2024年初中升学考试专题复习数学总复习（按知识点分类）圆周角定理.docx

圆周角定理40（2023吉林）如图，AB，AC是O的弦，OB，OC是O的半径，点P为OB上任意一点（点P不与点B重合），连接CP若BAC70°，则BPC的度数可能是（）A70°B105°C125°D155°【答案】D【分析】利用圆周角定理求得BOC的度数，然后利用三角形外角性质及等边对等角求得BPC的范围，继而得出答案【解答】解：如图，连接BC，BAC70°，BOC2BAC140°，OBOC，OBCOCB=180°140°2=20°，点P为OB上任意一点（点P不与点B重合），0°OCP20°，BPCBOCOCP140°OCP，140°BPC160°，故选：D【点评】本题考查圆与三角形外角性质的综合应用，结合已知条件求得BPC的范围是解题的关键圆周角定理42（2023内蒙古）如图，AB是O的直径，AC是弦，D是AC上一点，P是AB延长线上一点，连接AD，DC，CP（1）求证：ADCBAC90°；（请用两种证法解答）（2）若ACPADC，O的半径为3，CP4，求AP的长【答案】（1）证明见解答过程；（2）8【分析】（1）方法一：连接BD，利用圆周角定理及角的和差即可证得结论；方法二：连接BC，利用圆周角定理求得ACB90°，再利用圆内接四边形的性质及三角形的外角性质即可证得结论；（2）根据方法二中的图形易证得PBCPCA，结合已知条件，根据相似三角形的对应边成比例求得PB的长，继而求得AP的长【解答】（1）证明：方法一：如图，连接BD，AB是O的直径，ADB90°，ADCBDCADB，BDCBAC，ADCBAC90°；方法二：如图，连接BC，AB是O的直径，ACB90°，PBCBACACB，PBCBAC90°，四边形ABCD为O的内接四边形，ADCABC180°，PBCABC180°，ADCPBC，ADCBAC90°；（2）解：由上图可得ADCPBC，ACPADC，PBCACP，即PBCPCA，BPCCPA，PBCPCA，PBPC=PCPA，PC2PAPB，O的半径为3，AB6，PAPB6，CP4，42（PB6）PB，解得：PB2或PB8（舍去），则AP268【点评】本题考查圆与相似三角形的综合应用，（2）中结合已知条件证得PBCPCA是解题的关键圆周角定理37（2023南充）如图，AB是O的直径，点D，M分别是弦AC，弧AC的中点，AC12，BC5，则MD的长是 4【考点】圆周角定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系【分析】根据垂径定理得OMAC，根据圆周角定理得C90°，根据勾股定理得AB=122+52=13，根据三角形中位线定理得OD=12BC2.5，ODBC，所以ODAC，MDOMOD6.52.54【解答】解：点M是弧AC的中点，OMAC，AB是O的直径，C90°，AC12，BC5，AB=122+52=13，OM6.5，点D是弦AC的中点，OD=12BC2.5，ODBC，ODAC，O、D、M三点共线，MDOMOD6.52.54故答案为：4【点评】本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，三角形中位线定理，熟练掌握和运用这些定理是解题的关键圆周角定理44（2023成都）如图，以ABC的边AC为直径作O，交BC边于点D，过点C作CEAB交O于点E，连接AD，DE，BADE（1）求证：ACBC；（2）若tanB2，CD3，求AB和DE的长【考点】圆周角定理；解直角三角形；勾股定理；垂径定理【分析】（1）结合已知条件，根据同弧所对的圆周角相等易证得ADEACEBACB，再由等边对等角即可证得结论；（2）连接AE，易证得ABCADE，根据已知条件，利用直径所对的圆周角为直角可得ADBADC90°，根据三角函数值可得AD2BD，再结合，CD3，AC3+BD，利用勾股定理列得方程，求得CD的长度，从而得出AD，BC，AB的长度，再利用相似三角形的对应边成比例即可求得答案【解答】（1）证明：ADEACE，ADEB，BACE，CEAB，BACACE，BBAC，ACBC；（2）解：如图，连接AE，ADEB，AEDACB，ADEABC，ADAB=DEBC，AC为O的直径，ADBADC90°，tanB=ADBD=2，AD2BD，CD3，ACBCBD+CDBD+3，AD2+CD2AC2，（2BD）2+32（BD+3）2，解得：BD2或BD0（舍去），AD2BD4，AB=AD2+BD2=42+22=25，BC2+35，ADAB=DEBC，425=DE5，DE25【点评】本题主要考查圆与相似三角形的综合应用，（2）中利用三角函数值可得AD2BD，再根据勾股定理列得方程是解题的关键圆周角定理46（2023宜宾）如图，已知点A，B，C在O上，C为AB的中点若BAC35°，则AOB等于（）A140°B120°C110°D70°【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