2024届江西省鹰潭市高三下学期第一次模拟考试数学试题含答案.pdf

第 1 页/共 6 页学科网（北京）股份有限公司鹰潭市鹰潭市 2024 届高三第一次模拟考试届高三第一次模拟考试数学试卷数学试卷本试卷分第本试卷分第卷（选择题）和第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共卷（非选择题）两部分，共 4 页时间页时间 120 分钟满分分钟满分 150分分第第卷选择题卷选择题单项选择题：本题共单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填涂在答题卡上分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填涂在答题卡上1.若复数z满足1 i13iz+=+，则z=（）A.1 i-B.1 i+C.22i-D.22i+2.已知集合2|56Ax xx=-，集合|Bx xa=，若RBA，则a的取值范围为（）A.6,+B.6,+C.,1-D.,1-3.南丁格尔玫瑰图是由近代护理学和护士教育创始人南丁格尔（Florence Nightingale）设计的，图中每个扇形圆心角都是相等的，半径长短表示数量大小某机构统计了近几年中国知识付费用户数量（单位：亿人次），并绘制成南丁格尔玫瑰图（如图所示），根据此图，以下说法正确的是（）A.2015 年至 2022 年，知识付费用户数量先增加后减少B.2015 年至 2022 年，知识付费用户数量逐年增加量 2022 年最多C.2015 年至 2022 年，知识付费用户数量的逐年增加量逐年递增D.2022 年知识付费用户数量超过 2015 年知识付费用户数量的 10 倍4.设a、b是两条不同的直线，a、b是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A 若/ab，/aa，则/baB.若abrr，aa，bb，则abC.若ab，ab，则/aaD.若ab，/aa，则ab.第 2 页/共 6 页学科网（北京）股份有限公司5.某单位为了解职工体重情况，采用分层随机抽样的方法从 800 名职工中抽取了一个容量为 80 的样本其中，男性平均体重为 64 千克，方差为 151；女性平均体重为 56 千克，方差为 159，男女人数之比为5:3，则单位职工体重的方差为（）A.166B.167C.168D.1696.已知0,2q，2tantan43qq+=-，coscos222sin4qqq+=（）A 12-B.35-C.3D.357.已知椭圆E：222210 xyabab+=的左焦点为F，如图，过点F作倾斜角为60的直线与椭圆E交于A，B两点，M为线段AB的中点，若5 FMOF=（O为坐标原点），则椭圆E的离心率为（）A.33B.63C.2 23D.2 778.在满足2iixy，iiyxiixy=的实数对,1,2,3,iix yin=中，使得12120nnyyyy-+L成立的正整数n的最大值为（）A.22B.23C.30D.31二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求全部选对的得分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分分.9.如图所示，已知角,02a bab的始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆的交点分别为,A B，M为线段AB的中点，射线OM与单位圆交于点C，则（）.第 3 页/共 6 页学科网（北京）股份有限公司 A.AOBba=-B.cos2OMba-=C.点C坐标为cos,sin22abab+D.点M的坐标为coscos,sinsin2222abbaabba+-+-10.ABCV中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为ABCV的面积，且2a=，2 3AB ACS=uuu r uuur，下列选项正确的是（）A.6A=B.若2b=，则ABCV只有一解C.若ABCV为锐角三角形，则b取值范围是2 3,4D.若D为BC边上的中点，则AD的最大值为23+11.直四棱柱1111ABCDABC D-的所有棱长都为 4，3BAD=，点P在四边形11BDD B及其内部运动，且满足8PAPC+=，则下列选项正确的是（）A.点P的轨迹的长度为.B.直线AP与平面11BDD B所成的角为定值的第 4 页/共 6 页学科网（北京）股份有限公司C.