2024年初中升学考试专题复习数学总复习（按知识点分类）二次函数图象与系数的关系.docx

二次函数图象与系数的关系28（2023东营）如图，抛物线yax2bxc（a0）与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，对称轴为直线x1若点A的坐标为（4，0），则下列结论正确的是（）A2ab0B4a2bc0Cx2是关于x的一元一次方程ax2bxc0（a0）的一个根D点（x1，y1），（x2，y2）在抛物线上，当x1x21时，y1y20【答案】C【分析】根据对称轴判断，根据图象特征判断，根据对称轴及抛物线与x轴的交点判断，根据抛物线的性质判断【解答】解：对称轴为直线x1，x=b2a=1，b2a，2ab0，故错误，抛物线开口向上，a0，对称轴在y轴左侧，b0，抛物线与y轴交于负半轴，c0，4a（2bc）0，即4a2bc0，故错误，抛物线与x轴交于（4，0），对称轴为直线x1，抛物线与x轴的另一个交点为（2，0），x2是关于x的一元一次方程ax2bxc0（a0）的一个根，故正确，抛物线开口向上，对称轴为直线x1，当x1时，y随x的增大而增大，当x1x21时，y1y2，故错误，故选：C【点评】本题主要考查的是二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的特征、抛物线与x轴的焦点情况，熟练掌握个知识点是解决本题的关键二次函数图象与系数的关系25（2023泸州）已知二次函数yax22ax+3（其中x是自变量），当0x3时对应的函数值y均为正数，则a的取值范围为（）A0a1Ba1或a3C3a0或0a3D1a0或0a3【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点【分析】先求出二次函数与y轴的交点和对称轴，然后分a0和a0讨论得出a的取值范围【解答】解：令x0，则y3，二次函数与y轴的交点坐标为（0，3），二次函数的对称轴是：x=2a2a=1，当a0，0时，满足当0x3时对应的函数值y均为正数，（2a）24a×30，解得：a3，0a3；当a0时，令x3，则9a6a+30，解得：a1，1a0，综上，a的取值范围为1a0或0a3（备注：没有正确选项，故选择D）故选：D【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的知识，弄清当0x3时对应的函数值y均为正数的意义，然后分情况讨论是解题的关键26（2023南充）抛物线yx2+kx+k54与x轴的一个交点为A（m，0），若2m1，则实数k的取值范围是（）A214k1Bk214或k1C5k98Dk5或k98【考点】二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点【分析】由抛物线yx2+kx+k54与x轴有交点，可得k2+4（k54）0，故k5或k1；分两种情况：当k5时，可得（2）22k+k540，当k1时，（2）22k+k540，分别解不等式可得答案【解答】解：抛物线yx2+kx+k54与x轴有交点，0，即k2+4（k54）0，k2+4k50，解得：k5或k1；抛物线yx2+kx+k54对称轴为直线x=k2，当k5时，抛物线对称轴在直线x2左侧，此时抛物线yx2+kx+k54与x轴的一个交点为A（m，0），2m1，如图：（2）22k+k540，解得：k214，k214；当k1时，抛物线对称轴在直线x=12右侧，此时抛物线yx2+kx+k54与x轴的一个交点为A（m，0），2m1，如图：（2）22k+k540，解得：k214，k1；综上所述，k214或k1；故选：B【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，抛物线与坐标轴的交点问题，解题的关键是根据已知列出满足条件的不等式二次函数图象与系数的关系35（2023成都）如图，二次函数yax2+x6的图象与x轴交于A（3，0），B两点，下列说法正确的是（）A抛物线的对称轴为直线x1B抛物线的顶点坐标为（12，6）CA，B两点之间的距离为5D当x1时，y的值随x值的增大而增大【考点】二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点【分析】A将点A的坐标代入即可解答即可判定A；B先运用二次函数图象的性质确定B；C利用两点间的距离公式解答即可；D根据函数图象即可解答【解答】解：A、把A（3，0）代入yax2+x6得，09a36，解得a1，yx2+x6，对称轴直线为：x=b2a=12，故A错误；令y0，0x2+x6，解得x13，x22，AB2（3）5，A，B两点之间的距离为5，故C正确；当x=12