631工程问题题库教师版.docx

工程问题且|腥教学目标1 .娴熟驾驭工程问题的基本数量关系及一般解法；2 .工程问题中常出现单独做，几人合作或轮番做，分析时肯定要学会分段处理；3 .依据题目中的实际状况能够正确进行单位“1”的统一和转换；4 .工程问题中的常见解题方法以及工程问题算术方法在其他类型题目中的 应用.助睡学问精讲工程问题是小学数学应用题教学中的重点，是分数应用题的引申及补充， 是培育学生抽象逻辑思维实力的重要工具。工程问题是把工作总量看成单 位“1”的应用题，它具有抽象性，学生认知起来比较困难。在教学中，让 学生建立正确概念是解决工程应用题的关键。一.工程问题的基本概念定义：工程问题是指用分数来解答有关工作总量、工作时间和工作效率之间相互 关系的问题。工作总量：一般抽象成单位“1”工作效率：单位时间内完成的工作量三个基本公式：工作总量二工作效率X工作时间，工作效率=工作总量子工作时间,工作时间二工作总量+工作效率；法二：假设乙没有请假，则两人合作16天，应完成全部工程的 （_L+J_）x16=3,超过了单位“1”的百-1，则乙请假L2=10（天）.20 303333 30【巩固】（难度等级 ）有一条马路，甲队独修需10天，乙队独修需12 天，丙队独修需15天.现在让3个队合修，但中途甲队撤出去到另外工 地，结果用了 6天才把这条马路修完.当甲队撤出后，乙、丙两队又共 同合修了多少天才完成？【解析】甲、乙、丙三个队合修的工作效率为_L+_L+_L=_L 6天完成的工程量为 10 12 15 4-x6 = li ，而实际6天完成了的工程量为1,即甲队少做了工，甲队完成 422,超过单位“1"甲没有干的天数：，天），即当甲队2222 10撤出后，乙、丙两队又合修了 6-1二5天.【例12】（难度等级 派）（2023年十一学校考题）有一项工程，甲单独做须 要36天完成，乙单独做须要30天完成，丙单独做须要48天完成.现 在由甲、乙、丙三人同时做，在工作期间，丙休息了整数天，而甲和乙 始终工作至完成，最终完成这项工程也用了整数天.那么丙休息了 天.【解析】设甲、乙工作了 X天，丙工作了 y天，则有：+= 化简得、36 30）4844x + 15y = 720.由于15y和720都是15的倍数，所以也是15的倍数，而 %<720+44<17,所以 = 15, y = 4,所以丙休息了 15-4 = 11 天.【例13】（难度等级 ）一件工作，甲独做要12天，乙独做要18天，丙 独做要24天.这件工作由甲先做了若干天，然后由乙接着做，乙做的天 数是甲做的天数的3倍，再由丙接着做，丙做的天数是乙做的天数的2 倍，最终做完了这件工作.问总共用了多少天？【解析】解法一：甲做1天，乙就做3天，丙就做3义2二6 （天），甲做1天，完成 工作量的,，乙就完成工作量的，义3,丙就完成工作量的，x6。共完成 121824，+，x3 + 'x6 =工。jJ_ = 2天说明甲做了 2天，乙做了 6天，丙做了 12 12 182422天，三人共做了 20天，完成这项工作用了 20天.解法二：本题整数化会带来计算上的便利.12, 18, 24这三数有一个易求出的最小公倍数72.可设全部工作量为72.甲每天完成6,乙每天完成4,丙每天完成3.总共用了 72x一叶心一=20天。6xl+4x3+3x6【例14】(2023年人大附中考题)一些工人做一项工程，假如能调来16人，那么10天可以完成；假如只调来4人，就要20天才能完成，那么调走2人后，完成这项工程须要 天.【解析】设1个人做1天的量为1,设原来有X人在做这项工程，得：(x + 16)xl0 = (% + 4)x20 ,解得：x = 8 .假如调走2人，须要(8 + 16)x104-(8-2) = 40 (天).模块二、工程问题一一变速问题【例15】(难度等级派)甲、乙两个工程队修路，最终按工作量安排8400元工资.按两队原安排的工作效率，乙队应获5040元.事实上从第5天起先，甲队的工作效率提高了 1倍，这样甲队最终可比原安排多获得960元.那么两队原安排完成修路任务要多少天？