点P到平面11AD B的距离的最小值为2 217.D.11PA PCuuur uuuu r的最小值为-2第第卷非选择题卷非选择题三、填空题：本题共三、填空题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分分12.6242xyx y-的展开式中yx的系数为_13.已知抛物线216xy=的焦点为F，P是C上的动点，过点F作直线44yk x=-+的垂线，垂足为Q，则PQPF+的最小值为_14.已知函数 f x，g x的定义域为R，gx为 g x的导函数，且 80fxgx+-=，2680f xgx-=，若 g x为偶函数，求 20231nf n=_四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 77 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.设nS为数列 na前n项和，已知1nSn n+是首项为12、公差为13的等差数列（1）求 na的通项公式;（2）令21nnnnabS-=，nT为数列 nb的前n项积，证明：16nnT-16.如图 1，已知正三角形ABC边长为 6，其中2ADDB=uuuruuu r，2AEEC=uuu ruuu r，现沿着DE翻折，将点A 翻折到点A处，使得平面A BC平面DBC，M为A C中点，如图 2（1）求异面直线A D与EM所成角余弦值；（2）求平面A BC与平面DEM夹角的余弦值17.2024 年春晚为观众带来了一场精彩纷呈的视觉盛宴，同时，也是传统文化与现代科技完美融合的展现.的的第 5 页/共 6 页学科网（北京）股份有限公司魔术师刘谦为大家呈现了一个精妙绝伦的魔术守岁共此时，小明深受启发，在家尝试对这个魔术进行改良，小明准备了甲、乙两个一模一样的袋子，甲、乙两袋中各装有大小相同的小球 9 个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为 2，3，4乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为 3，小明用左右手分别从甲、乙两袋中取球（1）若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率；（2）若左手取完两球后，右手再取两球，称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法，记两次取球（左右手完成各取两球为两次取球）的成功取法次数的随机变量X，求X的分布列18.已知在平面直角坐标系xOy中，1l：2yx=，2l：2yx=-，平面内有一动点P，过P作2/DP l交1l于D，1/EP l交2l于E，平行四边形ODPE面积恒为 1.（1）求点P的轨迹方程并说明它是什么图形；（2）记P的轨迹为曲线C，3,04G，当P在y轴右侧且不在x轴上时，在y轴右侧的C上一点Q满足x轴平分PGQ，且PQ不与x轴垂直或PG是C的一条切线，求PQ与1l，2l围成的三角形的面积最小值.19.设 A 是由m n个实数组成的 m 行 n 列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”（1）数表 A 如表 1 所示，若经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数，请写出每次“操作”后所得的数表（写出一种方法即可）：1237-2-101表 1（2）数表 A 如表 2 所示，若必须经过两次“操作”，才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数 a 的所有可能值：a21a-a-2a-2a-21 a-2a-2a表 2（3）对由m n个实数组成的 m 行 n 列的任意一个数表 A，能否经过有限次“操作”以后，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数？请说明理由第 6 页/共 6 页学科网（北京）股份有限公司第 1 页/共 24 页学科网（北京）股份有限公司鹰潭市鹰潭市 2024 届高三第一次模拟考试届高三第一次模拟考试数学试卷数学试卷本试卷分第本试卷分第卷（选择题）和第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共卷（非选择题）两部分，共 4 页时间页时间 120 分钟满分分钟满分 150分分第第卷选择题卷选择题单项选择题：本题共单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填涂在答题卡上分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填涂在答题卡上1.