时，y=14126=254，故B错误；由图象可知当x12时，y的值随x值的增大而增大，故D错误故选：C【点评】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质，对称轴的计算方法，函数最值的计算方法是解题的关键36（2023眉山）如图，二次函数yax2+bx+c（a0）的图象与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x1，下列四个结论：abc0；4a2b+c0；3a+c0；当3x1时，ax2+bx+c0其中正确结论的个数为（）A1个B2个C3个D4个【考点】二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点【分析】根据二次函数图象的开口方向，顶点的位置、与y轴交点的位置可对a，b，c的符号进行判断，进而可对结论进行判断；根据抛物线的对称轴及与x轴的交点可对二次函数图象上的点（2，4a2b+c）的位置进行判定，进而可对结论进行判断；根据二次函数的图象与x轴的两个交点坐标可对结论、结论进行判断，据此可得出此题的答案【解答】解：二次函数图象的开口向上，a0，二次函数图象的顶点在第四象限，b2a0，a0，b0，二次函数图象与y轴的交点在y轴的负半轴上，c0，abc0，故结论正确；对于yax2+bx+c，当x2时，y4a2b+c，点（2，4a2b+c）在二次函数的图象上，又二次函数的对称轴为x1，与x轴的一个交点为（1，0），二次函数与x轴的另一个交点为（3，0），点（2，4a2b+c）在x轴下方的抛物线上，4a2b+c0，故结论正确；二次函数的图象与x轴的两个交点坐标分别为（1，0），（3，0），a+b+c=09a3b+c=0，消去b得：3a+c0，故结论正确；二次函数图象的开口向上，与y轴的两个交点坐标分别为（1，0），（3，0）当3x1时，二次函数图象的位置在x轴的下方，y0，即：ax2+bx+c0，故结论正确综上所述：结论正确故选：D【点评】此题主要考查了二次函数的图象与系数之间的关系，解答此题的关键是熟练掌握二次函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴、与坐标轴的交点坐标37（2023广安）如图所示，二次函数yax2+bx+c（a、b、c为常数，a0）的图象与x轴交于点A（3，0），B（1，0）有下列结论：abc0；若点（2，y1）和（0.5，y2）均在抛物线上，则y1y2；5ab+c0；4a+c0其中正确的有（）A1个B2个C3个D4个【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点【分析】根据函数图象开口向下可知a0，根据左同右异可知b0，再根据图象与y轴交于正半轴可知c0，然后即可判断；根据二次函数yax2+bx+c（a、b、c为常数，a0）的图象与x轴交于点A（3，0），B（1，0），可以得到该函数的对称轴，再根据二次函数的额性质，即可判断；根据对称轴可以得到a和b的关系，再根据x1时，y0，可以得到a+b+c0，进行变形即可判断；根据x1时，y0和a、b的关系，可以判断【解答】解：由图象可得，a0，b0，c0，则abc0，故正确，符合题意；二次函数yax2+bx+c（a、b、c为常数，a0）的图象与x轴交于点A（3，0），B（1，0），该函数的对称轴为直线x=3+12=1，x0.5和x1.5对应的函数值相等，当x1时，y随x的增大而增大，若点（2，y1）和（0.5，y2）均在抛物线上，则y1y2，故正确，符合题意；对称轴是直线x=3+12=1，b2a=1，b2a，点（1，0）在该函数图象上，a+b+c0，a+2a+c0，即3a+c0，5ab+c5a2a+c3a+c0，故正确，符合题意；a+b+c0，a0，2a+b+c0，2a+2a+c0，即4a+c0，故错误，不符合题意；故选：C【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答二次函数图象与系数的关系33（2023遂宁）抛物线yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，对称轴为直线x2下列说法：abc0；c3a0；4a22abat（at+b）（t为全体实数）；若图象上存在点A（x1，y1）和点B（x2，y2），当mx1x2m+3时，满足y1y2，则m的取值范围为5m2，其中正确的个数有（）A1个B2个C3个D4个【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征【分析】分别判断a、b、c的符号，再判断abc的符号；由对称轴为直线x2，可