【数学】第18章平行四边形解答题专题训练 2023-2024学年人教版八年级数学下册.docx

2023-2024学年人教版八年级数学下册第18章平行四边形解答题专题训练（附答案）1如图，在四边形ABCD中，A=C，B=D(1)试猜想AB与CD的位置关系，并证明你的结论；(2)试猜想AB与CD的数量关系，并证明你的结论2如图，D、 E 、F分别是ABC三边中点，AHBC于H.求证：DF=EH.3如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E，F是对角线AC上的两点，AE=CF求证：四边形BEDF是平行四边形4如图，菱形ABCD的周长为8，对角线BD2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点；且满足AE+CF2    （1）求证：BDEBCF；（2）判断BEF的形状，并说明理由5如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，BC10，AB8求（1）FC的长      （2）EC的长6已知：如图，点O为ABCD对角线BD的中点，过点O的直线与AB,CD分别相交于点E,F求证：(1)AE=CF； (2)S四边形AEOD=S四边形CFOB7如图，平行四边形ABCD中，D=60°，分别以点B，C为圆心，以大于12BC的长为半径画弧交于M，N两点，作直线MN交BC于点O，连接AO并延长，交DC的延长线于点E，连接AC，BE(1)求证：CD=CE：(2)在平行四边形ABCD中能否添加一个条件，使四边形ABEC为菱形？若能，请添加后予以证明；若不能，请什么理由8如图，在菱形ABCD中，BAD=60°，AC、BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD=DE，连接BE分别交AC，AD于点F、G，连接OG，求证：OG=12AB；四边形ABDE是菱形；S四边形ODGF=SABF9已知点E是ABCD边AD的中点，连接BE并延长交CD的延长线于点F，连接BD，AF，且AD=BF(1)求证：四边形ABDF为矩形；(2)若CD=ED=3，请直接写出BD的长10如图，P是正方形ABCD对角线AC上一点，点E在BC上，且PE=PB  (1)求证：PE=PD；(2)连接DE，试判断PED的度数，并证明你的结论11如图，在长方形ABCD中，E是边AD上一点，连接BE，ABE沿直线BE翻折后，点A恰好落在长方形ABCD的对称轴MN上的点A处，连接AA  (1)求证：AAB是等边三角形；(2)延长EA交BC于点F，若BC=5，AE=2，求FC的长12如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，且BE=DF(1)求证：AEB=CFD；(2)若AB=6，AOB=60°，求矩形ABCD的面积13如图，在四边形ABCD中，ABCD，AB=AD，对角线AC、BD交于O，AC平分BAD  (1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)过点C作CEAB交AB的延长线于点E，连接OE，若AB=35，BD=6，求OE的长14如图，已知四边形ABCD是矩形，BEAC于E，DFAC于F，连接DE，BF  (1)求证：四边形BEDF是平行四边形；(2)若AB=3，BC=4，求BE的长15如图，在RtABC中，B=90°，AB=5cm，C=30°点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动设点D、E运动的时间是t秒（t>0）过点D作DFBC于点F，连接DE、EF  (1)求证：AE=DF(2)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由(3)当t=_时，DEF为直角三角形16如图，正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，BE=CF，AE，BF交于点G；(1)AGF=_(2)在线段AG上截取MG=BG，连接DM，AGF的角平分线交DM于点N依题意补全图形；用等式表示线段MN与ND的数量关系，并证明17如图1，在边长为5的正方形ABCD中，点E是线段BC上一动点，连接AE，以AE为边在直线AE右侧作正方形AEFG(1)如图1，若EF与CD交于点H，且EHD=125，求BAG的度数；(2)在（1）的基础上，连接DG，求证：C、D、G三点共线；(3)如图2，当点E是线段BC中点，连接CF，求线段CF的长18如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE；(1)求证：CE=CF；(2)在图1中，若G在AD上，且GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？