若复数z满足1 i13iz+=+，则z=（）A.1 i-B.1 i+C.22i-D.22i+【答案】B【解析】【分析】利用复数的模公式及复数除法法则即可得解.【详解】因为2213i132+=+=，所以由(1 i)13iz-=+，得2 1 i21 i1 i1 i1 iz+=+-+.故选：B.2.已知集合2|56Ax xx=-，集合|Bx xa=，若RBA，则a的取值范围为（）A.6,+B.6,+C.,1-D.,1-【答案】A【解析】【分析】解一元二次不等式求出集合 A 及RA，根据集合的包含关系求出结果.【详解】因为 22|56|560|16Ax xxx xxxx=-=-=-，R1Ax x=，因为集合|Bx xa=，RBA，所以6a，故选：A.3.南丁格尔玫瑰图是由近代护理学和护士教育创始人南丁格尔（Florence Nightingale）设计的，图中每个扇形圆心角都是相等的，半径长短表示数量大小某机构统计了近几年中国知识付费用户数量（单位：亿第 2 页/共 24 页学科网（北京）股份有限公司人次），并绘制成南丁格尔玫瑰图（如图所示），根据此图，以下说法正确的是（）A.2015 年至 2022 年，知识付费用户数量先增加后减少B.2015 年至 2022 年，知识付费用户数量逐年增加量 2022 年最多C.2015 年至 2022 年，知识付费用户数量的逐年增加量逐年递增D.2022 年知识付费用户数量超过 2015 年知识付费用户数量的 10 倍【答案】D【解析】【分析】利用题中所给的南丁格尔玫瑰图逐一考查所给选项，即可得解.【详解】对于 A，由图可知，2015 年至 2022 年，知识付费用户数量逐年增加，故 A 错误；对于 BC，知识付费用户数量的逐年增加量分别为：2016 年，0.960.480.48-=；2017 年，1.880.960.92-=；2018 年，2.95 1.881.07-=；2019 年，3.562.950.61-=；2020 年，4.153.560.59-=；2021 年，4.774.150.62-=；2022 年，5.274.770.5-=；则知识付费用户数量逐年增加量 2018 年最多，知识付费用户数量的逐年增加量不是逐年递增，故 BC 错误；对于 D，由5.2710 0.48，则 2022 年知识付费用户数量超过 2015 年知识付费用户数量的 10 倍，故 D 正确.故选：D.4.设a、b是两条不同的直线，a、b是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若/ab，/aa，则/baB.若abrr，aa，bb，则abC.若ab，ab，则/aaD.若ab，/aa，则ab【答案】B第 3 页/共 24 页学科网（北京）股份有限公司【解析】【分析】利用空间直线与平面，平面与平面的位置关系判断 ACD，利用空间向量判断线面位置关系，从而判断 B，由此得解.【详解】对于 A，若/ab，/aa，则有可能ba，故 A 错误；对于 B，若aa，bb，则直线,a b的方向向量,a br r分别为平面,a b法向量，又abrr，即abrr，所以ab，故 B 正确；对于 C，若ab，ab，则有可能aa，故 C 错误；对于 D，若ab，/aa，则有可能ab，故 D 错误.故选：B.5.某单位为了解职工体重情况，采用分层随机抽样的方法从 800 名职工中抽取了一个容量为 80 的样本其中，男性平均体重为 64 千克，方差为 151；女性平均体重为 56 千克，方差为 159，男女人数之比为5:3，则单位职工体重的方差为（）A.166B.167C.168D.169【答案】D【解析】【分析】利用分层抽样的平均数和方差公式即可得解.【详解】依题意，单位职工平均体重为5364566188x=+=，则单位职工体重的方差为222531516461159566116988s=+-+-=.故选：D.6.已知0,2q，2tantan43qq+=-，coscos222sin4qqq+=（）A.12-B.35-C.3D.35【答案】D【解析】【分析】利用正切的和差公式化简求得tan3q=，再利用三角函数诱导公式与三角恒等变换，结合正余弦的齐次式法即可得解.第 4 页/共 24 页学科网（北京）股份有限公司【详解】因为2tantan43qq+=-，所以tan12tan1tan3qqq+=-，又0,2q，即tan0q，解得tan3q=，所以22coscos2sincossin2sincossinsincos2sin4qqqqqqqqqqq+-=-+2222222sincossintantan333sincostan1315qqqqqqqq-+-+-+=+.