【解析】起先时甲队拿到8400 - 5040 = 3360元，甲、乙的工资比等于甲、乙的工效比,即为3360:5040 = 2:3;甲提高工效后，甲、乙总的工资及工效比为 (3360 + 960):(5040-960) = 18:17.设甲起先时的工效为“2”，那么乙的工效为 “3”，设甲在提高工效后还需x天才能完成任务.有 (2x4 + 4x):(3x4 + 3x) = 18:17 ,化简为 216+54% = 136+68%，解得 =竺.工程总量 7为5x4 + 7x竺=60，所以原安排60+(2 + 3) = 12天完成.7【例16】(难度等级派)(人大附中考题)甲、乙合作一件工程，由于协 作得好，甲的工作效率比单独做时提高乙的工作效率比单独做时提 10高1.甲、乙两人合作6小时，完成全部工作的2,其次天乙又单独做了小时，还留下这件工作%尚未完成，假如这件工作始终由甲一人单独来做，须要多少小时?【解析】乙的工作效率是：（1二_12）+ 6 =，,甲的工作效率是： 5 3036（2 + 6-,X三1） + （1 +2）=,所以，单独由甲做须要：1_ = 33（小时）.5365103333【例17】（难度等级 派）（2023年四中小升初入学测试题、2023年第七届“希望杯”六年级第2试）甲、乙两人合作清理400米环形跑道上的 积雪，两人同时从同一地点背向而行各自进行工作，最初，甲清理的速度比乙明，中途乙曾用1。分钟去换工具，而后工作效率比原来提高了一倍，结果从起先算起,经过1小时，就完成了清理积雪的工作，并且两人清理的跑道一样长,问乙换了工具后又工作了多少分钟?【解析】法一：干脆求首先求出甲的工作效率，甲1个小时完成了 200米的工作量，因此每分钟完成200 + 60 = © （米），起先的时候甲的速度比乙快L也就是说乙起先每 33分钟完成为3+ （1+3 = 2.5 （米），换工具之后，工作效率提高一倍，因此每 33分钟完成25x2 = 5 （米），问题就变成了，乙50分钟扫完了 200米的雪，前若干分钟每分钟完成2.5米，换工具之后的时间每分钟完成了 5米，求换工 具之后的时间。这是一个鸡兔同笼类型的问题，我们假设乙始终都是每 分钟扫2.5米，那么50分钟应当能扫2.5x50 = 125（米），比实际少了 200-125 = 75（米），这是因为换工具后每分钟多扫了 5-2.5 = 2.5 （米），因此换工具后的工作时间为75+2.5 = 30 （分钟）.法二：其实这个问题当中的400米是一个多余条件，我们只须要依据甲乙两人工作量相同和他们之间的工作效率之比就可以求出这个问题的答 案。我们不妨设乙起先每分钟清理的量为3,甲比他快，甲每分钟可以 3清理4, 6。分钟之后，甲一共清理了 4 x 60 = 240份的工作量，乙和他的工作 总量相同，也是240份，但是乙之前的工作效率为3,换工具后的工作效 率为6,和（法一）相同的，利用鸡兔同笼的思想，可以得到乙换工具后 工作了 （240-3x50） + （6 3） = 30分钟。【例18】（难度等级 派）（2023年十三分小升初入学测试题）甲、乙两人 同时加工同样多的零件，甲每小时加工40个，当甲完成任务的，时，乙2完成了任务的，还差40个.这时乙起先提高工作效率，又用了 75小时 2完成了全部加工任务.这时甲还剩下20个零件没完成.求乙提高工效 后每小时加工零件多少个？【解析】当甲完成任务的，时，乙完成了任务的!还差40个，这时乙比甲少完成 2240个；当乙完成全部任务时，甲还剩下20个零件没完成，这时乙比甲多完成20 个；所以在后来的7.5小时内，乙比甲多完成了 40 + 20 = 60个，那么乙比甲每小 时多完成60 + 7.5 = 8个.所以提高工效后乙每小时完成40 + 8 = 48个.【例19】（难度等级派）甲、乙两项工程分别由一、二队来完成.在晴 天，一队完成甲工作要12天，二队完成乙工程要15天；在雨天，一队 的工作效率要下降40%,二队的工作效率要下降10%.结果两队同时完成 工作，问工作时间内下了多少天雨？【解析】在晴天，一队、二队的工作效率分别为，和，一队比二队的工作效率 1215高_L_L=_L；在雨天，一队、二队的工作效率分别为，*（1一4。