2024届福建省部分地市高三下学期4月诊断检测（三模）数学含答案.pdf

#QQABKQQUogigAoBAABhCQQHwCAOQkBEAAAoOxFAIoAIASRNABAA=#QQABKQQUogigAoBAABhCQQHwCAOQkBEAAAoOxFAIoAIASRNABAA=#数学参考答案及评分标准第 1 页 共 12 页绝密启用前试卷类型：A2 20 02 23 3-2 20 02 24 4 学学年年福福州州市市高高三三年年级级第第三三质质量量检检测测评评分分参参考考数数学学2024.4一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的题号12345678答案CDABBCAD1已知复数z满足(1)i1 iz（i是虚数单位），则z A1B1CiDi解析：ii1 iz ，i1z，即iz ，故选 C.2已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，5cos5，(,2)P m为其终边上一点，则mA4B4C1D1解析：5cos5，2tan2m，1m，故选 D.3函数223()1xf xx的图象大致为解析：结合该函数为偶函数，及 03f可判断应选 A.4在菱形ABCD中，若|ABADAB ，且AD在AB 上的投影向量为AB，则A12B12C22D22解析：由已知ABADAB 知该菱形中ABADBD，由D向AB作垂线，垂足即为AB中点，12，故选 B.5已知5log 2a，2logba，1()2bc，则数学参考答案及评分标准第 2 页 共 12 页A.cbaB.cabC.abcD.bca解析：55log 2log 51a，2log0ba，1()12bc，cab，故选 B.6棱长为1的正方体1111ABCDABC D中，点P为1BD上的动点，O为底面ABCD的中心，则OP的最小值为A.33B.63C.66D.32解析：在正方体中，易知ACBD，1ACDD，且1BDDDD，AC 平面1BDD，易知当OP 平面1BDD，且1OPBD时，OP的长度最小，在1RTBDD中,不难求得66OP，故选 C.7若直线yaxb与曲线exy 相切，则ab的取值范围为A(,eB2,eCe,)D2,)解析：设切点为00(,e)xx，则0e,xa 切线方程为000e()exxyxx，则00(1)exbx，00(2)exabx，设00()(2)exf xx，则00()(1)exfxx，易知函数()(1)ef xf，又(2)02f，故可判断选 A.（由图象知当且仅当切线与曲线相切于1,e时，11eeabab 最大，亦可知选 A.）8已知函数()2sin(3sincos)f xxxx(0)在(0,)3上单调递增，且对任意的实数a，()f x在(,)a a 上不单调，则的取值范围为A5(1,2B5(1,4C1 5(,2 2D1 5(,2 4解析：()2sin(3sincos)2sin(2)33f xxxxx，()f x在(0,)3上单调递增，2332，54，对任意的实数a，()f x在区间(,)a a 上不单调，()f x的周期2T，222T，12，1524，故选 D二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分数学参考答案及评分标准第 3 页 共 12 页题号91011答案ABDACDBC9双曲线2222:13xyCaa(0)a 的左、右焦点分别为1F，2F，且C的两条渐近线的夹角为，若12|2F Fe（e为C的离心率），则A1a B3C2e DC的一条渐近线的斜率为3解析：易知该双曲线实半轴为a，虚半轴为3a，半焦距为2a，离心率22aea，焦距44a，即1a，选项 A 正确，选项 C 错误；易知C的两条渐近线的斜率为33aka ，这两条渐近线的倾斜角分别为3和23，C的两条渐近线的夹角为3，选项 B，D 正确；综上所述，应选 ABD.10.定义在R上的函数()f x的值域为(,0)，且(2)()()0fxf xy f xy，则A(0)1fB2(4)(1)0ffC()()1f x fxD()()2f xfx解析：令0 xy，则 2000ff，函数()f x的值域为(,0)，(0)1f，选项 A 正确；令1x，0y，则2(2)(1)ff，令2x，0y，则24(4)(2)(1)fff ，选项 B 错误；令0 x，则(0)()()0ff y fy，()()(0)1f y fyf，即()()1f x fx，选项 C 正确；()0f x，()0fx，()()2()()2f xfxf x fx()()2f xfx，故选项 D 正确；综上所述，应选 ACD.11.