2023年高考数学真题分类汇编大题含答案.pdf

专业专心 专注2023年高考真题分类汇编大题年高考真题分类汇编大题第一章 解三角形第一章 解三角形2第二章 数列第二章 数列6第三章 立体几何第三章 立体几何11第四章 概率第四章 概率19第五章 圆锥曲线第五章 圆锥曲线26第六章 导数第六章 导数32第1页 共39页自律 自信 自强博观而约取 厚积而薄发第一章解三角形1(2023乙卷)在ABC中，已知BAC=120，AB=2，AC=1(1)求sinABC；(2)若D为BC上一点且BAD=90，求ADC的面积2(2023甲卷)记ABC的内角 A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2+c2-a2cosA=2(1)求bc；(2)若acosB-bcosAacosB+bcosA-bc=1，求ABC面积3(2023天津)在ABC中，角 A，B，C的对边分别为a，b，c已知a=39，b=2，A=120()求sinB的值；()求c的值；()求sin(B-C)的值第2页 共39页专业专心 专注4(2023新高考)记ABC的内角 A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ABC面积为3，D为BC的中点，且 AD=1(1)若ADC=3，求tanB；(2)若b2+c2=8，求b，c第3页 共39页自律 自信 自强博观而约取 厚积而薄发5(2023新高考)已知在ABC中，A+B=3C，2sin(A-C)=sinB(1)求sinA；(2)设 AB=5，求 AB边上的高6(2023上海)在ABC中，角 A、B、C所对应的边分别为a、b、c，其中b=2(1)若 A+C=120，a=2c，求边长c；(2)若 A-C=15，a=2csinA，求ABC的面积第4页 共39页专业专心 专注第5页 共39页自律 自信 自强博观而约取 厚积而薄发第二章数列1(2023全国)已知an为等比数列，其前n项和为Sn，S3=21，S6=189(1)求an的通项公式；(2)若bn=(-1)nan，求bn的前n项和Tn2(2023新高考)设等差数列an的公差为d，且d1令bn=n2+nan，记Sn，Tn分别为数列an，bn的前n项和(1)若3a2=3a1+a3，S3+T3=21，求an的通项公式；(2)若bn为等差数列，且S99-T99=99，求d第6页 共39页专业专心 专注3(2023新高考)已知an为等差数列，bn=an-6，n为奇数2an，n为偶数，记Sn，Tn为an，bn的前n项和，S4=32，T3=16(1)求an的通项公式；(2)证明：当n5时，TnSn4(2023上海)已知 f(x)=lnx，在该函数图像上取一点a1，过点(a1，f(a1)做函数 f(x)的切线，该切线与 y轴的交点记作(0，a2)，若a20，则过点(a2，f(a2)做函数 f(x)的切线，该切线与 y轴的交点记作(0，a3)，以此类推a3，a4，直至am0停止，由这些项构成数列an(1)设am(m2)属于数列an，证明：am=lnam-1-1；(2)试比较am与am-1-2的大小关系；(3)若正整数k3，是否存在k使得a1、a2、a3、ak依次成等差数列？若存在，求出k的所有取值；若不存在，请说明理由第7页 共39页自律 自信 自强博观而约取 厚积而薄发5(2023甲卷)已知数列an中，a2=1，设Sn为an前n项和，2Sn=nan(1)求an的通项公式；(2)求数列an+12n 的前n项和Tn第8页 共39页专业专心 专注6(2023乙卷)记Sn为等差数列an的前n项和，已知a2=11，S10=40(1)求an的通项公式；(2)求数列|an|的前n项和Tn7(2023天津)已知an是等差数列，a2+a5=16，a5-a3=4()求an的通项公式和2n-1i=2n-1ai；()已知bn为等比数列，对于任意kN*，若2k-1n2k-1，则bkanbk+1(i)当k2时，求证：2k-1bn2k+1；(ii)求bn的通项公式及其前n项和第9页 共39页自律 自信 自强博观而约取 厚积而薄发第10页 共39页专业专心 专注第三章立体几何1(2023乙卷)如图，在三棱锥P-ABC中，ABBC，AB=2，BC=2 2，PB=PC=6，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，点F在 AC上，BF AO(1)求证：EF平面 ADO；(2)若POF=120，求三棱锥P-ABC的体积第11页 共39页自律 自信 自强博观而约取 