河北省部分示范性高中2024届高三下学期一模数学试题含答案.pdf
学科网（北京）股份有限公司数学试卷数学试卷本试卷分第本试卷分第 I 卷（选择题）和第卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，共卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试时间分，考试时间 120 分钟分钟 第第 I 卷（选择题卷（选择题 共共 58 分）分）一、选择题（本题共一、选择题（本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）项是符合题目要求的）1已知M，N是全集U的两个非空子集，若()UMNM=，则下列说法可能正确的是（）A()UMNU=B()UMNM=CMN DMNU=2已知110abB()2lglgaabCabaaD2baab+的离心率为12，左顶点是A，左、右焦点分别是1F，2F，M是C在第一象限上的一点，直线1MF与C的另一个交点为N若2MFAN，则直线MN的斜率为（）A52 B311 C12 D157 8已知实数a，()1,b+，且()22e2ln1aabb+=+，e为自然对数的底数，则（）A1ba B2aba C2eaab D2eeaab，R）在区间,4 2 上单调，且满足5412ff=，则（）A03f=B若()3fxf x=，则()f x的最小正周期为23 C关于x的方程()1f x=在区间)0,2上最多有 4 个不相等的实数解 D若()f x在区间11,36上恰有 5 个零点，则的取值范围为8,33 11在数列 na中，对于任意的*nN都有0na，且211nnnaaa+=，则（）学科网（北京）股份有限公司 A对于任意的2n，都有1na B对于任意的10a，na不可能为常数列 C若102a，则当2n 时，12naa，0b）的离心率为2，实轴长为 4 学科网（北京）股份有限公司 （1）求C的方程；（2）如图，A为C的下顶点，直线l过点()0,Pt且垂直于y轴（P位于原点与上顶点之间），过P的直线交C于G，H两点，直线AG，AH分别与l交于M，N两点，若O，A，N，M四点共圆，求点P的坐标 18（17 分）某种抗病毒疫苗进行动物实验，将疫苗注射到甲、乙两地的一些小白鼠体内，小白鼠血样的某项指标X值满足12.221.8X时，小白鼠产生抗体从注射过疫苗的小白鼠中用分层随机抽样的方法抽取了 210 只进行X值检测，其中甲地 120 只小白鼠的X值平均数和方差分别为 14 和 6，乙地 90 只小白鼠的X值平均数和方差分别为 21 和 17，这 210 只小白鼠的X值平均数与方差分别为，2（与2均取整数）用这 210 只小白鼠为样本估计注射过疫苗小白鼠的总体，设()2,XN （1）求，2；（2）小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立，已知注射过疫苗的N只小白鼠中有 102 只产生抗体，试估计N的可能值（以使得()102P K=最大的N的值作为N的估计值）；（3）对这些小白鼠进行第二次疫苗注射后，有99.1%的小白鼠产生了抗体，再对这些小白鼠血样的X值进行分组检测，若每组()50n n 只小白鼠混合血样的X值在特定区间内，就认为这n只小白鼠全部产生抗体，否则要对n只小白鼠逐个检测已知单独检验一只小白鼠血样的检测费用为 10 元，n只小白鼠混合血样的检测费用为9n+元试给出n的估计值，使平均每只小白鼠的检测费用最小，并求出这个最小值（精确到 0.1 元）附：若()2,XN，则()0.68P X，()20.95P X 参考数据：214.6，224.7，234.8，244.9 19（17 分）已知函数()()211ln2f xaxaxx=+，aR（1）若1x=是()f x的极值点，求a的值；（2）判断()f x的单调性；学科网（北京）股份有限公司（3）已知()212f xaxx=+有两个解1x，()212xxx（i）直接写出a的取值范围（无需过程）；（ii）为正实数，若对于符合题意的任意1x，2x，当()12sxx=+时，都有()0fs，求的取值范围 参考答案及解析参考答案及解析 一、选择题一、选择题 1D 2B 3B 4D 5B 6D 7A 8D 二、选择题二、选择题 9ABD 10ABD 11ACD 三、填空题三、填空题 125,02 1370 141517 四、解答题四、解答题 