江苏省苏州市部分高中2023-2024学年高三下学期4月适应性检测（高考指导卷）数学试题含答案.pdf

S 数学试题 第 1 页 共 3 页2024 届高三年级 苏州市部分高中 4 月适应性检测（高考指导卷）数学注意事项注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将答题卡交回。一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知1,2,3,1ABAB，则满足条件的集合A的个数为A2B3C4D72.记i是虚数单位，复数 z 满足，则=A.2B.C.D.13.对于2()(221)T nnn单位时间（表示代码中一条语句执行一次的耗时）的算法 A来说，由于分析的是代码执行总时间()T n和代码执行次数 n 之间的关系，可不考虑单位时间此外，若用()f n来抽象表示一个算法的执行总次数，前面提到的算法便可以抽象为2(1)22nf nn，因此我们可以记作()()T nO f n，其中 O 表示代码的执行总时间()T n和其执行总次数()f n成正比 这种表示称为大 O 记法，其表示算法的时间复杂度 在大 O 记法中，非最高次项及各项之前的系数及对数的底数可以忽略，即上面所提的算法 A的时间复杂度可以表示为2()O n对于如下流程所代表的算法，其时间复杂度可以表示为A.(log)OnB.(log)O nnC.2()O nD.(1)O4.已知甲乙两组数据的区间分别为27,23，26,20，则A甲组数据中位数为 23.5B乙组数据中第 70 百分位数为 23C两组数据中乙更稳定D两组数据中甲更集中5.下列说法中，正确的是A已知一系列样本点3,2,1),(iyxii一个经验回归方程axy3，若样本点（m，3）与（2，m）的残差相等，则 3m+n=11B已知随机变量2,0N，若2P=0.2，则22P=0.4C将 5 名同学分到三个组开展活动，每个组至少 1 名，则不同分配方法数是 240D每人参加一次游戏，每轮游戏有三个题目，答对题数多于答错题数可得 4 分，否则得 2 分，则某人参加游戏得分的期望为 36.已知函数)0,0(),sin(2)(xxf的最小正周期为，且为偶函数，则)(xf的一个递减区间为A4,4B43,4C0,2D2,07.已知定义在区间(-m，m)(m0)上，值域为 R 的函数 f(x)满足：当 0 xm 时，f(x)0；对于定义域内任意的实数 a、b 均满足：f(a+b)=.则A.10 fB.21xfxfC.函数 f(x)在区间m,0上单调递减D.函数 f(x)在区间mm,上单调递增8.如图，ABCD 是边长为 2 的正方形纸片，沿某动直线 l 为折痕将正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后点 B 都落在边 AD 上，记为 B；折痕 l 与 AB 交于点 E，点 M 满足关系式EMEBEB .以点 B 为坐标原点建立坐标系，若曲线 T 是由点 M 的轨迹及其关于边 AB 对称的曲线组成的，等腰梯形1111DCBA的111111,DCCBBA分别与曲线 T 切于点 P、Q、R.则梯形1111DCBA的面积最小值为A.6B.22C.102D.1132024.04ADBEBCC()()1()()f af bf a f bziiz3443555#QQABZQ6UgggAQIAAARgCUQWSCAEQkBGAAAoOBBAIoAAACAFABAA=#S 数学试题 第 2 页 共 3 页DBCAP二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。9.如图，P 是矩形 ABCD 所在平面外一点，AB=2，BC=3，PA=PB=5，二面角 PABC 为 600，F 为 PA 中点则下列说法正确的是A.BF=B.PMO 是二面角 PABC 的平面角C.tanPCO=D.PC 与 BD 所成的角的余弦值10.已知函数()1f xx，设1()()g xf x，1()()nngxf gx(1,)nnN.且关于x的函数21()()niiyxg x nN.则A.nxxgn或 1 nxxgnB.22242nxnnyC.当2n时，存在关于x的函数 y 在区间 0(,1 上的最小值为 6，n=0D.当2n时，存在关于x的函数 y 在区间(,1 上的最小值为 6，n=411.设椭圆 E：的离心率等于，抛物线的焦点 F 是椭圆E 的一个顶点，A、B 分别是椭圆的左右顶点.动点 P、Q 为椭圆上异于 A、B 两点，设直线AP、BQ 的斜率分别为 k1，k2，且 k2=2k1.