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2024高中数学教学论文-含参不等式恒成立问题的求解策略含参不等式恒成立问题的求解策略 “含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。本文就结合实例谈谈这类问题的一般求解策略。一、判别式法若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数,有1）对恒成立; 2）对恒成立 例1已知函数的定义域为R，求实数的取值范围。解：由题设可将问题转化为不等式对恒成立，即有解得。所以实数的取值范围为。若二次不等式中的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。例2设，当时，恒成立，求实数的取值范围。解：设，则当时，恒成立Oxyx-1当时，显然成立；当时，如图，恒成立的充要条件为：解得。综上可得实数的取值范围为。二、最值法 将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有：1）恒成立2）恒成立例3已知，当时，恒成立，求实数的取值范围。解：设，则由题可知对任意恒成立令，得而即实数的取值范围为。例4函数，若对任意，恒成立，求实数的取值范围。解：若对任意，恒成立，即对，恒成立，考虑到不等式的分母，只需在时恒成立而得而抛物线在的最小值得注：本题还可将变形为，讨论其单调性从而求出最小值。三、分离变量法若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。一般地有：1）恒成立2）恒成立实际上，上题就可利用此法解决。略解：在时恒成立，只要在时恒成立。而易求得二次函数在上的最大值为，所以。 例5已知函数时恒成立，求实数的取值范围。解： 将问题转化为对恒成立。令，则由可知在上为减函数，故即的取值范围为。注：分离参数后，方向明确，思路清晰能使问题顺利得到解决。四、变换主元法处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考，往往会使问题降次、简化。例6对任意，不等式恒成立，求的取值范围。分析：题中的不等式是关于的一元二次不等式，但若把看成主元，则问题可转化为一次不等式在上恒成立的问题。解：令，则原问题转化为恒成立（）。 当时，可得，不合题意。当时，应有解之得。故的取值范围为。注：一般地，一次函数在上恒有的充要条件为。四、数形结合法数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，这充分说明了数形结合思想的妙处，在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。我们知道，函数图象和不等式有着密切的联系：1）函数图象恒在函数图象上方；2）函数图象恒在函数图象下上方。x-2-4yO-4例7设 , ,若恒有成立,求实数的取值范围. 分析：在同一直角坐标系中作出及 的图象 如图所示，的图象是半圆 的图象是平行的直线系。要使恒成立，则圆心到直线的距离满足 解得（舍去)由上可见，含参不等式恒成立问题因其覆盖知识点多，方法也多种多样，但其核心思想还是等价转化，抓住了这点，才能以“不变应万变”，当然这需要我们不断的去领悟、体会和总结。函数高考命题解读函数图象、函数与方程、函数模型一、考查特点与命题趋向函数是高中数学的核心内容，贯穿了整个高中数学课程，同时还是学习高等数学的基础，所以在高考中，函数知识占有极其重要的地位。其试题不但形式多样（选择、填空、解答均有），而且近年来更注重了在知识的交汇处命题，综合函数与三角、向量、不等式、解析几何、立体几何等章节的内容交叉，突出考查学生联系与转化、分类与讨论、数与形结合等重要的数学思想、能力。知识覆盖面广、综合性强、思维力度大、能力要求高，是高考中考查数学思想、数学方法、考能力、考素质的主阵地。从历年高考试题分析，在函数图象、函数与方程、函数模型及函数应用几方面的命题主要围绕以下方面：1.与基本函数图象有关的试题，要求学生能直接作出其图象或从图中（或列表中）读取各种信息，注意利用平移变换、伸缩变换、对称变换这三种图象变换，得到所研究函数的图象（简图），为进一步研究函数打下基础。2.培养运用数形结合思想来解题的能力，会利用已得函数图象，来进一步研究函数的有关性质，如定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等基本属性；3.利用函数图象解决方程、不等式中的问题；4.新课标中增加的函数的零点与方程的根内容，要求结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数；了解函数的零点与方程根的联系；根据具体函数的图像，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解；5.函数模型的建立及其应用；二、考点分类解读考点1 考查基本函数图象作图例1（09年福建省普通高中毕业班质量检查理科4）函数的图象大致是（ ）C01A01B0101D【解析】函数为偶函数，作出时的图象，再作关于轴对称图象，即得整个函数的图象，故可知应选C。