%）=，和 12 15 6012 v 7 20-Lx（i-io%）=A,二队的工作效率比一队高由_L：_L=5：3知，3 15 '7 5050 20 10060 100个晴天5个雨天，两个队的工作进程相同，此时完成了工程的 1x3 + ±x5 = 1,所以在施工期间，共有6个晴天10个雨天.12202方法二：本题可以用方程的方法，在方程解应用题中会接着出现。【例20】（难度等级 派）一项工程，甲独做需10天，乙独做需15天.假 如两人合做，甲的工作效率就要降低，只能完成原来的土，乙只能完成 原来的2.现在要8天完成这项工程，两人合做天数尽可能少，那么两 10人要合做多少天？【解析】因为甲比乙的工作效率高，又要求合做的天数尽可能的少，所以除了两人合作之外，其余工程应由甲单独完成.现设两人合作X天，则甲单独做 8-%天，于是得到方程（,乂80% + ,乂90%） Xx + X （8-x）=l,解出101510%二5.所以，在满意条件下，两人至少要合作5天.【例21】（难度等级 派）一项挖土万工程，假如甲队单独做，16天可以完成，乙队单独做要20天能完成.现在两队同时施工，工作效率提高20%.当工程完成时，突然遇到了地下水，影响了施工进度，使得每 4天少挖了 47. 25方土，结果共用了 10天完成工程.问整工程要挖多少方土？【解析】甲、乙合作时工作效率为义（1+20%）二三.则工的工程量需16 2020044（天），则遇到地下水后，甲、乙两队又工作了 10-史二理（天）.则 200 272727此时甲、乙合作的工作效率为3 +型二九L.遇到地下水前后工作效率的 427 880差为：21-九1二幽，则总工作量为47. 25+型二1100方土. 200 880 44004400【例22】（难度等级 派）（2023年第七届“希望杯”六年级第1试）甲、乙两个工程队分别负责两项工程.晴天，甲完成工程须要10天，乙完成工程须要16天；雨天，甲和乙的工作效率分别是晴天时的30%和80%.实际状况是两队同时开工、同时完工.那么在施工期间，下雨的天数是 天.【解析】在晴天，甲、乙两队的工作效率分别为，和，甲队比乙队的工作效率 1016吉113PrI二；10 16 80在雨天，甲队、乙队的工作效率分别为工义30% =3和1x8。 = ',乙队 101001620的工作效率比甲队高，-二=，.由于两队同时开工、同时完工，完成工 20 100 50程所用的时间相同，所以整个施工期间，晴天及雨天的天数比为 *备=8：15.假如有8个晴天，则甲共完成工程的出+备而实际的工程量 为1,所以在施工期间,共有8+1.25 = 6.4个晴天，15+1.25 = 12个雨天.模块三、工程问题方法及技巧（一）整体分析法【例23】（难度等级派）甲、乙两队合作挖一条水渠要30天完成，若甲队 先挖4天后，再由乙队单独挖16天，共挖了这条水渠的M假如这条水渠 由甲、乙两队单独挖，各须要多少天？【解析】法一：甲、乙合作完成工程的2须要：30x2 = 12（天）.甲队先做4天，比 55合作少了 12-4 = 8 （天）；乙队后做16天，比合作多了 16-12 = 4（天），所以甲 队做8天相当于乙队做4天，甲、乙两队工作效率的比是4:8 = 1:2.甲队单 独工作须要：30 + 30x2 = 90 （天）；乙队单独工作须要：30 + 30+2 = 45 （天）。法二：我们知道，甲乙合作，每天可以完成工程的,，而题目中给定的 30“甲队先挖4天，再由乙队单独挖16天”，相当于甲乙两队先合作4天，然 后再由乙队单独挖12天，于是两队合作4天，可以完成工程的_Lx4 = 2,3015也就是说乙队12天挖了 “2 =百，于是乙队的工作效率为巴+ 12 = ,那么 5 15 151545甲队的工作效率就是即甲队单独做须要9。天，乙队单独做须 30 45 90要45天。工程问题里面也常常用到比例，是因为工程问题的基本数量关 系是乘法关系.其实这一点是及工程习惯无关的.