湖南省长沙市雅礼中学2024届高三下学期3月综合测试（一）数学试题含答案.pdf

#QQABaYQEogCgAJBAAAgCAQUwCgMQkBECCCoOAFAMsAAACQNABAA=#QQABaYQEogCgAJBAAAgCAQUwCgMQkBECCCoOAFAMsAAACQNABAA=#QQABaYQEogCgAJBAAAgCAQUwCgMQkBECCCoOAFAMsAAACQNABAA=#QQABaYQEogCgAJBAAAgCAQUwCgMQkBECCCoOAFAMsAAACQNABAA=#QQABaYQEogCgAJBAAAgCAQUwCgMQkBECCCoOAFAMsAAACQNABAA=#QQABaYQEogCgAJBAAAgCAQUwCgMQkBECCCoOAFAMsAAACQNABAA=#数学（YL）答案（第 1 页，共 15 页）雅礼中学雅礼中学 2024 届届高三高三综合自主测试（一）综合自主测试（一）数学参考答案一、选择题一、选择题（本题共本题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分分）1、C【解析】根据题意，数据按从小到大的顺序排列为 2，4，m，12，16，17，则极差为17215，故该组数据的中位数是31595，数据共 6 个，故中位数为1292m，解得6m，因为6 40%2.4，所以该组数据的第 40 百分位数是第 3 个数 6，故选：C.2、A【解析】因为圆心在y轴上，所以可设所求圆的圆心坐标为0,b，则圆的方程为22()1xyb，又点1,2在圆上，所以2121b，解得2b，所以所求圆的方程为2221xy故选：A.3、D【解析】na是等差数列，375210aaa，55a，所以56657a aaa，公差652daa，1543aad，66 56(3)2122S ，故选：D4、A【解析】若B，1,2AB，则2142P AB，而 2142P A，1P B，所以 P A P BP AB，所以事件,A B相互独立，反过来，当1,3B，1AB，此时14P AB，12P AP B，满足 P A P BP AB，事件,A B相互独立，所以不一定B ，所以甲是乙的充分不必要条件.故选：A5、D【解析】依题意，由01()2I xI，2(2)20()exI xI，得2(2)2002e1xII，即2(2)22ex，则有2(2)2ln2x，解得122ln2x，222ln2x，#QQABaYQEogCgAJBAAAgCAQUwCgMQkBECCCoOAFAMsAAACQNABAA=#数学（YL）答案（第 2 页，共 15 页）所以3dB带宽为212 2ln2xx.故选：D6、A【解析】因为函数()yf x的图象恰为椭圆2222:1(0)xyCababx轴上方的部分，所以22()1()xyf xbaxaa，因为()f st，()f s，()f st成等比数列，所以有2()()()fsf stf st，且有,asaastaasta 成立，即,asaata 成立，由22222222()()()()1)1(1sstsfsf stftbbaastba，化简得：42 22 22222222(22)00ta ts tttast，或222220tas，当20t 时，即0t，因为asa，所以平面上点（s，t）的轨迹是线段（不包含端点）；当222220tas时，即22222tas，因为ata ，所以22ta，而22222asa，所以22222tas不成立，故选：A7、A【解析】1tan1tantan622tan2222612tan2tan21tan1tan22.2221tan2tan2cos2261n2sitan，221tan2cos21s6tai2nn，2cos16csinos，1sin3，1sincoscossin3，又因为tantan32，所以sincos3cossin，则11cossin,sincos62，所以2sinsincoscossin3241cos1 2sin1 29922 .2179cos 442cos221218181 .