厚积而薄发2(2023乙卷)如图，在三棱锥P-ABC中，ABBC，AB=2，BC=2 2，PB=PC=6，AD=5DO，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，点F在 AC上，BF AO(1)证明：EF平面 ADO；(2)证明：平面 ADO平面BEF；(3)求二面角D-AO-C的正弦值第12页 共39页专业专心 专注3(2023上海)已知直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1，AB AD，ABCD，AB=2，AD=3，CD=4(1)证明：直线 A1B平面DCC1D1；(2)若该四棱柱的体积为36，求二面角 A1-BD-A的大小第13页 共39页自律 自信 自强博观而约取 厚积而薄发4(2023甲卷)在三棱柱 ABC-A1B1C1中，AA1=2，A1C底面 ABC，ACB=90，A1到平面BCC1B1的距离为1(1)求证：AC=A1C；(2)若直线 AA1与BB1距离为2，求 AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值第14页 共39页专业专心 专注5(2023天津)在三棱台 ABC-A1B1C1中，若 A1A平面 ABC，AB AC，AB=AC=AA1=2，A1C1=1，M，N分别为BC，AB中点()求证：A1N平面C1MA；()求平面C1MA与平面 ACC1A1所成角的余弦值；()求点C到平面C1MA的距离第15页 共39页自律 自信 自强博观而约取 厚积而薄发6(2023新高考)如图，三棱锥 A-BCD中，DA=DB=DC，BDCD，ADB=ADC=60，E为BC中点(1)证明BCDA；(2)点F满足 EF=DA，求二面角D-AB-F的正弦值第16页 共39页专业专心 专注7(2023新高考)如图，在正四棱柱 ABCD-A1B1C1D中，AB=2，AA1=4点 A2，B2，C2，D2分别在棱 AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2=1，BB2=DD2=2，CC2=3(1)证明：B2C2 A2D2；(2)点P在棱BB1上，当二面角P-A2C2-D2为150时，求B2P第17页 共39页自律 自信 自强博观而约取 厚积而薄发8(2023全国)在直三棱柱 ABC-A1B1C1中，AB=AC=1，AA1=2，CAB=120(1)求直三棱柱 ABC-A1B1C1的体积；(2)求直三棱柱 ABC-A1B1C1的表面积第18页 共39页专业专心 专注第四章概率1(2023乙卷)某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi，yi(i=1，2，10)试验结果如下：试验序号i12345678910伸缩率xi545533551522575544541568596548伸缩率 yi536527543530560533522550576536记zi=xi-yi(i=1，2，10)，记z1，z2，z10的样本平均数为 z，样本方差为s2(1)求 z，s2；(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高(如果 z2s210，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高)第19页 共39页自律 自信 自强博观而约取 厚积而薄发2(2023新高考)某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值 c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于 c的人判定为阴性，此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为 p(c)；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为q(c)假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率(1)当漏诊率 p(c)=0.5%时，求临界值c和误诊率q(c)；(2)设函数 f(c)=p(c)+q(c)当c95，105，求 f(c)的解析式，并求 f(c)在区间95，105的最小值第20页 共39页专业专心 