江苏省清江中学、南通部分学校2024年高二3月月考数学试卷含答案.pdf

学科网（北京）股份有限公司20232024 学年度第二学期高二第一次调研学年度第二学期高二第一次调研 数学试卷数学试卷注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置上，在其他位置作答一律无效。3本卷满分为 150 分，考试时间为 120 分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。是符合题目要求的。1在空间直角坐标系中，点()9,8,5A关于xOz平面对称的点的坐标为A()9,8,5B()9,8,5C()9,8,5D()9,8,52规定()()11mxAx xxm=+，其中xR，*mN，且01xA=，这是排列数mnA（n，*mN，且mn）的一种推广，则32 1A+=A22B1 C2D2 3某校文艺部有 7 名同学，其中高一年级 3 名，高二年级 4 名从这 7 名同学中随机选 3 名组织校文艺汇演，则两个年级都至少有 1 名同学入选的选法种数为 A12 B30 C34 D60 46212xx展开式中的常数项为A240 B-240 C180 D-180 5从 0，1，2，3，4 这 5 个数中任选 3 个数，组成没有重复数字的三位数的个数为 A24 B36 C42 D48 6在空间直角坐标系中，已知点()1,1,1A，()0,1,0B，()1,2,3C，则点 C 到直线 AB 的距离为A3B2 C2 2D3 7 已 知 平 行 六 面 体1111ABCDABC D中，13AA=，4BD=，115AD DCAB BC=，则1cos AA BD=A512B512C415D415江苏省清江中学、南通部分学校2024年高二3月月考数学试卷含答案 学科网（北京）股份有限公司 8若()211nxxx+的展开式中不含3x的项，则含5x的项的系数为 A30 B32 C34 D36 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。分。9在()52xy+的展开式中，下列说法正确的是 A二项式系数和为 32 B各项系数和为 243 C二项式系数最大的项为第 2 项和第 5 项 D所有偶数项的系数和为 122 10有 6 本不同的书，按下列方法进行分配，其中分配种数正确的是 A分给甲、乙、丙三人，每人各 2 本，有 90 种分法 B分给甲、乙、丙三人，一人 4 本，另两人各 1 本，有 180 种分法 C分给甲、乙、丙、丁四人，甲、乙每人 2 本，丙、丁每人 1 本，有 180 种分法 D分给甲、乙、丙、丁四人，有两人各 2 本，另两人各 1 本，有 2160 种分法 11在长方体1111ABCDABC D中，2AB=，11BCCC=，E 是 CD 的中点则 A1112B EADAAAB=B异面直线1AB与1B E所成角的余弦值为155 C直线1AB与平面1BB E所成角的正弦值为105 D点 B 到平面1AD E的距离为2 33 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分。分。12设aZ，且07a，若20243a+能被 8 整除，则 a=_ 13现有 5 双鞋子，从中任取 4 只鞋子，则取出的 4 只鞋子中，恰好有 1 双的取法总数为_ 14已知正方体1111ABCDABC D的棱长为 2，M，N，G 分别是棱1AA，BC，11AD的中点，Q 是该正方体表面上的一点，且MQxMGyMN=+若1xy=，则直线 NQ 与平面1ABBA所成角的大小为_，若 x，yR，则MG MQ 的最大值为_ 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 5 小题，共小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。学科网（北京）股份有限公司 15（13 分）已知13nxx+的展开式中，第 2 项与第 3 项的二项式系数之比为 1：3（1）求 n 的值：（2）求展开式中所有的有理项。16（15 分）如图，在三棱柱111ABCABC中，ABAC，2ABAC=，O 为 BC 的中点，1AO 平面 ABC（1）求证：1ABAO；（2）若16AA=，求直线1AB与平面11BCC B所成角的正弦值 17（15 分）现有 4 名男生和 3 名女生（1）若安排这 7 名学生站成一排照相，要求 3 名女生互不相邻，这样的排法有多少种？（2）若邀请这 7 名学生中的 4 名参加一项活动，其中男生甲和女生乙不能同时参加，求邀请的方法种数：（3）若将这 7 名学生全部安排到 5 个备选工厂中的 4 个工厂参加暑期社会实践活动，要求 3 名女生必须安排在同一个工厂，求这样安排的方法共有多少种？学科网（北京）股份有限公司 18（17 分）在 四 棱 锥SABCD中，ADBC，ADCD，平 面SCD 平 面 ABCD，SCSD，22SCADBC=，2 2SD=（1）求点 B 到平面 SAC 的距离；（2）在线段 SB 上是否存在点 E，使二面角ECDA的正弦值为4 7035？若存在，请确定点 E 的位置；若不存在，请说明理由 19（17 分）（1）已知 k，*nN，且kn，求证：11nnkkkCnC=；（2）若*nN，且3n，证明：()22112nknnkk Cn n=+；（3）设数列0a，1a，2a，na是公差不为 0 的等差数列，证明：对任意的*nN，函数()()()()120122012111nnnnnnnnnnpa CxaC xxa C xCxxax=+是关于 x 的一次函数 学科网（北京）股份有限公司 20232024 学年度第二学期高二第一次调研学年度第二学期高二第一次调研 数学参考答案及评分建议数学参考答案及评分建议 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。分。题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C B A D A B C 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分。分。题号 9 10 11 答案 ABD AC ACD 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分。分。