广东省佛山市顺德区2023-2024学年高三下学期教育教学质量检测（二）数学试题含答案.pdf

高三数学试卷第 1 页（共 6 页）2023 学年顺德区普通高中高三教学质量检测（二）数学试题2024.2本试卷共 6 页，22 小题，满分 150 分，考试时间 120 分钟注意事项：1本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在数学答题卡，并用 2B 铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号.2回答第卷时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3回答第卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.4考试结束后，将答题卡交回.一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1集合|1Mx x，|lg1Nxx，则MN（）A|110 xxB|01xxC|010 xxD|0 x x 2复数4i1 iz 在复平面上对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3抛物线24xy在点2,1处的切线的斜率为（）A1B12C12D14在ABC中，ABa，ACb，若2ACEC，2BCDC，线段AD与BE交于点F，则CF （）A1233abB1233abC1233abD1233ab5二手汽车价位受多方因素影响，交易市场常用年限折旧法计算二手车价位，即按照同款新车裸车价格，第一年汽车贬值30%，从第二年开始每年贬值10%.刚参加工作的小明打算用7万元入手一辆3 5年的二手车，根据年限折旧法，设小明可以考虑的同款新车裸车最高价位是()m mN万，则m（）A14B15C16D17#QQABBYIEogggAAAAAQhCUwGoCECQkBGAAAoOxEAEoAABCAFABAA=#高三数学试卷第 2 页（共 6 页）6小明爬楼梯每一步走1级台阶或2级台阶是随机的，且走1级台阶的概率为23，走2级台阶的概率为13.小明从楼梯底部开始往上爬，在小明爬到第4级台阶的条件下，他走了 3 步的概率是（）A49B427C913D36617已知函数2sin4yx在区间0,a，0,4a上的值域均为1,b，则实数a的取值范围是（）A35,44B5,24C33,42D3,228已知椭圆C：22221(0)yxabab的上、下焦点分别为2F，1F，点P在椭圆上且位于第三象限，满足12120PF F，12PF F的角平分线与2PF相交于点Q，若225PQPF ，则椭圆C的离心率为（）A35B12C1925D1915二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分9一个平面截正方体所得的截面图形可以是（）A等腰三角形B菱形C梯形D正五边形10若62345601234561xaa xa xa xa xa xa x，则（）A01a B320a C1234562481632640aaaaaaD0246135aaaaaaa#QQABBYIEogggAAAAAQhCUwGoCECQkBGAAAoOxEAEoAABCAFABAA=#高三数学试卷第 3 页（共 6 页）11已知圆A：22(4)1xy，椭圆B：2214xy，直线l：(1)()yk xkR，点M为圆A上任意一点，点N为椭圆B上任意一点，以下的判断正确的是（）A直线l与椭圆B相交B当k变化时，点M到直线l的距离的最大值为171Cmax2 71MNDmax6MN12 函数()f x是定义域为R的奇函数，且它的最小正周期是T，已知,0,4()=,(,242Txxf xTTTx x，()()()g xf xa aR.下列四个判断中，正确的有（）A当4Tak(k Z)时，()()g xf x的值只有0或4TB当4Tak(k Z)时，函数()()g xf x既有对称轴又有对称中心C对于给定的正整数n，存在aR，使得1()()0nii Ti Tgfnn成立D 当4Ta 时，对于给定的正整数n，不存在k R且1k，使得1()()0nii Ti Tg kfnn成立三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分13已知02，2 3 