专注3(2023甲卷)为探究其药物对小鼠的生长抑制作用，将40只小鼠均分为两组，分别为对照组(不加药物)和实验组(加药物)(1)设其中两只小鼠中对照组小鼠数目为 X，求 X的分布列和数学期望；(2)测得40只小鼠体重如下(单位：g)：(已按从小到大排好)对照组：17.3 18.4 20.1 20.4 21.5 23.2 24.6 24.8 25.0 25.4 26.1 26.3 26.4 26.5 26.8 27.0 27.4 27.527.6 28.3实验组：5.4 6.6 6.8 6.9 7.8 8.2 9.4 10.0 10.4 11.2 14.4 17.3 19.2 20.2 23.6 23.8 24.5 25.1 25.226.0(i)求40只小鼠体重的中位数m，并完成下面22列联表：mm对照组实验组(ii)根据22列联表，能否有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用参考数据：k00.100.050.010P(k2k0)2.7063.8416.635第21页 共39页自律 自信 自强博观而约取 厚积而薄发4(2023上海)2023年6月7日，21世纪汽车博览会在上海举行，已知某汽车模型公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示：红色外观蓝色外观棕色内饰128米色内饰23(1)若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件 A 为小明取到红色外观的模型，事件 B 为小明取到棕色内饰的模型，求P(B)和P(B|A)，并判断事件 A和事件B是否独立；(2)该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以一次性从这些模型中拿两个汽车模型，给出以下假设：假设1：拿到的两个模型会出现三种结果，即外观和内饰均为同色、外观和内饰都异色、以及仅外观或仅内饰同色；假设2：按结果的可能性大小，概率越小奖项越高；假设3：该抽奖活动的奖金额为：一等奖600元，二等奖300元、三等奖150元；请你分析奖项对应的结果，设 X为奖金额，写出 X的分布列并求出 X的数学期望第22页 共39页专业专心 专注5(2023新高考)甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5(1)求第2次投篮的人是乙的概率；(2)求第i次投篮的人是甲的概率；(3)已知：若随机变量 Xi服从两点分布，且 P(Xi=1)=1-P(Xi=0)=qi，i=1，2，n，则 Eni=1Xi=ni=1qi记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y，求E(Y)第23页 共39页自律 自信 自强博观而约取 厚积而薄发6(2023全国)盒中有4个球，分别标有数字1、1、2、3，从中随机取2个球(1)求取到2个标有数字1的球的概率；(2)设 X为取出的2个球上的数字之和，求随机变量 X的分布列及数学期望第24页 共39页专业专心 专注7(2023甲卷)一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量(单位：g)试验结果如下：对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.132.6 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.219.820.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5(1)计算试验组的样本平均数；(2)()求 40 只小白鼠体重的增加量的中位数 m，再分别统计两样本中小于 m 与不小于 m 的数据的个数，完成如下列联表；0)(1)若 A到抛物线准线的距离为3，求a的值；(2)当a=4时，若x轴上存在一点B，使 AB的中点在抛物线上，求O到直线 AB的距离；(3)直线l：x=-3，抛物线上有一异于点 A的动点 P，P在直线 l上的投影为点 H，直线 AP 与直线 l的交点为Q若在P的位置变化过程中，|HQ|4恒成立，求a的取值范围第26页 共39页专业专心 专注2(2023甲卷)设抛物线C：y2=2px(p0)，直线x-2y+1=0与C交于 A，B两点，且|AB|=4 15(1)求 p的值；(2)F为 y2=2px的焦点，M，N为抛物线上的两点，且MF