系【分析】连接OC，由BAC35°，得BOC2BAC70°，又C为AB的中点故AOCBOC70°，即知AOBAOC+BOC140°【解答】解：连接OC，如图：BAC35°，BOC2BAC70°，C为AB的中点BC=AC，AOCBOC70°，AOBAOC+BOC140°，故选：A【点评】本题考查圆的性质及应用，解题的关键是掌握圆周角定理和圆心角，弧的关系圆周角定理42（2023云南）如图，AB是O的直径，C是O上一点若BOC66°，则A（）A66°B33°C24°D30°【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系菁优网版权所有【分析】根据圆周角定理解答即可，在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半【解答】解：A=12BOC，BOC66°，A33°故选：B【点评】本题考查了圆周角定理，圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角圆周角定理43（2023苏州）如图，AB是半圆O的直径，点C，D在半圆上，CD=DB，连接OC，CA，OD，过点B作EBAB，交OD的延长线于点E设OAC的面积为S1，OBE的面积为S2，若S1S2=23，则tanACO的值为（）A2B223C75D32【考点】圆周角定理；解直角三角形；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系【分析】如图，过C作CHAO于H，证明CODBOECAO，由S1S2=23，即12OACH12OBBE=23，可得BHCE=23，证明tanAtanBOE，可得CHBE=AHOB=23，设AH2m，则BO3mAOCO，可得OH3m2mm，CH=9m2m2=22m，再利用正切的定义可得答案【解答】解：如图，过C作CHAO于H，CD=BD，CODBOECAO，S1S2=23，即12OACH12OBBE=23，CHBE=23，ABOE，tanAtanBOE，CHAH=BEOB，即CHBE=AHOB=23，设AH2m，则BO3mAOCO，OH3m2mm，CH=9m2m2=22m，tanA=CHAH=22m2m=2，OAOC，AACO，tanACO=2；故选A【点评】本题考查的是圆周角定理的应用，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键圆周角定理42（2023广元）如图，AB是O的直径，点C，D在O上，连接CD，OD，AC，若BOD124°，则ACD的度数是（）A56°B33°C28°D23°【答案】C【分析】先由平角定义求得AOD56°，再利用圆周角定理可求ACD【解答】解：BOD124°，AOD180°124°56°，ACD=12AOD28°，故选：C【点评】本题主要考查的是圆周角定理的应用，利用平角定义求得AOD56°是解决本题的关键圆周角定理44（2023杭州）如图，在O中，半径OA，OB互相垂直，点C在劣弧AB上若ABC19°，则BAC（）A23°B24°C25°D26°【答案】D【分析】连接OC，根据圆周角定理可求解AOC的度数，结合垂直的定义可求解BOC 的度数，再利用圆周角定理可求解【解答】解：连接OC，ABC19°，AOC2ABC38°，半径OA，OB互相垂直，AOB90°，BOC90°38°52°，BAC=12BOC26°，故选：D【点评】本题主要考查圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键45（2023湖北）如图，在O中，直径AB与弦CD相交于点P，连接AC，AD，BD，若C20°，BPC70°，则ADC（）A70°B60°C50°D40°【答案】D【分析】先根据圆周角定理求得AOD40°，再由AB是O的直径得ADB90°即可求得ADC【解答】解：连接OD，如图，C20°，AOD40°，BPC70°，BDPBPCB50°，AB是O的直径，ADB90°，ADCADBBDP40°，故选：D【点评】本题主要考查了圆周角定理、三角形的外角性质以及直径所对的圆周角是直角，熟练掌握各知识点是解决本题的关键圆周角定理34（2023郴州）如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点P处安装了一台监视器，它的监控角度是55°，为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器 4台【答案】4【分析】根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，得该圆周角所对的弧所对的圆心角是110°，则共需安装360°÷110°33114台【解答】解：P55°，P所对弧所对的圆心角是110°，360°÷110°3311，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器4台故答案为：4【点评】此题考查了要圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半注意把实际问题转化为数学问题，能够把数学和生活联系起来圆周角定理39（2023随州）如图，在O中，OABC，AOB60°，则ADC的度数为 