2024届吉林省长春市高三下学期第三次质量监测数学试卷含答案.pdf
数学答案 第 1 页（共 5 页）长春市 2024 届高三质量监测（三）数 学 一、单项选择题：一、单项选择题：1 2 3 4 5 6 7 8 C A B D D D A C 二、多项选择题：二、多项选择题：9 10 11 AD ABC ACD 三、填空题三、填空题:（本大题共（本大题共 4 小小 题题,每小题每小题 5 分分,共共 20 分分,把答案填在答卷纸的相应位置上）把答案填在答卷纸的相应位置上）12.2425 13.2 14.40；21312n 四、解答题：四、解答题：15.（本小题满分 13 分）【试题解析】（1）因为sin3 cosaBbA，由正弦定理可得sinsin3sincosABBA 3 分 sin0B，所以sin3cosAA，故tan3A，23A6 分（2）由题意可知ABDACDABCSSS，即1112sinsinsin232323cbbc，化简可得bcbc，9 分 在ABC中，由余弦定理得22222(21cos222bcabcbcaAbcbc）从而2()220122bcbcbc，解得5bc 或4bc（舍）12 分 所以11sin5 sin120225 34ABCSbcA 13 分 16.（本小题满分 15 分）【试题解析】（1）当0a 时，()exxf x，则1()exxfx，(1)0f，1(1)ef，所以切线方程为1ey 3 分（2）当1a 时，()eexxf xx，21e()(1)eeexxxxxfxx4 分 令2()1exg xx，2()12e0 xg x 故()g x在R上单调递减，而(0)0g，因此0是()g x在R上的唯一零点 即：0是()fx在R上的唯一零点6 分 公众号：高中试卷君数学答案 第 2 页（共 5 页）当x变化时，()fx，()f x的变化情况如下表：x(,0)0(0,)()fx 0 ()f x 极大值 ()f x的单调递增区间为：(0,)；递减区间为：(,0)8 分()f x的极大值为(0)1f，无极小值.9 分（3）由题意知1xxxxeaee，即1xxxxeeae，即21xxaee，设21()xxm xee，则 2222221 2()xxxxexexm xee，11 分 令()0m x，解得21x，当1(,),()0,()2xm xm x 单调递增，当1(,),()0,()2xm xm x单调递减，所以max1111()()222m xmeee，14 分 所以12ae.15 分 17.（本小题满分 15 分）【试题解析】（1）双曲线223xy可化为 2213xy，1 分 112112 32|(2)41222333ABFSFFAB，即3.4 分 双曲线C的标准方程为 2213yx.5 分（2）设直线l的方程为2xty（0t），11(,)A x y，22(,)B xy，联立双曲线C与直线l：22332xyxty消去x可得：22(31)1290tyty，因此1221231tyyt，112931y yt.7 分 进而可得122431xxt，即AB中点M为2226(,)31 31ttt，9 分 公众号：高中试卷君数学答案 第 3 页（共 5 页）线段AB的中垂线为2262()3131tyt xtt，10 分 则28(,0)31Dt，即2222866|2|3131tDFtt.12 分 22222121222212966|1()41()4|313131ttABtyyy ytttt，14 分 即2|DFAB为定值 1.15 分 18.（本小题满分 17 分）【试题解析】（1）方法一：ABBA2111,1122 222AA ABAA AD2 分 1121AAADAD 11111(1)()(1)22D PD AAPABADAA4 分 1111(1)()(1)()22D P ACABADAAABAD 221111(1)()(1)(1)22ABADAB AAAD AA 118(1)8()4(1)022,1ACPD即.1ACPD7 分（1）方法二：以底面ABCD的中心O为原点，以OM方向为y轴，过O点平行于AD向前方向为x轴，以过点O垂直平面ABCD向上方向为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设正四棱台的高度为h，则有 2,2,0A，2,2,0B，2,2,0C，2,2,0D，122,22Ah，122,22Ch，122,22Dh，0,2,0M 2 2,2 2,0AC 1223 23 2(1)0,2 2,02 2,0,0,0,2 2,22222APh 公众号：高中试卷君数学答案 第 4 页（共 5 页）13 22,22D Ah 113 23 23 23 2,2222D PD AAPhh 5 分 故10AC D P，所以1D PAC7 分（2）设平面ABCD的法向量为0,0,1n 设平面1AMC的法向量为,x y zm，2,2 2,0AM ，13 2 3 2,22ACh 则有100AMACmm，即22 203 23 2022xyxyhz，令2 2xh，则2 2,2,3hhm9 分 又题意可得2233cos,7829hhm n，可得2h11 分 因为23，经过计算可得40,0,3P，122,222D，142,2,3D P13 分 将2h代入，可得平面1AMC的法向量4 2,2 2,3m15 分 设直线DP与平面1AMC所成角的为 84424 13sincos,91162232899DPm17 分 19.（本小题满分 17 分）【试题解析】（1）剔除第 10 天数据后的 9112.2 100.42.499iiyy新，1 2959t新 91118.73 10 0.4114.73iiit y新；9221385 10285iit新 所以2114.73 9 5 2.4673285 9 56000b 故673110352.4560006000a ，所以0.111.84yx.据此可估计第 10 天的正常销量约为 2.94 千张.4 分 公众号：高中试卷君数学答案 第 5 页（共 5 页）（2）由题意可知1223355nnnPPPn，其中125P，22231955525P 6 分 则112335nnnnPPPPn，8 分 所以1nnPP是以首项为21192925525PP，公比为35的等比数列，故21932255nnnPPn成立，则有 012112219333.25555nnnnnPPPPPP 213319939553254054015nn 10 分 故1193940540nnPP，即1935 5 33=4 058 8 85nnnP 12 分 （3）当 n 为偶数时，53353 3088588 5nnnP单调递减，最大值为21925P；当 n 为奇数时，53353 3088588 5nnnP单调递增，最小值为125P；综上：数列 nP的最大值为1925，最小值为25.14 分 证明：对任意0总存在正整数0358log()13N，（其中 x表示取整函数）当358log()13n时，358log()35333 33 3|()|()|()8858 58 5nnnP.17 分 公众号：高中试卷君