NF=0，求MNF面积的最小值3(2023甲卷)已知直线x-2y+1=0与抛物线C：y2=2px(p0)交于 A，B两点，|AB|=4 15(1)求 p；(2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，且 FM FN=0，求MFN面积的最小值第27页 共39页自律 自信 自强博观而约取 厚积而薄发4(2023乙卷)已知椭圆C：y2a2+x2b2=1(ab0)的离心率为53，点 A(-2，0)在C上(1)求C的方程；(2)过点(-2，3)的直线交C于点 P，Q两点，直线 AP，AQ与 y轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点第28页 共39页专业专心 专注5(2023天津)设椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右顶点分别为 A1，A2，右焦点为F，已知|A1F|=3，|A2F|=1()求椭圆方程及其离心率；()已知点P是椭圆上一动点(不与顶点重合)，直线 A2P交 y轴于点Q，若A1PQ的面积是A2FP面积的二倍，求直线 A2P的方程第29页 共39页自律 自信 自强博观而约取 厚积而薄发6(2023新高考)已知双曲线C中心为坐标原点，左焦点为(-2 5，0)，离心率为5(1)求C的方程；(2)记C的左、右顶点分别为 A1，A2，过点(-4，0)的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于P，证明P在定直线上7(2023全国)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为2 23，直线 y=12交C于 A、B两点，|AB|=3 3(1)求C的方程；(2)记C的左、右焦点分别为F1、F2，过F1斜率为1的直线交C于G、H两点，求F2GH的周长第30页 共39页专业专心 专注8(2023上海)已知椭圆：x2m2+y23=1(m0且m3)(1)若m=2，求椭圆的离心率；(2)设 A1、A2为椭圆的左右顶点，椭圆上一点E的纵坐标为1，且 EA1 EA2=-2，求实数m的值；(3)过椭圆上一点P作斜率为3 的直线l，若直线l与双曲线y25m2-x25=1有且仅有一个公共点，求实数m的取值范围第31页 共39页自律 自信 自强博观而约取 厚积而薄发第六章导数1(2023上海)已知a，cR，函数 f(x)=x2+(3a+1)x+cx+a(1)若a=0，求函数的定义域，并判断是否存在c使得 f(x)是奇函数，说明理由；(2)若函数过点(1，3)，且函数 f(x)与x轴负半轴有两个不同交点，求此时c的值和a的取值范围2(2023上海)为了节能环保、节约材料，定义建筑物的“体形系数”S=F0V0，其中F0为建筑物暴露在空气中的面积(单位：平方米)，V0为建筑物的体积(单位：立方米)(1)若有一个圆柱体建筑的底面半径为 R，高度为 H，暴露在空气中的部分为上底面和侧面，试求该建筑体的“体形系数”S；(结果用含R、H的代数式表示)(2)定义建筑物的“形状因子”为 f=L2A，其中 A为建筑物底面面积，L为建筑物底面周长，又定义T为总建筑面积，即为每层建筑面积之和(每层建筑面积为每一层的底面面积)设n为某宿舍楼的层数，层高为3米，则可以推导出该宿舍楼的“体形系数”为S=fnT+13n当 f=18，T=10000时，试求当该宿舍楼的层数n为多少时，“体形系数”S最小第32页 共39页专业专心 专注3(2023甲卷)已知 f(x)=ax-sinxcos3x，x 0，2(1)若a=8，讨论 f(x)的单调性；(2)若 f(x)sin2x恒成立，求a的取值范围第33页 共39页自律 自信 自强博观而约取 厚积而薄发4(2023甲卷)已知函数 f(x)=ax-sinxcos2x，x 0，2(1)当a=1时，讨论 f(x)的单调性；(2)若 f(x)+sinx0，求a的取值范围第34页 共39页专业专心 专注5(2023乙卷)已知函数 f(x)=1x+aln(1+x)(1)当a=-1时，求曲线 y=f(x)在点(1，f(x)处的切线方程；(2)若函数 f(x)在(0，+)单调递增，求a的取值范围第35页 共39页自律 自信 自强博观而约取 厚积而薄发6(2023乙卷)已知函数 f(x)=1x+aln(1+x)(1)当a=-1时，求曲线 y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)是否存在a，b，使得曲线 