2024四年级下册数学思维训练讲义-第九讲 简单乘法原理含答案.pdf

第九第九讲讲 简单乘法原理简单乘法原理 第一部分：趣味数学第一部分：趣味数学 一共有多少条路线一共有多少条路线 老师周六要去给同学们上课，首先得从家出发到长宁上 8 点的课，然后得赶到黄埔去上下午 1 点半的课如果说申老师的家到长宁有 5 种可选择的交通工具（公交、地铁、出租车、自行车、步行），然后再从长宁到黄埔有 2 种可选择的交通工具（公交、地铁），同学们，你们说 老师从家到黄埔一共有多少条路线？我们看上面这个示意图，老师必须先的到长宁，然后再到黄埔这几个环节是必不可少的，老师是一定要先到长宁上完课，才能去黄埔的在没学乘法原理之前，我们可以通过一条一条的数，把线路找出来，显而易见一共是 10 条路线但是要是老师从家到长宁有 25 种可选择的交通工具，并且从长宁到黄埔也有 30 种可选择的交通工具，那一共有多少条线路呢？这样数，恐怕是要耗费很多的时间了。这个时候我们的乘法原理就派上上用场了。乘法原理的定义乘法原理的定义 完成一件事，这个事情可以分成 n 个必不可少的步骤（比如说老师从家到黄埔，必须要先到长宁，那么一共可以分成两个必不可少的步骤，一是从家到长宁，二是从长宁到黄埔），第 1 步有 A 种不同的方法，第二步有 B 种不同的方法，第 n 步有 N 种不同的方法那么完成这件事情一共有 ABN 种不同的方法 结合上个例子，老师要完成从家到黄埔的这么一件事，需要 2 个步骤，第 1 步是从家到长宁，一共 5 种选择；第 2 步从长宁到黄埔，一共 2 种选择；那么老师从家到黄埔一共有 52 个可选择的路线了，即 10 条。乘法原理解题三部曲乘法原理解题三部曲 1.完成一件事分 N 个必要步骤；2024四年级下册数学思维训练讲义-第九讲 简单乘法原理2.每步找种数（每步的情况都不能单独完成该件事）；3.步步相乘 乘法原理的考题类型乘法原理的考题类型 1.路线种类问题比如说老师举的这个例子就是个路线种类问题；2.字的染色问题比如说要 3 个字，然后有 5 种颜色可以给每个字，然后问 3 个字有多少种染色方法；3.地图的染色问题同学们可以回家看地图，比如中国每个省的染色情况，给你几种颜色，问你一张包括几个部分的地图有几种染色的方法；4.排队问题比如说 6 个同学，排成一个队伍，有多少种排法；5.数码问题就是对一些数字的排列，比如说给你几个数字，然后排个几为数的偶数，有多少种排法。第二部分：奥数小练第二部分：奥数小练 【例题例题 1 1】由 3、6、9 这 3 个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？【思路分析思路分析】分三步完成：第一步排百位上的数，有 3 种方法；第二步排十位上的数，有 2 种方法；第三步排个位上的数，有 1 种方法，由乘法原理，3、6、9 这 3 个数字可以组成 32 1=6 个没有重复数字的三位数。练习练习 1 1：1.由数字 1，2，3 可以组成多少个没有重复数字的两位数？组成多少个没有重复数字的三位数？2.有三张数字卡片，分别为 3、6、0。从中挑出两张排成一个两位数，一共可以排成多少个两位数？【例题例题 2 2】邮递员投递邮件由A村去B村的道路有 3 条，由B村去C村的道路有 2 条，那么邮递员从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法？【思路分析思路分析】把可能出现的情况全部考虑进去 2号路号路1号路号路南南中中北北CBA 第一步 第二步 由分析知邮递员由A村去B村是第一步，再由B村去C村为第二步，完成第一步有 3 种方法，而每种方法的第二步又有 2 种方法根据乘法原理，从A村经B村去C村，共有 32=6 种方法。练习练习 2 2：1.如下图所示，从A地去B地有 5 种走法，从B地去C地有 3 种走法，那么李明从A地经B地去C地有多少种不同的走法？2.如下图中，小虎要从家沿着线段走到学校，要求任何地点不得重复经过问：他最多有几种不同走法？3.在下图中，一只甲虫要从A点沿着线段爬到B点，要求任何点不得重复经过问：这只甲虫最多有几种不同走法？【例题【例题 3 3】在右图中，一只甲虫要从A点沿着线段爬到B点，要求任何点不得重复经过 问：这只甲虫最多有几种不同走法？