2024点到直线的距离公式的推导.doc

2024“点到直线的距离公式”的认知分析和教学设计“点到直线的距离公式”是解析几何中的重要公式，这个内容的认知过程分析以及由此而进行的教学设计，可以成为数学教师日常教学工作的一个范例（一）认知分析1涉及的陈述性知识（1） 关于“点”：坐标P0 (x0，y0)直角坐标系；（2） 关于“直线”：直线方程（各种变式）；（3） 关于“距离”：距离的定义；垂足交点垂线（点斜式）相互垂直的两条直线的斜率关系2涉及的程序性知识（1） 直角坐标系的选择；（2） 直线方程的选择；（3） 距离的定义方法（“最短”），属数学思想方法，但可以自动化；（4） 垂线方程表示方式的选择；（5） “转化”的策略；（6） “求简”的策略上述程序性知识中，“选择”一般具有策略性知识的特性，要根据具体情景来作出决策但总的来说，“把选择的机会让给学生”而不是“告诉学生如何选择”，是策略性知识教学的一个基本原则，教师只要追问“你是怎么想到的？”“还可以怎么做？”即可。3认知过程分析（1）常规思路基于点到直线的距离定义所给定的几何要素，利用“垂线”求交点，再用两点间的距离公式（“转化”的策略）于是，先求“垂线”，自然想到用“相互垂直的两条直线的斜率关系”求出斜率，再用“点斜式”写出直线方程，再解方程组获得交点坐标这一思路的特点：自然，思想方法“大众化”，很少涉及策略性知识，可以程序化，但解方程组的操作过程复杂，需要熟练的代数变换技能有人认为，由于这个思路大家都能够想到，没有什么“创造性”，因此教学中不需要强调我认为，这一看法有偏颇“常规思路”往往代表了“通性通法”，大巧若拙，其中蕴含的智力价值应当引起重视另外，方法的“繁”与“简”是可以相互转化的，而且，“简”是从“繁”中演化出来的从知识之间的关系看，这个思路中所涉及的知识，与“点到直线的距离”的联系比较直接，因此它们的提取和应用都非常方便，这也是它比较容易被想到的原因（2）由“求简”所引发的思考一个新的认知过程由于上述方法比较“繁”，因此应当考虑如何“求简”实际上，“求简”的过程是对问题及其解决方法的进一步探究，涉及对问题中各种因素之间关系、相关概念之间的联系方式的进一步认识这是一个搞清问题的整体结构，寻找不同概念之间联系的最简捷通道的过程从下面的分析不难看到，不同求解方法的实质是知识的不同联系方式不同思惟倾向的学生，可能采取不同的“求简”策略，而能否“想到新方法”的决定性因素是对相关概念及其蕴含的思想方法的熟悉程度代数运算过程的简化从反思已有过程入手由于已有解法的代数变换过程较繁，因此考虑是否能简化运算过程从整个变换过程看，其中有许多“无用功”，原因是整个运算过程非常机械，没有做到“瞻前顾后”考察已有运算过程可以发现，分别从整体上考虑 (x1x0)，(y1y0)，可以得到以下简化思路：设P(x1，y1)是垂足，则有：于是有：再推导“距离公式”就比较容易了在上述过程中，通过分析已有运算过程，接通的是“垂足”的意义（作为两条直线的交点）与距离的表达式之间的联系，而采取的策略是“整体化”由上述分析可见，要实现代数变换的“简化”，关键是要引导学生“接通”垂足的意义与距离表达式，而所用的策略是“整体化”（通常人们将它称为“设而不求”）这就是教学设计中应重点考虑的地方显然，教师应引导学生思考引起繁琐代数变换的原因，通过反思变换过程，从中获得“简化”的启发，并在垂足的意义与距离表达式之间架设思惟桥梁，从而使学生体验到“整体化”思想这里，“整体化”、“设而不求”是一种策略，属于“术”的范畴，但要注意它的来源感到化简过程繁琐，“求简”而反思解题过程，发现引起繁琐的原因而得到消除繁琐的策略如果没有这个方式过程，就可能出现强加给学生一个“设而不求”技巧的做法 几何角度的考虑从最简情形入手（这也是一种策略）显然，最简单的是直线与坐标轴平行时的情形：；对于一般情形，如何利用“最简”情形？