故选：D.7.已知椭圆E：222210 xyabab+=的左焦点为F，如图，过点F作倾斜角为60的直线与椭圆E交于A，B两点，M为线段AB的中点，若5 FMOF=（O为坐标原点），则椭圆E的离心率为（）A.33B.63C.2 23D.2 77【答案】B【解析】【分析】根据题意求出M点坐标，再利用点差法求得22ba，进而可得椭圆离心率.【详解】依题意，椭圆的左焦点为,0Fc-，1155FMOFc=，过M作MMx轴，垂足为M，由60MFM=，第 5 页/共 24 页学科网（北京）股份有限公司得11210FMFMc=，33210MMFMc=，则93,1010Mcc-，设1122,A x yB xy，则有1212tan603yyxx-=-，121293,210210 xxyycc+=-=，由2222112222221,1xyxyabab+=+=，两式相减得12121212220 xxxxyyyyab+-+-+=，则有21212212123539351cyyyybaxxxxc+-=-=-=+-，所以22161133cbeaa=-=-=.故选：B.8.在满足2iixy，iiyxiixy=的实数对,1,2,3,iix yin=中，使得12120nnyyyy-+L成立的正整数n的最大值为（）A.22B.23C.30D.31【答案】C【解析】【分析】由iiyxiixy=得lnlnjiijyxxy=，构造函数 ln2xf xxx=，利用导数求得 f x的单调性，求得iy的取值范围，结合不等式的知识即可得解.【详解】因2iixy，则2ex，令 0fx，为第 6 页/共 24 页学科网（北京）股份有限公司所以 f x在2,e上单调递增，在e,+上单调递减，因为 ln2242ff=，2iixy，iif xfy=，所以2e4iixy-L，又4ny，2080ny，要使得12120nnyyyy-+L成立，只需e180n-，即80130.4en +，所以正整数n的最大值为30.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是由iiyxiixy=变换得lnlniiiixyxy=，从而得以构造函数 ln2xf xxx=，由此得解.二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求全部选对的得分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分分.9.如图所示，已知角,02a bab的始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆的交点分别为,A B，M为线段AB的中点，射线OM与单位圆交于点C，则（）A.AOBba=-B.cos2OMba-=C.点C的坐标为cos,sin22abab+D.点M的坐标为coscos,sinsin2222abbaabba+-+-【答案】ABC【解析】第 7 页/共 24 页学科网（北京）股份有限公司【分析】由角的定义求解可判断 A；由圆的性质及角的定义求解可判断 B；由三角函数定义求解可判断C；由中点坐标公式及三角函数定义，结合角的变换、两角和与差的余弦公式求解可判断 D.【详解】对于 A：因为,AOxBOxab=，02ab，所以AOBba=-，正确；对于 B：依题意M为线段AB的中点，则OMAB，则2AOMba-=，又1OA=，所以coscos2OMOAAOMba-=，正确；对于 C：M为线段AB的中点，射线OM与单位圆交于点C，则C为AB的中点，所以22COxbaaba-+=+=，又1OC=，所以点C的坐标为cos,sin22abab+，正确；对于 D：111(coscos)coscos2222222MABxxxababababab+-+-=+=+=+-1coscossinsincoscossinsin222222222abababababababab+-+-+-+-=-+12coscoscoscos22222abababab+-+-=，111(sinsin)sinsin2222222MAByyyababababab+-+-=+=+=+-1sincoscossinsincoscossin222222222abababababababab+-+-+-+-=+-12sincossincos22222abababab+-+-=，所以点M的坐标为coscos,sincos2222abbaabba+-+-，错误.