创新设计二轮理科数学 教师WORD文档微专题28　解析几何中优化运算的方法.doc

微专题28解析几何中优化运算的方法1.焦点三角形的面积、离心率(1)设P点是椭圆1(ab0)上异于长轴端点的任一点，F1、F2为其焦点，记F1PF2，则|PF1|PF2|；SPF1F2b2tan ；e.(2)设P点是双曲线1(a>0，b>0)上异于实轴端点的任一点，F1，F2为其焦点，记F1PF2，则|PF1|PF2|；SPF1F2；e.2.中心弦的性质设A，B为圆锥曲线关于原点对称的两点，点P是曲线上与A，B不重合的任意一点，则kAP·kBPe21.3.中点弦的性质设圆锥曲线以M(x0，y0)(y00)为中点的弦AB所在的直线的斜率为k.(1)若圆锥曲线为椭圆1(ab0)，则kAB，kAB·kOMe21.(2)若圆锥曲线为双曲线1(a0，b0)，则kAB，kAB·kOMe21.(3)若圆锥曲线为抛物线y22px(p0)，则kAB.4.焦点弦的性质(1)过椭圆1(ab0)的右焦点F且倾斜角为(90°)的直线交椭圆于A，B两点，且|，则椭圆的离心率等于.(2)过双曲线1(a>0，b>0)的右焦点F且倾斜角为(90°)的直线交双曲线右支于A，B两点，且|，则双曲线的离心率等于|.(3)过抛物线y22px(p0)的焦点F倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，则两焦半径长为，|AB|，SAOB.类型一回归定义，彰显本质当题目条件涉及圆锥曲线的焦点时，要考虑利用圆锥曲线的定义表示直线与圆锥曲线相交所得的弦长. 例1 已知抛物线C：y23x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.若|AF|BF|4，求l的方程.解设直线l：yxt，A(x1，y1)，B(x2，y2).由题设得F，故结合抛物线的定义可得|AF|BF|x1x2.由题设可得x1x2.由可得9x212(t1)x4t20，则x1x2，从而，解得t，所以直线l的方程为yx.训练1 如图，F1，F2是椭圆C1：y21与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是()A. B. C. D.答案D解析由已知，得F1(，0)，F2(，0)，设双曲线C2的实半轴长为a，由椭圆及双曲线的定义和已知，可得 解得a22，故a，.所以双曲线C2的离心率e.类型二设而不求，整体推进在解决直线与圆锥曲线的相关问题时，通过设点的坐标，应用“点差法”或借助根与系数的关系来进行整体处理，设而不求，避免方程组的复杂求解，简化运算. 例2 已知点M到点F(3，0)的距离比它到直线l：x50的距离小2.(1)求点M的轨迹E的方程；(2)过点P(m，0)(m>0)作互作垂直的两条直线l1，l2，它们与(1)中轨迹E分别交于点A，B及点C，D，且G，H分别是线段AB，CD的中点，求PGH面积的最小值.解(1)由题意知，点M到点F(3，0)的距离与到直线l：x30的距离相等，结合抛物线的定义，可知轨迹E是以F(3，0)为焦点，以直线l：x30为准线的抛物线，则知3，解得p6，故M的轨迹E的方程为y212x.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有y12x1，y12x2，以上两式作差，并整理可得.即kAB，同理可得kCD，易知直线l1，l2的斜率存在且均不为0，又由于l1l2，可得kAB·kCD1，即yGyH36，所以SPGH|PG|·|PH|·|yG| ·|yH|18181836，当且仅当|kAB|kCD|1时，等号成立，故PGH面积的最小值为36.训练2 射线OA，OB的方程分别为yx(x0)和yx(x0)，线段|CD|4，它的两个端点分别在OA，OB上移动，则CD的中点M的轨迹方程是_.答案1(x2)解析设C(x1，x1)，D(x2，x2)，M(x，y)，则x，y，由|CD|4得(x1x2)23(x1x2)2(4)2，即3(2x)248，1(x2).