(3)运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，在直角梯形ABCD中，ADBCBC>AD，B=90°，AB=BC=24，E是AB上一点，且DCE=45°，BE=8，求DE的长19在菱形ABCD中，ABC=60°，P是直线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边APE(A，P，E按逆时针排列），点E的位置随点P的位置变化而变化  (1)如图1，当点P在线段BD上，且点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，则BP与CE的数量关系是 ，BC与CE的位置关系是 ；(2)如图2，当点P在线段BD上，且点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；(3)当点P在直线BD上时，其他条件不变，连接BE，若AB=2，BE=31，请直接写出APE的面积20如图，小红在学习了正方形相关知识后，对正方形进行了探究，在正方形ABCD的外侧作了直线DP(1)【动手操作】点C关于直线DP的对称点为E，连接CE，AE，其中AE交直线DP于点F依题意在图中补全图形；(2)【问题解决】在（1）的条件下，若PDC=30°，求DAF的度数；(3)【拓展延伸】如图，若45°<PDC<90°，点C关于直线DP的对称点为E，连接CE，AE，其中AE交直线DP于点F探究线段AB，AF，EF之间的数量关系，并说明理由参考答案1（1）解：ABCD，理由如下：A=C，B=D四边形ABCD是平行四边形，ABCD（2）解：AB=CD，理由如下：A=C，B=D四边形ABCD是平行四边形，AB=CD2证明：D、E 、F分别是ABC三边中点，DF是ABC的中位线，DF=12AC，AHBC于H，E是AC的中点，EH=12AC，DF=EH3证明：在平行四边形ABCD中，OA=OC，OB=OD，AE=CF，OE=OF，OE=OF，OB=OD，四边形BEDF是平行四边形4（1）证明：菱形ABCD的边长为2，对角线BD2，ABADBD2，BCCDBD2，ABD与BCD都是等边三角形，BDEC60°，AE+CF2，CF2AE，又DEADAE2AE，DECF，在BDE和BCF中，DE=CFBDE=C=60°BD=BC ，BDEBCF（SAS）；（2）解：BEF是等边三角形理由如下：由（1）可知BDEBCF，BEBF，DBECBF，EBFDBE+DBFCBF+DBFDBC60°，BEF是等边三角形，由图可知，BDE绕点B顺时针旋转60°即可得到BCF故答案为（1）见解析；（2）BEF是等边三角形理由见解析5解：（1）根据折叠可得ADAF，四边形ABCD是矩形，ADBC10，B90°，AF10，BFAF2AB2=10064=6，FC4；（2）根据折叠可得EDEF，四边形ABCD是矩形，ABCD8，C90°，设EDx，则EFx，EC8x，在RtEFC中，EF2EC2+FC2，x2（8x）2+42，解得：x5，EC8536（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，AB=CD,ABCD,ABO=CDO,BEO=DFO,点O为对角线AC的中点，OB=OD,BOEDOF，BE=DF，ABBE=CDDF，即AE=CF（2）由（1）可知：AB=CD,ABCDABD和CDB等底等高，即SABD=SCDB又BOEDOF，SBOE=SDOF，S四边形AEOD=S四边形CFOB7（1）解：由作图可知MN垂直平分线段BC，BO=OC， ABCD是平行四边形，ABCD，AB=CD，ABO=OCE，在AOB和EOC中，ABO=OCEOB=OCAOB=EOC， AOBEOCASA，AB=EC，CD=CE，（2）解：添加AB=BC，由（1）可知AB=CE，ABCE，四边形ABEC是平行四边形，AB=BC，ABC=D=60°ABC是等边三角形，AB=AC，平行四边形ABEC是菱形8证明：如图所示，连接AE四边形ABCD是菱形，AB=AD=CD，ABCD，OA=OC，BAD=60°，ABD是等边三角形，BD=AB，CD=DE，AB=DE=BD，又ABDE，四边形ABDE是平行四边形，平行四边形ABDE是菱形，得证；AG=DG，OG是ABD的中位线，OG=12AB，OGAB，得证；OB=OD，SABO=SADO，同理可得SABG=SBDG，SABF+SBOF+SABF+SAFG=S四边形ODGF+SAFG+S四边形ODGF+SBOFS四边形ODGF=SABF，得证9（