知a与b的数量关系，消去b可得仅含a、c的解析式，找特定点可判断c3a的符号用a与b的数量关系，可将原式化简得到关于t的不等式，再用函数的性质（t为全体实数）判断利用二次函数的性质及二次函数与一元二次方程的关系即可判断【解答】解：因图象开口向下，可知：a0；又对称轴为直线x2，b2a=2，整理得：b4a，即a、b同号由图象可知，当x4时，y0，又对称轴为直线x2，可知：当x0时，y0；即c0；abc0，故正确由得：b4a代入原解析式得：yax2+4ax+c；由图象可知，当x1时，y0即：a（1）2+4a（1）+c0，整理得：c3a0，故正确由得：b4a不等式4a22abat（at+b），等价于4a22a4aat（at+4a），整得：（t+2）20，t为全体实数，（t+2）20，故错误由题意得，x1、x2是一元二次方程ax2+bx+cy10的两个根，从图象上看，因二次函数有对称性，x1、x2关于x2对称，当且仅当m2m+3时，存在点A（x1，y1）和点B（x2，y2），当mx1x2m+3时，满足y1y2，即当5m2时，满足题设，故正确故本题选：C【点评】本题考查了二次函数字母系数与图象的关系、二次函数与一元二次方程的关系等知识需综合利用二次函数的性质，不等式的性质解题二次函数图象与系数的关系29（2023凉山州）已知抛物线yax2+bx+c（a0）的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（）Aabc0B4a2b+c0C3a+c0Dam2+bm+a0（m为实数）【考点】二次函数图象与系数的关系【分析】由抛物线开口向上知a0，由抛物线的对称轴为直线x1，知b2a，b0，由抛物线与y轴交于负半轴，知c0，可判断A错误；由（4，16a+4b+c）在第一象限，知（2，4a2b+c）在第二象限，判断B错误；由9a+3b+c0，b2a，可得3a+c0，判断C正确；由am2+bm+aam22am+aa（m1）2，可判断D错误【解答】解：由抛物线开口向上知a0，抛物线的对称轴为直线x1，b2a=1，b2a，b0，抛物线与y轴交于负半轴，c0，abc0，故A错误，不符合题意；抛物线的对称轴为直线x1，且411（2），抛物线上的点（4，16a+4b+c）与（2，4a2b+c）关于对称轴对称，由图可知，（4，16a+4b+c）在第一象限，（2，4a2b+c）在第二象限，4a2b+c0，故B错误，不符合题意；x3时y0，9a+3b+c0，b2a，9a+3×（2a）+c0，3a+c0，故C正确，符合题意；b2a，am2+bm+aam22am+aa（m1）2，a0，（m1）20，a（m1）20，am2+bm+a0，故D错误，不符合题意；故选：C【点评】本题考查二次函数的图象与系数的关系，解题的关键是掌握二次函数的相关性质二次函数图象与系数的关系32（2023广元）已知抛物线yax2+bx+c（a，b，c是常数且a0）过（1，0）和（m，0）两点，且3m4，下列四个结论：abc0；3a+c0；若抛物线过点（1，4），则1a23；若关于x的方程a（x+1）（xm）3有实数根，则4acb212a，其中正确的结论有（）A1个B2个C3个D4个【答案】B【分析】根据题意得出开口向下，对称轴在y轴的右侧，即可判b0，c0，则abc0；根据对称轴是直线x=b2a1，计算b2a，由抛物线yax2+bx+c（a，b，c是常数），过A（1，0），得到ab+c0，即可得到3a+c0；由待定系数法确定抛物线yax2+2x+2a，根据题意抛物线为ya（x+1）（xm）ax2+a（1m）xam，即可得出am2a，则m=a2a=12a，根据3m4，即可得出关于a的不等式，解得即可；抛物线yax2+bx+c（a，b，c是常数且a0）与直线y3有交点，即可得出4acb24a3，求得4acb212a【解答】解：抛物线yax2+bx+c（a，b，c是常数），过A（1，0），B（m，0）两点，且3m4，对称轴x=1+m21，对称轴在y轴右侧，b2a0，a0，b0，c0，abc0，故错误；b2a1，a0，b2a，抛物线yax2+bx+c（a，b，c是常数），过A（1，0），ab+c0，3a+c0，故正确；抛物线yax2+bx+c（a，b，c是常数），过A（1，0），点（1，4），ab+c=0a+b+c=4，解得b=2c=2a，抛物线yax2+2x+2a，抛物线yax2+bx+c（a，b，c是常数且a0）过（1，0）和（m，0）两点，ya（x+1）（xm）ax2+a（1m）xam，am2a，m=a2a=12a，3m4，312a4，a0，1a23，故正确；若关于x的方程a（x+1）（xm）3有实数根，抛物线yax2+bx+c（a，b，c是常数且a0）与直线y3有交点，4acb24a3，4acb212a