类型三换元引参，迂回向前结合解决问题的需要，根据题目条件引入适当的参数或相应的参数方程，巧妙转化相应的解析几何问题，避开复杂的运算. 例3 设椭圆1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两点，O为坐标原点.若|AP|OA|，证明直线OP的斜率k满足|k|>.证明法一设P(acos ，bsin )(0<2)，则线段OP的中点Q的坐标为.|AP|OA|AQOPkAQ×k1.又A(a，0)，所以kAQ，即bsin akAQcos 2akAQ.2akAQsin()，tan ，从而可得|2akAQ|<a，解得|kAQ|<，故|k|>.法二依题意，直线OP的方程为ykx，可设点P的坐标为(x0，kx0).由点P在椭圆上，得1.因为a>b>0，kx00，所以<1，即(1k2)x<a2.由|AP|OA|及A(a，0)，得(x0a)2k2xa2，整理得(1k2)x2ax00，于是x0，代入，得(1k2)·<a2，解得k2>3，所以|k|>.法三依题意，直线OP的方程为ykx，设点P的坐标为(x0，y0).联立消去y0并整理，得x.由|AP|OA|，A(a，0)及y0kx0，得(x0a)2k2xa2，整理得(1k2)x2ax00.而x00，于是x0，代入，整理得(1k2)24k24.又a>b>0，故(1k2)2>4k24，即k21>4，因此k2>3，所以|k|>.训练3 已知抛物线C：y22px(p>0)过点(1，2)，经过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，A在x轴的上方，Q(1，0)，若以QF为直径的圆经过点B，则|AF|BF|()A.2 B.2 C.2 D.4答案D解析由于抛物线C：y22px(p>0)过点(1，2)，则有42p，解得p2，设直线l的倾斜角为，根据焦半径公式，可得|AF|，|BF|，由于以QF为直径的圆经过点B，则有BQBF，在RtQBF中，|BF|2cos ，则有|BF|2cos ，即1cos2cos ，所以|AF|BF|4，故选D.类型四应用结论，事半功倍圆锥曲线中有很多的二级结论，应用这些结论能够迅速、准确地解题. 例4 (1)(2022·西安调研)已知F是抛物线C：y24x的焦点，过点F作两条相互垂直的直线l1，l2，直线l1与C相交于A，B两点，直线l2与C相交于D，E两点，则|AB|DE|的最小值为()A.16 B.14 C.12 D.10答案A解析如图，设直线l1的倾斜角为，则直线l2的倾斜角为，由抛物线的焦点弦弦长公式知|AB|，|DE|，|AB|DE|16，当且仅当sin2cos2，即sin cos ，时取“”.(2)(2022·银川调研)已知P是椭圆1(a>b>0)上一动点，F1，F2是椭圆的左、右焦点，当F1PF2时，SF1PF24；当线段PF1的中点落到y轴上时，tanF1PF2，则椭圆的标准方程为_.答案1解析设|PF1|m，|PF2|n，当F1PF2时，由题意知SF1PF2b2tan，即4b2tan，所以b212.当线段PF1的中点落到y轴上时，又O为F1F2的中点，所以PF2y轴，即PF2x轴.由tanF1PF2，得，即n，则mc，且n.所以联立解得所以椭圆标准方程为1.训练4 已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，点P是它们的一个公共点，且F1PF2，椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1·e2的最小值为()A. B. C. D.答案B解析设椭圆方程为1(a1>b1>0)，双曲线方程为1(a2>0，b2>0)，焦距为2c(c>0)，根据焦点三角形的面积公式可得btan ，即b3b，又ac23(c2a)，a3a4c2，4，即4，42，得e1e2，当且仅当，即e2e1时取“”，故e1e2的最小值为.一、基本技能练1.设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则AOB的面积为()A. B. C. D.