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，ABCD，AD=BC，BAE=FDE,ABE=DFE，E为AD的中点，EA=ED，在ABE和DFE中，BAE=FDEABE=DFEEA=ED，ABEDFEAAS，AB=FD，又ABFD，四边形ABDF是平行四边形，AD=BF，四边形ABFC是矩形（2）解：由题意可知AB=CD=3，AD=2ED=6，四边形ABFC是矩形，ABD=90°，BD=AD2AB2=6232=3310（1）证明：四边形ABCD是正方形，BC=CD，ACB=ACD，在PBC和PDC中，BC=CDACB=ACDPC=PC，PBCPDC(SAS)，PB=PD，PE=PB，PE=PD；（2）PED=45°理由如下：连接DE，四边形ABCD是正方形，BCD=90°，PBCPDC，PBC=PDC，PE=PB，PBC=PEB，PDC=PEB，PEB+PEC=180°，PDC+PEC=180°，在四边形PECD中，EPD=360°(PDC+PEC)BCD=360°180°90°=90°，又PE=PD，PDE是等腰直角三角形，PED=45°  11（1）解：直线MN是长方形ABCD的对称轴，MN垂直平分AB，AA=AB，由翻折得AB=AB，AB=AB=AA，AAB是等边三角形；（2）解：AAB是等边三角形，ABA=60°，由翻折得ABE=ABE=12ABA=30°，AEB=AEB，在长方形ABCD中，BAD=ABC=90°，BE=2AE=4，AEB=AEB=EBF=60°，BFE=180°AEBEBF=60°，BFE=FEB=EBF=60°，BF=BE=4，FC=BCBF=54=112（1）证明：四边形ABCD是矩形，OA=OC，OB=OD，AC=BD，ABC=90°，BE=DF，OE=OF，在AOE和COF中，OA=OCAOE=COFOE=OF，AOECOF（SAS）， AEO=CFO， AEB=CFD；（2）解：OA=OC，OB=OD，AC=BD，OA=OB，AOB=COD=60°，AOB是等边三角形，OA=AB=6，AC=2OA=12，在RtABC中，BC=AC2AB2=63，矩形ABCD的面积=ABBC=6×63=36313（1）证明：ABCD，CAB=DCA，AC为DAB的平分线，CAB=DAC，DCA=DAC，CD=AD，CD=AB，ABCD，四边形ABCD是平行四边形，又AD=AB，ABCD是菱形；（2）解：四边形ABCD是菱形，BD=6，OA=OC，BDAC，OB=12BD=3，CEAB，AEC=90°，OE=12AC=OA=OC，在RtAOB中，AB=35，OB=3，OA=AB2OB2=35232=6，OE=OA=614（1）证明：证明：四边形ABCD是矩形，AB=CD，AB/CD，BAE=DCF，又BEAC，DFAC，BE/DF，在ABE和CDF中，BAE=DCFBEA=DFCAB=CD， ABECDF（AAS），BE=DF，又BE/DF，四边形BEDF是平行四边形；（2）解：四边形ABCD是矩形，ABC=90°，AB=3，BC=4，AC=5，SABC=12ABBC=12ACBE，BE=3×4÷5=2.4，答：BE的长为2.415（1）证明：在DFC中，DFC=90°，C=30°，DC=2t，DF=12DC=12×2t=t，又AE=1×t=t，AE=DF；（2）解：四边形AEFD能够成为菱形理由如下：ABBC，DFBC，AEDF，又AE=DF，四边形AEFD为平行四边形，AB=5cm，AC=2AB=10cm，AD=ACDC=102tcm，若使平行四边形AEFD为菱形，则需AE=AD，即t=102t，解得t=103，即当t=103时，四边形AEFD为菱形；（3）解：分情况讨论：当EDF=90°时，A=90°30°=60°则ADE=30°，AD=2AE，即102t=2t，t=52；当DEF=90°时，ADE=DEF=90°则AED=90°60°=30°，AD=12AE，即102t=12t，t=4；当EFD=90°时，此种情况不存在；故当t=52或4时，DEF为直角三角形，故答案为：52或416（1）解：四边形ABCD为正方形，AB=BC,ABE=BCF=90°，在ABE和BCF中，AB=BCABE=BCFBE=CF，ABEBCFSAS，BAE=CBF，BAE+AEB=90°，CBF+AEB=90°，BGE=90°，AGF=90°，故答案为：90°（2）解：根据题意补全图形如图所示：证明：过点A作AHAE，AH交GN延长线于点H，连接DH，AGF=90°，GN平分AGF，AGN=12AGF=45°，AHAE，GAH=90°，AHG=AGH=45°，AG=AH，四边形ABCD为正方形，BAD=90°,AB=AD，GAH=90°，BAG=DAH，AG=AH，BAG=DAH，AB=AD，BAGDAHSAS，BG=DH,