考点2 融函数的性质于函数图象中例2（08高考·山东理3）函数的图象是（ ）yxOyxOyxOyxOABCD【解析】函数为偶函数，又当时，从而，再由偶函数知图象关于轴对称，故选A.点评：本例中的函数图象不易作出，但可以通过研究函数的奇偶性、取值范围等性质来驾驭图象的特点，从而使问题得以解答，综合性较强。考点3 方程的根与函数零点例3 (08高考·广东文9) 设，若函数，有大于零的极值点，则（ ）A、 B、 C、 D、【解析】由题意知即有大于0的实根,即,或者数形结合，令,则两曲线交点在第一象限,结合图像易得,选A.点评：本题很好地利用了函数的零点就是方程实数根，将所求问题加以转化，使解题思路得以明确。考点4 应用“二分法”求函数的零点和方程的近似解例4（09福建省福州八中高三第四次质检理5）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：f（1）=-2f（1.5）=0.625f（1.25）=-0.984f（1.375）=-0.260f（1.4375）=0.162f（1.40625）=-0.054那么方程的一个近似根（精确到0.1）为（ ）A 1.5B 1.4 C 1.3 D 1.2【解析】根据二分法求函数的零点条件·，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到答案B。考点5 函数模型及应用例5（08高考·广东文17）某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为x(x10)层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x（单位：元）.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用）【解析】设楼房每平方米的平均综合费为f（x）元，则 , 令 得 当 时， ；当 时，因此 当时，f（x）取最小值；答：为了楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层。点评：函数应用问题是高考的热点，近年来高考题目重视对环境保护及节约能源等生活热点问题的设置，加大函数应用题、探索题、开放题和信息题的考察力度，本例属于反比例函数模型，可采用求导方法亦可通过基本不等式求解。小结：解决函数应用问题应着重培养下面几个能力：（1）阅读理解、整理数据的能力：通过分析、画图、列表、归类等方法，快速弄清数据之间的关系，数据的单位等；（2）建立函数模型的能力：关键是正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量的函数，建立函数的模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，注意不要忘记考察函数的定义域；（3）求解函数模型的能力：主要是研究函数的单调性，求函数的值域、最大（小）值，计算函数的特殊值等，注意发挥函数图象的作用。考点6 函数与其他章节知识交汇考查例6.（08高考·山东理12）设二元一次不等式组所表示的平面区域为，使函数的图象过区域的的取值范围是（ ）A B C D【解析】区域是三条直线相交构成的三角形（如图）显然只能，此时只需研究过、两种情形即可， 因此，且即点评：本题将函数图象和性质的考查，有机地同线性规划问题结合起来，给人耳目一新的感觉，反映了今后高考命题的一个方向。（朗文敬）函数高考题的变式训练改编陈题是高考数学命题的途径之一，近几年的高考几乎每年都有改编自课本习题、历年高考题、竞赛试题的题目。平常教学中，进行有效的变式教学和变式训练，对培养学生思维的灵活性和创造性都起着积极的作用。函数是中学数学最重要的内容之一，其试题灵活性大，综合性强，出题方式多种多样，成为历年高考命题的重中之重。本文对近两年的部分函数高考题，进行变式训练。高考真题1(2010年高考湖南理科卷第8题)用表示两数中的最小值.若函数的图象关于直线对称，则的值为（ ）A-2 B2 C-1 D1【参考答案】由右图可以看出，要使的图象关于直线对称，则.故选【D】.变式训练1：用表示两数中的最小值.若函数的图象关于直线对称，求的值.【解析】函数和的零点分别是和，结合原题的解答图象，由对称性得，即.变式训练2：用表示两数中的最小值.函数的图象关于直线对称，若方程恰有2个不相等的实数根，求的取值范围.【解析】由原题知，分别作出函数和的图象，数形结合得或.变式训练3：用表示两数中的最小值.给定函数，若不等式恒成立，求的取值范围.【解析】分别作出函数和的图象，数形结合得，即.【小结】原题通过新定义考查学生的创新能力，考查函数的图象，考查考生数形结合的能力.变式题通过使条件一般化，并结合方程、不等式的有关知识进行训练，依然重视考查学生的数形结合的能力。高考真题2(2009年高考全国理科卷第11题)函数的定义域为，若与都是奇函数，则( ) sA.是偶函数 B.是奇函数 C. D.是奇函数【参考答案】由函数是奇函数知 由函数是奇函数知 由知，由知所以，即所以函数是以4为周期的函数.由知，即所以函数是奇函数.