投掷一枚质地均匀的硬币三次，设随机变量1,1,(1,2,3)nnnXn第 次投出正面,第 次投出反面,记A表示事件“120XX”，B表示事件“21X”，C表示事件“1231XXX”，则数学参考答案及评分标准第 4 页 共 12 页AB和C互为对立事件B事件A和C不互斥C事件A和B相互独立D事件B和C相互独立解析：考查选项 A，事件B和C均会出现“反，正，反”的情况，故选项 A 错误；考查选项 B，事件A和C均会出现“反，正，反”的情况，故选项 B 正确；考查选项 C，易知12211()()22P AC，1()2P B，事件AB为前两次投出的硬币结果为“反，正”，则1()4P AB，1()()()4P ABP A P B，故选项 C 正确；考查选项 D，由选项 AC 可知311()()28P BC，1()2P B，在事件C中三次投出的硬币有一次正面，两次反面，则23313()()28P CC，()()()P BCP B P C，故选项 D 错误；综上所述，应选 BC三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分12.160；13.2；14.22mm；1或212.62()xx的展开式中常数项为解析：易知该二项展开式通项为662()rrrC xx，当3r 时，得到常数项为 160，故应填16013某圆锥的体积为33，其侧面展开图为半圆，则该圆锥的母线长为解析：设该圆锥的母线长为l，底面圆半径为r，根据侧面展开图为半圆得2rl，即2lr，又根据圆锥体积得2221333rlr，解得1r，2l，故应填214.设nT为数列na的前n项积，若nnTam，其中常数0m 则2a（结果用m表示）；若数列1nT为等差数列，则m解析：易知112mTa，12221)(2ma aaam，解得222amm，故应填22mm；（方法一）211111111111111nnnnnnnnTTmamamammaammma(2)n，数学参考答案及评分标准第 5 页 共 12 页若数列1nT为等差数列，则2111nnmmaa为常数d，若0d，则11na(2)n恒成立，即1na(1)n恒成立，2m；若0d，则1211nndmdmaa，2,11dmdm解得1,1,dm综上所述，若数列1nT为等差数列，则1m，或2m，故应填1或2（方法二）1nT为等差数列，111nndTT(2)n，易知112Tm，且12(1)nndTm，当2n 时，nnTam，1nnnTTmT，111nnmTT，由12(1)nndTm，可得22(1)1(2)m ndndm，2(1)1(2)mdnmdm 对于任意n恒成立，1,21(2)0,mmdm 或0,21(2)0,dmdm 解得1,1,md或0,2,dm综上所述，若数列1nT为等差数列，则1m，或2m，故应填1或2四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（13 分）ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且sinsinaCcB，23C.（1）求B的大小；（2）若ABC的面积为3 34，求BC边上中线的长.解：（1）sinsinaCcB，由正弦定理，得sinsinsinsinACCB，2 分0C，sin0C，sinsinAB，3 分0A，0B，AB，5 分ABC，且23C，6B.6 分数学参考答案及评分标准第 6 页 共 12 页（2）依题意3 31sin42abC，7 分AB，ab，8 分223 3123sin4234aa，解得3a，10 分设边BC的中点为D，3,32CDAC，在ACD中，由余弦定理知2222cosADACCDAC CDC33221323cos4234，12 分BC边上中线的长为212.13 分16（15 分）如图，在三棱柱111ABCA BC中，平面11ACC A 平面ABC，12ABACBCAA，16AB.