127 13120 144，3 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 5 小题，共小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15（13 分）【解】（1）因为13nxx+的展开式中，第 2 项与第 3 项的二项式系数之比为 1：3，所以1213nnCC=，即()2113nn n=，解得7n=（2）因为13nxx+的展开式的第1r+项为()()7 37721773,13012,7,rrrrrrrTCCxrxx+=所以当732Zr时，r=1，3，5，7，所以713 xx+的展开式中，有理项分别为 63271335103TCxx=，34113732835TCxx=，3211673189TCxx=，750773TCxx=16（15 分）学科网（北京）股份有限公司【解】（1）因为2ABAC=，O 为 BC 的中点，所以AOBC 因为1AO 平面 ABC，AO，BC 平面 ABC，所以1AOAO，1AOBC，所以1AO，AO，BC 两两垂直 以1,OAOB OA 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系 因为ABAC，则()20,0,A，()00,2,B，设()10,0,At，则()10,2,ABt=，()2,0,0AO=由()()1022000AB AOt=+=，得1ABAO，即1ABAO（综合法证明参考给分）（2）因为16AA=，所以12AO=，即()10,0,2A，所以()112,0,2BBAA=，()10,2,2AB=又()0,2,0OB=，设平面11BCC B的法向量(),nx y z=，则1nOBBBn 即120220n OByn BBxz=+=取()2,0,1n=，设直线1AB与平面11BCC B所成角的大小为，则11122sins63,co3ABAB nABnn=17（15 分）【解】（1）（采用插空法）共有排法数为45451440AA=种 学科网（北京）股份有限公司（2）（采用去杂法）共有邀请方法数为24722525CCC=种（3）有两类不同情形：先选 4 个工厂，将 3 名女生和 1 名男生安排在同一个工厂，其余 3 名男生分别在另三个工厂，一厂安排一人，其方法数为1143480C A=种；先选 4 个工厂，将 3 名女生安排在一个工厂，4 名男生安排在另外三个工厂，有一厂两人，另两厂各一人，其方法数为3344720C A=种 所以共有 480+720=1200 种不同的安排方法 18（17 分）【解】（1）因为平面 SCD平面 ABCD，平面SCD平面 ABCD=CD，AD 平面 ABCD，ADCD，所以AD 平面 SCD 因为ADBC，所以 BC平面 SCD 过点 C 作CFSD，因为SCSD，所以CFSC 以,CF CS CB 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系 因为22SCADBC=，2 2SD=则()0,0,0C，()0,0,1B，()0,2,0S，(),2 22,2A，所以()2 2 2,2,CA=，()0,0,2CS=设平面 SAC 的一个法向量为(),nx y z=，则CAnCSn 即222020CA nxyzCS ny=+=取()1,0,2n=，又()0,10CB=，所以点 B 到平面 SAC 的距离2633CB nnd=学科网（北京）股份有限公司（2）()0,0,0C，()2 2,2,0D，()2 2,2,2A，()0,0,1B，()0,2,0S 设BEBS=，01,，则()()0,2,10,2,BE=，所以()0,2,1E 设平面 ACD 的一个法向量为()1111,nx y z=，()2 2,2,2CA=，()2 2,2,0CD=，由11CAnCDn 得11111222 22202 220CA nxyzCD nxy=+=+=取()1,10,2n=设平面 CDE 的一个法向量为()2222,nxyz=，()0 2,1CE=，由2200CD nCE n=得()2313232 220210CDxyCE nzny=+=+=取()()2121 2 2,n=所以()121221231cos|3116,3nn nnnn=+设二面角ECDA的平面角为，因为二面角ECDA的正弦值为4 7035，所以4 70105cos13535=，又12cos,cosn n=，所以()2311053531163=+，化简得23840+=，解得2=或23=，因为10,，所以23=所以当点 E 是线段 SB 上靠近点 S 的三等分点时，满足条件 19（17 分）学科网（北京）股份有限公司【解】（1）左边()()()!1!nknnkCkknkknk=，右边()()()()()1!1!1!nnnknkknk=，所以11kknnkCnC=；（2）211kknnknk CknkCkC=，而1112111121(1)(1)kkkkknnnnnkCkCCnCC=+=+，所以22121(1)knkknnk Cn nCnC=+所以22121221101(1)(1)22(1)2nnnkkknnnnnnkkkk Cn nCnCn nnn n=+=+=+所以，原命题成立 另法：211kknknnk CkkkCnC=，要证221(1)2nnknkk Cn n=+，只需证1211(1)2nknnkknC=+设()()11nf xxx=+，由()()101221111111nnnnnnnxxx CxCx CxC+=+，0213211111nnnnnnxCx Cx Cx C=+两边同时求导，得120122111111(1)(1)(1)23nnnnnnnnxnxxCxCx CnxC+=+令1x=，得01212111123(1)2nnnnnnCCCnCn+=+，即1211(1)2nknnkknC=+得证 所以，原命题成立（3）由条件，设等差数列0a，1a，2a，na的公差为 d，0d，则()011222012(1)(1)(1)nnnnnnnnnnp xa CxaC xxa C xxa C x=+011000(1)()(1)()nnnnnnna Cxad C xxand C x=+011112220(1)(1)(1)2(1)nnnnnnnnnnnnnna CxC xxC xd C xxC xxnC x=+学科网（北京）股份有限公司 0112110111(1)(1)(1)nnnnnnnnaxxdnx CxCxxCx=+()101nadnx xx=+0adnx=+因为0d，所以对任意的nN，()p x是关于 x 的一次函数