则A.AP 的斜率可能不存在，且不为 0B.P 点纵坐标为C.直线 AP 的斜率D.直线 PQ 过定点三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。12.在ABC中，若321AB BCBC CACA AB ，则CABtantantan=.13.已知“0,0ba”与“1ba”互为充要条件，则“baa41”和“22811baba”的最小值之和为.14.已知随机事件 A，B 满足，则ABP|.四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15（13 分）已知函数axxxxxf)4(coscossin3sin2)(22.（1）若Rx，求函数)(xf的单调递减区间；（2）当时函数 xf的最小值为 2，求实数a的值.16.（15 分）在三棱柱 ABCA1B1C1中，A1B1是 A1C 和 B1C1的公垂线段，A1B 与平面 ABC 成 60角，AB=22，A1A=AC=23.（1）求证：AB平面 A1BC；（2）求 A1到平面 ABC 的距离；（3）求二面角 A1ACB 的大小.4133151326)0(12222babyax23yx42ACBA1B1C12442kk8121k0,32 43|,41,31BAPBPAP2,0 x#QQABZQ6UgggAQIAAARgCUQWSCAEQkBGAAAoOBBAIoAAACAFABAA=#S 数学试题 第 3 页 共 3 页17.（15 分）已知函数)(ln2Raaaxxxf，.（1）当 m=1 时，求函数 xgy 的最小值；（2）是否存在3210 xxx，且321,xxx依次成等比数列，使得 321,xgxgxg依次成等比数列？请证明；（3）当21a时，函数 xf有两个零点21,xx，是否存在的关系？若存在，请证明；若不存在，请写出正确的关系.18.（17 分）已知点 A（1，0），B（0，1），C（1，1）和动点 P（x，y）满足2,yPA PB PA PC 是的等差中项.（1）求 P 点的轨迹方程；（2）设 P 点的轨迹为曲线 C1按向量)161,43(a平移后得到曲线 C2，曲线 C2上不同的两点 M，N 的连线交 y 轴于点 Q（0，b），如果MON（O 为坐标原点）为锐角，求实数 b 的取值范围;（3）在（2）的条件下，如果 b=2 时，曲线 C2在点 M 和 N 处的切线的交点为 R，求证：R 在一条定直线上.19.（17 分）点列，就是将点的坐标按照一定关系进行排列.过曲线3:xyC上的点),(111yxP作曲线 C 的切线 l1与曲线 C 交于),(222yxP，过点P2作曲线 C 的切线 l2与曲线 C 交于点),(333yxP，依此类推，可得到点列：),(111yxP，2223331(,),(,),(,),1nnnP xyP xyP xyx 已知（1）求数列nx、ny的通项公式；（2）记点nP到直线)(211nnnPPl即直线的距离为nd，（I）求证：9411121nddd；（II）求证：)211(9811121nnddd，若 n 值（n 0，*Nn）与（I）相同，则求此时)211(9811121nnddd的最小值.已知 x1=1.)(lnRmxmxxgaaxx2121#QQABZQ6UgggAQIAAARgCUQWSCAEQkBGAAAoOBBAIoAAACAFABAA=#S 数学试题 第 1 页 共 4 页2024 届高三年级 苏州市部分高中 4 月适应性检测（高考指导卷）数学注意事项注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将答题卡交回。一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知1,2,3,1ABAB，则满足条件的集合A的个数为A2B3C4D72.记i是虚数单位，复数 z 满足，则=A.2B.C.D.13.对于2()(221)T nnn单位时间（表示代码中一条语句执行一次的耗时）的算法A 来说，由于分析的是代码执行总时间()T n和代码执行次数 n 之间的关系，可不考虑单位时间此外，若用()f n来抽象表示一个算法的执行总次数，前面提到的算法便可以抽象为2(1)22nf nn，因此我们可以记作()()T nO f n，其中 O 表示代码的执行总时间()T n和其执行总次数()f n成正比这种表示称为大 O 记法，其表示算法的时间复杂度在大 O 记法中，非最高次项及各项之前的系数及对数的底数可以忽略，即上面所提的算法 A 的时间复杂度可以表示为2()O n对于如下流程所代表的算法，其时间复杂度可以表示为A.