，故错误故选：B【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，函数与方程的关系，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题二次函数图象与系数的关系29（2023随州）如图，已知开口向下的抛物线yax2+bx+c与x轴交于点（6，0），对称轴为直线x2则下列结论正确的有（）abc0；ab+c0；方程cx2+bx+a0的两个根为x1=12，x2=16；抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x12x2且x1+x24，则y1y2A1个B2个C3个D4个【答案】B【分析】根据抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置判断；由抛物线的对称性可判断；由二次函数与方程的关系，以及根与系数的关系可判断；由二次函数的性质可判断【解答】解：抛物线开口向下，a0，抛物线交y轴于正半轴，c0，b2a0，b0，abc0，故正确；抛物线对称轴为直线x2，x5时，y0，x1时，y0，ab+c0，故正确；由cx2+bx+a0可得方程的解x1+x2=bc，x1x2=ac，的抛物线yax2+bx+c与x轴交于点（6，0），对称轴为直线x2，抛物线与x轴另一个交点为（2，0），方程ax2+bx+c0的两个根为2，6，ba=4，ca=12，bc=412=13，ac=112而若方程cx2+bx+a0的两个根为x1=12，x2=16，则bc=1216=13，ac=12×(16）=112，故错误；抛物线开口向下，对称轴为直线x2，若x12x2且x1+x24，则点P（x1，y1）到对称轴的距离小于Q（x2，y2）到直线的距离，y1y2，故不正确故选：B【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系30（2023河北）已知二次函数yx2+m2x和yx2m2（m是常数）的图象与x轴都有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则这两个函数图象对称轴之间的距离为（）A2Bm2C4D2m2【答案】A【分析】求出三个交点的坐标，再构建方程求解【解答】解：令y0，则x2+m2x0和x2m20，x0或xm2或xm或xm，这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，若m0，则m22m，m2，若m0时，则m22m，m2抛物线yx2m2的对称轴x0，抛物线yx2+m2x的对称轴x=m22，这两个函数图象对称轴之间的距离=m22=2故选：A【点评】本题考查二次函数图象有系数的关系，抛物线与x轴的交点等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题31（2023株洲）如图所示，直线l为二次函数yax2+bx+c（a0）的图象的对称轴，则下列说法正确的是（）Ab恒大于0Ba，b同号Cab异号D以上说法都不对【答案】C【分析】先写出抛物线的对称轴方程，列出不等式，再分a0，a0两种情况讨论即可【解答】解：直线l为二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象的对称轴，对称轴为直线x=b2a0，当a0时，则b0，当a0时，则b0，a，b异号，故选：C【点评】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质二次函数图象与系数的关系29（2023湖北）已知二次函数yax2+bx+c（a0）的图象与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x1，下列论中；ab+c0；若点（3，y1），（2，y2），（4，y3）均在该二次函数图象上，则y1y2y3；若m为任意实数，则am2+bm+c4a；方程ax2+bx+c+10的两实数根为x1，x2，且x1x2，则x11，x23正确结论的序号为（）ABCD【答案】B【分析】由抛物线经过（1，0）可判断，由各点到抛物线对称轴的距离大小可判断从而判断，由x1时y取最大值可判断，由抛物线的对称性可得抛物线与x轴交点坐标，从而判断【解答】解：抛物线经过（1，0），ab+c0，正确，a0，抛物线开口向下，点（3，y1），（2，y2），（4，y3）均在该二次函数图象上，且点（3，y1）到对称轴的距离最大，点（2，y2）到对称轴的距离最小，y1y3y2，错误；b2a=1，b2a，ab+c0，cba3a，抛物线的最大值为a+b+c，若m为任意实数，则am2