30°【答案】30°【分析】连接OC，根据垂径定理及圆心角、弧、弦的关系求得AOC的度数，然后根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可求得答案【解答】解：如图，连接OC，OABC，AC=AB，AOCAOB60°，ADC=12AOC30°，故答案为：30°【点评】本题考查圆的有关性质的应用，结合已知条件求得AOC的度数是解题的关键圆周角定理43（2023河南）如图，点A，B，C在O上，若C55°，则AOB的度数为（）A95°B100°C105°D110°【答案】D【分析】根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可得到答案【解答】解：AOB2C，C55°，AOB110°，故选：D【点评】本题考查圆周角定理的应用，解题的关键是掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半44（2023深圳）如图，在O中，AB为直径，C为圆上一点，BAC的角平分线与O交于点D，若ADC20°，则BAD35°【答案】35【分析】先根据直径所对的圆周角是直角可得ACB90°，再利用圆周角定理可得ADCABC20°，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得BAC70°，从而利用角平分线的定义进行计算，即可解答【解答】解：AB为O的直径，ACB90°，ADC20°，ADCABC20°，BAC90°ABC70°，AD平分BAC，BAD=12BAC35°，故答案为：35【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键圆周角定理24（2023武汉）如图，OA，OB，OC都是O的半径，ACB2BAC（1）求证：AOB2BOC；（2）若AB4，BC=5，求O的半径【答案】（1）证明过程见答案；（2）52【分析】（1）利用圆周角定理可得ACB=12AOB，BAC=12BOC，结合ACB2BAC可证明结论；（2）过点O作半径ODAB于点E，可得AEBE，根据圆周角、弦、弧的关系可证得BDBC，结可求得BE2，DB=5，利用勾股定理可求解DE1，再利用勾股定理可求解圆的半径【解答】（1）证明：ACB=12AOB，BAC=12BOC，ACB2BAC，AOB2BOC；（2）解：过点O作半径ODAB于点E，AEBE，AOB2BOC，DOB=12AOB，DOBBOCBDBCAB4，BC=5，BE2，DB=5，在 RtBDE 中，DEB90°，DE=BD2BE2=1，在RtBOE中，OEB90°，OB2（OB1）2+22，解得OB=52，即O的半径是 52【点评】本题主要考查圆周角定理，勾股定理，垂径定理，圆心角、弦、弧的关系，掌握圆周角定理是解题的关键圆周角定理40（2023广东）如图，AB是O的直径，BAC50°，则D（）A20°B40°C50°D80°【答案】B【分析】由AB是O的直径，得ACB90°，而BAC50°，即得ABC40°，故DABC40°，【解答】解：AB是O的直径，ACB90°，BAC+ABC90°，BAC50°，ABC40°，AC=AC，DABC40°，故选：B【点评】本题考查圆周角定理的应用，解题的关键是掌握直径所对的圆周角是直角和同弧所对的圆周角相等41（2023广西）如图，点A，B，C，在O上，C40°则AOB的度数是（）A50°B60°C70°D80°【答案】D【分析】由圆周角定理即可得到答案【解答】解：C=12AOB，C40°，AOB80°故选：D【点评】本题考查圆周角定理，关键是掌握圆周角定理圆周角定理35（2023齐齐哈尔）综合与实践：数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地（1）发现问题：如图1，在ABC和AEF中，ABAC，AEAF，BACEAF30°，连接BE，CF，延长BE交CF于点D则BE与CF的数量关系：BECF，BDC30°；（2）类比探究：如图2，在ABC和AEF中，ABAC，AEAF，BACEAF120°，连接BE，CF，延长BE，FC交于点D请猜想BE与CF的数量关系及BDC的度数，并说明理由；（3）拓展延伸：如图3，ABC和AEF均为等腰直角三角形，BACEAF90°，连接BE，CF，且点B，E，F在一条直线上，过点A作AMBF，垂足为点M则BF，CF，AM之间的数量关系：BFCF+2AM；（4）实践应用：正方形ABCD中，AB2，若平面内存在点P满足BPD90°，PD1，则SABP7+74或774【答案】7+74