故选：ABC10.ABCV中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为ABCV的面积，且2a=，2 3AB ACS=uuu r uuur，下列选项正确的是（）A.6A=B.若2b=，则ABCV只有一解C.若ABCV为锐角三角形，则b取值范围是2 3,4第 8 页/共 24 页学科网（北京）股份有限公司D.若D为BC边上的中点，则AD的最大值为23+【答案】ABD【解析】【分析】利用平面向量数量积公式及三角形面积公式可判定 A，直接解三角形可判定 B，利用角的范围结合正弦定理可判定 C，利用平面向量中线的性质及数量积公式结合余弦定理、基本不等式可判定 D.【详解】对于 A，因为2 3AB ACS=uuu r uuur，所以1cos2 3sin2bcAbcA=，则3tan3A=，因为0,A，所以6A=，故 A 正确；对于 B，因为2ba=，则6BA=，23C=，故ABCV只有一解，故 B 正确；对于 C，若ABCV为锐角三角形，则0,2B，0,2C，则02062BB-，则32B，即3sin,12B，由正弦定理可知：sin4sin2 3,4sinaBbBA=，故 C 错误；对于 D，若 D 为BC边上的中点，则12ADABAC=+uuuruuu ruuur，所以22222112344ADABAB ACACbcbc=+=+uuuruuu ruuu r uuuruuur由余弦定理知222222cos34abcbcAbcbc=+-=+-=，得2234bcbc+=+，又22342bcbcbc+=+，所以44 3823bc=+-，当且仅当26bc=+时取得等号，所以222111342 342 34 3874 3444ADbcbcbc=+=+=+uuur，即74 323AD+=+，故 D 正确.故选：ABD.11.直四棱柱1111ABCDABC D-的所有棱长都为 4，3BAD=，点P在四边形11BDD B及其内部运动，且满足8PAPC+=，则下列选项正确的是（）第 9 页/共 24 页学科网（北京）股份有限公司 A.点P的轨迹的长度为.B.直线AP与平面11BDD B所成的角为定值C.点P到平面11AD B的距离的最小值为2 217.D.11PA PCuuur uuuu r的最小值为-2【答案】BC【解析】【分析】建立空间直角坐标系，表示8PAPC+=，化简后得点P的轨迹方程，得轨迹长度判断 A；向量法求线面角判断 B，向量法求点到平面距离，结合点P的轨迹得最小值判断 C；坐标表示向量数量积，结合点P的轨迹最小值判断 D.【详解】直四棱柱1111ABCDABC D-的所有棱长都为 4，则底面ABCD为菱形，又3BAD=，则ABD和CBD都是等边三角形，设BD与AC相交于点O，由BDAC，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，过O垂直于底面的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则有2 3,0,0,0,2,0,2 3,0,0,0,2,0ABCD-，11112 3,0,4,0,2,4,2 3,0,4,0,2,4ABCD-，点P在四边形11BDD B及其内部运动，设0,Py z，22,04yz-，第 10 页/共 24 页学科网（北京）股份有限公司由8PAPC+=，有2222222 32 38yzyz+-+=，即22422,02yzyz+=-，所以点P的轨迹为yOz平面内，以O为圆心，2 为半径的半圆弧，所以点P的轨迹的长度为2，A 选项错误；平面11BDD B的法向量为1,0,0m=r，2 3,APy z=-uuu r，直线AP与平面11BDD B所成的角为q，则222 33sin212AP mAP myzq=+uuu rruuu rr，又由0,2q，则3q=，所以直线AP与平面11BDD B所成的角为定值，B 选项正确；11=2 3,2,4,2 3,2,4ABAD-，设平面11AD B的一个法向量为,nx y z=r，则有11=2 3240=2 3240AB nxyzAD nxyz-+=-+=rr，令2x=，得0,3yz=，2,0,3n=r，所以点P到平面11AD B的距离222 3234 33=723zzAP ndn-+-+=+uuu rrr，02z，所以2z=时，min4 32 32 2177d-+=，所以点P到平面11AD B的距离的最小值为2 217，C 选项正确；11=2 3,4,2 3,4PAyzPCyz-=-uuuruuuu r，2211=124PA PCyz-+-uuur uuuu r，其几何意义为点,P y z到点0,4距离的平方减 12，由224yz+=，点,P y z到点0,4距离最小值为422-=，11PA PCuuur uuuu r的最小值为22128-=-，D 选项错误.