15解：（1）由1cos2aCcb=及正弦定理可得1sincossinsin2ACCB=，因为ABC+=，所以()sinsinsincoscossinBACACAC=+=+，所以1sincossinsincoscossin2ACCACAC=+，即1sincossin2CAC=，因为sin0C，所以1cos2A=，因为()0,A，所以23A=（2）由题设ABCBAD=，20,3，则23DAC=，3C=，2ADC=，在ADC中，sinsinADCDCDAC=，即132sinsin33=，所以2sin3sin33=，即313 33cossincossin2222+=，学科网（北京）股份有限公司 所以2sin3cos=，即3tan2=，所以0,2，解得21sin7=，2 7cos7=，在等腰三角形ABD中，取AB的中点E，连接DE，则DEAB，则4 722cos7ABBEBD=16（1）证明：如图，取AC的中点P，连接MP，交1AC于点Q，连接QB，因为M是11AC的中点，N是1BB的中点，所以1BNAAPM，BNQM=，所以四边形MNBQ是平行四边形，所以QBMN 又QB 平面1ABC，MN/平面1ABC，所以MN平面1ABC（2）解：因为ABAC，平面11ACC A 平面ABC，平面11ACC A 平面ABCAC=，AB 平面ABC，所以AB 平面11ACC A，所以直线1AB与平面11ACC A所成角为1AAB，则12sin3AAB=在1RtBAA中，不妨设2ABAC=，则13AB=，15AA=，连接CM 因为111AAACCC=，所以11CMAC，又平面ABC平面111ABC，所以平面11ACC A 平面111ABC，学科网（北京）股份有限公司 且平面11ACC A 平面11111ABCAC=，CM 平面11ACC A，故CM 平面111ABC 设11BC的中点为E，连接ME，以M为坐标原点，ME，1MC，MC所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()10,1,0A，()0,0,2C，()12,1,0B，()10,1,0C，则()10,1,2AC=，()112,2,0BCBC=设平面1ABC的法向量为(),nx y z=，则10,0,AC nBC n=即20,220,yzxy+=+=不妨取2x=，则()2,2,1n=易知平面111ABC的一个法向量为()0,0,1m=设平面1ABC与平面111ABC的夹角为，则()22211coscos,3221nnnmmm=+，所以平面1ABC与平面111ABC夹角的余弦值为13 17解：（1）因为实轴长为 4，即24a=，2a=，又2ca=，所以2 2c=，2224bca=，故C的方程为22144yx=（2）由O，A，N，M四点共圆可知，ANMAOM+=，又MOPAOM+=，即ANMMOP=，故1tantantanANMMOPOMP=，学科网（北京）股份有限公司 即1ANOMkk=，所以1ANOMkk=，设()11,G x y，()22,H xy，(),MMM xy，由题意可知()0,2A，则直线AG：1122yyxx+=，直线AH：2222yyxx+=，因为点M在直线l上，所以Myt=，代入直线AG的方程，可知()1122Mtxxy+=+，故点M的坐标为()112,2txty+，所以()()1122OMt yktx+=+，又222ANAHykkx+=，1ANOMkk=，所以()()12122212t yytxx+=+，整理可得()()1212222yyttx x+=，当直线GH斜率不存在时，显然不符合题意，故设直线GH：ykxt=+，代入C的方程可得()2221240kxktxt+=，所以12221ktxxk+=，212241tx xk=，又()()()()()()()2212121212222222yykxtkxtk x xk txxt+=+=+()()()222222224222111ttktkk ttkkk+=+=，所以()()()()()()22212221222222221204421tyytttktttx xttk+=+，故2tt=，即1t=，所以点P的坐标为()0,1 18解：（1）解法一：记甲地小白鼠样本的X值平均数为x，方差为21s，记乙地小白鼠样本的X值平均数为y，方差为22s，则14x=，21y=，216s=，2217s=，学科网（北京）股份有限公司 所以12090120 1490 2117210210 xy+=，()()222212212090210sxsy+=()()224614 1731721 17237+=解法二：记甲地小白鼠样本的X值分别为1x，2x，120 x，平均数为x，方差为21s，记乙地小白鼠样本的X值分别为1y，2y，90y，平均数为y，方差为22s，因为14x=，21y=，216s=，2217s=，所以12090120 1490 2117210210 