【例24】（难度等级派）（2023年第六届小学“希望杯”全国数学邀请赛六年级其次试，第8题）甲、乙、丙三人生产一批玩具，甲生产的个数是乙、丙二人生产个数之和的L乙生产的个数是甲、丙两人生产个数之 2和的1,丙生产了 50个。这批玩具共有个.3【解析】假如干脆探讨甲、乙、丙三者之间的关系，可能会略显困难，我们须要引入一个中间量：甲乙丙三人生产玩具数量的总和。甲是乙丙和的！，则 2总和为3,甲占了 1份，甲占了总数的L乙是甲丙和的1,同理可知乙占 33了总数的工，那么可知丙生产的玩具占总数的1-2-二工，所以总数是 43 4 1250- = 120 （个）12【例25】（难度等级派）（2023年试验中学考题）几个同学去割两块草地的草，甲地面积是乙地面积的4倍，起先他们一起在甲地割了半天，后来甲、下12人割甲地的草，其余人去割乙地的草，这样又割了半天,乙两地的草同时割完了，问：共有多少名学生?【解析】有12人全天都在甲地割草，设有人上午在甲地，下午在乙地割草.由于这人在下午能割完乙地的草（甲地草的!），所以这些人在上午也能割甲地 4工的草，所以12人一天割了甲地3的草，每人每天割草为3+12=工，全部44416的草为甲地草的H 8工=2。，所以共有20名学生.44 16【巩固】（难度等级 ，一批工人到甲、乙两个工地进行清理工作，甲工地的工作量是乙工地的工作量的J倍,上午去甲工地的人数是去乙工地人2数的3倍，下午这批工人中有二的人去甲工地,其他工人到乙工地.到 12傍晚时，甲工地的工作已做完，乙工地的工作还需4名工人再做1天，那 么这批工人有多少人？【解析】依据题意，这批工人的人数是12的倍数，设这批工人有人.那么上午有9x人在甲工地，有力人在乙工地；下午有7x人在甲工地，有5x 人在乙工地.所以甲工地相当于（9x + 7x） + 2 = 8x人做了一成天；乙工地相当于（3x + 5尤） + 2 = 4x人做了一成天.由于甲工地的工作量是乙工地的工作量的3倍，假设甲工地的工作量是3 2份，那么乙工地的工作量是2份.8%人做一成天完成3份，那么4%人做一成天完成。份，所以乙工地还剩下2 3份.这！份须要4名工人做一 22 22成天，所以甲工地的3份须要4x（3 = 24人做一成天，即8.24,可得.3,那么这批工人有12x3 = 36（人）.【例26】（难度等级 派）（2023年第七届“希望杯”六年级第2试）有两个同样的仓库，搬运完其中一个仓库的货物，甲须要6小时，乙须要7小 时，丙须要14小时.甲、乙同时起先各搬运一个仓库的货物，起先时, 丙先帮甲搬运，后来又去帮乙搬运，最终两个仓库的货物同时搬完.则 丙帮甲 小时，帮乙 小时.【解析】整个搬运的过程，就是甲、乙、丙三人同时起先同时结束，共搬运了两 个仓库的货物，所以它们完成工作的总时间为2 +e+ 3+上）=日小时.在这 段时间内，甲、乙各自由某一个仓库内搬运，丙则在两个仓库都搬运过.甲 完成的工作量是La，所以丙帮甲搬了 1-2=，的货物，丙帮甲做的时 6 4 88 8间为l_l=b小时，那么丙帮乙做的时间为且_m=32小时. 8 144442【巩固】（难度等级 派）搬运一个仓库的货物，甲需10小时，乙需12小时，丙需15小时.有同样的仓库A和3,甲在A仓库，乙在6仓库同时起先搬 运货物，丙起先帮甲搬运，中途又转向帮乙搬运，最终同时搬完两个仓 库的货物.丙帮助甲、乙各搬运了几小时？【解析】甲、乙、丙搬完两个仓库共用了： 2 + （，+，+，） = 8小时，丙帮助甲搬运了 10 12 1511-，乂8.，= 3小时，丙帮助乙搬运了 8-3 = 5小时.（10 ） 15【例27】（难度等级 派）甲、乙、丙三队要完成A, B两项工程，8工程 的工作量是A工程工作量再增加L假如让甲、乙、丙三队单独做，完成A工程所须要的时间分别是20天，24天，30天.现在让甲队做A工程, 乙队做3工程，为了同时完成这两项工程，丙队先及乙队合做3工程若 干天，然后再及甲队合做A工程若干天.问丙队及乙队合做了多少天？ 【解析】这个问题当中有两个不同的工程，三个不同的人，因此显得很难解决， 数学中化归的思想很重要，即以一个为基准，把其他的量转化为这个量, 然后进行计算，我们不妨设A工程的工作总量为单位“1”，那么3工程的 工作量就是“之”，那么这个问题就和例5联系到了一起了。