（1）设D为AC中点，证明：AC 平面1ADB；（2）求平面11A AB与平面11ACC A夹角的余弦值（第 16 题图）解：（1）D为AC中点，且2ABACBC，在ABC中，有BDAC，且3BD，1 分平面11ACC A 平面ABC，且平面11ACC A 平面ABCAC，BD平面11ACC A，2 分1AD平面11ACC A，1BDAD，3 分16AB，3BD，13AD，4 分数学参考答案及评分标准第 7 页 共 12 页1AD，12AA，13AD，由勾股定理，有1ACAD，6 分ACBD，1A DBDD，AC 平面1ADB，7 分（2）如图所示，以D为原点，DA，DB，1DA所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，可得(1,0,0)A，1(0,0,3)A，(0,3,0)B，9 分1(1,0,3)AA ，(1,3,0)AB ，10 分设平面11A AB的法向量为(,)x y zn，则由10,0,AABA nn得30,30,xzxy 令3x，则1y，1z，(3,1,1)n，12 分由（1）可知，BD平面11ACC A，平面11ACC A的一个法向量为(0,3,0)BD，13 分记平面11A AB与平面11ACC A的夹角为，5cos|5|353BDBDn|n|，平面11A AB与平面11ACC A夹角的余弦值为55 15 分数学参考答案及评分标准第 8 页 共 12 页17（15 分）从一副扑克牌中挑出4张 Q 和4张K，将其中2张Q和2张K装在一个不透明的袋中，剩余的2张Q和2张K放在外面现从袋中随机抽出一张扑克牌，若抽出Q，则把它放回袋中；若抽出K，则该扑克牌不再放回，并将袋外的一张Q放入袋中.如此操作若干次，直到将袋中的K全部置换为 Q.（1）在操作2次后，袋中K的张数记为随机变量X，求X的分布列及数学期望；（2）记事件“在操作1n()nN次后，恰好将袋中的K全部置换为Q”为nA，记()nnPP A.（i）在第1次取到Q的条件下，求总共4次操作恰好完成置换的概率；（ii）试探究1nP与nP的递推关系，并说明理由.解：（1）由题意X的取值可能为0，1，2，1 分当0X 时，即第一次取出K，第二次也取出K，211(0)22318P X，2 分当1X 时，即第一次取出Q，第二次取出K，或第一次取出K，第二次取出Q，2223135(1)2222223 1488P X，3 分当2X 时，即第一次取出Q，第二次也取出Q，221(2)22224P X，4 分X的概率分布列为5 分X的数学期望1519()0128848E X 6 分（2）（i）记事件“第1次取到Q”为B，事件“总共4次操作恰好完成置换”为C，则1()2P B，7 分依题意，若第1次取出Q，则剩余的3次操作，须将袋中K全部置换为Q，若第2次亦取出Q，则第3次和第4次均须取出K，X012P185814数学参考答案及评分标准第 9 页 共 12 页其概率为1221122+22+23+132；8 分若第2次取出K，则第3次须取出Q，第4次须取出K，其概率为1231322+23+13+164；9 分13()53264(|)1()322P CBP C BP B，即在第1次取到Q的条件下，总共4次操作恰好完成置换的概率为53210 分（ii）（方法一）由题可知若事件1nA发生，即操作2n次后，恰好将袋中的K全部置换为Q，当第1次取出Q，则剩余的1n次操作，须将袋中K全部置换为Q，概率为212+22nnPP；12 分当第1次取出K，则从第2次起，直到第1n次均须取出Q，且第2n次取出K，概率为23113()()2+23+13+184nn；14 分1+113()284nnnPP15 分（方法二）由题可知若事件1nA发生，即操作2n次后，恰好将袋中的K全部置换为Q，则一定有第2n次（最后一次）取出K，当第1n次（倒数第二次）取出Q，则须在之前的n次操作中的某一次取出K，概率为333+14nnPP；12 分当第1n次（倒数第二次）取出K，则从第1次起，直到第n次均须取出Q，概率为3221111()()()2+22+23+1822nnn；14 分133+1()42nnnPP15 分18（17 分）在直角坐标系xOy中，已知抛物线2:2(0)C ypx p的焦点为F，过F的直线l与C交于M，N两点，且当l的斜率为1时，|8MN|（1）求C的方程；（2）设l与C的准线交于点P，直线PO与C交于点Q（异于原点）记线段MN的中数学参考答案及评分标准第 10 