sincoscos2，则_14已知正三棱柱的所有棱长均相等，其外接球与棱切球（该球与其所有棱都相切）的表面积分别为1S，2S，则12SS_#QQABBYIEogggAAAAAQhCUwGoCECQkBGAAAoOxEAEoAABCAFABAA=#高三数学试卷第 4 页（共 6 页）15一次考试后，学校将全体考生的成绩分数绘制成频率分布直方图（如下图），并按照等级划分表（如下表）对考生作出评价，若甲考生的等级为“A”，则估计甲的分数为_（写出满足条件的一个整数值即可）等级划分范围（分数由高到低）A+前20%（包括20%）A前20%35%（包括35%）B+前35%65%（包括65%）B前65%85%（包括85%）C+前85%95%（包括95%）C最后5%16在如图所示的长方形台球桌面示意图中，4OM，2MP，桌面的六个网分别位于长方形的四个顶点及长边中点上.现有三个台球分别在3 1,2 4A、B、7 5,2 4C三点所在的位置上，且A、B、C三点共线.用球A贴着桌面移动去击球C（不能碰到球B），使得球C沿球A运动的方向径直落入,O R M三个网中之一.若球和网近似地看成点，且台球在桌面上为直线运动，球A碰到桌边缘后反弹符合入射角等于反射角.则球A击中球C前，球A移动的最短路径的路程为_四、解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（本题满分 10 分）已知数列 na满足*22,mnanam m n N，且35a.（）求数列 na的通项公式；（）证明：1221333nnaaa.#QQABBYIEogggAAAAAQhCUwGoCECQkBGAAAoOxEAEoAABCAFABAA=#高三数学试卷第 5 页（共 6 页）18（本题满分 12 分）某市随机抽取n名市民进行智能手机使用情况调查，使用 5G 手机（A 类）和使用 4G 及以下或不使用手机（B 类）的人数占总人数n的比例统计如下表:A 类B 类大于或等于 60 岁10%15%小于 60 岁45%30%（）若用样本的频率作为概率的估计值，在全体市民中任选 3 人，记为 3 人中小于 60岁的人数，求的分布列和数学期望；（）若以 60 岁为年龄分界，讨论当n取不同值时，依据小概率值0.01的独立性检验，能否判断使用手机类型与年龄有关?附：22().()()()()n adbcab cd ac bd0.050.010.001x3.8416.63510.82819（本题满分 12 分）在四棱锥PABCD中，四边形ABCD为矩形，2PAPDAB，2 2AD，点E为线段AD的中点.已知点P在平面ABCD上的射影在四边形ABCD外，且直线PE与平面ABCD所成的角为45.（）设点M为线段CD的中点，求证：BDPM；（）求平面PAC与平面ABCD的夹角的余弦值.#QQABBYIEogggAAAAAQhCUwGoCECQkBGAAAoOxEAEoAABCAFABAA=#高三数学试卷第 6 页（共 6 页）20（本题满分 12 分）在ABC中，角,A B C所对的边分别为,a b c，其中1a，2c s12ocAb.（）求角B的大小；（）如图，D为ABC外一点，ABBD，ABCABD，求sinsinCABCDB的最大值.21（本题满分 12 分）已知双曲线22221(0,0)xyabab中，焦距为4 2，且双曲线过点(3,1)P.斜率不为零的直线与双曲线交于,A B两点，且以AB为直径的圆过点P.（）求双曲线的方程；（）是否存在直线AB，使得点P到直线AB的距离最大？若存在，求出直线AB的方程；若不存在，请说明理由.22（本题满分 12 分）已知函数21()ln()2f xxxmxm m R.（）讨论函数()f x的单调性；（）若函数()f x有两个极值点1x，2x，且满足21xex（e为自然对数的底数，2.7183e）.（i）求实数m的取值范围；（ii）证明：21()()0.005f xf x.#QQABBYIEogggAAAAAQhCUwGoCECQkBGAAAoOxEAEoAABCAFABAA=#高三数学试卷第 1 页（共 11 页）2023 学年顺德区普通高中教学质量检测（二）高三数学参考答案1【答答案案】A【解解析析】集合|010Nxx，那么|110MNxx，所以正确选项为 A2【答答案案】A【解解析析】1(1 i)1 i1 i(1 i)(1 i)2z，因此复数 z 在复平面内对应的点位于第一象限.3【答答案案】D【解解析析】抛物线214yx，则2xy，所以在点2,1处的切线的斜率为 21f，所以正确选项为 D4【答答案案】B【解解析析】由题意知点E、点D分别为线段AC和线段BC的中点，所以点F为ABC的重心，由于三角形的重心为中线的三等分点，所以212111223232333CFCACBCACAABABACab 