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2024高中数学教学论文-平面解析几何复习备考建议平面解析几何复习备考建议 平面解析几何是高考数学考查的一个重要内容，在过去四年的考题中，所占分值基本保持在22分左右，所以在备考过程中，能否把握好该部分的复习对整个高考数学的成果具有很大的影响。一、考查内容及要求高中平面解析几何主要以直线和圆的方程、圆锥曲线方程为主，再结合平面向量和其他的平面几何知识进行考查。（一）直线和圆的方程考试内容：直线的倾斜角和斜率。直线方程的点斜式和两点式。直线方程的一般式。两条直线平行与垂直的条件。两条直线的交角。点到直线的距离。用二元一次不等式表示平面区域。简单的线性规划问题。曲线与方程的概念。由已知条件列出方程。圆的标准方程和一般方程、参数方程。考试要求：理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式。掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程。掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系。了解二元一次不等式表示的平面区域。了解线性规划的意义，并会简单的应用。了解解析几何的基本思想，了解坐标法。掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程。（二）圆锥曲线方程考试内容：椭圆及标准方程，椭圆的简单几何性质，椭圆的参数方程。双曲线及其标准方程和双曲线的简单几何性质。抛物线及其标准方程，抛物线的简单几何性质考试要求：掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程。掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质。掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质。了解圆锥曲线的初步应用。二、考点解读解析几何的中心思想是坐标思想，也就是用坐标法去解决几何问题，用代数法研究图形的大小、形状、位置关系；然而图形的性质恰好说明了代数事实，从而实现了代数信息和图形信息的相互转换和有机结合。在复习时，除注重综合能力的提高外，还要重视知识的再强化，锤炼知识素养，要通过多种角度、多种形式、不断巩固、强化基础知识、基本技能和基本方法，当面临具体问题时，能迅速与相关知识与原理发生联系，促成对问题的顿悟和解决。三、全国II卷“考情”研究（一）命题点（1）直线的倾斜角和斜率 （2）斜率公式、直线方程 （3）平行与垂直的条件、两条直线所成的角、点到直线的距离公式 （4）对称问题 （5）直线方程的综合问题 （6）二元一次不等式表示平面区域 （7）简单的线性规划 （8）线性规划的应用题 （9）圆的方程（10）直线与圆的位置关系（11）圆与圆的位置关系 （12）圆的参数方程及圆的综合问题（13）圆锥曲线方程（14）圆锥曲线的几何性质 （15）直线与圆锥曲线综合运用 （16）圆锥曲线与平面向量的综合运用（二）考查类型 （1）作为基础题，它出现在选择题、填空题位置时部分属于容易题或中等题，多以考查课本基础知识为主，我们经常说“高考试题落在书外，知识却出在书中”，所以要注意对课本知识的研究与拓展。但有的是与代数、三角、平面几何结合在一起，以把关题的形式出现。例如：例1、（2007年高考11）设分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点，使 且，则双曲线的离心率为（ ）ABCD考点：双曲线的定义、勾股定理、离心率（中等题）【解析】设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点。若双曲线上存在点A，使F1AF2=90º，且|AF1|=3|AF2|，设|AF2|=1，|AF1|=3，双曲线中， 离心率，选B。例2、（2007年高考12）设为抛物线的焦点，为该抛物线上三点，若，则（ ）A9B6C4D3考点：抛物线的定义、平面向量几何运算、三角形重心坐标公式。（把关题）【解析】设F为抛物线y2=4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若=0，则F为ABC的重心， A、B、C三点的横坐标的和为F点横坐标的3倍，即等于3， |FA|+|FB|+|FC|=，选B。例3、（2008年高考5）设变量满足约束条件：则的最小值（ ）A B C D考点：简单线性规划问题。（简单题）例4、（2008年高考15）已知是抛物线的焦点，过且斜率为1的直线交于两点设，则与的比值等于 考点：抛物线、直线。（难题）DCAFDB解析：设由抛物线定义，在中， 又。2009年的三道解析几何小题可谓高考命题组的得意之作，计算能力要求强，结合图形分析问题紧，解题入手易，得解难，特别是16题“坑害”了苦读生无数。下面让我们共同体会一下：例5、（2009年高考9）已知直线与抛物线相交于两点，为的焦点，若，则（ ）A. B. C. D. 考点：抛物线的定义、直线。（中等题） 解：设抛物线的准线为直线 恒过定点P .如图过分 别作于,于, 由,则,点B为AP的中点.连结,则, 点的横坐标为, 故点的坐标为, 故选D例6、（2009年高考11）已知双曲线的右焦点为,过且斜率为的直线交于两点，若,则的离心率为（ ） A B. C. D. 考点：双曲线的性质、平面向量。（难题）解：设双曲线的右准线为,过分 别作于,于, ,由直线AB的斜率为,知直线AB的倾斜角为,由双曲线的第二定义有.