答案D解析抛物线C：y23x中，2p3，p，故SOAB.2.(2022·合肥模拟)A，B是椭圆C：1(a>b>0)的左、右顶点，M是椭圆上不同于A，B的任意一点，若直线AM，BM的斜率之积为，则椭圆C的离心率为()A. B. C. D.答案D解析椭圆上不同于A，B的任意一点与左、右顶点的斜率之积为，b2a2，c2a2，e2，e.3.已知椭圆E：1(a>b>0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交E于A，B两点，若AB的中点为M(1，1)，则椭圆E的方程为()A.1 B.1C.1 D.1答案D解析kAB，kOM1.由kAB·kOM，得，a22b2.c3，a218，b29，椭圆E的方程为1.4.(2022·洛阳调研)椭圆1上的点到直线x2y0的最大距离是()A.3 B. C.2 D.答案D解析设椭圆1上的点P(4cos ，2sin )，则点P到直线x2y0的距离为d，所以dmax，故选D.5.已知点A(0，)，B(2，0)，点P为函数y2图象上的一点，则|PA|PB|的最小值为()A.12 B.7C.3 D.不存在答案B解析由y2，得x21(y0).设点A(0，)，即点A(0，)，A(0，)为双曲线x21的上、下焦点.由双曲线的定义得|PA|PA|4，则|PA|PB|4|PA|PB|4|BA|7，当且仅当B，P，A共线时取等号，故选B.6.已知椭圆：1(a>b>0)的长轴长是短轴长的2倍，过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与相交于A，B两点，且3，则k()A.1 B.2 C. D.答案D解析依题意a2b，e，又3，由e得，|cos |，又k>0，得cos ，ktan .7.抛物线y22px(p>0)的焦点为F，过焦点F且倾斜角为的直线与抛物线相交于A，B两点，若|AB|8，则抛物线的方程为_.答案y22x解析|AB|8p8，p1，抛物线的方程为y22x.8.已知点P为椭圆：y21内一定点，经过点P引一条弦，使此弦被点P平分，则此弦所在的直线方程为_.答案2x4y30解析直线与椭圆交于A，B，P为AB中点.由kAB·kOP得kAB×1，即kAB，则直线方程为y，即2x4y30.9.P是抛物线yx2上的一点，以OP为边作正方形OPQR，则点R的轨迹方程为_.答案y2x或y2x解析设xOP，OPa，P(acos ，asin )，xOR±，设R(x，y)，则或P在抛物线yx2上，asin a2cos2a，或消去得y2x或y2x.10.过抛物线y24px(p>0)的顶点作互相垂直的两弦OA、OB，则AB中点的轨迹方程为_.答案y22p(x4p)解析设OA斜率为k，由得A，又OB斜率为，用代A中的k，得B(4pk2，4pk)，设AB中点为P(x，y)，则消去k得P的轨迹方程为y22p(x4p).11.已知点A为圆B：(x2)2y232上任意一点，定点C的坐标为(2，0)，线段AC的垂直平分线交AB于点M.(1)求点M的轨迹方程；(2)若动直线l与圆O：x2y2相切，且与点M的轨迹交于点E，F，求证：以EF为直径的圆恒过坐标原点.(1)解圆B的圆心为B(2，0)，半径r4，|BC|4.连接MC，由已知得|MC|MA|，|MB|MC|MB|MA|BA|r4>|BC|，由椭圆的定义知：点M的轨迹是中心在原点，以B，C为焦点，长轴长为4的椭圆，即a2，c2，b2a2c24，点M的轨迹方程为1.(2)证明当直线EF的斜率不存在时，直线EF的方程为x±，E，F的坐标分别为，或，·0.当直线EF斜率存在时，设直线EF的方程为ykxm，EF与圆O：x2y2相切，即3m28k28.设E(x1，y1)，F(x2，y2)，·x1x2y1y2(1k2)x1x2km(x1x2)m2，(*)联立消去y得(12k2)x24kmx2m280，x1x2，x1x2，代入(*)式得·(1k2)·m2，又3m28k28，·0，综上，以EF为直径的圆恒过定点O.12.