故选：A8、C【解析】2220142cos2cos2coscos412cos 22xxxxx，令22014cos2,cosax bx，则2222a aba，即1ab，所以1,1ab或1,1ab ，#QQABaYQEogCgAJBAAAgCAQUwCgMQkBECCCoOAFAMsAAACQNABAA=#数学（YL）答案（第 3 页，共 15 页）当1,1ab时，即22014cos21,cos1xx，所以111007,Z,Zxk kxkk，因为1007=1 19 53，所以=,19,53,1007x，当1,1ab 时，即22014cos21,cos1xx ，则211121 20144028,Z,Z21 2212kxkxkkk，因为21k 是奇数，所以1402821k 也是奇数，不成立；所以方程所有正根的和为：+19+53+1007=1080,故选：C二、选择题二、选择题（本题共本题共 3 3 小题，每小题小题，每小题 6 6 分，共分，共 1818 分分）9、ACD【解析】240b，24i2bbx，不妨设214i22bbz，224i22bbz，12zz，A 正确；222124()()122bbzz，C 正确；121z z，222211121 224i22zzbbbzzz z，0b 时，12Rzz，B 错；1b 时，113i22z ，213i22z ，计算得212113i22zzz，2212zzz，31121zz z，同理321z，D 正确故选：ACD10、BD【解析】对于 A：连接BD，且ACBDO，如图所示，当M在PC中点时，#QQABaYQEogCgAJBAAAgCAQUwCgMQkBECCCoOAFAMsAAACQNABAA=#数学（YL）答案（第 4 页，共 15 页）因为点O为AC的中点，所以/OM PA，因为PA 平面ABCD，所以OM 平面ABCD，又因为AC平面ABCD，所以OMAC，因为ABCD为正方形，所以ACBD.又因为BDOMO，且BD，OM 平面BDM，所以AC 平面BDM，因为BM平面BDM，所以ACBM，所以 A 错误；对于 B：将PBC和PCD所在的平面沿着PC展开在一个平面上，如图所示，则MBMD的最小值为BD，直角PBC斜边PC上高为156，即306，直角PCD斜边PC上高也为156，所以MBMD的最小值为303，所以 B 正确；对于 C：易知四棱锥PABCD的外接球直径为PC，半径222116211222RPC，表面积246SR，所以 C 错误；对于 D：点M到直线AB的距离的最小值即为异面直线PC与AB的距离，因为/AB CD，且AB 平面PCD，CD 平面PCD，所以/AB平面PCD，所以直线AB到平面PCD的距离等于点A到平面PCD的距离，过点A作AFPD，因为PA 平面ABCD，所以PACD,又ADCD,且PAADA,故CD 平面PAD，AF 平面PAD，所以AFCD，因为PDCDD，且PD，CD 平面PCD，所以AF 平面PCD，所以点A到平面PCD的距离，即为AF的长，如图所示，在RtPAD中，2PA，1AD，可得5PD，所以由等面积得2 55AF，即直线AB到平面PCD的距离等于2 55，所以 D 正确，故选：BCD.#QQABaYQEogCgAJBAAAgCAQUwCgMQkBECCCoOAFAMsAAACQNABAA=#数学（YL）答案（第 5 页，共 15 页）11、ABC【解析】1(0),()()()()()2ff xyf x f ayf y f ax对 A：对原式令0 xy，则 111222f af af a，即 12f a，故 A 正确；对 B：对原式令0y，则 11022fxfx f aff axfxf ax，故 f xf ax，对原式令xy，则 22220fxf x fyfy f xf x fyfx，故 f x非负；对原式令yax，则 222122f afxfaxfx，解得 12f x ，又 f x非负，故可得 12f x，故 B 正确；对 C：由 B 分析可得：2f xyf x fy，故 C 正确；对 D：由 B 分析可得：满足条件的 f x只有一个，故 D 错误.故选：ABC.