【数学】函数的极值与最大（小）值课件-2023-2024学年高二下人教A版（2019）选择性必修第二册.pptx
5.3.2函数的极值与最大（小）值（函数的极值与最大（小）值（2）函数的最大（小）值函数的最大（小）值（1）苏轼在题西林壁中这样写苏轼在题西林壁中这样写道：道：“横看成岭侧成峰，远近高横看成岭侧成峰，远近高低各不同低各不同”，描述的就是江西庐，描述的就是江西庐山的高低起伏，错落有致。山的高低起伏，错落有致。情境导入情境导入我们知道，极值反映的是函数在我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质函数在整个定义域内的性质 也就是说，如果也就是说，如果x0是函数是函数y=f(x)的极大（小）值点的极大（小）值点,那么在点那么在点x0附附近找不到比近找不到比y=f(x0)更大（小）的更大（小）的值值但是，在解决实际问题或研究函但是，在解决实际问题或研究函数的性质时，我们更关心函数在数的性质时，我们更关心函数在某个区间上某个区间上,哪个值最大哪个值最大,哪个值哪个值最小最小.“会当凌绝顶会当凌绝顶,一览众山小一览众山小”在数学上，这种现象如何来刻画呢？在数学上，这种现象如何来刻画呢？你有什么启示？你有什么启示？“业余数学家之王业余数学家之王”费马是一位费马是一位17世纪的法世纪的法国律师，费马的卓越成就之一是手稿求最大国律师，费马的卓越成就之一是手稿求最大值与最小值的方法值与最小值的方法.让我们沿着这位传奇人物让我们沿着这位传奇人物的足迹来用导数研究函数的最大的足迹来用导数研究函数的最大(小小)值问题吧值问题吧.3.3.函数最大值和最小值是如何定义的？函数最大值和最小值是如何定义的？一一般地，设函数般地，设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I I，如果存在实数，如果存在实数M M 满足：满足：（1 1）对于任意的）对于任意的xI，都有都有f(x)M;（2）存在存在 x0I，使得使得f(x0)=M 那么，称那么，称M M 是函数是函数y=f(x)的的最大值最大值.一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I I ，如果存在实数，如果存在实数M M 满足：满足：（1）对于任意的）对于任意的xI，都有，都有f(x)m;（2）存在）存在 x0I，使得，使得f(x0)=m那么，称那么，称m是函数是函数y=f(x)的的最小值最小值.一般地，如果在一般地，如果在闭区间闭区间a,b上函数y=f(x)的图象是一条的图象是一条连续曲线连续曲线,它必有最大值和最小值它必有最大值和最小值.1.1.求函数求函数 y=f(x)y=f(x)的极值的一般方法的极值的一般方法2.2.在可导函数中，导数为零的点是该点为在可导函数中，导数为零的点是该点为极值点的必要条件极值点的必要条件,而不是充分条件而不是充分条件.温故知新温故知新思考思考1 1：函数的最值一定在极值点取得吗？：函数的最值一定在极值点取得吗？思考思考2 2：函数在区间：函数在区间I I上一定有最大值和最小值吗？上一定有最大值和最小值吗？思考思考2 2：函数在区间：函数在区间I I上一定有最大值和最小值吗？上一定有最大值和最小值吗？若开区间若开区间(a,b)内的连续函数内的连续函数有最值有最值，则该，则该最值必在最值必在极值点处取得极值点处取得.若若开区间开区间(a,b)内的连续函数内的连续函数不一定有最值不一定有最值，如，如y=lnx探究：函数的最大探究：函数的最大(小小)值的存在性值的存在性深度学习：深度学习：1.在闭区间在闭区间a,b上连续的函数必有最大值和最小值上连续的函数必有最大值和最小值.这里有两层意思：这里有两层意思：（1）给定函数的区间必须是闭区间，）给定函数的区间必须是闭区间，f(x)在开区间上在开区间上虽然连续但不能保证有最大值或最小值；虽然连续但不能保证有最大值或最小值；（2）在闭区间上的每一点必须连续，即在闭区间上）在闭区间上的每一点必须连续，即在闭区间上有间断点也不能保证有间断点也不能保证f(x)有最大值和最小值有最大值和最小值.