页 共 12 页点为R，若|3QR，求MNQ面积的取值范围解：(1)不妨设l的方程为2pxmy，11(,)M x y，22(,)N xy，联立l与C的方程，得2220ympyp，1 分122yymp，212y yp，2 分则21212|()22(1)MNxxpm yypp m，3 分由题可知当1m 时，|8MN，2p，4 分C的方程为24yx5 分(2)由(1)知1222Ryyym，将R的纵坐标2m代入1xmy，得2(21,2)Rmm，6 分易知C的准线方程为1x ，又l与C的准线交于点P，2(1,)Pm，7 分则直线OP的方程为2mxy，8 分联立OP与C的方程，得22ymy，2(,2)Q mm，9 分Q，R的纵坐标相等，直线QRx轴，11 分222|21|1QRmmm，12 分MNQQRMQRNSSS121|2QRyy32222(1)12|mmQR，14 分点Q（异于原点），0m，15 分|3QR，13|QR，3222|6 3QR，即(2,6 3MNQS17 分19（17 分）若实数集A，B对aA，bB，均有(1)1baab，则称AB具有 Bernoulli型关系.（1）判断集合|1Mx x，1,2N 是否具有 Bernoulli 型关系，并说明理由；（2）设集合|1Sx x，|Tx xt，若ST具有 Bernoulli 型关系，求非负实数t的取值范围；数学参考答案及评分标准第 11 页 共 12 页（3）当*n N时，证明：1215()81nkkknk解：（1）依题意，MN是否具有 Bernoulli 型关系，等价于判定以下两个不等式对于1x 是否均成立：1(1)1xx，2(1)12xx，2 分1x，1(1)1xx，22(1)1212xxxx MN具有 Bernoulli 型关系4 分（2）（方法一）令()(1)1bf xxbx，xS，(0,)b，则1()(1)1bfxbx，5 分当1b 时，显然有(1)1baab，(1)1bxxb 成立；6 分当1b 时，若10 x，则10(1)(1)1bxx，即()0fx，()f x在区间(1,0)上单调递减，若0 x，则1(10)10b，即(0)0f，若0 x，则10(1)(1)1bxx，即()0fx，()f x在区间(0,)上单调递增，()f x的最小值为(0)0f，()(0)0f xf，(1)(1)0bxbx，(1)1bxxb 成立；8 分当01b时，若10 x，则10(1)(1)1bxx，即()0fx，()f x在区间(1,0)上单调递增，若0 x，则1(10)10b，即(0)0f，若0 x，则10(1)(1)1bxx，即()0fx，()f x在区间(0,)上单调递减，()f x的最大值为(0)0f，()(0)0f xf，(1)(1)0bxbx，即(1)1bxbx，当xS，且01b时，(1)1bxxb 不能恒成立，10 分综上所述，可知若ST具有 Bernoulli 型关系，则|1Tx x，非负实数t的取值范围为1,)11 分（方法二）当1b，或01b时，与方法一相同；8 分数学参考答案及评分标准第 12 页 共 12 页当1b 时，若10ab ，(1)01baab，(1)1baab，若10ab ，则1ab ，又1b，101b，由方法一的结论，可知11(1)11bababab ，即1(1)1baba，9 分10ab，且(1,)a，1(1)(1)bbbaba，即1(1)baba，即(1)1baab；10 分若集合|1Sx x，|Tx xt具有 Bernoulli 型关系，则|1Tx x，非负实数t的取值范围为为1,)11 分（3）11122222211()()(1)1kkkkkkkk，12 分显然211k，且1012k，由（2）中的结论：当01b时，(1)1bxxb，可知122231111(1)1+122kkkkk，13 分当2k 时，33121(1)11124()4(1)(1)4(1)(1)kkkkkkk kkkk k，1221111(1)14(1)(1)kkkkk k，2k，15 分当1n 时，1215()81nkkknk显然成立；16 分当2n 时，1122122311()2()124(1)4(1)11nnnkkkkkkkkkk kkk21111111151524(1)(1)242(1)84(1)8nknnnnkkk kn nn n，综上所述，当*n N时，1215()81nkkknk.17 分