CBA家家学校学校CBADCBA【思路分析思路分析】从A点沿着线段爬到B点需要分成三步进行，第一步，从A点到C点，一共有 3 种走法；第二步，从C点到D点，有 1 种走法；第三步，从D点到B点，一共也有 3 种走法根据乘法原理，一共有 313=9 种走法 练习练习 3 3：1.在右图中，一只蚂蚁要从A点沿着线段爬到B点，要求任何点不得重复经过 问：这只蚂蚁最多有几种不同走法？2.在右图中，一只甲虫要从A点沿着线段爬到B点，要求任何点不得重复经过问：这只甲虫最多有几种不同走法？3.在右图中，一只甲虫要从A点沿着线段爬到B点，要求任何点不得重复经过问：这只甲虫最多有几种不同走法?【例题例题 4 4】按下表给出的词造句，每句必须包括一个人、一个交通工具，以及一个目的地，请问可以造出多少个不同的句子？【思路分析思路分析】1.造一个句子必须包含三个部分，即人、交通工具、目的地 2.那么这个句子可以分成三个部分；第一个步选择人物，有三种选择；第二步选择交通工具，有三种选择；第三个步选择目的地，有三种选择 3.根据乘法原理：333=27 练习练习 4 4：1.如果将四面颜色不同的小旗子挂在一根绳子上，组成一个信号，那么这四面小旗子可组BDCADCBACBA成 种不同的信号。2.小琴、小惠、小梅三人报名参加运动会的跳绳，跳高和短跑这三个项目的比赛，每人参加一项，报名的情况有_ 种。3.文艺活动小组有 3 名男生，4 名女生，从男、女生中各选 1 人做领唱，有多少种选法？4.要从四年级六个班中评选出学习、体育、卫生先进集体，有多少种不同的评选结果？【例题【例题 5 5】“数学”这个词的英文单词是“MATH”用红、黄、蓝、绿、紫五种颜色去分别给字母染色，每个字母染的颜色都不一样这些颜色一共可以染出多少种不同搭配方式？【思路分析思路分析】为了完成对单词“MATH”的染色，我们可以按字母次序，把这个染色过程分四步依次完成：第 1 步对字母“M”染色，此时有 5 种颜色可以选择；第 2 步对字母“A”染色，由于字母“M”已经用过一种颜色，所以对字母“A”染色只有 4 种颜色可以选择；第 3 步对字母“T”染色，由于字母“M”和“A”已经用去了 2 种颜色，所以对字母“T”染色只剩 3 种颜色可以选择；第 4 步对字母“H”，染色，由于字母“M”、“A”和“T”已经用去了 3 种颜色，所以对字母“H”染色只有 2 种颜色可以选择。由乘法原理，共可以得到 5432=120 种不同的染色方式。【小结】下面的这棵枚举树清晰地揭示了利用乘法原理分步计数的过程：思考一下，如果不要求“每个字母染的颜色都不一样”，会有多少种不同的染色方式？每个字母都有种颜色可选，那么染色方式一共有 5555=625 种染色方式 练习练习 5 5：1.“IMO”是国际数学奥林匹克的缩写，把这 3 个字母用 3 种不同颜色来写，现有 5 种不同颜色的笔，问共有多少种不同的写法？2.“学习改变命运”这六个字要用 6 种不同颜色来写，现只有 6 种不同颜色的笔，问共有多少种不同的写法？3.有 6 种不同颜色的笔，来写“学习改变命运”这六个字，要求相邻字的颜色不能相同，有多少种不同的方法？第三部分：数学史话第三部分：数学史话 阿拉伯数字 1、2、3、4、5、6、7、8、9、0 是国际上通用的数码。这种数字的创制并非阿拉伯人，但也不能抹掉阿拉伯人的功劳。阿拉伯数字初出自印度人之手，也是他们的祖先在生产实践中逐步创造出来的。公元前 3 世纪，印度出现了整套的数字，但各地的写法不一，其中典型的是婆罗门式，它的独到之处就是从 19 每个数都有专用符号，现代数字就是从它们中脱胎而来的。当时，“0”还没有出现。到了笈多时代(300-500 年)才有了“0”。这样，一套完整的数字便产生了。这就是古代印度人民对世界文化的巨大贡献。印度数字首先传到斯里兰卡、缅甸、柬埔寨等国。7-8 世纪，随着地跨亚、非、欧三洲的阿拉伯帝国的崛起，阿拉伯人如饥似渴地吸取古希腊、罗马、印度等国的先进文化，大量翻译其科学著作。771 年，印度天文学家、旅行家毛卡访问阿拉伯帝国阿拨斯王朝(750-1258年)的首都巴格达，将随身携带的一部印度天文学著作西德罕塔献给了当时的哈里发曼苏尔(757-775)，曼苏尔令翻译成阿拉伯文，取名为信德欣德。