xy+=由()1202211120kkxxs=，()12010kkxx=，可得()()()()()()12012012022221112kkkkkkkxxxxxxxxxx=+=+()()()()()12012012022221111212012030 60kkkkkxxxxxxsx=+=+=，同理()()9022221909030 99kkysy=+=，于是()()1209022211130 6030 9923210210kkkksxy=+=+=（2）解法一：因为234.8=，所以()()12.221.80.68PXPX=+从注射过疫苗的小白鼠中取出N只，其中产生抗体的有K只，则(),0.68KB N，()10217C0.328kNNP Kk=（0k=，1，2，N）当102N 时，()1020P K=；当102N 时，()10210217102C0.328NNP K=，即()10210217C0.328NNN=，学科网（北京）股份有限公司 则()()()1021021C10110.32C0.321NNNNNN+=+由()()11NN+等价于()1010.321NN+，当且仅当101.321490.68N=，知当103148N时，()()1NN时，()()1NN+故当149N=或150N=时，()N最大，所以N的估计值为 149 或 150 解法二：因为234.8=，所以()()12.221.80.68PXPX=+=从注射过疫苗的小白鼠中取出N只，其中产生抗体的有K只，则(),0.68KB N，()10217C0.328kNNP Kk=（0k=，1，2，N）当102N 时，()1020P K=；当102N 时，()102102171020.328NNP KC=，若102N=，则()()()171021011018 102P KP KP X=，所以()()()()2111111axaxaxxfxaxaxxx+=+=，因为1x=是()f x的极值点，所以()10f=，即1 10aa+=，故1a=此时()()()11xxfxx+=，则当()0,1x时，()0fx，当()1,x+时，()0fx，故()f x在()0,+上单调递增；当0a，得10 xa，令()fx，所以()f x在10,a上单调递增，在1,a+上单调递减 综上，当0a 时，()f x在()0,+上单调递增；当0a 时，()f x在10,a上单调递增，在1,a+上单调递减（3）（i）由()212f xaxx=+，得ln0axx+=，即ln0axx+=有两个解1x，()212xxx，则()11axgxaxx+=+=，且()g x在()0,+上有两个零点 当0a 时，()10axgxx+=，所以()g x在()0,+上单调递增，则()g x在()0,+上没有两个零点，不满足题意；当0a，得10 xa，令()0gx，所以()g x在10,a上单调递增，在1,a+上单调递减，即()g x的极大值为1ga，为使()g x在()0,+上有两个零点，则10ga，即11ln0aaa+，解得10ea 学科网（北京）股份有限公司 当10 xa，因为()1ln10gaa=+=，所以()110gga 时，令()()2e1xxxx=，则()e2xxx=，再令()()e21xu xx x=，则()1e2e20 xu x=，所以()u x在()1,+上单调递增，所以()()1e20u xu=，即()0 x，故()x在()1,+上单调递增，所以()()1e 10 x=，因为1e1a，所以10a，即211e0aa，即121eaa，即12e1aa，故12e10aa，所以1111121e1eelnee0aaaaaagaaaa=+=，故11e0agga，又()g x在1,a+上单调递减，所以()g x在1,a+有唯一零点 综上，当10ea时，()g x在()0,+上有两个零点，即()212f xaxx=+有两个解1x，()212xxx时，10ea，即1,0ea （ii）由（i）得，1210 xxa，1122ln0,ln0,axxaxx+=+=故2121lnlnxxaxx=，又()0fs，所以()()110asss+，即()211221lnlnxxxxxx+，故()()2211211222111lnlnln1xxxxxxxxxxxx=+，学科网（北京）股份有限公司 令()211xttx=，则()11lnttt+，故1ln1ttt+，设()1ln1ts ttt=+，则()()()2221211ts ttttt=+，当1t 时()22211212tttt=恒成立，故()s t在()0,+上单调递增，故()()10s ts=，即1ln1ttt+在()1,+上恒成立；当102，()1102s=时，()0s t，故存在01t，使得()01,tt，使得()0s t，故()s t在()01,t为减函数，故()()10s ts=，矛盾，舍 综上，12，即的取值范围为1,2+