y=f1x关于直线x=b对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由；(3)若 f(x)在(0，+)存在极值，求a的取值范围第36页 共39页专业专心 专注7(2023新高考)(1)证明：当0 x1时，x-x2sinx0时，f(x)2lna+32第38页 共39页专业专心 专注9(2023上海)已知函数 f(x)=ax3-(a+1)x2+x，g(x)=kx+m(其中a0，k，mR)，若任意x0，1均有 f(x)g(x)，则称函数 y=g(x)是函数 y=f(x)的“控制函数”，且对所有满足条件的函数 y=g(x)在x处取得的最小值记为 f(x)(1)若a=2，g(x)=x，试判断函数 y=g(x)是否为函数 y=f(x)的“控制函数”，并说明理由；(2)若a=0，曲线 y=f(x)在 x=14处的切线为直线 y=h(x)，证明：函数 y=h(x)为函数 y=f(x)的“控制函数”，并求 f14的值；(3)若曲线 y=f(x)在 x=x0，x0(0，1)处的切线过点(1，0)，且cx0，1，证明：当且仅当c=x0或c=1时，f(c)=f(c)第39页 共39页专业专心 专注2023年高考真题分类汇编大题年高考真题分类汇编大题第一章 解三角形第一章 解三角形2第二章 数列第二章 数列6第三章 立体几何第三章 立体几何11第四章 概率第四章 概率19第五章 圆锥曲线第五章 圆锥曲线26第六章 导数第六章 导数32第1页 共39页自律 自信 自强博观而约取 厚积而薄发第一章解三角形1(2023乙卷)在ABC中，已知BAC=120，AB=2，AC=1(1)求sinABC；(2)若D为BC上一点且BAD=90，求ADC的面积解：(1)在ABC中，由余弦定理可知BC2=22+12-212cos120=7，BC=7，由余弦定理可得cosABC=7+4-127 2=5 714，又ABC(0，60)，sinABC=1-cos2ABC=1-2528=2114，(2)由(1)知：cosABC=5 714，sinABC=2114，tanABC=35，12AD=35，AD=2 35，ADC的面积为12 AD ACsinDAC=122 35112=3102(2023甲卷)记ABC的内角 A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2+c2-a2cosA=2(1)求bc；(2)若acosB-bcosAacosB+bcosA-bc=1，求ABC面积【解析】解：(1)因为b2+c2-a2cosA=2bccosAcosA=2bc=2，所以bc=1；(2)acosB-bcosAacosB+bcosA-bc=sinAcosB-sinBcosAsinAcosB+sinBcosA-sinBsinC=1，所以sin(A-B)sin(A+B)-sinBsinC=sin(A-B)-sinBsinC=1，所以sin(A-B)-sinB=sinC=sin(A+B)，所以sinAcosB-sinBcosA-sinB=sinAcosB+sinBcosA，即cosA=-12，由 A为三角形内角得 A=23，ABC面积S=12bcsinA=12132=343(2023天津)在ABC中，角 A，B，C的对边分别为a，b，c已知a=39，b=2，A=120()求sinB的值；()求c的值；()求sin(B-C)的值【解析】解：()a=39，b=2，A=120，则sinB=bsinAa=23239=1313；()a=39，b=2，A=120，第2页 共39页专业专心 专注则a2=b2+c2-2bccosA=4+c2+2c=39，化简整理可得，(c+7)(c-5)=0，解得c=5(负值舍去)；()cosB=1-sin2B=2 3913，c=5，a=39，A=120，则sinC=csinAa=53239=5 1326，故cosC=1-sin2C=3 3926，所以sin(B-C)=sinBcosC-sinCcosB=13133 3926-5 13262 3913=-72634(2023新高考)记ABC的内角 A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ABC面积为3，D为BC的中点，且 AD=1(1)若ADC=3，求tanB；(2)若b2+c2=8，求b，c【解析】解：(1)D为BC中点，SABC=3，则SACD=32，过 A作 AEBC，垂足为E，如图所示：ADE中，DE=12，AE=32，SACD=1232CD=32，解得CD=2，BD=2，BE=52，故tanB=AEBE=3252=35；(2)AD=12(AB+AC)，AD 