故选：BC【点睛】方法点睛：空间几何体中的相关问题，要利用好几何体本身的结构特征，点线面的位置关系，图形中的角度和距离.第 11 页/共 24 页学科网（北京）股份有限公司等，建立空间直角坐标系，利用向量法解决问题，也是常用的方法.第第卷非选择题卷非选择题三、填空题：本题共三、填空题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分分12.6242xyx y-的展开式中yx的系数为_【答案】12-【解析】【分析】由题意得6242xyx y-的展开式通项，令41r-=，求出r回代到通项公式中去即可求解.【详解】6242xyx y-的展开式通项为66644*162424C2C 21,06,NrrrrrrrrrxyTxyrrx yx y-+-=-，由题意令41r-=，解得=5r，所以6242xyx y-的展开式中yx的系数为556 56C 216 212-=-=-.故答案为：12-.13.已知抛物线216xy=的焦点为F，P是C上的动点，过点F作直线44yk x=-+的垂线，垂足为Q，则PQPF+的最小值为_【答案】6【解析】【分析】先分析得Q的轨迹，再利用抛物线的定义，结合圆的性质数形结合即可得解.【详解】如图所示，易知0,4F，直线44yk x=-+过定点4,4D，因为FQQD，所以 Q 在以FD为直径的圆上，不妨设其圆心为2,4E，显然半径2EQ=，分别过,E P作准线4y=-的垂线,EM PG，垂足为,M G，8EM=第 12 页/共 24 页学科网（北京）股份有限公司结合抛物线定义有6PQPFPQPGPEEQPGEMEQ+=+-+-=，当且仅当QP、均在线段EM上时取得等号.故答案为：6.14.已知函数 f x，g x的定义域为R，gx为 g x的导函数，且 80fxgx+-=，2680f xgx-=，若 g x为偶函数，求 20231nf n=_【答案】16184【解析】【分析】先利用复合函数的导数与 g x的奇偶性判断()g x的奇偶性，进而推得()g x与()f x的周期性，再利用赋值法求得(2),(4),(1)(3)ffff+的值，从而得解.【详解】因为()g x是偶函数，则()()gxg x-=，两边求导得()()gxg x-=，所以()g x是奇函数，故(0)0g=，由()()80(2)(2)80(2)8(2)f xg xf xg xf xg x+-=-+-=-=-，代入(2)(6)80f xgx-=，得8(2)(6)80g xgx-=，则(2)(6)0g xgx-+-=，所以(4)()0g xgx+-=，又()g x是奇函数，所以(4)()()g xgxg x+=-=，所以()g x是周期函数，且周期为 4，又()()80f xg x+-=，可知()f x也是以 4 为周期的周期函数，令4x=，得(4)(4)8(4)(0)80fgfg+-=+-=，故(4)8f=，而(2)(24)(2)(2)gggg=-=-=-所以(2)0g=，第 13 页/共 24 页学科网（北京）股份有限公司令2x=，得(2)(2)80gf+-=，则(2)8f=，而(1)(1)80gf+-=，(3)(3)80gf+-=，又(3)(1)(1)ggg=-=-，则(1)(3)16ff+=，20231()505(1)(2)(3)(4)(1)(2)(3)nf nfffffff=+505(8 168)(8 16)16184=+=，故答案为：16184.【点睛】结论点睛：函数的对称性与周期性：（1）若f xafxbc+-+=，则函数 f x关于,22ab c+中心对称；（2）若f xafxb+=-+，则函数 f x关于2abx+=对称；（3）若f xaf xa+=-，则函数 f x的周期为 2a；（4）若 f xaf x+=-，则函数 f x的周期为 2a.四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 77 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.设nS为数列 na的前n项和，已知1nSn n+是首项为12、公差为13的等差数列（1）求 na的通项公式;（2）令21nnnnabS-=，nT为数列 nb的前n项积，证明：16nnT-【答案】（1）2nan=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用等差数列定义可得nS，再利用nS与na的关系即可得解；（2）由nS与na可得nb，从而利用累乘法得到nT，进而得证.