福建省三明市四校2023-2024学年高一下学期联考数学试题含答案.pdf

第1页，共 2 页 20232023-20242024 年高一下学期四校联考年高一下学期四校联考 数学试卷数学试卷 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）注意事项：1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答第卷时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3回答第卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第第 I 卷（选择题）卷（选择题）一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。要求的。1已知复数1 iiz+=，则复数z在复平面内对应的点位于（）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2已知2=a，1=b，向量a与b的夹角为 120，若kab+与2ab垂直，则k的值为（）A1 B12C12D1 3ABC的内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，若ABC的面积为2224abc+，则C=（）A2B3C4D64在梯形ABCD中，已知ABCD，2ABDC=，点P在线段BC上，且2BPPC=，则（）A2132APABAD=+B1223APABAD=+C23ADAPAB=D 32ADAPAB=5某运动会上举行升旗仪式，在坡角为 15 的看台上，同一列上的第一排 B 处和最后一排 C 处测得旗杆顶部P处的仰角分别为60 和30，第一排和最后一排的距离为10 6 m(如图所示)，则旗杆的高度为（）A10 m B30 m C10 3 m D10 6 m#QQABDQSQogiAQJBAABgCEQEwCAIQkBEAAAoGQBAMIAAASANABAA=#福建省三明市四校2023-2024学年高一下学期联考数学试题第2页，共 2 页 6在等腰三角形ABC中，5,2ABACBC=，若P为边BC上的动点，则()APABAC+=（）A2 B4 C8 D0 7已知平面向量a与ab+的夹角为60，若0at b恒成立，则实数 t 的取值范围为（）A2 3,3+B3,2+C)2,+D1,2+8某中学开展结合学科知识的动手能力大赛，参赛学生甲需要加工一个外轮廓为三角形的模具，原材料为如图所示的ABC，2BAC=，D是边BC上一点，ABDADB=，3cmAC=，3cmCD=，要求分别把ABD，ACD的内切圆1O，2O裁去，则裁去的圆1O，2O的面积之和为（）A()216 39 cm B()231 cm2 C()263 3 cm D()2169 3 cm 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分分 9已知 i 为虚数单位，则以下四个说法中正确的是（）A234iiii0+=B复数2i 的虚部为i C若复数z为纯虚数，则22|zz=D1212zzzz=10已知 a，b，c 分别是ABC三个内角 A，B，C 的对边，则下列命题中错误的是（）A若ABC是锐角三角形，则cossinAB B若ABC是边长为 1 的正三角形，则AB BC=32 C若6B=，2b=，2c=，则ABC有一解 D若coscosaAbB=，则ABC是等腰直角三角形 11“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内 的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，已知圆O的半径 2，点P是圆O内的定点，且2OP=，弦AC，BC均过点P，则下列说法正确的是（）APA PC为定值 B当ACBD时，AB CD为定值 C当3ABC=时，ABC面积的最大值为32 DOA OC的取值范围是4,0#QQABDQSQogiAQJBAABgCEQEwCAIQkBEAAAoGQBAMIAAASANABAA=#第3页，共 2 页 第第 II 卷（非选择题）卷（非选择题）三、填空题：本题共三、填空题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分分 12已知向量(),3am=，()1,bm=，若a与b方向相反，则3ab=13已知平面向量()()0,1,1,1ab=，则向量a在向量b上的投影向量是 14在锐角三角形ABC中，内角,A B C所对的边,a b c满足22abbc=，若()coscosCBA+存在最大 值，则实数的取值范围是 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 5 小题，共小题，共 77 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15（13 分）分）已知复数2121 imz=，()()22i3 1 2izm=+，Rm，i 为虚数单位（1）若12zz+是纯虚数，求实数 m 的值；（2）若120zz+，求12zz的值 16（15 分）分）在ABC中，内角,A B C所对的边分别是,a b c，已知2222sinsincCbcaB=+（1）求角A；（2）设边BC的中点为D，若7a=，且ABC的面积为3 34，求AD的长#QQABDQSQogiAQJBAABgCEQEwCAIQkBEAAAoGQBAMIAAASANABAA=#第4页，共 2 页 17.