(log)OnB.(log)O nnC.2()O nD.(1)O4.已知甲乙两组数据的区间分别为27,23，26,20，则A甲组数据中位数为 23.5B乙组数据中第 70 百分位数为 23C两组数据中乙更稳定D两组数据中甲更集中5.下列说法中，正确的是A已知一系列样本点3,2,1),(iyxii一个经验回归方程axy3，若样本点（m，3）与（2，m）的残差相等，则 3m+n=11B已知随机变量2,0N，若2P=0.2，则22P=0.4C将 5 名同学分到三个组开展活动，每个组至少 1 名，则不同分配方法数是 240D每人参加一次游戏，每轮游戏有三个题目，答对题数多于答错题数可得 4 分，否则得 2 分，则某人参加游戏得分的期望为 32024.04ziiz3443555#QQABZQ6UgggAQIAAARgCUQWSCAEQkBGAAAoOBBAIoAAACAFABAA=#S 数学试题 第 2 页 共 4 页DBCAP6.已知函数)0,0(),sin(2)(xxf的最小正周期为，且为偶函数，则)(xf的一个递减区间为A4,4B43,4C0,2D2,07.已知定义在区间(-m，m)(m0)上，值域为 R 的函数 f(x)满足：当 0 xm 时，f(x)0；对于定义域内任意的实数 a、b 均满足：f(a+b)=.则A.10 fB.21xfxfC.函数 f(x)在区间m,0上单调递减D.函数 f(x)在区间mm,上单调递增8.如图，ABCD 是边长为 2 的正方形纸片，沿某动直线 l 为折痕将正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后点 B 都落在边 AD 上，记为 B；折痕 l 与 AB 交于点 E，点 M 满足关系式EMEBEB .以点 B 为坐标原点建立坐标系，若曲线 T 是由点 M的轨迹及其关于边 AB 对称的曲线组成的，等腰梯形1111DCBA的111111,DCCBBA分别与曲线T切于点P、Q、R.则梯形1111DCBA的面积最小值为A.6B.22C.102D.113二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。9.如图，P 是矩形 ABCD 所在平面外一点，AB=2，BC=3，PA=PB=5，二面角 PABC 为 600，F 为 PA 中点则下列说法正确的是A.BF=B.PMO 是二面角 PABC 的平面角C.tanPCO=D.PC 与 BD 所成的角的余弦值10.已知函数()1f xx，设1()()g xf x，1()()nngxf gx(1,)nnN.且关于x的函数21()()niiyxg x nN.则A.nxxgn或 1 nxxgnB.22242nxnnyC.当2n时，存在关于x的函数 y 在区间(,1 上的最小值为 6，n=0D.当2n时，存在关于x的函数 y 在区间(,1 上的最小值为 6，n=4ADBEBCC()()1()()f af bf a f b4133151326#QQABZQ6UgggAQIAAARgCUQWSCAEQkBGAAAoOBBAIoAAACAFABAA=#S 数学试题 第 3 页 共 4 页11.设椭圆 E：的离心率等于，抛物线的焦点 F 是椭圆 E 的一个顶点，A、B 分别是椭圆的左右顶点.动点 P、Q 为椭圆上异于 A、B 两点，设直线 AP、BQ 的斜率分别为 k1，k2，且 k2=2k1.则A.AP 的斜率可能不存在，且不为 0B.P 点纵坐标为C.直线 AP 的斜率D.直线 PQ 过定点三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。12.在ABC中，若321AB BCBC CACA AB ，则CABtantantan=.13.已知“0,0ba”与“1ba”互为充要条件，则“baa41”和“22811baba”的最小值之和为.14.已知随机事件 A，B 满足，则ABP|.四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15（13 分）已知函数axxxxxf)4(coscossin3sin2)(22.（1）若Rx，求函数)(xf的单调递减区间；（2）当时函数 xf的最小值为 2，求实数a的值.16.（15 分）在三棱柱 ABCA1B1C1中，A1B1是 A1C 和 B1C1的公垂线段，A1B 与平面 ABC 成60角，AB=22，A1A=AC=23.