三、填空题三、填空题（本题共本题共 3 3 小题小题，每小题每小题 5 5 分分，共共 1515 分分）12、40【解析】62xy的通项公式为66166C2C2rrrrrrrrTxyxy，令2r 得，22424236C260Tx yx y，此时4242602120 x yx y，令3r 得，33333346C2160Tx yx y，此时3342160160 xx yx yy，故42x y的系数为120 16040 故答案为：4013、.7.2 77【解析】如图，将圆锥侧面沿母线PA剪开并展开成扇形，易知该扇形半径为 2，弧长为43，故圆心角APB23，最短路线即为扇形中的直线段AB，由余弦定理易知AB222cosPAPBPA PBAPB7，#QQABaYQEogCgAJBAAAgCAQUwCgMQkBECCCoOAFAMsAAACQNABAA=#数学（YL）答案（第 6 页，共 15 页）cosPBA2222PBABPAPB BA2 77；过P作AB的垂线，垂足为M，当蚂蚁从A点爬行到M点的过程中，它与点P的距离越来越小，故AM为上坡路段，当蚂蚁从M点爬行到B点的过程中，它与点P的距离越来越大，故MB为下坡路段，下坡路段长MBPBcosPBA2 77故答案为：7，2 77.14、.18.25270【解析】第一个空，设某个数除以a余数为b，则称该数模a余b(a，b均为整数，且ba)，为了让尽可能多的相邻两数之和被 3 整除，则要尽量多地出现相邻两数一个模 3 余 1，一个模 3 余 2 这样的组合，这样它们之和才会被 3 整除.而11a，2040a均为模 3 余 1，则不可能有 19 组上述组别，最多出现 18 组上述组别，例如严格递增数列 1,2,4,5,7,8,10,11,13,14,16,17,19,20,22,23,25,26,28,40，满足题意，所以f的最大值为 18.第二个空，因为 1-40 这 40 个数中，共有 27 个数符合模 3 余 1 或模 3 余 2，则要从这27 个数中选出满足要求的 20 个数.第一步，在1a到20a这 20 个数中删去一个数（后面再加回来），使得剩下的 19 个数满足任意两个相邻数一个模 3 余 1，一个模 3 余 2，这样就形成了 18 组，即使得f的最大值为 18.第二步，将这 27 个数从小到大排列，需要删去 8 个数得到目标 19 个数的数列.它们中任意相邻两数一个模 3 余 1，一个模 3 余 2，因此，需要删去的 8 个数应该为 4 组相邻的数.第三步，利用捆绑思想，从 27 个数中删去 4 组相邻的数等价于从 23 个数中删去 4 个数.有三种情况：两端均删去，这种情况不满足要求.因为若两端均删去，那么 1 和 40 必定被删去，在下一步加出来时也最多加回 1 或 40 中的一个，而 1 和 40 必定在数列中，因此不满足.两端均不删去，从中间 21 个数中选 4 个数删去，有421C种，再从删去的 8 个数中拿一个加回原来的 19 个数中，由18C种，共有421C18C种.#QQABaYQEogCgAJBAAAgCAQUwCgMQkBECCCoOAFAMsAAACQNABAA=#数学（YL）答案（第 7 页，共 15 页）两端中有一个被删去，其余 3 个数从中间 21 个数里选，有3212C种，此时加回来的数必定是删去的两端之一中的 1 或 40，有 1 种选法，共3212C种.第四步，删去的四组相邻数中有一组中有一个数被加回来，即未被删去，被删去的是这一组中的另一个数，而对于删去的数，假设为A，它旁边两个数分别为,B C，即排列为,B A C，在第三步捆绑时，可能捆绑的组合为BA，然后删去，再补回B；或者为AC，然后删去，再补回C，这两种删去方式结果相同.综上，共有413218211C C2C252702种.故答案为：18；25270四、解答题四、解答题（本题共本题共 6 6 小小题，共题，共 7070 分分）15、（1）因为抛物线C的焦点为0,1F，所以2p，即C的方程为：24xy，如下图所示：设点1122,A x yB xy，由题意可知直线l的斜率一定存在，设:1l ykx，联立241xyykx得2440 xkx，所以12124,4xxk x x.由24xy，得211,42yxyx，所以1111:2xlyyxx，即21124xxyx.令0y，得12xx，即1,02xD，同理2222:24xlxyx，且2,02xE，所以221212121142122DExxxxx xk.#QQABaYQEogCgAJBAAAgCAQUwCgMQkBECCCoOAFAMsAAACQNABAA=#数学（YL）答案（第 8 页，共 15 页）由2112222424xxyxxxyx，得21xky，即2,1Mk.所以224421MFkk.故DEMF.（2）设点00,P xy，结合（1）知1111:2xlyyxx，即2111:240lx xyx因为2211004,4xy xy，所以22221001100110122211124241641624x xyxx xxxxxdxxx.