已知椭圆C：1(a>b>0)，直线l：ykxa，直线l与椭圆C交于M，N两点，与y轴交于点P，O为坐标原点.(1)若k1，且N为线段MP的中点，求椭圆C的离心率；(2)若椭圆长轴的一个端点为Q(2，0)，直线QM，QN与y轴分别交于A，B两点，当·1时，求椭圆C的方程.解(1)由题意知直线l：yxa与x轴交于点(a，0)，点M为椭圆C的左顶点，即M(a，0).设N，代入椭圆C：1得1，即，则e21，e，即椭圆C的离心率e.(2)由题意得a2，椭圆C：b2x24y24b2(b>0)，联立消去y得(4k2b2)x216kx164b20，直线QM：y(x2)，A，.yMkxM2，yM2kxM，即，同理，·4b21，即b23，椭圆C的标准方程为1.二、创新拓展练13.(2022·成都诊断)已知P是圆C：(x2)2(y2)21上一动点，过点P作抛物线x28y的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB斜率的最大值为()A. B. C. D.答案B解析由题意可知，PA，PB的斜率都存在，分别设为k1，k2，切点A(x1，y1)，B(x2，y2)，设P(m，n)，过点P的抛物线的切线为yk(xm)n，联立消y整理，得x28kx8km8n0，因为64k232km32n0，即2k2kmn0，所以k1k2，k1k2，又由x28y得y，所以x14k1，y12k，x24k2，y22k，所以kAB，因为点P(m，n)满足(x2)2(y2)21，所以1m3，因此，即直线AB斜率的最大值为，故选B.14.(2022·武汉调研)已知双曲线C1：1(a1>0，b1>0)与C2：1(a2>0，b2>0)有相同的渐近线，若C1的离心率为2，则C2的离心率为_.答案解析设双曲线C1，C2的半焦距分别为c1，c2，因为C1的离心率为2，所以C1的渐近线方程为y±x±x±x±x，所以C2的渐近线方程为y±x±x，所以，所以C2的离心率为.15.自M(1，1)引直线l交抛物线yx2于P1、P2两点，在P1P2上取一点Q，使|MP1|、|MQ|、|MP2|三者的倒数成等差数列，则Q点的轨迹方程为_.答案2xy10，x(1，1)(1，1)解析设l：(为l的倾斜角，t为参数)代入yx2中得t2cos2(2cos sin )·t20，(2cos sin )28cos2 >0，即tan2 4tan 4>0，tan >22或tan <22， 设Q对应的参数为t0，则，由于P1，Q，P2在l上位于点M的同侧，t0，即消去得2xy10，又x1(1，1)(1，1)，点Q的轨迹方程为2xy10，x(1，1)(1，1).16.已知椭圆C：1(a>b>0)过点(0，1)，椭圆C的离心率为e.(1)求椭圆C的标准方程；(2)如图，设直线l与圆x2y2R2(1<R<2)相切于点A，与椭圆C相切于点B，当R为何值时，线段AB的长度最大？并求出最大值.解(1)由题意知，b1，故，解得a24.故椭圆C的标准方程为y21.(2)法一连接OA，OB，如图所示.设直线l的方程为ykxm，因为直线l与圆x2y2R2(1<R<2)相切于点A，所以R，即m2R2(1k2)，因为l与椭圆C：y21相切于点B，由得x24(kxm)24，即(14k2)x28kmx4m240有两个相等的实数解，则64k2m216(14k2)(m21)16(4k2m21)0，即4k2m210，联立可得设B(x1，y1)，由求根公式得x1，所以y1kx1mkm，所以|OB|2xy5，所以在RtOAB中，|AB|2|OB|2|OA|25R25，因为R224，当且仅当R即R(1，2)时取等号，所以|AB|2541，即当R(1，2)时，|AB|取得最大值，最大值为1.法二设B(x0，y0)，所以过点B与椭圆相切的直线方程为y0y1，即x0x4y0y40，又R2|OA|2，R为圆半径，R(1，2)，|AB|2|OB|2R2xy，又y1，所以x44y，所以|AB|243y552541，当且仅当3y1，即y，x时，等号成立，所以|AB|max1，此时R22，即R(1，2)，故当R(1，2)时，|AB|max1.