|x3|6，当x3时，原不等式可化为1xx36，解得x4；当3<x1时，原不等式可化为1xx36，即46，不成立，此时无解；当x>1时，原不等式可化为x1x36，解得x2.综上，当a1时，原不等式的解集为x|x4或x2.(2)f(x)|xa|x3|(xa)(x3)|3a|，当且仅当x的值在a与3之间(包括两个端点)时取等号，若f(x)>a，则只需|3a|>a，当a<3时，a3>a，无解，a3时，a3>a，得a>.故a的取值范围为.2.(2022·全国甲卷)已知a，b，c均为正数，且a2b24c23，证明：(1)ab2c3；(2)若b2c，则3.证明(1)法一(平方转化基本不等式证明)因为a2b24c23，所以(ab2c)2a2b24c22(ab2bc2ac)3(a2b2)b2(2c)2a2(2c)232a2b2(2c)29，当且仅当ab2c1时取等号.又a，b，c均为正数，所以ab2c3.法二(柯西不等式证明)因为a2b24c23，所以根据柯西不等式有3×3(a2b24c2)(121212)(ab2c)2，当且仅当ab2c1时取等号.又a，b，c均为正数，所以ab2c3.(2)因为b2c，所以根据(1)有a4c3，所以()()(14)(52)3，当且仅当ab2c1时取得等号.热点一含绝对值不等式的解法(1)|f(x)|>a(a>0)f(x)>a或f(x)<a.(2)|f(x)|<a(a>0)a<f(x)<a.(3)对形如|xa|xb|c，|xa|xb|c的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解. 例1 已知函数f(x)|xa|x3|. (1)当a1时，求不等式f(x)x9的解集；(2)若f(x)|x4|的解集中包含0，1，求a的取值范围.解(1)当a1时，f(x)当x3时，由2x2x9，得x；当3<x<1，由4x9，不等式无解；当x1，由2x2x9，得x7，所以不等式f(x)x9的解集是7，).(2)f(x)|x4|等价于|xa|x4|x3|7，即7ax7a.根据题意得解得7a6，所以a的取值范围是7，6.规律方法含绝对值不等式的解法有：(1)零点分段法；(2)图象法；(3)绝对值不等式的几何意义.训练1 (2022·兰州诊断)已知函数f(x)3|2x1|2xa|.(1)当a2时，解不等式f(x)0； (2)若f(x)0，求实数a的取值范围.解(1)当a2时，不等式f(x)0，即|2x1|2x2|3，当x时，原不等式化为(2x1)(2x2)3，解得x；当<x<1时，原不等式化为(2x1)(2x2)3，解得<x<1；当x1时，原不等式化为(2x1)(2x2)3，解得x1.综上，原不等式的解集为.(2)由f(x)0，得|2x1|2xa|3，而|2x1|2xa|(2x1)(2xa)|a1|，当且仅当(2x1)(2xa)0时，等号成立，所以|a1|3，所以a2或a4，所以实数a的取值范围为a|a2或a4.热点二含绝对值不等式的恒成立(有解)定理1：如果a，b是实数，则|ab|a|b|，当且仅当ab0时，等号成立.定理2：如果a，b，c是实数，那么|ac|ab|bc|，当且仅当(ab)(bc)0时，等号成立. 例2 (2022·柳州模拟)已知函数f(x)|x4|x3|.(1)求不等式f(x)12的解集；(2)若关于x的不等式f(x)20恒成立，求实数a的取值范围.解(1)原不等式等价于或或解得x或x或x，不等式的解集为.(2)不等式f(x)20恒成立，等价于f(x)min2，即(|x4|x3|)min2.|x4|x3|(x4)(x3)|7，当且仅当3x4时，等号成立.9，933a1，则3a12，解得a1，实数a的取值范围是(，1.规律方法注意不等式恒成立与不等式有解在转化时的区别，f(x)>a恒成立f(x)min>a，f(x)<a恒成立f(x)max<a；f(x)>a有解f(x)max>a，f(x)<a有解f(x)min<a.训练2 已知a0，b0，4ab2ab.(1)求ab的最小值；(2)若ab|2x1|3x2|对满足题中条件的a，b恒成立，求实数x的取值范围.解(1)因为a0，b0，4ab2ab，所以2，所以ab(ab)，当且仅当且2，即a，b3时取等号，ab的最小值是.(2)若ab|2x1|3x2|对满足题中条件的a，b恒成立，则|2x1|3x2|，当x时，原不等式可化为2x13x2，所以x；当x时，原不等式可化为2x13x2，所以x，当x时，原不等式可化为2x13x2，所以x，综上，实数x的取值范围为.