同理可得22022224xxdx，所以2222220012012010201222222221212124424243214416kxxx xxxxxxxxxd dxxkx xxx.又20200000222144141141xkxkxxkxydkkk，所以2222001222220044161112232144kxxkd dkdkkxx.当且仅当0k 时，等号成立；即直线l斜率为 0 时，122d dd取最小值12.16、（1）证明：若2，则平面DCGH平面CB F G 为同一个平面.连接BH、BF，则M是BH中点，M是BF中点，所以平面MBF与平面BFHD重合，平面M B F 与平面BFF B 重合，由正方体性质可知BF 平面EFF H，#QQABaYQEogCgAJBAAAgCAQUwCgMQkBECCCoOAFAMsAAACQNABAA=#数学（YL）答案（第 9 页，共 15 页）因为HF、FF平面EFF H，所以，BFHF，BFFF，HFF为二面角HBFF的平面角，因为HGFG，2HGF，则4HFG，同理可得4F FG，所以2HFF，所以，平面MBF 平面M B F （2）解：假设存在，使得直线MF 平面MBC，以C为原点，分别以CB、DC、CG 的方向分别为x、y、z轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，则0,0,0C、2,0,0B、1,1,1M，故2,0,0CB 、1,1,1CM ，设平面MBC的法向量为,mx y z，则020m CMxyzm CBx ，取1y，得0,1,1m 是平面MBC的一个法向量，取CG的中点P，BF的中点Q，连接PQ、PM，则0,0,1P，因为2221113MGMC，则PMCG，同理可知，PMCG，因为/BQ CP，BQCP，BQBC，则四边形BCPQ为矩形，所以，PQCG，于是MPM是二面角MCGM的平面角，MPQ是二面角MCGQ的平面角，QPM是二面角QCGM的平面角.于是MPM，因为1,1,0PM ，2,0,0PQ ，22cos222PM PQMPQPMPQ ，因为0MPQ，则4MPQ，所以4QPM，因为PMCG，PMCG，PMPMP，PM、PM平面MPM，所以，CG 平面MPM，且2M PMP，故2cos,2sin,144M，同理2cos,2sin,2F，#QQABaYQEogCgAJBAAAgCAQUwCgMQkBECCCoOAFAMsAAACQNABAA=#数学（YL）答案（第 10 页，共 15 页）所以2cos2cos,2sin2sin,144M F ，因为2cos2cos2cos2cos cos2sin sincossin444，2sin2sin2sin2sin cos2cos sincossin444，所以cossin,cossin,1M F ，若直线MF 平面MBC，m是平面MBC的一个法向量，则/M Fm ，即存在R，使得MFm ，则cossin0cossin1，因为2220cossincossin2，可得22，故方程组cossin0cossin1无解，所以不存在0,，使得直线MF 平面MBC.17、（1）2()lnf xxaxbx1()2fxaxbx.函数2()lnf xxaxbx在1x 处取得极值，(1)120fab 当1a 时，3b ，则21231()23xxfxxxx()fx、()f x随x的变化情况如下表：x1(0,)2121(,1)21(1,)()fx00()f x极大值极小值()f x的单调递增区间为1(0,)2和(1,)，单调递减区间为1(,1)2()f x的极大值点为12，()f x的极小值点为 1.#QQABaYQEogCgAJBAAAgCAQUwCgMQkBECCCoOAFAMsAAACQNABAA=#数学（YL）答案（第 11 页，共 15 页）（2）212(21)1(21)(1)()2(0)axaxaxxfxaxbxxxx令()0fx得，11x，212xa()f x在1x 处取得极值21112xxa法一：当102a时，()f x在(0,1)上单调递增，在(1,e上单调递减，()f x在区间(0,e上的最大值为(1)f，则(1)1f，即1 21aa 2a 法二：当0a 时，2102xa当112a时，()f x在1(0,)2a上单调递增，1(,1)2a上单调递减，(1,e上单调递增，()f x的最大值 1 