也就是如何将“一般”化归为“最简”（特殊）？如图1，过P(x0，y0)作平行于x轴或y轴的直线，经考察可以发现，通过作x轴的平行线而实现的转化比较简单： y O x图1在转化过程中，需要有“数形结合”的思想，用到了“特殊一般”的策略，还要根据具体情况对问题解决的途径作出选择另外，需要接通距离的不同表示：作为直角三角形的一条直角边，与三角函数建立联系，等教科书提供的方法是利用同一直角三角形面积的不同表示，把所求的“距离”看成是直角三角形底边上的高，利用直角三角形的三边长表示出距离实际上，这里，包含有一般的程序性知识（一种转化的思想，用已知表示未知的思想）由上所述，从几何角度考虑，要实现“简化”，主要是利用平行于坐标轴的线段长来表示点到直线的距离，通过特殊与一般之间的关系实现转化，而在转化过程中又要接通三角函数的有关知识，使距离的表示更加简单这样，在进行教学设计时，教师应当利用“数形结合”思想，在如何用相关元素表示“距离”上进行引导，并在接通三角函数的有关知识上加以点拨当然，还可以有其他转化的方法，例如“向量法”“求函数最小值法”“面积法”等，这里不一一赘述（二）教学设计（问题系列引导的数学探究）问题1 “点到直线的距离”的定义是什么？从这一定义出发，你认为应如何求“点到直线的距离公式”？设计意图：体现“先用平面几何眼光观察，再用坐标法解决”的思路；强调从定义出发思考问题估计学生能够从定义出发，得到：设已知点为P0(x0，y0)，已知直线为l：Ax+By+C=0，过点P0且垂直于直线l的直线方程为l/：yy0(xx0)解方程组： 可得交点坐标为P1(x1，y1)于是有点P0(x0，y0)到直线l的距离为d| P1P0|问题2 上述思路非常自然请大家照此思路动手推导出公式推导过程中要详细留下每一个步骤请两位学生板演设计意图：思路自然但代数变换过程复杂让学生动手推导，体验一下复杂性，可以激发寻找简便方法的冲动另外，留下详细步骤是为了后续分析引起复杂变换的原因，找到“化简”思路做准备让学生板演可以方便地观察学生的思考、变换过程，为后续教学提供依据估计有些学生不能推出公式，有些学生能推出公式可以让这两类学生的代表谈谈体会问题3 从上述推导过程出发，请同学们分析一下引起繁琐的代数变换的原因重点分析哪些步骤是可以简化的设计意图：引导学生从代数变换角度反思，希望学生能够观察到，具体求出垂足P1(x1，y1)的坐标是引起复杂运算的原因，而从整体上考虑 (x1x0)，(y1y0)，可以使代数变换过程大大简化问题4 上面从简化代数变换的角度得到了一个简便方法现在再回到几何图形上看你能说说 (x1x0)，(y1y0)的几何意义吗？由此你有什么新的想法？设计意图：通过分析(x1x0)，(y1y0)的几何意义，得到“作x轴、y轴的平行线，构造直角三角形求距离”的思路启发问题5 从上述分析可知，通过P0(x0，y0)，P1(x1，y1)作坐标轴的垂线，构造直角三角形，可以比较方便地得到点到直线的距离的表达式你能构造别的直角三角形，给出更方便的方法吗？ y P0 M P1 O x图.2设计意图：通过概括思路，明确方法的要点，并引导学生提取更多地平面几何、三角函数的相关知识，得到更简便的方法估计有部分学生可以得到：如图2，过P0作P0My轴，P0P1l那么|P0M|y0y|，tanP1P0M由此就能得到简便的方法问题6 上述方法中有没有不够严密的地方？应当如何补救？设计意图：上述结论的漏洞有两个：一是0时不能采用；二是倾斜角需要考虑分类，即要分0，通过查漏补缺，培养学生思惟的严谨性问题7 除了上述方法外，你还有其他方法吗？设计意图：开拓学生的思惟空间，提醒学生还可以用别的方法求距离公式问题8 你能谈谈在上述过程中体现的数学思想方法吗？