4三队合作完成两项工程所用的天数为：1 +小化+，+ 口 = 18天。18天里, （4J U0 24 30 J乙队始终在完成3工作，因此乙的工作量为，xl8 = J 3剩下的工作量应 244当是由丙完成，因此丙在3工程上用了信+ ' = 天也就是说两队合作 14 4J30了 15 天。解题关键是把“一项工程”看成一个单位，运用公式：工作效率x工作时 间=工作总量，表示出各个工程队（人员）或其组合在统一标准和单位下的 工作效率.【例28】（难度等级派）甲、乙、丙三人同时分别在3个条件和工作量 相同的仓库工作，搬完货物甲用10小时，乙用12小时，丙用15小时.其 次天三人又到两个大仓库工作，这两个仓库的工作量相同.甲在A仓库, 乙在B仓库，丙先帮甲后帮乙，用了 16个小时将两个仓库同时搬完.丙 在A仓库搬了多长时间？【解析】因为A、3两个仓库的工作量相同，所以甲、乙、丙假如都在其中一个大 仓库工作，那么8小时可以搬完.因为甲、乙、丙三人每小时的工作量 的比是，所以甲每小时可以完成大仓库工作量的 10 12 15丙每小时可以完成大仓库工作量的那么甲 8 6 + 5 + 4 208 6 + 5 + 4 3016小时完成了 A仓库的L16,，丙在A仓库搬了 （1-条，=6小时.205530【例29】（难度等级 派）一项工程，乙单独做要17天完成.假如第一天甲做，其次天乙做，这样交替轮番做，那么恰好用成天数完成；假如第天乙做，其次天甲做，这样交替轮番做，那么比上次轮番的做法多用半天完工.问：甲单独做须要几天?【解析】甲、乙轮番做，假如是偶数天完成，那么乙、甲轮番做必定也是偶数天完成，且等于甲、乙轮番做的天数，及题意不符；所以甲、乙轮番做是 奇数天完成，最终一天是甲做的.那么乙、甲轮番做比甲、乙轮番做多 用半天，这半天是甲做的.假如设甲、乙工作效率分别为X和匕，那么 匕=%+1匕，所以匕=2匕，乙单独做要用17天，甲的工作效率是乙的2倍， 所以甲单独做须要17 + 2 = 8.5天.【例30】（难度等级 派）一项工程，甲单独做要12小时完成，乙单独 做要18小时完成.若甲先做1小时，然后乙接替甲做1小时，再由甲 接替乙做1小时，两人如此交替工作，请问：完成任务时，共 用了多少小时？【解析】 若甲、乙两人合作共需多少小时？ l-rf+ 1 = 14-= 7-（小时）.（12 18J365甲、乙两人各单独做7小时后，还剩多少？余下的，由甲独做须要多少小时？ 36（小时）. 36 12 3共用了多少小时？7x2 + - = 14-（小时）. 33在工程问题中，转换条件是常用手法.本题中，甲做1小时，乙做1小 时，相当于他们合作1小时，也就是每2小时，相当于两人合做1小时.这 样先算一下一共进行了多少个这样的2小时，余下部分问题就好解决了.二、为了学好分数、百分数应用题，必需做到以下几方面:具备整数应用题的解题实力，解决整数应用题的基本学问，如概念、性 质、法则、公式等广泛应用于分数、百分数应用题； 在理解、驾驭分数的意义和性质的前提下敏捷运用； 学会画线段示意图.线段示意图能直观地揭示“量”及“百分率”之间 的对应关系，发觉量及百分率之间的隐藏条件，可以帮助我们在困难的条件及 问题中理清思路，正确地进行分析、综合、推断和推理；学会多角度、多侧面思索问题的方法.分数、百分数应用题的条件及问 题之间的关系改变多端，单靠统一的思路模式有时很难找到正确解题方法.因 此，在解题过程中，要擅长驾驭对应、假设、转化等多种解题方法，不断地开 拓解题思路.三、利用常见的数学思想方法：如代换法、比例法、列表法、方程法等抛开“工作总量”和“时间”，抓住题目给出的工作效率之间的数量关系， 转化出及所求相关的工作效率，最终再利用从前的假设“把整个工程看成一个 单位”，求得问题答案.一般状况下，工程问题求的是时间.目M4例题精讲模块一、工程问题基本题型【例1】（难度等级派）一项工程，甲单独做须要28天时间，乙单独做须要 21天时间，假如甲、乙合作须要多少时间？