热点三不等式的证明算术几何平均不等式定理1：设a，bR，则a2b22ab.当且仅当ab时，等号成立.定理2：如果a，b为正数，则，当且仅当ab时，等号成立.定理3：如果a，b，c为正数，则，当且仅当abc时，等号成立.定理4：(一般形式的算术几何平均不等式)如果a1，a2，an为n个正数，则，当且仅当a1a2an时，等号成立. 例3 (2022·成都二诊)设函数f(x)3|x1|2x1|的最小值为m.(1)求m的值；(2)若a，b(0，)，证明：·m2.(1)解当x<1时，f(x)3x32x15x2>3；当1x时，f(x)3x32x1x4；当x>时，f(x)3x32x15x2>.综上，当x1时，f(x)min3，m3.(2)证明a，b(0，)，13，13，3·39m2，当且仅当即ab1时，等号成立.规律方法在不等式的证明中，一方面要注意基本不等式成立的条件；另一方面要善于对“式子”进行恰当的转化、变形.当要证的不等式较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆.训练3 (2022·江南十校联考)已知函数f(x)|x2|x1|.(1)解不等式f(x)>x2；(2)记f(x)的最小值为m，正实数a，b，c满足abcm，证明：.(1)解当x2时，f(x)x2x12x1>x2，解得x>3，所以x>3；当1<x<2时，f(x)2xx13>x2，解得x<1，所以1<x<1；当x1时，f(x)2xx112x>x2，解得x<，所以x1.综上，不等式的解集是(，1)(3，).(2)证明因为|x2|x1|x2(x1)|3，当且仅当(x2)(x1)0时等号成立，所以m3，故a3b3c3(a)2(b)2(c)2·(a)2(b)2(c)2，当且仅当，即abc时等号成立，所以.一、基本技能练1.已知函数f(x)|x1|x4|.(1)求不等式f(x)7的解集；(2)若不等式f(x)log2(m24m)的解集为空集，求实数m的取值范围.解(1)由不等式f(x)7，得|x1|x4|7，所以或或解得2x<1或1x4或4<x5，所以不等式的解集为2，5.(2)因为f(x)|x1|x4|(x1)(x4)|5，当且仅当1x4时，等号成立，所以f(x)min5.由不等式f(x)log2(m24m)的解集为空集，得log2(m24m)<5，所以0<m24m<32，解得4<m<0或4<m<8，所以实数m的取值范围为(4，0)(4，8).2.(2022·昆明一诊)已知函数f(x)|x3|2x3|.(1)求不等式f(x)6的解集；(2)若x，x3af(x)16<0，求实数a的取值范围.解(1)f(x)由f(x)6，得或或解得0x4，所以不等式f(x)6的解集为0，4.(2)当x时，f(x)x，存在x，x3af(x)16<0，即x3ax16<0，即a>x2，只需a>，x.因为x2x23×12，当且仅当x2，即x2时取等号，所以12，故a>12，所以实数a的取值范围为(12，).3.(2022·西安模拟)已知函数f(x)|3x|xm|(m>2)的最小值为1.(1)求不等式f(x)|xm|>2的解集；(2)若a22b23c2m，求ac2bc的最大值.解(1)|3x|xm|3xxm|3m|，当且仅当(3x)(xm)0时，f(x)取得最小值|3m|.又f(x)|3x|xm|的最小值为1，|3m|1.m>2，m4，f(x)|xm|>2等价于|x3|2|x4|>2.当x3时，所求不等式等价于3x11>2，解得x<3，符合题意；当3<x<4时，所求不等式等价于x5>2，解得x<3，与条件矛盾；当x4时，所求不等式等价于3x11>2，解得x>，符合题意.综上，原不等式的解集为(，3).(2)m4，a22b23c2m6，6a22b23c2a2c22(b2c2)2(ac2bc)，ac2bc3，当且仅当abc±1时，ac2bc取得最大值3.二、创新拓展练4.(2022·贵阳模拟)已知函数f(x)2|x1|x2|的最小值为m.(1)画出函数f(x)的图象，利用图象写出函数最小值m；(2)若a，b，cR，且abcm，求证：abbcca3.(1)解f(x)如图所示，当x1时，f(x)min3，即m3.(2)证明由(1)可知，abc3.(abc)2a2b2c22ab2bc2ac3(abbcac).abbcac(abc)2×323，abbcac3，当且仅当abc1时取等号.