5【答答案案】B【解解析析】根据题意可知汽车的使用时间越长，二手车的价位越低设同款新车裸车价格为x万，若购买 5 年的二手车，则4(1 30%)(1 10%)7x，得5548101010000015,16654193x，则15m，正确选项为 B6【答答案案】D【解解析析】设小明爬到第4级为事件A，走的步数为随机变量X，则X可以取2,3,4，其中211(2)()39P X，123124(3)()339P XC，4216(4)()381P X 所以416161()+=981981P A，4369(3)616181P XA.7【答答案案】A【解解析析】如图是2sin4yx的图象，由题意知，34a且644a，即3544a，所以正确选项为 A8【答答案案】C#QQABBYIEogggAAAAAQhCUwGoCECQkBGAAAoOxEAEoAABCAFABAA=#高三数学试卷第 2 页（共 11 页）【解解析析】由225PQPF 可知，112:2:3PFF F，所以14c=3PF，而由椭圆的定义知24c=23PFa，在21PF F中，22221211212cos120PFF FPFF FPF，即2224441(2)4()2 2()3332cccacc ，化简得225430caca，即25430ee，解之得1925e.9【答答案案】ABC【解解析析】如图 1，设,DA DC的中点为,E F，截面D EF就是等腰三角形，选项 A 正确；如图 2，设,AA CC的中点为,M N，截面BMD N就是菱形，选项 B 正确；截面图形可以是梯形，如图 1 中的截面EFC A，选项 C 正确；截面图形可以是五边形，但不可能是正五边形，选项 D 错误；综上所述，正确选项为 ABC图 1图 210【答答案案】ACD【解解析析】由题设知，6011a ，选项 A 正确；3x的系数为336120C，选项 B 错误；令2x，得01234561248163264aaaaaaa，则1234562481632640aaaaaa，选项 C 正确；令1x，得01234560aaaaaaa，则0246135aaaaaaa，选项 D 正确；综上所述，正确选项为 ACD11【答答案案】ABD【解解析析】直线l：(1)()yk xkR过椭圆内定点(1,0)，所以直线l与椭圆B相交，选项 A正确；对于选项 B，点M到直线l的距离的最大值为圆心(0,4)到定点(1,0)的连线段的长度再加半径1，为171，故 B 正确.对于选项 CD，可选用两种方法，首先将N视作定点，则max1MNNA，设点N的坐标为00(,)N xy，2222200000(4)44816NAxyyyy22000047638203()(11)33yyyy ，所以当01y 时，2max25NA，所以#QQABBYIEogggAAAAAQhCUwGoCECQkBGAAAoOxEAEoAABCAFABAA=#高三数学试卷第 3 页（共 11 页）max6MN.解解法法 2：设点(2cos,sin)N（0,2)，下与解法 1 大致相同，详解从略.故 C 错误，D 正确.12【答答案案】BC【解解析析】()f x为奇函数，关于原点对称，由于其为周期函数，故有无数个对称中心；而在区间0,2T上关于直线4Tx 轴对称，所以函数()f x与sin x的性质非常接近，其中()f x的周期T可类比sin x的周期2.对于选项 A，当4k 时，aT，()()()()2()g xf xf xTf xf x，值域为,2 2T T，故选项 A 错误；对于选项 B，由于()g x为()f x平移得到，故其周期亦为T，故只需研究1,2,3,4k 即可，当1k 时，4Ta，()()()()4Tg xf xf xf x，由于函数()f x的图象关于直线4Tx 对称，所以()()44TTfxfx，令()()()h xg xf x，则()()()4Th xfxf x，将x用4Tx替换，有()()()44TThxf xfx，故()()4Th xhx，所以有()h x关于直线8Tx 轴对称.又由于()f x为奇函数，所以()()0fxf x，所以()()044TTfxfx，所以()()()4Th xfxf x()()4Tfxf x0，所以()h x关于点(,0)8T对称.所以()()()h xg xf x既有对称轴，又有对称中心.当2,3,4k 时，同理可论证()()()h xg xf x既有对称轴，又有对称中心.