或774【分析】（1）根据等腰三角形的性质，利用SAS证明ABEACF即可得出结论；（2）根据等腰三角形的性质，利用SAS证明BAECAF即可得出结论；（3）根据等腰直角三角形的性质，利用SAS证明BAECAE即可得出结论；（4）根据直径所对的圆周角是直角，先找到点P，利用勾股定理计算出BP，再利用第3小题的结论得到三角形的高，ABP的面积即可求出【解答】解：（1）BECF，BDC30°，理由如下：如图1所示：ABC和ADE都是等腰三角形，ABAC，AEAF，又BACEAF30°，ABEACF（SAS），BECF，ABEACD，AOEABE+BAC，AOEACD+BDC，BDCBAC30°；（2）BECF，BDC60°，理由如下：如图2所示：证明：BACEAF120°，BACEACEAFEAC，即BAECAF，又ABC和AEF都是等腰三角形，ABAC，AEAF，BAECAF（SAS）BECF，AEBAFC，EAF120°，AEAF，AEFAFE30°，BDCBEFEFDAEB+30°（AFC30°）60°；（3）BFCF+2AM，理由如下：如图3所示：ABC和AEF都是等腰三角形，CABEAF90°，ABAC，AEAF，CABCAEFAECAE，即：BAECAF，BAECAE（SAS），BECF，AMBF，AEAF，EAF90°，EF2AM，BFBE+EF，BFCF+2AM；（4）如图4所示：连接BD，以BD为直径作圆，由题意，取满足条件的点P，P，则PDPD1BPDBPD90°，BD22，BP=BD2BP2=(22)212=7，连接PA，作AFPB于点F，在BP上截取BEPD，PDAABE，ADAB，ADPABE（SAS），APAE，BAEDAP，PAE90°，由（3）可得：PBPD2AF，AF=PBPD2=712，SPAB=12PBAF=774，同理可得：SPAB=7+74，故ABP的面积为：7+74或774【点评】本题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定，等腰三角形和等腰直角三角形的性质，圆周角定理，勾股定理，三角形的面积等知识，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键圆周角定理37（2023烟台）如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的外弧分别交于点A，B，C，D，连接AB，则BAD的度数为 52.5°【考点】圆周角定理【分析】由图形求出BOD的度数，由圆周定理得到BAD=12BOD【解答】解：设量角器的圆心是O，连接OD，OB，BOD130°25°105°，BAD=12BOD52.5°故答案为：52.5°【点评】本题考查圆周角定理，关键是求出BOD的度数，由圆周角定理即可得到答案38（2023达州）在ABC中，AB43，C60°，在边BC上有一点P，且BP=12AC，连接AP，则AP的最小值为 2132【考点】圆周角定理；相似三角形的判定与性质；解直角三角形；勾股定理；垂径定理【分析】作ABC 的外接圆，圆心为M，连接AM、BM、CM，过M作MDAB于D，过B作BNAB，交BP的垂直平分线于N，连接AN、BN、PN，以N为圆心，BN（PN）为半径作圆；结合圆周角定理及垂径定理易得AMBMCM4，再通过圆周角定理、垂直及垂直平分线的性质、三角形内角和定理易得AMCPNB，从而易证AMCPNB，可得 CMPN=ACPB=21 即 PN=12CM=2，勾股定理即可求得AN=213，在APN中由三角形三边关系APANPN即可求解【解答】解：如图，作ABC的外接圆，圆心为M，连接AM、BM、CM，过M作MDAB于D，过B作BNAB，交BP的垂直平分线于N，连接AN、BN、PN，以N为圆心，BN（PN）为半径作圆；C60°，M为ABC的外接圆的圆心，AMB120°，AMBM，MABMBA30°，MD=12AM，MDAB，AD=12AB=23，在RtADM中，AM2MD2+AD2，AM2=(12AM)2+(23)2，AM4，即AMBMCM4，由作图可知BNAB，N在BP的垂直平分线上，PBNBPN90°ABC，PNB180°（PBN+BPN）2ABC，又M为ABC的外接圆的圆心，AMC2ABC，AMCPNB，CMPN=AMBN，AMCPNB，CMPN=ACPB，BP=12AC，CMPN=ACPB=21，即PN=12CM=2，PNBN2，在RtABN 中，AN=AB2+BN2=(43)2+22=213，在APN中，APANPN=2132，即AP最小值为2132，故答案为：2132【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理解直角三角形，相似三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，30° 角所对的直角边等于斜边的一半，三角形三边之间的关系；解题的关键是结合ABC的外接圆构造相似三角形