2=14(c2+b2+2bccosA)，AD=1，b2+c2=8，则1=14(8+2bccosA)，bccosA=-2，SABC=12bcsinA=3，即bcsinA=2 3，由解得 tanA=-3，A=23，bc=4，又b2+c2=8，b=c=2第3页 共39页自律 自信 自强博观而约取 厚积而薄发5(2023新高考)已知在ABC中，A+B=3C，2sin(A-C)=sinB(1)求sinA；(2)设 AB=5，求 AB边上的高【解析】解：(1)A+B=3C，A+B+C=，4C=，C=4，2sin(A-C)=sinB，2sin(A-C)=sin-(A+C)=sin(A+C)，2sinAcosC-2cosAsinC=sinAcosC+cosAsinC，sinAcosC=3cosAsinC，22sinA=322cosA，sinA=3cosA，即cosA=13sinA，又sin2A+cos2A=1，sin2A+19sin2A=1，解得sin2A=910，又 A(0，)，sinA0，sinA=3 1010；(2)由(1)可知sinA=3 1010，cosA=13sinA=1010，sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=3 101022+101022=2 55，ABsinC=ACsinB=BCsinA=5sin4=5 2，AC=5 2sinB=5 2 2 55=2 10，BC=5 2 sinA=5 2 3 1010=3 5，设 AB边上的高为h，则12ABh=12 ACBCsinC，52h=122 10 3 5 22，解得h=6，即 AB边上的高为66(2023上海)在ABC中，角 A、B、C所对应的边分别为a、b、c，其中b=2(1)若 A+C=120，a=2c，求边长c；(2)若 A-C=15，a=2csinA，求ABC的面积【解析】解：(1)A+C=120，且a=2c，sinA=2sinC=2sin(120-A)=3cosA+sinA，cosA=0，A=90，C=30，B=60，b=2，c=2 33；(2)a=2csinA，则sinA=2sinCsinA，第4页 共39页专业专心 专注sinA0，sinC=22，A-C=15，C为锐角，C=45，A=60，B=75，asin60=2sin75=82+6，a=4 32+6=3 2-6，SABC=12absinC=124 32+6222=3-3第5页 共39页自律 自信 自强博观而约取 厚积而薄发第二章数列1(2023全国)已知an为等比数列，其前n项和为Sn，S3=21，S6=189(1)求an的通项公式；(2)若bn=(-1)nan，求bn的前n项和Tn【解析】解：(1)an为等比数列，其前n项和为Sn，S3=21，S6=189S62S3，q1，则a1(1-q3)1-q=21a1(1-q6)1-q=189，两式作商得1+q3=9，即q3=8，得q=2，a1=3，则an=32n-1，(nN)(2)bn=(-1)nan=(-1)n32n-1，当n2时，bnbn-1=(-1)n32n-1(-1)n-132n-2=-2，即bn是公比为-2的等比数列，首项b1=-3，则Tn=-31-(-2)n1-(-2)=-31-(-2)n3=-1+(-2)n2(2023新高考)设等差数列an的公差为d，且d1令bn=n2+nan，记Sn，Tn分别为数列an，bn的前n项和(1)若3a2=3a1+a3，S3+T3=21，求an的通项公式；(2)若bn为等差数列，且S99-T99=99，求d【解析】解：(1)3a2=3a1+a3，S3+T3=21，根据题意可得3(a1+d)=3a1+a1+2d3a1+3d+2a1+6a1+d+12a1+2d=21，a1=d6d+9d=21，2d2-7d+3=0，又d1，解得d=3，a1=d=3，an=a1+(n-1)d=3n，nN*；(2)an为等差数列，bn为等差数列，且bn=n2+nan，根据等差数列的通项公式的特点，可设an=tn，则bn=n+1t，且d=t1；或设an=k(n+1)，则bn=nk，且d=k1，当an=tn，bn=n+1t，d=t1时，则S99-T99=(t+99t)992-2t+100t992=99，50t-51t=1，50t2-t-51=0，又d=t1，解得d=t=5150；第6页 共39页专业专心 