【小问 1 详解】因为1nSn n+是首项为12、公差为13的等差数列，第 14 页/共 24 页学科网（北京）股份有限公司故111112336nSnnn n=+-=+，即21111366nnnnnSn n+=+=，当2n 时，12116nnnnS-=，故121121166nnnnnnnnnSSa-+-=-222231 2316nnnnnn+-+-=，当1n=时，113 216aS=，符合上式，故2nan=；【小问 2 详解】由2nan=，2116nnnnS+=，故266211211212121nnnnannbSnnnnnnn+-=+-=+-，则1 2211 1325 33251366667421nnnTbbbnnn-=+LL6211nnn=+，因为2113 26nn+=，故1666nnnT-=.16.如图 1，已知正三角形ABC边长为 6，其中2ADDB=uuuruuu r，2AEEC=uuu ruuu r，现沿着DE翻折，将点A 翻折到点A处，使得平面A BC平面DBC，M为A C中点，如图 2（1）求异面直线A D与EM所成角的余弦值；（2）求平面A BC与平面DEM夹角的余弦值第 15 页/共 24 页学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）13 2288 （2）217【解析】【分析】（1）设 O 为 BC 的中点，结合图形翻折的性质推出AO平面DBC，从而建立空间直角坐标系，求得相关线段长与相关点坐标，利用空间角的向量求法即可得解；（2）分别求出平面A BC与平面DEM的法向量，根据空间角的向量法即可得解.小问 1 详解】取BC的中点为,O DE的中点为O，连接A O，A O，OO，因为正三角形ABC中，2ADDB=uuuruuu r，2AEEC=uuu ruuu r，所以2/,3DEBC DEBC=，则四边形DECB为等腰梯形，故,OODE OOBC ；Q由翻折性质可得A EA D=，,A ECA DB ECDB=,则A ECVA DBV，,A CA BO=Q是BC的中点，A OBC，平面A BC平面DBC，平面A BCI平面,DBCBC A O=平面A BC，A O平面DBC，又OO平面DBC，A OOO 以点O为坐标原点以,OC OO OA所在直线为,x y z轴，建立空间直角坐标系，因为正ABCV的边长为26,3DEBC DEBC=/，则A DEV为正三角形，边长为4，则A ODE ，2 3A O =，3,3OCOBOO=，在A OOV中，由勾股定理得22(2 3)(3)3OA=-=，【第 16 页/共 24 页学科网（北京）股份有限公司330,0,3,2,3,0,2,3,0,(3,0,0),0,22ADECM-，则132,3,3,3,22A DEM=-=-uuuu ruuuu r，3228891 3132cos,19444A D EMA D EMA DEM-=-+uuuu r uuuu ruuuu r uuuu ruuuu ruuuu r，Q异面直线所成角的取值范围为0,2，异面直线A D与EM所成角的余弦值为13 2288.【小问 2 详解】由（1）得2,3,0D-，332,3,0,0,22EM，734,0,0,3,22DEDM=-uuuruuuu r，易得平面A BC的一个法向量为0,1,0m=r，设平面DEM的法向量为,nx y z=r，则00DE nDM n=uuurruuuu rr，即40733022xxyz=-+=，令2z=，则0,3,2n=r，47321cos,13m nm nm n=+r rr rrr，平面A BC与平面DEM夹角的余弦值为217.17.2024 年春晚为观众带来了一场精彩纷呈的视觉盛宴，同时，也是传统文化与现代科技完美融合的展现.魔术师刘谦为大家呈现了一个精妙绝伦的魔术守岁共此时，小明深受启发，在家尝试对这个魔术进行改良，小明准备了甲、乙两个一模一样的袋子，甲、乙两袋中各装有大小相同的小球 9 个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为 2，3，4乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为 3，小明用左右手分别从甲、乙两袋中取球第 17 页/共 24 页学科网（北京）股份有限公司（1）若左右手各取一球，求两只手中所取球颜色不同的概率；（2）若左手取完两球后，右手再取两球，称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法，记两次取球（左右手完成各取两球为两次取球）的成功取法次数的随机变量X，求X的分布列【答案】（1）23 （2）分布列见解析【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用古典概型及对立事件的概率公式即可得解；（2）求出X的可能取值，再求出各个值对应的概率，求出分布列即可得解.