可以从数学定义的作用、如何从繁琐的过程中发现简化的思路、如何从问题的特点出发调动相关知识、如何在建立相关知识的联系中获得新的解题思路等方面进行归纳总结设计意图：引导学生反思学习过程，归纳概括具有一般意义的数学思考方法，使知识融汇贯通，以增强知识的迁移能力高考解析几何的万能解题套路一个套路，几乎解决所有高考解析几何问题！在教学中，一直有一个难以解决的悖论：“题海战术”广遭诟病，但似乎要取得好成绩，除了“题海战术”又别无良策。这是因为，我们每次考试面对的题目都不可能一样，大家心照不宣的想法是通过平时的“题海战术”，也许可以穷尽问题的各种可能。显然如果我们要穷尽问题的各种可能，是不现实的。为了让学生能真正从题海战术中走出来，事实上，我们可以将以往大量的、零碎的、彼此之间也看似没有多少联系性的某些数学问题，却能通过高度一致的方法获得解决，本文以解析几何为例的一套与高考解析几何演绎体系相对应的“万能解题套路”，几乎把近几年贵州省高考解析几何问题基本上统一了起来！希望对同学有所启发。一、解析几何万能解题套路解析几何是法国数学家笛卡儿（1596 年1650 年）创立的。笛卡儿在总结前人经验的基础上，创造性地提出了一个划时代的设想把代数的演绎方法引入几何学，用代数方法来解决几何问题。正是在这一设想的指引下，笛卡儿创建了解析几何的演绎体系。以高考解析几何为例：1、很多高考问题都是以平面上的点、直线、曲线（如圆、椭圆、抛物线、双曲线）这三大类几何元素为基础构成的图形的问题；2、演绎规则就是代数的演绎规则，或者说就是列方程、解方程的规则。有了以上两点认识，我们可以毫不犹豫地下这么一个结论，那就是解决高考解析几何问题无外乎做两项工作：1、几何问题代数化。2、用代数规则对代数化后的问题进行处理。至此，整理了近几年来贵州省高考解析几何试题后总结出一套统一的解题套路：二、高考解析几何解题套路及各步骤操作规则步骤一：（一化）把题目中的点、直线、曲线这三大类基础几何元素用代数形式表示出来；口诀：见点化点、见直线化直线、见曲线化曲线。1、见点化点：“点”用平面坐标系上的坐标表示，只要是题目中提到的点都要加以坐标化；2、见直线化直线：“直线”用二元一次方程表示，只要是题目中提到的直线都要加以方程化；3、见曲线化曲线：“曲线（圆、椭圆、抛物线、双曲线）”用二元二次方程表示，只要是题目中提到的曲线都要加以方程化；步骤二：（二代）把题目中的点与直线、曲线从属关系用代数形式表示出来；如果某个点在某条直线或曲线上，那么这个点的坐标就可代入这条直线或曲线的方程。口诀：点代入直线、点代入曲线。1、点代入直线：如果某个点在某条直线上，将点的坐标代入这条直线的方程；2、点代入曲线：如果某个点在某条曲线上，将点的坐标代入这条曲线的方程；这样，每代入一次就会得到一个新的方程，方程逐一列出后，这些方程都是获得最后答案的基础，最后就是解方程组的问题了。在方程组的求解中，我们发现一个特殊情况，即如果题目中有两个点在同一条曲线上，将它们的坐标代入曲线方程后能够直接求解的可以直接求解，如果不能直接求解的，则采用下面这套等效规则来处理可以达到同样的处理效果，并让方程组的求解更简单，具体过程：1、点代入这两个点共同所在的直线：把这两个点共同所在直线用点斜式方程（如）表示出来，将这两个点的坐标分别代入这条直线的方程；2、将这条直线的方程代入这条曲线的方程，获得一个一元二次方程；3、把这个一元二次方程的二次项系数不等于零的条件列出来；4、把这个一元二次方程的判别式列出来；5、把这个一元二次方程的根用韦达定理来表示（这里表示出来的实际上就是这两个点的坐标之间的相互关系式）。步骤三：（三化）图形构成特点的代数化，或者说其它附加条件的代数化。前面两个步骤都是高度模式化的，他们构成了解决所有问题的基础。