故选【D】.变式训练1：对任意的函数，在同一个直角坐标系中，函数与函数的图象恒（ ）A.关于轴对称 B.关于直线对称C.关于直线对称 D.关于轴对称【解析】函数和的图象关于直线（即轴）对称，由函数图象平移变换理论得，函数与（即）的图象关于直线对称，故选【B】.变式训练2：函数在上是增函数，且函数为偶函数，试确定的大小关系.【解析】由函数为偶函数得：，故函数关于直线对称，且开口向下，画出函数的简图，由简图显然有.变式训练3：函数是定义在上的奇函数，且对任意的都有，求的值.【解析】由题，两式相加得即所以因此是周期为6的周期函数.又函数是定义在上的奇函数，所以所以【小结】原题考查奇函数的概念及对抽象复合函数的奇偶性的理解。抽象函数无具体解析式，理解、研究起来困难很大，它是高中数学函数部分的难点，也是高中与大学函数部分的一个衔接点。变式题对抽象复合函数的部分题型进行了训练。高考真题3(2009年高考辽宁理科卷第9题文科卷第12题)已知偶函数在区间单调增加，则满足的取值范围是( )A.（，） B.，） C.（，） D.，）【参考答案】由于是偶函数,故 原不等式变为,又在区间单调增加得 , 解得.故选【A】.变式训练1：已知奇函数对于任意，都有,求满足的实数的取值范围.【解析】由知在是增函数，又为奇函数所以，即，即，所以.变式训练2：已知奇函数对于任意，都有，若恒成立，求的取值范围.【解析】由知在上是减函数，又为奇函数，其图象关于原点对称，所以在上是减函数.由恒成立，得即恒成立，而，所以.变式训练3：已知是定义在上的奇函数，且满足，.若对所有恒成立.求实数的取值范围.【解析】任取，由为奇函数得： 由已知 即在上为增函数又，故对，恒有要使对所有恒成立，即要成立，故记，对，只需 即，解得：.【小结】原题考查了函数的单调性、奇偶性及抽象函数不等式的解法。抽象函数与不等式的综合命题是近年高考的热点，变式题尝试改变条件的呈现形式，并对不等式的探讨进行拓深、拓广。高考真题4(2010年高考湖南理科卷第20题)已知函数对任意的，恒有.（）证明：当时，；（）若对满足题设条件的任意，不等式恒成立，求的最小值.【参考答案】（）易知，由题设，对任意的，即恒成立，所以，从而.于是，且，因此，故当时，有，即当时，有（）由（）易知，当，有，令，则，而函数的值域是.因此，当时，的取值集合为.当时，由（）易知，此时，从而恒成立.综上所述，的最小值为.变式训练1:设二次函数满足，对于任意实数，都有，并且当时，有.（）求的值；（）求证：；（）当时，函数是单调函数，求实数的取值范围.【解析】（）对于任意，都有,且当时,有. 令 ，即. （）由，可得，则.又对任意，即， .，即.（）,，.,当时，函数是单调函数. ,解得或.变式训练2:设二次函数满足条件：当时，且；当时，；在上的最小值为0.求最大的，使得存在,只要，就有.【解析】由，可知二次函数的对称轴为又由知二次函数的开口向上，即，故可设由知，由知，所以，故，所以.因为的图象开口向上，而的图象是由的图象平移个单位得到.要在区间上，使得的图象在的图象的下方，且最大，则1和是关于的方程 （）的两个根.把代人方程（）得或当时，方程（）的解为，这与矛盾当时，方程（）的解为，所以又当时，对任意，恒有，即.所以，的最大值为9.【小结】原题考查二次函数与一次函数，导数的运算，函数的值域，不等式的证明，考查考生转化与化归能力.二次函数是重要的初等函数之一，几乎每年高考都有涉及，客观题往往是利用它的性质去解决相关问题，解答题主要与最值、不等式等知识综合考查，一般为难题。二次方程、二次不等式与二次函数密切相关，变式题对“三个二次”的内在联系进行训练。高考真题5(2010年高考全国新课标理科卷第21题)设函数.（）若，求的单调区间；（）若当时，求的取值范围.【参考答案】（）时，当时， ；当时，.故的单调递减区间是，单调递增区间是.（）由（）知，当且仅当时等号成立.故，从而当，即时，而，于是当时，.由可得.从而当时，故当时，而，于是当时，.综合得的取值范围为.变式训练1：已知函数，（为常数）函数定义为：对每个给定的实数，（）如果，证明：；（）若当时，求的取值范围.【解析】本变式仅仅改变原题的背景，让条件以新定义的方式表达，内涵不变，解答与原题基本一致.（）时,记函数，由原题解答知，函数的单调递减区间是，单调递增区间是，因此，即，所以.（）由题意及知等价于的原题条件，解答与原题基本相同.变式训练2：设，函数(为自然对数的底数）. （）判断的单调性；（）若在上恒成立，求的取值范围.【解析】（）由已知 令当时， 在上为减函数.当时，的判别式，在上为减函数. 当时，由得或由 得在上为增函数；在上为减函数. （）当时，在上为减函数.，由得 .当时， 在上不恒成立.的取值范围是 【小结】原题主要考查利用导数知识、函数知识、不等式知识求解综合问题的能力，考查分类思想的运用能力。导数是研究函数性质的重要工具，利用导数解决函数、方程与不等式的较综合问题是高考命题的热点。变式题对导数解决函数单调性、最值与极值问题，以及结合不等式的处理进行探讨。 通过对数学问题进行多角度、多方面的变式，探索研究，使学生在变式训练中，优化思维品质，增强发现问题、分析问题和解决问题的能力。这也对教师提出了更高的要求，在教学中要重视变式训练，进一步提高教学效率。