+bm+ca+b+c，am2+bm+c4a，正确；方程ax2+bx+c+10的两实数根为x1，x2，抛物线与直线y1的交点的横坐标为x1，x2，由抛物线对称性可得抛物线与x轴另一交点坐标为（3，0），抛物线与x轴交点坐标为（1，0），（3，0），抛物线开口向下，x1x2，x11，x23，正确故选：B【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系30（2023乐山）如图，抛物线yax2+bx+c经过点A（1，0）、B（m，0），且1m2，有下列结论：b0；a+b0；0ac；若点C（23，y1），D（53，y2）在抛物线上，则y1y2其中，正确的结论有（）A4个B3个C2个D1个【答案】B【分析】根据题意画出抛物线的大致图象，利用函数图象，由抛物线开口方向得a0，由抛物线的对称轴位置得b0，由抛物线与y轴的交点位置得c0，再根据二次函数的性质和图象分别判断即可得出答案【解答】解：抛物线开口向上，a0，抛物线的对称轴在y轴的右侧，b0，故正确；抛物线与y轴的交点在x轴下方，c0，抛物线经过点A（1，0），ab+c0，cba，当x2时，y0，4a+2b+c0，4a+2b+ba0，3a+3b0，a+b0，故正确；ab+c0，a+cb，b0，a+c0，0ac，故正确；点C（23，y1）到对称轴的距离比点D（53，y2）到对称轴的距离近，y1y2，故的结论错误故选：B【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质二次函数图象与系数的关系24（2023杭州）设二次函数yax2+bx+1（a0，b是实数）已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示：x10123ym1n1p（1）若m4，求二次函数的表达式；写出一个符合条件的x的取值范围，使得y随x的增大而减小（2）若在m，n，p这三个实数中，只有一个是正数，求a的取值范围【答案】（1）yx22x+1；当x1时，y随x的增大而减小；（2）a13【分析】（1）利用待定系数法即可求得；利用二次函数的性质得出结论；（2）根据题意m0，由b2a=1，得出b2a，则二次函数为yax22ax+1，得出ma+2a+10，解得a13【解答】解：（1）由题意得ab+1=44a+2b+1=1，解得a=1b=2，二次函数的表达式是yx22x+1；yx22x+1（x1）2，抛物线开口向上，对称轴为直线x1，当x1时，y随x的增大而减小；（2）x0和x2时的函数值都是1，抛物线的对称轴为直线x=b2a=1，（1，n）是顶点，（1，m）和（3，p）关于对称轴对称，若在m，n，p这三个实数中，只有一个是正数，则抛物线必须开口向下，且m0，b2a=1，b2a，二次函数为yax22ax+1，ma+2a+10，a13【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，能够明确题意得出ma+2a+10是解题的关键二次函数图象与系数的关系30（2023齐齐哈尔）如图，二次函数yax2+bx+c（a0）图象的一部分与x轴的一个交点坐标为（3，0），对称轴为直线x1，结合图象给出下列结论：abc0；b2a；3a+c0；关于x的一元二次方程ax2+bx+c+k20（a0）有两个不相等的实数根；若点（m，y1）（m+2，y2）均在该二次函数图象上，则y1y2其中正确结论的个数是（）A4B3C2D1【答案】B【分析】根据图象特征可判断，根据对称轴可判断，根据抛物线与x轴的交点即对称轴确定抛物线与x轴的另一个交点后可判断，将方程ax2+bx+c+k20（a0）的解看做yax2+bx+c（a0）与yk2的交点可判断，由点（m，y1）（m+2，y2）关于直线x1对称可判断【解答】解：抛物线开口向上，a0，对称轴在y轴右侧，b0，抛物线与y轴交于负半轴，c0，abc0，故正确，x=b2a=1，b2a，故错误，抛物线与x轴的一个交点为（3，0），对称轴为x1，抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），ab+c0，b2a，3a+c0，故正确，方程ax2+bx+c+k20（a0）的解可看做yax2+bx+c（a0）与yk2的交点，k20，当yk2过抛物线yax2+bx+c（a0）顶点时，两函数只有一个交点，即方程ax2+bx+c+k20有两个相等的实数根，故错误，点（m，y1）（m+2，y2）关于直线x1对称，y1y2，故正确故选：B【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、根的判别式以及抛物线与x轴的交点，熟练掌握各知识点是解决本题的关键