（15 分）分）2023年福建省油菜花节，三明市某县通过层层遴选，最终在全省 20 个申办县中脱颖而出，取得了此次活动的会场承办权，主办方为了让油菜花种植区与观赏路线布局最优化、合理，设计者们首先规划了一个平面图（如图）已知：,A B D E四点共圆，60ABD=，2AE=，2AB=，5 7cos14EDA=，其中,AD DB（不计宽度）是观赏路线，BCD与AED是油菜花区域（1）求观赏路线ADDB+的长度；（2）因为场地原因，只能使135BCD=，求BCD区域面积的最大值 18（17 分）分）在ABC中，角,A B C所对的边分别为a，b，c，(sin,sinsin)mABC=，(,),nab bc=+且mn（1）求角C的值；（2）若ABC为锐角三角形，且1c=，求132ab+的取值范围 19（17 分）分）定义非零向量(),OMa b=的（相伴函数）为()sincos()f xaxbx xR=+，向量(),OMa b=称为函数()sincosf xaxbx=+的“相伴向量”（其中O为坐标原点）（1）求()()cos2cos()6h xxxaaR=+的相伴向量；（2）求（1）中函数()h x的“相伴向量”模的取值范围；（3）已知点(),M a b，其中,a b为锐角ABC中角,A B的对边.若角C为3，且向量OM的“相伴向量”()fx在0 xx=处取得最大值求0tan2x的取值范围#QQABDQSQogiAQJBAABgCEQEwCAIQkBEAAAoGQBAMIAAASANABAA=#1 学科网（北京）股份 有限公司 20232023-20242024 年高一下学期四校联考数学年高一下学期四校联考数学参考答案参考答案 一、一、二、二、选择题选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 D B C D B C A D AD BCD ABD 8【详解】在,2ABCBAC=，设,0,2ABDADB=，则,222ACDCAD=，ADC=，所以sinsin 2cos22CAD=，在ACD中，3cm,3cmACCD=，由正弦定理得sinsinCDCACADADC=,即sin3sin3cos2ADCCAD=，即()2sin3 2sin1=，化简得3sin2=或3sin3=，因为0,2，所以3=（负值舍去），23ADC=，故ABD为等边三角形，ACD为等腰三角形，3cmCDADDBAB=,在ABD中，设圆1O的半径为1r，根据等面积有111ABDO DBO BAO ADSSSS=+，即1111111sin2222BDBAABDDBrBArADr=+，化简得11cm2r=，在ACD中，设圆2O的半径为2r，根据等面积有222ACDO DCO DAO ACSSSS=+，即2221111sin2222CDCAACDDCrDArACr=+，化简得263 3cm2r=，所以圆12,O O的面积之和为()22212169 3 cmrr+=，故选：D 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分分 12.4 3 131 1(,)2 2 14 02 14【详解】由余弦定理可得22222cosabcbcAbbc=+=+，则2 coscbAb=，由正弦定理可得()sinsin2sin cossin2cos sinBCBAABAB=+()sin coscos sin2cos sinsin coscos sinsinABABABABABAB=+=，ABC0,022AB22ABsinyx=,2 2ABB=2AB=ABC020202ABC02202032BBB64B()()coscoscos 4cos2cos2cos4CBABBBB+=+=22cos 2cos21BB=+64B232B10cos22B22cos 2cos21BB+104202021m=20 12i22212(1 i)i(1 i)(1 i)mzmm+=+()2236izmm=+()2212236 izzmmmm+=+12zz+2223060mmmm+=+1m=()2212236 izzmmmm+=+120zz+2223060mmmm+=2m=144iz=+21 4iz=12(44i)(14i)zz=+20 12i=3A=132ABCsinsinCcBb=2222sinsincCbcaB=+2222ccbcab=+222bcabc+=ABC2221cos22bcaAbc+=0A3A=1,2ABCBAC=,0,2ABDADB=,222ACDCAD=ADC=sinsin 2cos22CAD=ACD3cm,3cmACCD=sinsinCDCACADADC=sin3sin3cos2ADCCAD=()2sin3 2sin1=3sin2=3sin3=0,23=23ADC=ABDACD3cmCDADDBAB=ABD1O1r111ABDO DBO BAO ADSSSS=+1111111sin2222BDBAABDDBrBArADr=+11cm2r=ACD2O2r222ACDO DCO DAO ACSSSS=+2221111sin2222CDCAACDDCrDArACr=+263 3cm2r=12,O O()22212169 3 cmrr+=4 31 1(,)2 20222222cosabcbcAbbc=+=+2 coscbAb=()sinsin2sin cossin2cos sinBCBAABAB=+()sin coscos sin2cos sinsin coscos sinsinABABABABABAB=+=因为ABC为锐角三角形，则0,022AB，所以22AB，又因为函数sinyx=在,2 2内单调递增，所以ABB=，可得2AB=，由于ABC为锐角三角形，则020202ABC，即02202032BBB，解得64B，则()()coscoscos 4cos2cos2cos4CBABBBB+=+=22cos 2cos21BB=+，因为64B，所以232B，则10cos22B，因为22cos 2cos21BB+存在最大值，则1042，解得02故答案为：02 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 5 小题，共小题，共 77 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15【答案】(1)1m=(2)20 12i【详解】（1）22212(1 i)i(1 i)(1 i)mzmm+=+，()2236izmm=+，所以()2212236 izzmmmm+=+，因为12zz+是纯虚数，所以2223060mmmm+=+，得1m=.