（1）（2）强调强调解：解：当当x变化时，变化时，的变化情况如下表：的变化情况如下表：0（2，3）2（0，2）yx令令 ，解得，解得41由表可知，函数在由表可知，函数在0,3上的最大值是上的最大值是4，最小值是，最小值是 (5)将函数将函数y=f(x)的的各极值与端点各极值与端点处的函数值处的函数值f(a)、f(b)比较比较,其中最大的一个为最大值其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值最小的一个为最小值.(2)求导数求导数(3)求方程求方程 的根的根.(1)求函数定义域求函数定义域(4)列表检查列表检查 在方程根左右的值的符号在方程根左右的值的符号,如果左负右正如果左负右正,那么那么f(x)在这个根处取得极小值在这个根处取得极小值;如果左正右负如果左正右负,那那 么么f(x)在这个根处取得极大值在这个根处取得极大值.注：注：如果函数如果函数 f(x)在在a,b上连续，在上连续，在(a,b)内可导，内可导，那么如何求那么如何求 f(x)在在a,b内的最大值与最小值呢？内的最大值与最小值呢？求求f(x)在在a,b上的最大值与最小值的步骤上的最大值与最小值的步骤:变式：求函数变式：求函数f(x)sin 2xx，x 的最值的最值除点(1,0)外，曲线C1：在 y 轴右侧的部分位于曲线C2：y=lnx的下方.怎么证明这个结论呢怎么证明这个结论呢？在教材在教材P89P89例例4.4.技巧：利用函数的最值证明不等式技巧：利用函数的最值证明不等式所以所以,当当x=1时时,f(x)取得最小值取得最小值.x(0,1)1(1,+)f(x)0f(x)+单调递减单调递减单调递增单调递增所以,f(x)f(1)=0,即xlnx10证明：证明：将不等式将不等式lnx x1转化为转化为xlnx10令 ,解得故当故当x0时时,lnx x1.xyOy=x-1y=lnx除点(1,0)外，曲线C1：y=x-1在 y 轴右侧的部分位于曲线C2：y=lnx的上方.变式练习：教材变式练习：教材P94P94练习练习2 2 极值与最值极值与最值.注意区分函数的极值和函数的最值的联系与区别注意区分函数的极值和函数的最值的联系与区别.函函数的极值是函数的局部性质，函数的最值是函数在数的极值是函数的局部性质，函数的最值是函数在指定区间上的整体性质指定区间上的整体性质.1.知识清单：知识清单：本课总结、升华素养本课总结、升华素养2.方法总结：方法总结：(1)一般地，如果目标函数在开区间的定义域内有一般地，如果目标函数在开区间的定义域内有最大（小）值，且在该区间内只有唯一极值点，最大（小）值，且在该区间内只有唯一极值点，那么这个极值点就是函数值的最大（小）值那么这个极值点就是函数值的最大（小）值.（2）求f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤如下：求函数求函数f(x)在在(a,b)内的内的极值极值；求函数求函数f(x)在在区间端点处的函数值区间端点处的函数值f(a),f(b)；将函数将函数f(x)在在各极值与各极值与f(a),f(b)比较，其中比较，其中最大最大的一个是的一个是最大值最大值，最小最小的一个是的一个是最小值最小值 3.易错点、疑难点：易错点、疑难点：导数是最重要的中学数学工具之一，辐射中学数导数是最重要的中学数学工具之一，辐射中学数学其他分支，如函数、三角函数、数列、向量、解学其他分支，如函数、三角函数、数列、向量、解析几何、立体几何等析几何、立体几何等.要注意归纳、总结并积累相关要注意归纳、总结并积累相关方法，养成自觉使用导数解决相关问题的习惯方法，养成自觉使用导数解决相关问题的习惯.课后作业课后作业3.导学导学5.3.2（1）T1-61.教材教材P94练习练习T1，2；2.教材教材P98习题了习题了5.3T6，T8，T9，T10，T11