（1）求证：AB平面 A1BC；（2）求 A1到平面 ABC 的距离；（3）求二面角 A1ACB 的大小.)0(12222babyaxyx4223ACBA1B1C12442kk8121k0,32 43|,41,31BAPBPAP2,0 x#QQABZQ6UgggAQIAAARgCUQWSCAEQkBGAAAoOBBAIoAAACAFABAA=#S 数学试题 第 4 页 共 4 页17.（15 分）已知函数)(ln2Raaaxxxf，.（1）当 m=1 时，求函数 xgy 的最小值；（2）是否存在3210 xxx，且321,xxx依次成等比数列，使得 321,xgxgxg依次成等比数列？请证明；（3）当21a时，函数 xf有两个零点21,xx，是否存在的关系？若存在，请证明；若不存在，请写出正确的关系.18.（17 分）已知点 A（1，0），B（0，1），C（1，1）和动点 P（x，y）满足2,yPA PB PA PC 是的等差中项.（1）求 P 点的轨迹方程；（2）设 P 点的轨迹为曲线 C1按向量)161,43(a平移后得到曲线 C2，曲线 C2上不同的两点 M，N 的连线交 y 轴于点 Q（0，b），如果MON（O 为坐标原点）为锐角，求实数 b 的取值范围;（3）在（2）的条件下，如果 b=2 时，曲线 C2在点 M 和 N 处的切线的交点为 R，求证：R 在一条定直线上.19.（17 分）点列，就是将点的坐标按照一定关系进行排列.过曲线3:xyC上的点),(111yxP作曲线 C 的切线 l1与曲线 C 交于),(222yxP，过点 P2作曲线 C 的切线 l2与曲线 C 交于点),(333yxP，依此类推，可得到点列：),(111yxP，2223331(,),(,),(,),1nnnP xyP xyP xyx 已知（1）求数列nx、ny的通项公式；（2）记点nP到直线)(211nnnPPl即直线的距离为nd，（I）求证：9411121nddd；（II）求证：)211(9811121nnddd，若 n 值（n 0，*Nn）与（I）相同，则求此时)211(9811121nnddd的最小值.已知 x1=1.)(lnRmxmxxgaaxx2121#QQABZQ6UgggAQIAAARgCUQWSCAEQkBGAAAoOBBAIoAAACAFABAA=#第 1 页 共 5 页苏州市 2024 届高三年级高考指导卷（部分高中 4 月联考）数学参考答案一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。注意：选择题答案设置不规律，目的是全面考察学生数学能力。注意：选择题答案设置不规律，目的是全面考察学生数学能力。三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。12.9213.2314.167四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。15.（13 分）解：（1）2 分axx232cos2sinax23)42sin(25 分2324222kxk7 分8783kxk减区间为：9 分（2）43424,20,20 xxx1)42sin(22x11 分)(,22)42sin(xfx时当有最小值为a231由已知23221aa13 分题号12345678答案CDADDDDB题号91011答案BDBDCDaxxxxf2)22cos(12sin232cos1)(Zkkk87,83#QQABZQ6UgggAQIAAARgCUQWSCAEQkBGAAAoOBBAIoAAACAFABAA=#第 2 页 共 5 页16.（15 分）解：（1）三棱柱 ABCA1B1C1中 A1B1是 A1C 与 B1C1的公垂线段，ABBC，ABA1C又 A1C A1B=A1AB平面 A1BC4 分（2）AB平面 ABC，AB平面 A1BC过平面 ABC平面 A1BC 作 A1OBC 垂足为 O，则 A1O平面 ABC6 分A1BC 为 A1B 与平面 ABC 所成角，即A1BC=60在 RtA1AB 中，A1B=2812即 A1到平面 ABC 的距离为3.10 分（3）由 O 引垂线 OHAC 垂足为 H，连接 A1H 由三垂线定理可证 ACA1HA1HO 为二面角 A1ACB 平面角12 分在ABC 中解得 OH=36，在OA1H 中解得223tan11OHOAOHA二面角 A1ACB 大小为223arctan15 分注意：若有其他正确解答，可按步骤给分。注意：若有其他正确解答，可按步骤给分。17.