【解析】将整个工程的工作量看作“1”个单位，那么甲每天完成总量的，乙每 28天完成总量的，两人合作每天能完成总量的，+，=，所以两人合作 2128 21 12的话，须要1+工=12天能够完成.12【巩固】（难度等级 派）一件工程，甲单独做要6小时，乙单独做要10小时，假如接甲、乙、甲、乙.依次交替工作，每次1小时，那么须要多 长时间完成？【解析】甲1小时完成整个工程的L乙1小时完成整个工程的，交替干活时两个 610小时完成整个工程的甲、乙各干3小时后完成整个工程的 6 10 153x3=3,还剩下L甲再干1小时完成整个工程的L还剩下，乙花，小 15556303时即20分钟即可完成.所以须要7小时2。分钟来完成整个工程.【巩固】（难度等级派）规定两人轮番做一个工程，要求第一个人先做1个小时，其次个人接着做一个小时，然后再由第一个人做1个小时，然 后又由其次个人做1个小时，如此反复，做完为止.假如甲、乙轮番做 一个工程须要9.8小时，而乙、甲轮番做同样的工程只须要9.6小时，那乙 单独做这个工程须要多少小时？【解析】依据题意，有：甲乙甲乙甲1小时+乙。用小时，可知，甲做0,6 =。4小时及乙做 乙甲乙甲乙1小时+甲0.6小时1-0.8 =。2小时的工作量相等，故甲工作2小时，相当于乙1小时的工作量.所以，乙单独工作须要9.8-5 + 5 + 2 = 73小时，【巩固】（难度等级派）蓄水池有一条进水管和一条排水管.要灌满一池水，单开进水管需5小时；排光一池水，单开排水管需3小时.现在池内 有半池水，假如按进水，排水,进水，排水的依次轮番各开1小时.问: 多长时间后水池的水刚好排完？（精确到分钟）【解析】法一：1小时排水比1小时进水多L2=3 1,说明排水开了3小时 3 5 152 1510后（实际加上进水3小时，已经过去6小时了），水池还剩一池子水的1,10再过1小时，水池里的水为一池子水的 10 5 10把这些水排完须要小时，不到1小时, 10 3 10所以共须要6 + 1+2 = 72小时=7小时54分.1010法二：1小时排水比1小时进水多，2x4= ，3 5 15152 30说明8小时以后，水池的水全部排完，并且多排了一池子水的，30排一池子须要3小时，排一池子水的，须要3x，=，小时， 3030 10所以实际须要8-小时=7小时54分. 1010【巩固】（难度等级 派）一项工程，甲、乙合作12之小时可以完成，若第1小时甲做，第2小时乙做，这样交替轮番做，恰好整数小时做完；若第I 小时乙做，第2小时甲做，这样交替轮番做，比上次轮番做要多冲时, 那么这项工作由甲单独做，要用多少小时才能完成?【解析】若第一种做法的最终一小时是乙做的，那么甲、乙共做了偶数个小时， 那么其次种做法中甲、乙用的时间应及第一种做法相同，不会多！小时，3及题意不符.所以第一种做法的最终一小时是甲做的，其次种做法中最终工小时是甲做的，而这1小时之前的一小时是乙做的，所以乙甲=甲， 333得乙二甲.甲、乙工作效率之和为：1+12。=3，甲的工作效率为：35 63乙。+2）二，63363 21所以甲单独做的时间为1 +，= 21 （小时）.21【例31】（难度等级 派）甲、乙、丙3队要完成A, B两项工程.B工程 的工作量比A工程的工作量多L甲、乙、丙3队单独完成A工程所需 4时间分别是20天、24天、30天.为了同时完成这两项工程，先派甲队 做A工程，乙、丙两队共同做B工程；经过几天后，又调丙队及甲队共 同完成A工程.那么，丙队及乙队合作了多少天？【解析】设A项工程的工程总量为“1”，那么B工程的工程总量为，A、B两项工程的工程总量为1+- = -.而甲、乙、丙合作时的工作效率为 44甲、乙、丙始终在同时工作，所以两项工程同时完成时20 24 30 8所需的时间为2天）.在这18天，乙完成18X_L=3的工程量，4824 4则B工程中剩下的二的工程量是由丙帮助完成，即1小 4422,=15（天）.即丙队及乙队合作了 15天.30【例32】（难度等级 派）蓄水池有甲、丙两条进水管和乙、丁两条排水管，要灌满一池水，单开甲管需3小时，单开丙管须要5小时，要排光一池水，单开乙管须要4小时，单开丁管须要6小时，现在池内有，的水,6若按甲、乙、丙、丁、甲、乙、丙、丁的依次轮番打开1小时，问 多少时间后水起先溢出水池?