AHD=AGB=90°，BG=GM，AHG=45°，GM=DH,DHN=NGM=45°，DHN=NGM,DNH=MNG,GM=DH，HNDGNMAAS，MN=ND17（1）解：四边形ABCD、四边形AEFG是正方形D=BAD=EAG=C=B=AEF=90°则EHC+HEC=90°=HEC+BEA即EHC=BEABAE+EAD=90°=GAD+EADBEA=EADEHD=125EHC=BEA=180°125°=55°则BAE=EAD=90°55°=35°BAG=BAE+EAG=125°；（2）解：连接DG，如图所示：四边形ABCD、四边形AEFG是正方形AE=AG，AB=AD，D=BAD=EAG=90°BADEAD=EAGEAD则BAE=GADABEADGSASADG=B=90°ADG+D=90°+90°=180°C、D、G三点共线；（3）解：过点F作FHBC的延长线，连接CF四边形ABCD、四边形AEFG是正方形AEF=B=90°，BA=BC，AE=EFBAE+BEA=90°=BEA+HEFBAE=HEF则BAEHEFAASBE=HF=12BC，EH=AB=CB正方形ABCD的边长为5CF=HF2+CH2=522+12BC2=522+522=52218（1）证明：在正方形ABCD中，BC=CD，B=CDF=90°，BE=DF，CBECDFSASCE=CF；（2）解：成立，理由如下：CBECDF，BCE=DCFECD+ECB=ECD+FCD即BCD=ECF=90°GCE=45°，GCF=GCE=45°CE=CF，GCF=GCE，GC=GC，ECGFCGSASEG=GFGE=DF+GD=BE+GD；（3）解：如图，过C作CGAD，交AD延长线于G，在直角梯形ABCD中，ADBC，A=B=90°，CGA=90°，AB=BC，四边形ABCG为正方形AG=BC=24DCE=45°，由（2）结论可知，ED=BE+DG，BE=8，设DE=x，则DG=x8，AD=AGDG=24x8=32x，AE=ABBE=248=16在RtAED中，DE2=AD2+AE2，x2=32x2+162，解得：x=20DE=2019解：（1）如图1，连接AC，延长CE交AD于H，AI  四边形ABCD是菱形，ABC=60°，ABC，ACD都是等边三角形，ABD=CBD=30°，AB=AC，BAC=60°，CAH=60°，APE是等边三角形，AP=AE，PAE=60°，BAC=PAE，BAP+PAC=CAE+PAC，BAP=CAE，BAPCAE(SAS)，BP=CE，ABP=ACE=30°，同理可证ACD是等边三角形，ACD=2ACH=60°，CHAD，即CEAD又ADBC，CEBC故答案为：BP=CE，CEBC；（2）（1）中结论仍然成立，理由如下：如图2，连接AC，  ABC，ACD为等边三角形，在ABP和ACE中，AB=AC，AP=AE，又BAP=BAC+CAP=60°+CAP，CAE=EAP+CAP=60°+CAPBAP=CAE，ABPACE(SAS)，BP=CE，ACE=ABD=30°，设CE与AD交于点H，同理可得ACD=2ACH=60°，CEAD，又ADBC，CEBC（3）如图3中，当点P在BD的延长线上时，连接AC交BD于点O，连接CE，BE，作EFAP于F，四边形ABCD是菱形，ACBD，BD平分ABC，ABC=60°，AB=2，ABO=30°， OA=12AB=1， OB=AB2OA2=3， BD=2OB=23，由（2）知CEBC， BE=31，BC=AB=2， CE=BE2BC2=33，由（2）知BP=CE=33， DP=3， OP=23， AP=OA2+OP2=13，APE是等边三角形，EFAP， EF=3FP=3×12AP=32AP， SAEP=12AP×32AP=34AP2=1334；如图4中，当点P在DB的延长线上时，同法可得AP=OA2+OP2=12+(43)2=7，SAEP=34AP2=4934；综上所述，AEP的面积为1334或493420（1）解：（1）补全图形如图所示（2）如图，连接DE，点E是点C关于DP的对称点，DE=DC，CDP=EDP=30°CDE=60°四边形ABCD是正方形，ADE=ADC+CDE=90°+60°=150°DE=DC，AD=CDAD=DEDAF=12180°ADE=12×180°150°=15°（3）AF2+EF2=2AB2理由如下：如图，连接AC、CF、DE，四边形ABCD是正方形，且点E与点C关于直线DP对称，AD=CD=DE，CF=EF，在CDF和DEF中，DF=DFCD=DECF=EF，CDFEDFDCF=DEFAD=DE，DAF=DEFDAF=DCFAGF=CGD，CFA=CDA=90°在RtACB和RtACF中，AC2=2AB2，AC2=AF2+CF2，EF=CF，AF2+EF2=2AB2学科网（北京）股份有限公司