对于选项 C，取4Ta，则()()4Tg xf x，由于()f x的图象关于点(,0)2T对称,()g x的图象关于直线2Tx，所以有()()()iTni Tffnn，()()()iTni Tggnn，所以()()()()()()0iTiTni Tni Tgfgfnnnn，当n为偶数时，()()02Tff T，所以1()()0nii Ti Tgfnn；当n为奇数时，()0f T，所以1()()0nii Ti Tgfnn.所以 C 正确.对于选项 D，由于=4Ta，所以1()()0nii Ti Tgfnn成立，函数()g x的图象关于y轴对称，所以有()()i Ti Tggnn，而1()()0nii Ti Tgfnn成立，所以1()()0nii Ti Tgfnn，故存在1k 成立，故选项 D 错误.13【答答案案】12#QQABBYIEogggAAAAAQhCUwGoCECQkBGAAAoOxEAEoAABCAFABAA=#高三数学试卷第 4 页（共 11 页）【解解析析】由题设3sin2cos2，则3tan23 因为20,，所以26，即1214【答答案案】74【解解析析】设三棱柱的棱长为a，外接球的半径2222137()()2312aaaR，棱切球的半径22223()33aaR，所以21122274SRSR.15【答答案案】100,101,102,103,104,105中任何一个数【解解析析】由频率分布直方图可得，分数段100,110的频率为10.020.040.090.20.320.080.25甲的成绩排在前20%35%（包括35%），前20%的分数线为0.20.08110105.20.025分，前35%的分数线为0.350.080.2510099.3750.032分，估计甲的分数范围为99.375,105.2，估计分数为100,101,102,103,104,105中任何一个数16【答答案案】3 52【解解析析】由于A、B、C三点共线，要使球A击中球C，只能通过反射后才能碰到，由于球A贴着桌面移动去击球C（不能碰到球B），使得球C径直落入三个网中之一，通过“入射角等于反射角”，以及从网逆向推理，连结网与C，逆推球A的运动路径，可推知C落入R处网时球A的路程最短，此时球A的路程为2293513 5=()()22442L.17【解解析析】（）令1mn，则1221nnanan，即12nnaa2 分所以数列 na为等差数列且公差2d 3 分由311245aada得11a 4 分所以数列 na的通项公式为21nan5 分解解法法 2：令3m，则526nna2 分所以21nan5 分解解法法 3：由题意知，22mnaman，所以数列2nan是常数列 3 分因为32 31a 4 分所以21nan，即数列 na的通项公式为21nan5 分（）设23135213333nnnS则234111352133333nnnS6 分#QQABBYIEogggAAAAAQhCUwGoCECQkBGAAAoOxEAEoAABCAFABAA=#高三数学试卷第 5 页（共 11 页）两式相减得12311111211112112122293221333333333313nnnnnnnnnS 8 分所以1113nnnS 10 分18【解解析析】（）选取一名60岁以下的市民的概率为30.450.34，由题意可知，3(3,)4B1 分又311(0)()464P；123319(1)()()4464PC；2233127(2)()()4464PC；3327(3)()464P.4 分(评注：4 个全部写对给 3 分，只写对 1 个给 1 分，写对 2 个或 3 个都给 2 分.)的分布列如下:0123P16496427642764的期望是39()344E.6 分（）零假设0H:使用手机类型与年龄无关.7 分由表中数据可知，22(0.10.30.150.45)0.250.750.550.45nnnnnnnnn8 分2(0.1 0.30.15 0.45)0.25 0.75 0.55 0.45n33n9分当2=6.63533n，即219n 时，根据小概率值0.01的独立性检验，我们推断零假设0H不成立，即使用手机类型与年龄有关，此推断犯错误的概率不大于0.01.11 分当26.63533n，即219n 时，根据小概率值0.01的独立性检验，我们推断零假设0H成立，即使用手机类型与年龄无关.12 分#QQABBYIEogggAAAAAQhCUwGoCECQkBGAAAoOxEAEoAABCAFABAA=#高三数学试卷第 6 页（共 11 页）19.