【数学】正弦定理、余弦定理复习讲义-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册.docx

正弦定理、余弦定理复习模块一：知识思维导图模块二：解三角形必备知识点（一）正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即=.利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题.（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.（从而进一步求出其他的边和角）变形： 角化边 边化角 （二） 余弦定理三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即a2=b2+c22bccosA；b2=c2+a22cacosB；c2=a2+b22abcosC.在余弦定理中，令C=90°，这时cosC=0，所以c2=a2+b2.由此可知余弦定理是勾股定理的推广.由可得cosA=； cosB=； cosC=.利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角. （3）在ABC中， 若，则角是直角； 若，则角是钝角； 若，则角是锐角（三） 三角形中的公式变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。（1）角的变换因为在ABC中，A+B+C=，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=cosC；tan(A+B)=tanC。；（2）三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理。面积公式： 其中r为三角形内切圆半径，p为周长之半。模块三：典型例题题型一对正弦定理的理解例1在ABC中，若角A，B，C对应的三边分别是a，b，c，则下列关于正弦定理的叙述或变形中错误的是()Aabcsin Asin Bsin CBabsin 2Asin 2BC.D正弦值较大的角所对的边也较大题型二用正余弦定理解三角形已知两角及其一角对边或已知两角及其夹边解三角形例1(1)在ABC中，已知c10，A45°，C30°，解这个三角形跟踪训练1(1)在ABC中，已知a8，B60°，C75°，则b等于()A4 B4 C4 D4答案(1)C已知两边及其夹角解三角形例2.在ABC中，已知a2，b2，C15°，求角A，B和边c的值(cos 15°，sin 15°)跟踪训练2.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a3，b2，cos(AB)，则c等于()A4 B. C3 D. 答案D已知两边及其中一边的对角解三角形例3 (1)在ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2，b，A45°，求边c.(2)在ABC中，已知c，A45°，a2，解这个三角形跟踪训练3(1)已知在ABC中，b，c3，B30°，解此三角形(2)在ABC中，若a，b2，A30°，则C_答案(1)C=90°A=90°a2,C=120°A=30°a(2)105°或15°已知三边(或三边的关系)解三角形例4.在ABC中，已知a2，b62，c4，求A，B，C.跟踪训练4将例2中的条件改为“abc2(62)4”，求A，B，C.题型三边角互化问题例1.在ABC中，若，则A等于（ ）A B C D 例2.在ABC中，若_。跟踪训练1 在ABC中，如果，那么等于 。跟踪训练2 ABC内角A、B、C对边分别为a、b、c，已知asin Acsin Casin CbsinB.(1)求B；(2)若A75°，b2，求a，c.题型四判断三角形的形状例1. 在ABC中，已知a2tan Bb2tan A，试判断三角形的形状例2.在ABC中，bsin Bcsin C且sin2Asin2Bsin2C，试判断三角形的形状跟踪训练1在ABC中，cos2，其中a，b，c分别是角A，B，C的对边，则ABC的形状为()A直角三角形B等腰三角形或直角三角形C等腰直角三角形D正三角形 答案A跟踪训练2在ABC中，B60°，b2ac，则三角形一定是()A直角三角形 B等边三角形C等腰直角三角形 D钝角三角形 答案B题型五 三角形面积公式例1.在ABC中，若a2，C，cos ，求ABC的面积S.例2.(1)在ABC中，若a3，cos C，SABC4，则b_跟踪训练1 在ABC中，AB，AC1，B30°，则ABC的面积等于_答案或题型六 已知对角对边求求周长与面积取值范围问题例：在中，角所对的边为，已知，解三角形变式1：若在例中去掉，其他条件不变，如何求的取值范围.变式2:若在例中去掉，其他条件不变，如何求的周长的取值范围.若在变式2中将变为锐角三角形，其他条件不变，求周长的取值范围.变式3:若在例中去掉，其他条件不变，如何求的面积的取值范围.变式4:若在例中去掉，其他条件不变，如何求的面积的取值范围.跟踪训练：在中，角所对的边为，已知，.（1） 求角的大小.（2） 求周长的取值范围.（3） 求面积的取值范围.模块四：课后练习1、等腰三角形一腰上的高是，这条高与底边的夹角为，则底边长=（ ）A2 B C3 D2、 在ABC中，若ABC=7813，则C=_。3、ABC的三内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，设向量p(ac，b)，q(ba，ca)，若pq，则角C的大小为()A. B. C. D.4、如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，则它的顶角的余弦值为()A B. C D.5、在,内角所对的边长分别为（）ABCD 6、在ABC中，、b、c分别为A、B、C的对边，若，则A=_ _.7、已知为的三个内角的对边，若，且，则角、的大小分别为（ ）A B C D8、在ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边长，已知a、b、c成等比数列，a2c2=acbc，求A的大小及的值。9、已知a，c2，B150°，则边b的长为（ ）. A. B. C. D. 10、已知锐角三角形的边长分别为2、3、x，则x的取值范围是（ ）.A Bx5C 2x Dx511、的内角的对边分别是,若,则（）AB2CD112、已知ABC中，A，则= 13、在ABC中，已知三边a、b、c满足，则C等于 14、在ABC中，AB5，BC7，AC8，求的值.学科网（北京）股份有限公司