专注当an=k(n+1)，bn=nk，d=k1时，则S99-T99=(2k+100k)992-1k+99k992=99，51k-50k=1，51k2-k-50=0，又d=k1，此时k无解，综合可得d=51503(2023新高考)已知an为等差数列，bn=an-6，n为奇数2an，n为偶数，记Sn，Tn为an，bn的前n项和，S4=32，T3=16(1)求an的通项公式；(2)证明：当n5时，TnSn【解析】解：(1)设等差数列an的公差为d，Sn，Tn为anbn的前n项和，S4=32，T3=16，则a1+a2+a3+a4=32a1-6+2a2+a3-6=16，即4a1+4(4-1)2d=32a2=7，解得a1=5d=2，故an=5+2(n-1)=2n+3；(2)证明：由(1)可知，bn=2n-3，n为奇数4n+6，n为偶数，Sn=(5+2n+3)n2=(n+4)n，当n为偶数时，n5，Tn=-1+3+2(n-1)-3+14+22+4n+6=n2-1+2(n-1)-32+n2(14+4n+6)2=n2(14+6n)2=n(3n+7)2，Tn-Sn=n2-n20，当n为奇数时，n5，Tn=Tn-1+bn=(n-1)(3n+4)2+2n-3=3n2+5n-102，Tn-Sn=n2-3n-10225-15-102=0，故原式得证4(2023上海)已知 f(x)=lnx，在该函数图像上取一点a1，过点(a1，f(a1)做函数 f(x)的切线，该切线与 y轴的交点记作(0，a2)，若a20，则过点(a2，f(a2)做函数 f(x)的切线，该切线与 y轴的交点记作(0，a3)，以此类推a3，a4，直至am0停止，由这些项构成数列an(1)设am(m2)属于数列an，证明：am=lnam-1-1；(2)试比较am与am-1-2的大小关系；(3)若正整数k3，是否存在k使得a1、a2、a3、ak依次成等差数列？若存在，求出k的所有取值；若不存在，请说明理由【解析】解：(1)证明：f(x)=1x，则过点(am-1，f(am-1)的切线的斜率为1am-1，由点斜式可得，此时切线方程为 y-lnam-1=1am-1(x-am-1)，第7页 共39页自律 自信 自强博观而约取 厚积而薄发即 y=1am-1x+lnam-1-1，令x=0，可得 y=lnam-1-1，根据题意可知，am=lnam-1-1，即得证；(2)先证明不等式lnxx-1(x0)，设F(x)=lnx-x+1(x0)，则F(x)=1x-1=1-xx，易知当0 x0，F(x)单调递增，当x1时，F(x)0)，结合(1)可知，am=lnam-1-1am-1-1-1=am-1-2；(3)假设存在这样的k符合要求，由(2)可知，数列an为严格的递减数列，n=1，2，3，k，由(1)可知，公差d=an-an-1=lnan-1-an-1-1，2nk，先考察函数g(x)=lnx-x-1，则g(x)=1x-1=1-xx，易知当0 x0，g(x)单调递增，当x1时，g(x)0，g(x)单调递减，则g(x)=d至多只有两个解，即至多存在两个an-1，使得g(an-1)=d，若k4，则g(a1)=g(a2)=g(a3)=d，矛盾，则k=3，当k=3时，设函数h(x)=ln(lnx-1)-2lnx+x+1，由于h(e1.1)=ln0.1-2.2+e1.1+1=e1.1-ln10-1.20，则存在x0(e1.1，e2)，使得h(x0)=0，于是取a1=x0，a2=lna1-1，a3=lna2-1，它们构成等差数列综上，k=35(2023甲卷)已知数列an中，a2=1，设Sn为an前n项和，2Sn=nan(1)求an的通项公式；(2)求数列an+12n 的前n项和Tn【解析】解：(1)当n=1时，2S1=a1，解得a1=0，当n2时，2Sn-1=(n-1)an-1，2an=nan-(n-1)an-1，(n-1)an-1=(n-2)an，当n3时，可得anan-1=n-1n-2，an=213243n-1n-2a2=n-1，当n=2或n=1时，a1=0，a2=1适合上式，an的通项公式为an=n-1；(2)由(1)可得an+12n=n2n，Tn=12+222+323+n2n，12Tn=122+223+324+n2n+1，12Tn=12+122+123+12n-n2n+1=121-12n1-12-n2n+1=1-12n-n2n+1，Tn=2-n+22n第8页 共39页专业专心 