（2）由（1）知，()2212236 izzmmmm+=+，因为120zz+，所以2223060mmmm+=，得2m=，所以144iz=+，21 4iz=，所以12(44i)(14i)zz=+20 12i=.16【答案】(1)3A=(2)132【详解】（1）在ABC中，由正弦定理得，sinsinCcBb=，因为2222sinsincCbcaB=+，所以2222ccbcab=+，化简得，222bcabc+=，在ABC中，由余弦定理得，2221cos22bcaAbc+=，又因为0A，所以3A=2 学科网（北京）股份 有限公司 （2）由133 3sin244ABCSbcAbc=，得3bc=，由2222cosabcbcA=+，得2273bc=+，所以2210bc+=又因为边BC的中点为D，所以()12ADABAC=+，所以222111113()2cos102 322222ADABACbcbcA=+=+=+=17.【详解】（1）,A B D E四点共圆，60ABD=，120AED=，5 7cos14EDA=，221sin1 cos14EDAEDA=；在ADE中，由正弦定理得：sinsinAEADEDAAED=，2AE=，120AED=，21sin14EDA=，sin2 7sinAEAEDADEDA=；在ABD中，由余弦定理知：2222cosADBDABAB DBABD=+，即22240DBDB=，解得：6DB=或4DB=（舍），62 7ADDB+=+.（2）在BCD中，135BCD=，12sin13524BCDSCB CDCB CD=；在BCD中，由余弦定理得：2222cosDBCDBCBC CDBCD=+，()2236222CDCBCB CDCB CD=+（当且仅当CBCD=时取等号），()3618 2222CB CD=+，()218 229 294BCDS=即BCD区域面积的最大值为9 29.18【答案】（1）3 （2）13,12【详解】（1）因为(sin,sinsin)mABC=，(,),nab bc=+，且mn，所以sin()(sinsin)()0A abBC bc+=利用正弦定理化简得：()()()0a abbc bc+=即222abcab+=，由余弦定理可得2221cos22abcCab+=，又因为()0C，所以3C=；23AB+=23BA=ABC203202AA62A1c=12,sinsinsin3sin3abcABC=2sin3aA=2sin3bB=131322132sinsinsinsinsincos2sin22343333a bABAAAAA+=+=62A6444A132sin()1,24A132ab+13,12sin()sin1313sinsin22 tanAbBaAAA+=+022032AA62A3tan3A122ba1(,2)2m1(,2)2m13 3(,)2 2mm 044tan2(,)(,)33x +2 133 3sin244ABCSbcAbc=3bc=2222cosabcbcA=+2273bc=+2210bc+=BCD()12ADABAC=+222111113()2cos102 322222ADABACbcbcA=+=+=+=,A B D E60ABD=120AED=5 7cos14EDA=221sin1 cos14EDAEDA=ADEsinsinAEADEDAAED=2AE=120AED=21sin14EDA=sin2 7sinAEAEDADEDA=ABD2222cosADBDABAB DBABD=+22240DBDB=6DB=4DB=62 7ADDB+=+BCD135BCD=12sin13524BCDSCB CDCB CD=BCD2222cosDBCDBCBC CDBCD=+()2236222CDCBCB CDCB CD=+CBCD=()3618 2222CB CD=+()218 229 294BCDS=BCD9 29313,12(sin,sinsin)mABC=(,),nab bc=+mnsin()(sinsin)()0A abBC bc+=()()()0a abbc bc+=222abcab+=2221cos22abcCab+=()0C，3C=（2）由（1）得23AB+=，即23BA=，又因为三角形ABC为锐角三角形，所以203202AA解得：62A，因为1c=，由正弦定理得：12,sinsinsin3sin3abcABC=所以2sin3aA=，2sin3bB=，所以131322132sinsinsinsinsincos2sin22343333a bABAAAAA+=+=因为62A，所以6444A，所以132sin()1,24A则132ab+的取值范围为13,12 19.【详解】(1)()=cos(+6)2(+)=(2 12)+(32 2)，函数()的相伴向量=(2 12,32 2)，(2)|=(2 12)2+(32 2)2=5 2 2 3=5 4(+3)，|=5+4=3，|=5 4=1，|的取值范围为1,3；(3)的相伴函数()=+=2+2sin(+)，其中=2+2，=2+2，()在=0处取得最大值 所以0+=2+2，即0=2+2，0=tan(2+2)=1tan=，20=201tan20=21()2=2，因为sin()sin1313sinsin22 tanAbBaAAA+=+，又因为022032AA，所以62A，所以3tan3A，所以122ba，令=，20=21，1(,2)2m 又=1在 1(,2)2m上单调递增，所以13 3(,)2 2mm 所以044tan2(,)(,)33x +