可能在12xa或xe处取得，而2111111()ln()(21)ln10222224faaaaaaaa 2()ln(21)1f eeaeae12ae当112ea时，()f x在区间(0,1)上单调递增，1(1,)2a上单调递减，1(,2ea上单调递增()f x的最大值 1 可能在1x 或xe处取得，而(1)ln1(21)0faa2()ln(21)1f eeaeae，即12ae，与2112xea当12ea时，()f x在区间(0,1)上单调递增，在(1,e上单调递减，()f x的最大值 1 可能在1x 处取得，而(1)ln1(21)0faa，矛盾综上所述，12ae或2a .18、（1）3()4fxx，()f x在点,nnxy处的切线方程为：34nnnyyxxx令0y，得134nnxx，所以 nx是首项为 1，公比为34的等比数列，故134nnx#QQABaYQEogCgAJBAAAgCAQUwCgMQkBECCCoOAFAMsAAACQNABAA=#数学（YL）答案（第 12 页，共 15 页）（2）令134nnnbn xn法一：错位相减法01213333123.4444nnSn ，34nS 1233333123.4444nn ，两式相减得：12113333144444nnnSn 化简得：316(164)4nnSn故3516(164)1646nnn，化简得9(164)10nn令9(164)10nndn，则12109510nnnndd，当5n时，10nndd，即654321dddddd，当6n 时，10nndd，即678.ddd，所以556max 93621.2610nddd从而整数min 22；法二：裂项相消法由4334nnnbn xn，设3()4nncknm且1nnnbcc，#QQABaYQEogCgAJBAAAgCAQUwCgMQkBECCCoOAFAMsAAACQNABAA=#数学（YL）答案（第 13 页，共 15 页）则433334444nnknkmn，于是443304kkm，得16316km ，即1631634nncn 所以 1221321nnnnSbbbcccccc11316(164)4nnccn故3516(164)1646nnn，化简得9(164)10nn令9(164)10nndn，则1459140 10nndndn时，5n，当5n时，11nndd，即654321dddddd，当6n 时，101nndd，即678.ddd，所以556max93621.2610nddd从而整数min 2219、（1）4sin3yx不是“M函数”，理由如下：34344sinsin2 sin23233fxxxxf x，44sinsin43343fxxx，44sinsin43343fxxx，则44fxfx，故4sin3yx不是“M函数”；（2）函数 fx满足 32fxfx，故 fx的周期为32T，#QQABaYQEogCgAJBAAAgCAQUwCgMQkBECCCoOAFAMsAAACQNABAA=#数学（YL）答案（第 14 页，共 15 页）因为44fxfx，所以 2f xfx，当3 3,24 2xkk时，33sin22f xfxkxk，Zk，当3 3,22 24xkk时，333sincos22222f xfxkxkxk，Zk，综上：33 3cos,Z222 2433 3sin,Z224 2xkxkkkf xxkxkkk，33 3sin,Z224 2f xxkxkkk中，当0k 时，,4x，sinf xx，此时单调递增区间为,4 2，3cos2fxxk，3 3,Z22 24xkkk中，当1k 时，7,4x，3cos2f xx，则31,224x，当31,022x，即3,2x时，函数单调递增，经检验，其他范围不是单调递增区间，所以在30,2上的单调递增区间为,4 2，3,2；（3）由（2）知：函数 fx在 5,22上图象为：当202a或 1 时，f xa有 4 个解，由对称性可知：其和为722444，当22a 时，f xa有 6 个解，由对称性可知：其和为772264444 ，#QQABaYQEogCgAJBAAAgCAQUwCgMQkBECCCoOAFAMsAAACQNABAA=#数学（YL）答案（第 15 页，共 15 页）当212a时，f xa有 8 个解，其和为30 2222 2822 ，所以 24,0,1226,228,12aSaa.#QQABaYQEogCgAJBAAAgCAQUwCgMQkBECCCoOAFAMsAAACQNABAA=#