专注6(2023乙卷)记Sn为等差数列an的前n项和，已知a2=11，S10=40(1)求an的通项公式；(2)求数列|an|的前n项和Tn【解析】解：(1)在等差数列中，a2=11，S10=40a1+d=1110a1+1092d=40，即a1+d=11a1+92d=4，得a1=13，d=-2，则an=13-2(n-1)=-2n+15(nN)(2)|an|=|-2n+15|=-2n+15，1n72n-15，n8，即1n7时，|an|=an，当n8时，|an|=-an，当1n7时，数列|an|的前n项和Tn=a1+an=13n+n(n-1)2(-2)=-n2+14n，当 n 8 时，数 列|an|的 前 n 项 和 Tn=a1+a7-an=-Sn+2(a1+a7)=-13n+n(n-1)2(-2)+213+127=n2-14n+987(2023天津)已知an是等差数列，a2+a5=16，a5-a3=4()求an的通项公式和2n-1i=2n-1ai；()已知bn为等比数列，对于任意kN*，若2k-1n2k-1，则bkanbk+1(i)当k2时，求证：2k-1bn2k+1；(ii)求bn的通项公式及其前n项和【解析】解：()an是等差数列，a2+a5=16，a5-a3=4a1+d+a1+4d=2a1+5d=16a1+4d-a1-2d=2d=4，得d=2，a1=3，则an的通项公式an=3+2(n-1)=2n+1(nN)，2n-1i=2n-1ai中的首项为ai=22n-1+1=2n+1，项数为2n-1-2n-1+1=2n-2n-1=22n-1-2n-1=2n-1，则2n-1i=2n-1ai=2n-1(2n+1)+2n-1(2n-1-1)2 2=2n-1(2n+1)+2n-1(2n-1-1)=2n-1(2n+1+2n-1-1)=2n-1(2n+2n-1)=2n-132n-1=34n-1()(i)2k-1n2k-1，2k2n2k+1-2，1+2k2n+12k+1-1，即1+2kan2k+1-1，当k2时，bkanbk+1bk2k+1-1，即bk2k-1，综上2k-1bk1+2k，即2k-1bn2k+1成立(ii)2k-1bk2k+1成立，bn为等比数列，设公比为q，当k2时，2k+1-1bk+12k+1+1，12k+11bk12k-1，第9页 共39页自律 自信 自强博观而约取 厚积而薄发则2k+1-12k+1bk+1bk2k+1+12k-1，即2(2k+1)-12k+1bk+1bk2(2k-1)+32k-1，即2-12k+1q2+32k-1，当k+，2-12k+12，2+32k-12，q=2，k2时，2k-1bk2k+1，2k-1b12k-12k+1，即2k-12k-1b12k+12k-1，即2-12k-1b12+12k-1，当k+，2-12k-12，2+12k-12，则b1=2，则bn=22n-1=2n，即bn的通项公式为bn=2n，则bn的其前n项和Tn=2(1-2n)1-2=2n+1-2第10页 共39页专业专心 专注第三章立体几何1(2023乙卷)如图，在三棱锥P-ABC中，ABBC，AB=2，BC=2 2，PB=PC=6，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，点F在 AC上，BF AO(1)求证：EF平面 ADO；(2)若POF=120，求三棱锥P-ABC的体积【解析】(1)证明：在RtABC中，作FH AB，垂足为H，设 AH=x，则HB=2-x，因为FHCB，所以RtAHFRtABC，所以AHAB=HFBC，即x2=HF2 2，解得HF=2x，又因为BFH=FBO，所以AOB=FBH，且BHF=OBA=90，所以RtBHFRtOBA，所以HFBH=ABBO，即2x2-x=22，解得x=1，即 AH=1，所以H是 AB的中点，F是 AC的中点，又因为E是PA的中点，所以EFPC，同理，DOPC，所以EFDO，又因为EF平面 ADO，DO平面 ADO，所以EF平面 ADO；(2)解：过 P 作 PM 垂直 FO 的延长线交于点 M，因为 PB=PC，O 是 BC 中点，所以 PO BC，在RtPBO中，PB=6，BO=12BC=2，所以PO=PB2-OB2=6-2=2，因为 ABBC，OF AB，所以OFBC，又POOF=O，PO，OF平面POF，所以BC平面POF，又PM平面POF，所以BCPM，又BCFM=O，BC，FM平面 ABC，所以PM平面 ABC，即三棱锥P-ABC的高为PM，因为POF=120，所以POM=60，所以PM=POsin60=232=3，ABC的面积为SABC=12 ABBC=1222 2=2 2，所以三棱锥P-ABC的体积为V三棱锥P-ABC=132 2 3=2 63第11页 共39页自律 自信 自强博观而约取 厚积而薄发2(2023乙卷)如图，在三棱锥P-ABC中，ABBC，AB=2，