【小问 1 详解】记事件A 为“两手所取的球不同色”，事件A是两手所取球颜色相同，则2 33 34 31()9 93P A+=，所以2()1()3P AP A=-=.【小问 2 详解】依题意，X的可能取值为0,1,2，左手所取的两球颜色相同的概率为22223429CCC5C18+=，右手所取的两球颜色相同的概率为22233329CCC1C4+=，5113313(0)(1)(1)18418424P X=-=，51517(1)(1)(1)18418418P X=-+-=，515(2)18472P X=，所以X的分布列为：X012P132471857218.已知在平面直角坐标系xOy中，1l：2yx=，2l：2yx=-，平面内有一动点P，过P作2/DP l交1l于D，1/EP l交2l于E，平行四边形ODPE面积恒为 1.的第 18 页/共 24 页学科网（北京）股份有限公司（1）求点P的轨迹方程并说明它是什么图形；（2）记P轨迹为曲线C，3,04G，当P在y轴右侧且不在x轴上时，在y轴右侧的C上一点Q满足x轴平分PGQ，且PQ不与x轴垂直或PG是C的一条切线，求PQ与1l，2l围成的三角形的面积最小值.【答案】（1）2214yx-=或2214yx-=，图形为两组双曲线 （2）329【解析】【分析】（1）联立直线的方程可得点00001,242xyEyx+，进而根据点到直线的距离公式，结合三角形面积公式即可化简得轨迹方程，（2）根据Q满足x轴平分PGQ，确定P在C：2214yx-=上，即可联立直线直线与双曲线方程，利用相切可得直线方程为PQ：43x=，利用斜率之和可得直线PQ恒过定点4,03，即可设直线方程为411322xmym=+-，联立直线间的方程可得,M N坐标，即可由面积公式求解.【小问 1 详解】设点00,P xy则直线PD的方程为002yyxx-=-，联立0022yyxxyx-=-=，解得00001242xxyyyx=+=+，即点00001,242xyEyx+，直线OP的方程为000y xx y-=，点E到直线OP的距离为002200000022220000142424xyyyxxyxdxyxy+-+-=+且2200OPxy=+，的第 19 页/共 24 页学科网（北京）股份有限公司因此，22004214ODPEOPEyxSSOP d-=YV，则220014yx-=或220014yx-=，因此P：2214yx-=或2214yx-=，图形为两组双曲线.【小问 2 详解】由题，x轴平分PGQ，若P在2214yx-=上，则由于G在渐近线2yx=下方，GP无法与双曲线相切且在y轴右侧最多一个交点，故由对称性，PQ与x轴垂直，故舍去，P在C：2214yx-=上设11,Q x y，则PG与QG斜率和为 0，011003344yyxx+=-，若PQ斜率不存在时，由题，则PG与C相切，设PG：34yk x=-，与C：2214yx-=联立得222239440216kxk xk-+-=，由相切，令判别式为 0，即422994 440416kkk+-+=，解得2647k=，第 20 页/共 24 页学科网（北京）股份有限公司此时202342324kxk=-，所以PQ：43x=，PQ斜率存在时，由011003344yyxx+=-，得10010134x yx yyy+=+，则22220122012222011001100101100101014 14 14444333yyyyyyx yx yx yx yyyx yx yyyyy-=-+，整理得01104433yyxx-=，故PQ恒过定点4,03，且其斜率的绝对值大于渐近线的斜率，设PQ：411322xmym=+-，与1l交于M，与2l交于N，则432MMMMxmyyx=+=，432NNNNxmyyx=+=-，联立解得836Mym=-，863Nym=-+，则21 42162 16322 33 3 12339MONMNSyym=-=-V，当且仅当0m=，即PQ斜率不存在时取等，故面积的最小值为329.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：（1）几何法，若题目的条件能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（2）代数法，若题目的