【解析】甲乙丙丁依次循环各开1小时可进水：+=循环5次后水池还3 4 5 6 60空：，的工作量由甲管注水须要：LL3（小时），所以经 6 60444 3 4过4x5 +。= 2（）3小时后水起先溢出水池.44【例33】（难度等级 派）一件工程甲单独做50小时完成，乙单独做30小时完成.现在甲先做1小时，然后乙做2小时，再由甲做3小时，接着乙 做4小时两人如此交替工作，完成任务共需多少小时？【解析】甲、乙交替各做四次，完成的工作量分别为："3 + 5 + 7" 2 + 4 + 6 + 8二型, 50503030此时剩下的工作量为”+当=.还需甲做.'=2 （小时）， 50 307575 50 3所以共需（1 + 3 + 5 + 7） + （2 + 4 + 6 + 8） + 2 = 362 （小时）.【例34】（难度等级派）甲、乙、丙三人做一件工作，原安排按甲、 乙、丙的依次每人一天轮番去做，恰好整数天做完，若按乙、丙、甲的 依次轮番去做，则比安排多用半天；若按丙、甲、乙的依次轮番去做， 则也比原安排多用半天.已知甲单独做完这件工作要1。天，且三个人的 工作效率各不相同，那么这项工作由甲、乙、丙三人一起做，要用多少 天才能完成？【解析】首先应确定按每一种依次去做的时候最终一天由谁来完成.假如按甲、 乙、丙的依次去做，最终一天由丙完成，那么按乙、丙、甲的依次和丙、 甲、乙的依次去做时用的天数将都及按甲、乙、丙的依次做用的天数相 同，这及题意不符；假如按甲、乙、丙的依次去做，最终一天由乙完成, 那么按乙、丙、甲的依次去做，最终由甲做了半天来完成，这样有 甲+乙=乙+丙，甲，可得丙甲；而按丙、甲、乙的依次去做，最终由乙做22了半天来完成，这样有甲+乙=丙+甲乙，可得丙乙.那么甲=乙，即甲、 22乙的工作效率相同，也及题意不合.所以按甲、乙、丙的依次去做，最 终一天是由甲完成的.那么有甲=乙/丙=丙甲，可得乙=3甲，丙甲.这2242项工作由甲、乙、丙三人一起做，要用= 天._10 I 4 29【例35】（难度等级派）甲、乙、丙三人完成一件工作，原安排按甲、 乙、丙依次每人轮番工作一天，正好整数天完成，若按乙、丙、甲的依 次每人轮番工作一天，则比原安排多用工天；若按丙、甲、乙的依次每2人轮番工作一天，则比原安排多用，天.已知甲单独完成这件工作需1。75 3天.问：甲、乙、丙一起做这件工作，完成工作要用多少天？【解析】以甲、乙、丙各工作一天为一个周期，即3天一个周期.简单知道，第 一种状况下肯定不是完整周期内完成，但是在本题中，有两种可能，第 一种可能是完整周期+1天，其次种可能是完整周期+2天.假如是第一种 可能，有甲=乙丙=丙,甲，得乙=丙=2甲.然而此时甲、乙、丙的效率和233为_x（l+2 + 2 =空，经过4个周期后完成至X4 = '，还剩下1-坦=卫，10.75 13 3 J 129129129129 129而甲每天完成一="=二，所以剩下的也不行能由甲1天完成，即所 10.75 43 129129得到的结果及假设不符，所以假设不成立.再看其次种可能:完整周期不完整周期完成总工程量第一种状况个周期甲1天，乙1天“，其次种状况个周期乙1天，丙1天，甲,天 2“”第三种状况个周期丙1天，甲1天，乙,天 3“，可得甲+乙=乙+丙+,甲=丙+甲+1乙，所以丙=,甲，乙=3甲.因为甲单独做需 232410.75天，所以工作效率为巴，于是乙的工作效率为3x3 =，丙的工作效 4343 4 43率为巴x，= . 43 2 43于是，一个周期内他们完成的工程量为±+2=2.则需"2=4个完 43 43 43 43 L 43 J整周期，剩下1 2x4 =工的工程量；正好甲、乙各一天完成.所以其次种 4343可能是符合题意的.于是，依据其次种可能得出的工作效率，甲、乙、丙合作一天完成的工程量是2，所以三人合作完成工作须要1 + 2 =竺=犯 4343 99天.（二）等量代换法【例36】（难度等级派）一项工程，甲、乙、丙三人合作须要13天完成.