在解析几何题目里，事实上就是附加了一些特殊条件的问题，如我们可以附加两条直线垂直的条件，也可以附加一条直线与一条曲线相切的条件，等等，当然，我们不用太担心，这些条件都是与我们教材上的基本数学概念相对应的，它们分别与一个或一组固定模式的方程相对应，而且，通过少数几条通用规则就可以把所有这些方程罗列出来。而我们要做的，就是针对这些特定条件选择合适的通用规则来列方程。这个步骤涉及的主要通用规则：1、两点的距离2、两个点的对称点3、条直线垂直4、两条直线平行5、两条直线的夹角6、点到直线的距离7、正余铉定理及面积公式8、向量规则9、直线与曲线的位置关系把直线方程代入曲线方程，得形如的一元二次方程：当时，直线与曲线有一个交点；当时，直线与曲线相切；当时，直线与曲线有两个交点；当时，或当时，直线与曲线无交点；这个步骤的处理关键是根据条件的特点选择适当的通用规则组合。步骤四：（四处理）按答案的要求解方程组，把结果转化成答案要求的形式。一般情况步骤1、2、3 完成后，会得到一组方程，而答案就是这组方程组的解。这个步骤就是方程组的求解了，解方程组实际上就是用加减乘除四则混合运算以及乘方、开方等来消除方程的参数。不过，这里我们也给出三条消参的原则：1、把方程中的所有未知量都视为参数。比如，如果某个点的坐标为，而都是未知的，我们把它们都视为方程组的参数。2、消参的原则是，把与答案无关的参数消去，留下与答案有关的参数。或者说在解方程组的时候，用与答案有关的参数来表示与答案无关的参数。3、消参完成后，把结果表示成答案要求的形式。下面我们来看看2011年贵州省高考试题：2011年全国卷理（21）文科（22）（本小题满分12分）已知为坐标原点，为椭圆在轴正半轴上的焦点，过且斜率为的直线与交与两点，点满足.(I)证明：点在上；(II)设点关于点的对称点为，证明：四点在同一圆上.【命题意图】本题考查直线方程、平面向量的坐标运算、点与曲线的位置关系、曲线交点坐标求法及四点共圆的条件。【解析】(I),的方程为代入并化简得.   2分设,                                  则                                    由题意得                                   所以点的坐标为.                                  满足方程,故点在椭圆上 6分(II)由和题设知，的垂直平分线的方程为.           设的中点为的垂直平分线的方程为.             由、得的交点为.         9分     故 又   ,所以 由此知四点在以为圆心,为半径的圆上. 12分【点评】本题涉及到平面向量，有一定的综合性和计算量，相对来讲比较有利的方面，也就是这道题的特点是没有任何的未知参数，我们看这道题椭圆完全给出，直线过了椭圆焦点，并且斜率也给出，平时做题斜率不给出，需要通过一定条件求出来，或者根本求不出来，这道题都给了，这个跟平时做的不太一样，反而同学不知道怎么下手，完成有难度。这两问出的非常巧妙，一个证明点在椭圆上的问题，还有一个四点共圆，这都是平时很少涉及到的解析几何本质的内容。让学生掌握解析几何的本质，其实就是用代数方法研究几何的问题，什么是四点共圆？首先在同一个圆上，首先找到圆心，四个点找圆心不好找，最简单的两个点怎么找？这是平时的知识，怎么找距离相等的点，一定在中垂线，两个中垂线交点必然是圆心，找到圆心再距离四个点距离相等，这就是简单的计算问题，方法确定以后计算量其实比往年少。至此，我们已经把解析几何解题的完整套路呈现给了大家。最后给大家提供一点高效学习的建议：同样的题目要反复多做几遍。因为同一个知识点里面的题目，其解题套路都是一致的，我们做题的主要目的是熟悉这些套路，而一个题目做五遍往往比五个题目做一遍更利于我们快速掌握这些解题套路。