此书中有大量的数字，因此称“印度数字”，原意即为“从印度来的”。阿拉伯数学家花拉子密(约 780-850)和海伯什等首先接受了印度数字，并在天文表中运用。他们放弃了自己的 28 个字母，在实践中加以修改完善，并毫无保留地把它介绍给西方。9 世纪初，花拉子密发表印度计数算法，阐述了印度数字及应用方法。印度数字取代了冗长笨拙的罗马数字，在欧洲传播，遭到一些基督教徒的反对，但实践证明优于罗马数字。1202 年意大利雷俄那多所发行的计算之书，标志着欧洲使用印度数字的开始。该书共 15 章，开章说：“印度九个数字是：9、8、7、6、5、4、3、2、1，用这九个数字及阿拉伯人称作 sifr(零)的记号0，任何数都可以表示出来。”14 世纪时中国的印刷术传到欧洲，更加速了印度数字在欧洲的推广应用，逐渐为欧洲人所采用。阿拉伯数字的来源 参考答案：练习练习 1 1：1.分析：组成两位位数，由于数字不可以重复使用，由乘法原理，有 32=6 个 组成三位数：与组成二位数道理相同，有 321=6 个三位数。2.分析：排成时要注意“0”不能排在最高位，下面我们进行分类考虑。（1）十位上排 6，个位上有两个数字可选，这样的数共有两个：60，63；（2）十位上排 3.个位上也有两个数字可选，这样的数也有两个：30，60。从以上列举容易发现，一共可以排成 22=4（个）两位数。练习练习 2 2：1.分析：从A地经B地去C地分为两步，由A地去B地是第一步，再由B地去C地为第二步，完成第一步有 5 种方法，而每种方法的第二步又有 3 种方法根据乘法原理，从A地经B地去C地，共有 53=15 种方法。2.分析：从家到中间结点一共有 2 种走法，从中间结点到学校一共有 3 种走法，根据乘法原理，一共有 32=6 种走法。3.分析：甲虫要从A点沿着线段爬到B点，需要经过两步，第一步是从A点到C点，一共有 3 种走法；第二步是从C点到B点，一共也有 3 种走法，根据乘法原理一共有 33=9 种走 法。练习练习 3 3：1.分析：解这道题时千万不要受铺垫题目的影响，第一步，A点到C点的走法是 3 种；第二步，从C点到D点，有 1 种走法；但第三步，从D点到B点的走法并不是 3 种，由D出去有 2 条路选择，到下一岔路口又有 2 条路选择，所总共有 22=4（种）走法，根据乘法原理，这只蚂蚁最多有3 1 412=（种）不同走法。2.分析：从A点沿着线段爬到B点需要分成三步进行，第一步，从A点到C点，一共有3 种走法；第二步，从C点到D点，一共也有 3 种走法；第三步，从D点到B点，一共也有 3种走法根据乘法原理，一共有3 3 327=种走法。3.分析：解这道题时千万不要受铺垫题目的影响，A点到C点的走法不是 3 种，而是 4种，C点到B点的走法也是 4 种，根据乘法原理，这只甲虫最多有4416=种走法。练习练习 4 4：1.4321=24 2.乘法原理，333=27 种 3.分析：完成这件事需要两步：一步是从女生中选 1 人，有 4 种选法；另一步是从男生中选 1 人，有 3 种选法因此，由乘法原理，选出 1 男 1 女的方法有3412=种还可以用乘法的意义来理解这道题：男生有 3 种选法，每选定 1 个男生，再选 1 个女生，对应着 4 种选法，即 3 个男生，每个男生对应 4 种选女生的方法，因此选出 1 男 1 女共有3412=种方法。4.分析：第一步选出学习先进集体一共有 6 种方法，第二步选出体育先进集体一共有 6 种方法，第三步选出卫生先进集体一共有 6 种评选方法，根据乘法原理，一共有666216=种评选方法。练习练习 5 5：1.分析：第一步写“I”有 5 种方法，第二步写“M”有 4 种方法，第三步写“O”有 3 种方法，共有54360=种方法。2.分析：第一步写“学”有 6 种方法，第二步写“习”有 5 种方法，第三步写“改”有 4种方法，第四步写“变”有 3 种方法，第五步写“命”有 2 种方法，第六步写“运”有 1 种方法，根据乘法原理，一共有65432 1720 =种方法。3.分析：写第一个字有 6 种选择，以后每写一个字，只要保证不与前一个字相同就行了，都有 5 种选择，所以，有65555518750 =种写法。