【解解析析】（）作PO 平面ABCD，连接,OA OD OE OM CE直线PE与底面ABCD所成的角即为45PEO又在等腰直角三角形APD中，2PE 212POOEPE2PAPD，3OAOD，故OEAD1 分在矩形ABCD中，由题意知2ADAB，所以2CDDE，所以RtBADRtEDC，DBACED，而2DBAEDB，2CEDEDB，所以BDCE；3 分1,/CMOECMOE，四边形OECM是平行四边形/CEOMBDOMPO 平面ABCD，BD 平面ABCD，所以POBD，4 分又POOMO，所以BD 平面POM，PM 平面POM，所以BDPM.6 分解解法法 2：作PO 平面ABCD，连接,OA OD OE直线PE与底面ABCD所成的角即为45PEO又在等腰直角三角形APD中，2PE 212POOEPE2PAPD，3OAOD，故OEAD1 分以点O为坐标原点，以垂直于OF所在直线，OF，OP 所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系.点(0,0,1)P，点(2,3,0)B，点(2,3,0)C，点(2,1,0)D，点(2,2,0)M.2 分#QQABBYIEogggAAAAAQhCUwGoCECQkBGAAAoOxEAEoAABCAFABAA=#高三数学试卷第 7 页（共 11 页）(2 2,2,0),(2,2,1)BDPM 4 分(2 2)(2)2 20(1)0BD PM 5 分所以BDPM.6 分（）点(2,1,0)A，设(,)nx y z，满足n 平面PAC7 分则有nPAnAC，由于(2,1,1)PA ，(2 2,2,0)AC ，所以有202 220 xyzxy，不妨令1x，则2y，2 2z，所以一个法向量(1,2,2 2)n，9 分取平面ABCD的一个法向量(0,0,1)m 10 分则cosm nm n 2 22 221111.12 分20【解解析析】（）由于1a，所以2c s2ocbAa1 分由正弦定理sinsinsinabcABC得2sinsin2scoinsCABA 2分整理得2sincos2sinsinBACA又因为isnincsoin()sscossinABABABC，化简得sin2sincosAAB4 分而sin0A，则cos12B 又(0,)B，所以3B5 分解解法法 2：由余弦定理2222221c212os2cbbcabcAbcbc2 分可得221cbc 3 分则2222221c s12o22accbccbBacc4 分又(0,)B，所以3B5 分（）在BCD中，由sinsinBCCDBCBDCD得ssiin2n3CDBCD6 分在ABC中，由sinsinBCCABABCAC得s3insinACCAB7 分所以sinsinCABCDCDBAC8 分#QQABBYIEogggAAAAAQhCUwGoCECQkBGAAAoOxEAEoAABCAFABAA=#高三数学试卷第 8 页（共 11 页）设(0)ABBDt t由余弦定理2222cosCDBDBCBD BCCBD，2222cosACBABCBA BCCBA得22221,1CDtt ACtt 9 分22222111131222111211CAtttDttCtttttt （当且仅当1t 时等号成立）11 分所以sinsinCABCDB的最大值为3，此时1ABBD12 分21【解解析析】（）依题意可得22222911(2 2)abab2 分解得2262ab3分故双曲线的方程为：22162xy4 分解解法法 2：依题意可知两焦点坐标为12(2 2,0),(2 2,0)FF1 分由双曲线的定义可得22222(32 2)1(32 2)1a 2 分222418 12 218 12 22 18(12 2)a26a，从而2222bca3 分故双曲线的方程为：22162xy4 分（）因直线AB的斜率不为零，故可设其方程为xmyn由2222236(3)260 xymymnynxmyn5 分设1122(,),(,)A x yB xy，则有：12223mnyym，212263ny ym6 分依题意有0PA PB 7 分12121212(3)(3)(1)(1)(3)(3)(1)(1)PA PBxxyymynmynyy 22121212(1)(3)()(3)()1my ym nyynyy222222622(1)(3)(3)10333nmnmnmm nnmmm 化简得：22(2)9180mmnnn所以：(3)(26)0mnmn从而有：3nm 或26nm8 分#QQABBYIEogggAAAAAQhCUwGoCECQkBGAAAoOxEAEoAABCAFABAA=#高三数学试卷第 9 页（共 11 页）当3nm 时，直线:(1)3AB xym，经过点(3,1)P，不合题意，舍去；当26nm时，直线:(2)6AB