（15 分）解：（1）当 m=1 时，故 x=1 是极小值点，.3 分（2）0211lnln2lnln2312231223311xxxmxxxxmxxmxxmx，6 分若 m 等于 0，存在；若 m 不等于 0，则代入得：与题意3210 xxx矛盾，故此时不存在.9 分3,2,211OABCOCABC中点为 21,1lnxxxgxxxg 11min gxg0211231xxxm31231222312312312220211xxxxxxxxxxxxxxx3122xxx0231 xx#QQABZQ6UgggAQIAAARgCUQWSCAEQkBGAAAoOBBAIoAAACAFABAA=#第 3 页 共 5 页（3）()f x有两个零点，不妨设1201xx，则221122ln,lnxaxaxaxa设函数2(1)()ln1xF xxx，则(1)0F，22214(1)()0(1)(1)xF xxxx x，所以()F x在R上单调递增，故当(0,1)x时，()0F x，即2(1)ln1xxx，当(1,)x时，()0F x，即2(1)ln1xxx，所以1211211xaxax，2222211xaxax，所以221112221210121axaxxaxaxx，整理可得：222121220a xxaaxx即2122a xxaa，所以1221xxaa15 分18.（17 分）解：（1）由题意可得),1,1(),1,(),1(yxPCyxPByxPA则12)1()()1()1()1()()()1(2222yxyxyyxxPCPAyxyxyyxxPBPA又PCPAPBPAy,2是的等差中项222222)12()(yyxyxyxyx整理得点),(yxP的轨迹方程为23122yxx5 分（2）由（1）知2123:21xxyC又),161,43(a平移公式为1614316143yyxxyyxx即，代入曲线 C1的方程得到曲线 C2的方程为：21)43(23)43(1612xxy即2xy 7 分曲线 C2的方程为2xy.如图由题意可设 M，N 所在的直线方程为bkxy，由022bkxxybkxyxy得消去令#QQABZQ6UgggAQIAAARgCUQWSCAEQkBGAAAoOBBAIoAAACAFABAA=#第 4 页 共 5 页bxxkxxxxyxNyxM2121212211),)(,(),(则9 分点 M，N 在抛物线上222211xyxy),(),(),(),(2222221111xxyxONxxyxOM又MON为锐角0|,0|cos222121ONOMxxxxONOMONOMMON即10,0)(,0221222121bbbbbxxxxxx或得又12 分（3）当 b=2 时，由（2）可得221212xybxxkxx对求导可得xy2抛物线 C2在点),(),(222211xxNxxM 处的切线的斜率分别为12xkM，,22xkN在点 M、N 处的切线方程分别为)(2:),(2:22221121xxxxylxxxxylNM由),()(2)(22122221121xxxxxxyxxxxy解得交点 R 的坐标),(yx满足Rykxxxyxxx,2222121即点在定直线2y上17 分19.（17 分）解：（1）曲线 C 上点),(nnnyxP处的切线nl的斜率为23nxxnxykn，故得到的方程为)(32nnnxxxyy2 分联立方程3233()nnnnnyxyyxxxyx消去 y 得：023323nnxxxx化简得：0)2()(2nnxxxx所以：nnxxxx2或5 分由nxx 得 到 点 Pn的 坐 标),(nnyx由nxx2就 得 到 点1nP的 坐 标)2(,2(3nnxx所以：nnxx21故数列nx为首项为 1，公比为2 的等比数列所以：1)2(nnx，1)8(nny.7 分#QQABZQ6UgggAQIAAARgCUQWSCAEQkBGAAAoOBBAIoAAACAFABAA=#第 5 页 共 5 页（2）（I）由（1）知：),)8(,)2(),)8(,)2(1121nnnnnnPP所以直线nl的方程为：)2()2()2()8()8()8(11nnnnnnxy化简得：0)8(243nnyx10 分321122112.923827149827)1()43(|)8(2)8()2(43|nnnnnnnnnnnd所以3)21(911nnd)211(9811121nnddd814(1)92915 分（II）3122121212191111nnddd=nn2119821121121912与（I）中相同，当 n=1 时，此时最小值为94.17 分#QQABZQ6UgggAQIAAARgCUQWSCAEQkBGAAAoOBBAIoAAACAFABAA=#