假如丙休息2天，乙就要多做4天，或者由甲、乙两人合作1天.问这 项工程由甲独做须要多少天？【解析】丙2天的工作量，相当乙4天的工作量.丙的工作效率是乙的工作效率的 4 2二2 （倍），甲、乙合作1天，及乙做4天一样.也就是甲做1天，相 当于乙做3天，甲的工作效率是乙的工作效率的3倍.乙做13天，甲只 要U天，丙做13天，乙要26天，而甲只要竺天他们共同做13天的工 33作量，由甲单独完成，甲须要13 +上+生=26天33【例37】（难度等级）抄一份书稿，甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天的工作效率的和；丙的工作效率相当甲、乙每天工作效率和的L假 如3人合抄只需8天就完成了，那么乙一人单独抄须要多少天才能完 成？【解析】已知甲、乙、丙合抄一天完成书稿的！，又已知甲每天抄写量等于乙、丙 8两人每天抄写量之和，因此甲两天抄写书稿的L即甲每天抄写书稿的工； 816由于丙抄写5天相当于甲乙合抄一天，从而丙6天抄写书稿的1,即丙每 8天抄写书稿的,；于是可知乙每天抄写书稿的所以乙一 488 16 4824人单独抄写须要1 + ,=24天才能完成.24【例38】（难度等级派）一项工程，甲独做6天完成，甲3天的工作量，乙 要4天完成.两队合做2天后由乙队独做，还要几天才能完成？【解析】法一：我们把工程看作两个人分别完成的，那么明显，甲在其中只工作 了 2天，剩下的都是乙完成的。甲完成整个工作须要6天，除去自己完 成的2天以外，剩下工作量甲须要4天完成，乙的工作效率是甲的士因 4此甲4天完成的量，乙须要4x3 = 3天完成，除去及甲合作的2天以外， 3 3乙还要做3-2 = 3天。 33法二：甲的工作效率为L 所以乙的工作效率为、3 + 4 = 1.两队合作2 668天后乙队独做还要（1-底2义2）=3天才能完成.（68 J 8 3【例39】（难度等级）打印一份书稿，甲按规定时间可提前2天完成， 乙则要超过规定时间3天才能完成.假如甲、乙合做2天，剩下的由乙 独做，那么刚好在规定时间内完成.甲、乙两人合做须要几天完成？【解析】依据“甲按规定时间可提前2天完成，乙则要超过规定时间3天才能完 成.假如甲、乙合做2天，剩下的由乙独做，那么刚好在规定时间内完 成”，可知甲做2天的工作量等于乙做3天的工作量，所以完成这项工作 甲、乙所用的时间比是2:3.另外，由于甲、乙单独做，乙用的时间比甲多3 + 2 = 5天，所以乙独做须要的天数是：（3 + 2）x二= 15（天），甲独做须要 3-215-5 = 1。（天），甲、乙合做须要1/_L + J_ = 6（天）.（10 5）【例40】（难度等级派）一项工程，假如甲先做5天，那么乙接着做20天 可以完成；假如甲先做20天，那么乙接着做8天可以完成.假如甲、 乙合作，那么多少天可以完成？【解析】本题没有干脆给出工作效率，为了求出甲、乙的工作效率，我们先画出 不意图：从图中可以直观地看出：甲15天的工作量和乙12天的工作量相等，即甲 5天的工作量等于乙4天的工作量.于是可用“乙工作4天”等量替换题 中“甲工作5天”这一条件，通过此替换可知乙单独做这一工程须要 2。+ 4 = 24（天）完成，即乙的工作效率是，.24又因为乙工作4天的工作量和甲工作5天的工作量相等，所以甲的工作效 率是乙的，为，x3 =，那么甲、乙合作完成这一工程须要的时间为 524 5 301-（+ ） = 13i （天） 24 303【巩固】（难度等级，一件工作甲先做6小时，乙接着做12小时可以完成; 甲先做8小时，乙接着做6小时也可以完成.假如甲做3小时后由乙接着 做，还须要多少小时完成？【解析】依据题意可知，甲做8-6 = 2小时的工作量等于乙做12-6 = 6小时的工作量, 可见甲做1小时的工作量等于乙做3小时的工作量.那么可以用乙做3小时来代换甲做1小时，可知乙完成全部工作须要6x3 + 12 = 30 小时，甲先做的3小时相当于乙做了 9小时，所以乙还须要30-9 = 21小时.【巩固】（难度等级 派）一份文件，假如甲抄10小时，乙抄10小时可