xym，它经过定点(6,2)Q 9 分故欲使点P到直线AB的距离最大，只须使ABPQ即可，此时直线AB的斜率11ABPQkk 直线AB的方程为：2(6)yx，即：8yx 11 分经检验直线AB的方程为8yx 时满足题意综上可知，存在满足条件的直线AB，其方程为：8yx 12 分解解法法 2：当直线PA与直线PB的斜率存在时，分别设为12,k k,双曲线的方程可改写成：22(3)3(1)1162xy即22(3)6(3)3(1)6(1)0 xxyy 5 分设直线AB的方程为：(3)(1)1mxn y 6 分将代入中得：22(3)6(3)(3)(1)3(1)6(1)(3)(1)0 xxm xn yyym xn y即：22(63)(1)(66)(3)(1)(61)(3)0nymn xymx将上式两边同除以2(3)x得：211(63)()(66)(61)033yynmnmxx7 分依题意可知：12121211,33yykkxx是上方程的两个解，所以有：126163mk kn，又由题意知：PAPB，121k k，所以有：61163mn，即13mn 8 分将13mn 代入得：1()(3)(1)13nxn y 即直线AB的方程为：1(2)(4)03xnxy 令16203240 xxyyx ，即直线AB过定点(6,2)Q 9 分当直线PA与直线PB的斜率有其中一条不存在时，易求得直线AB的方程为：13yx，可知它也过定点(6,2)Q.10 分故欲使点P到直线AB的距离最大，只须使ABPQ即可，此时直线AB的斜率#QQABBYIEogggAAAAAQhCUwGoCECQkBGAAAoOxEAEoAABCAFABAA=#高三数学试卷第 10 页（共 11 页）11ABPQkk 直线AB的方程为：2(6)yx，即：8yx 11 分经检验直线AB的方程为8yx 时满足题意，综上可知，存在满足条件的直线AB，其方程为：8yx 12 分22【解解析析】（）函数的定义域为(0,)，1()fxxmx21xmxx，方程210 xmx 的判别式24m.1 分若0，即22m 时，()0fx在(0,)上恒成立，故()f x在(0,)上单调递增；2 分若0，解之得2m 或2m 时，当2m 时，由于120 xxm，12.10 x x，所以10 x，且20 x.由求根公式知210 xmx 的两个根分别为242mmx或242mmx.当24(0,)2mmx时，()0fx，()f x单调递增；当2244(,)22mmmmx时，()0fx，()f x单调递减；当24(,)2mmx时，()0fx，()f x单调递增.3 分当2m 时，二次函数的21yxmx对称轴为0 xm，()0fx对于任意(0,)x成立，()f x单调递增.4 分综上可知，当2m 时，()f x单调递增.当2m 时，当24(0,)2mmx时，()f x单调递增；当2244(,)22mmmmx时，()f x单调递减；当24(,)2mmx()f x单调递增 5 分（）（i）由于121x x，所以211xx，代入21xex，有1410 xe，而111mxx在41(0,e上单调递减，所以14141mee，6 分而10 x时，111xx，所以m的取值范围是14141,)ee.7 分#QQABBYIEogggAAAAAQhCUwGoCECQkBGAAAoOxEAEoAABCAFABAA=#高三数学试卷第 11 页（共 11 页）（ii）由（i）知221211211()()ln()(2)2xf xf xxxxxmx，将12xxm代入有，22212211()()ln22xxxf xf xx.8 分由于121x x，所以211xx，上式2112112ln22xxx，由（i）知141(0,)xe，记221()2ln22th ttt，42332121()0tth ttttt 在41(0,e上恒成立，9 分所以22411()2ln()22th tthte 11222ee11()2eee.10 分要证10.0052eee ，只需证:1 1.010ee，因为2.7183e，所以2.718e，且21.72.89e，所以1 1.012.718 1 1.012.890.0010ee ，所以1 1.010ee 成立，故得证.12 分解解法法 2：构造关于以2x为自变量的函数；解解法法 3：构造关于以m为自变量的函数；解解法法 4：令21(1)xt tx，构造关于以t为自变量的函数.解法 2 至 4 的解法与解法 1 大致同，按照解法 1 步骤酌情给分.#QQABBYIEogggAAAAAQhCUwGoCECQkBGAAAoOxEAEoAABCAFABAA=#