又 故选A例7、（2009年高考16）已知为圆:的两条相互垂直的弦，垂足为,则四边形的面积的最大值为 。考点：三角形面积公式、垂径定理、均值定理。（难题）yCBMxAOD解：设圆心到的距离分别为,则.四边形的面积,此题最易走弯路，耽误考生很多时间。(圆的弦问题必须想到垂径定理)例8、（2010年高考3）若变量满足约束条件则的最大值为 （ ）（A）1 （B）2 （C）3 （D）4考点：简单的线性规划（简单题）例9、（2010年高考12）已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点若，则（ ）（A）1 （B） （C） （D）2考点：椭圆的第二定义，直线斜率的定义、同角三角函数基本关系（难题）BFCA解析：由椭圆第二定义可知： 。又， 。例10、（2010年高考15）已知抛物线的准线为，过且斜率为的直线与相交于点，与的一个交点为若，则 考点：抛物线的定义与性质（中等题）BM（1,0）A解析：为的中点，在中，由抛物线定义可知：所以P=2.考题特点：（1） 题型、题量、难度、命题重点、考查的思想方法都基本稳定；（2） 以教材为依据，但不拘泥于教材；（3） 多以圆锥曲线为载体，重点考查定义；（4） 考题多半与向量、平面几何的一些定理或结论进行有机结合；（5） 注重对图形的理解，要求对图形的观察能力强，否则将掉入繁杂的计算当中；（6） 注重技巧，计算量相对解答题较小，否则可能是没有选到较为恰当的解题思路；（7） 向量在其中的应用的重点为：模（用来将线段进行等量转化）、几何运算（主要是加、加法法则），这点与解答题区别明显；（8） 直线与圆部分考得较少，一些知识以“打游击”的形式出现。总之可以概括为：圆锥曲线是常客，向量把它来跟随。直线和圆不常见，线性规划隔年来。根据以上总结，在复习过程中还是要在圆锥曲线上下功夫，特别是定义。（2）解答题解析几何大题以区分度好、选拔性强、对能力和思维品质考查全面而倍受命题人青睐，试题对思维的灵活性、思维能力、运算能力都有较高的要求，具体表现为：入手容易解答繁。例11、（2007年高考20）在直角坐标系中，以为圆心的圆与直线相切（1）求圆的方程；（由圆与直线相切求圆方程）（2）圆与轴相交于两点，圆内的动点使成等比数列，求的取值范围例12、（2008年高考21）设椭圆中心在坐标原点，是它的两个顶点，直线与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点（由椭圆几何性质求椭圆的标准方程）（）若，求的值；（）求四边形面积的最大值例13、（2009年高考21）已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线与相交于、两点，当的斜率为1时，坐标原点到的距离为 w.w.w.k. （I）求，的值；（由椭圆几何性质求椭圆的标准方程）（II）上是否存在点P，使得当绕F转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的P的坐标与的方程；若不存在，说明理由。例14、（2010年高考21）己知斜率为1的直线l与双曲线C：相交于B、D两点，且BD的中点为 （）求C的离心率； （）设C的右顶点为A，右焦点为F，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切考题特点：（1） 问题一般设两问，第一问都比较简单，多以求曲线方程为主，整个题目的设计思路大致为：与直线或向量结合给出几何问题圆锥曲线或圆的方程题目相关条件 第2步 将几何问题转化为代数问题代数结果说明几何事实 说明：在第1步中，一般分为两大类，一类是通过求轨迹方程，其本质是找到所求的动点的横、纵坐标之间的关系。该类题目要求学生熟练掌握求轨迹方程的方法，教师要给予总结。这种类型在全国II卷中少见；另一类是由圆或圆锥曲线的几何性质求其方程，如果是圆问题就抓“半径和圆心”；若是圆锥曲线就抓“”。（2） 考题中基本上都涉及向量，而且主要考查向量的坐标运算；（3） 计算都比较繁琐，即时是理解了“几何意图”，仍然需要学生用大量的时间才可得出代数结果，所以在复习中一方面要多做常规的计算练习，同时也要注意掌握一些典型的化简方法，而且有时要善于使用曲线性质简化运算。（4） 考题比较稳定，多以圆锥曲线、平面向量、直线的综合考查，有时会涉及圆的问题。依据近几年的高考走势，今年以双曲线为背景的可能性较大，要注意重点复习。此类题目得分技巧：近年考题在第一问上要求很低，学生基本上都能得分。其后想要得到最终结果比较困难，那么在无法完成该题时怎样做可以得更多的分呢？根据高考评分规则（采点给分），按以下步骤操作可得到比较理想的分数：联立方程组设点设直线求曲线方程 二次方程一般式求出两根积与两根和四、备考建议（一）夯实基础在复习中，首要的任务便是准确理解概念，牢记重要公式，熟练掌握基本方法，洞晓考试内容所涉及的各个知识点。高考试题年年变，但命题的依据不变，要以此为根本，弄清高考的知识点及对基础知识、基本能力的要求 ，这中间实质性的工作就是精通课本。很多的客观题直接源于课本，往往是课本的原题或变式题，主观题也多是根植于课本。如果连最基本的都做不到，备战高考无从谈起。（二）正确理解解析几何的核心问题解析几何着重于用代数方法研究几何问题，这样往往造成一种错觉，即只用代数方法研究几何问题，而忽视几何手段的运用，对解析几何基本思想也片面地理解为几何问题转化为代数问题，其实平面解析几何是建立在平面几何与代数的知识体系上，解析几何的基本思想在于代数与几何的有机结合、代数与几何间的相互转化。（三）掌握必要的方法和技巧对于解析几何，熟记各种定义、基本公式、法则固然重要，但要做到迅速、准确地解题，还必须掌握一些方法和技巧。解析几何常用思想方法可以用顺口溜“联立方程解交点，设而不求巧判别；  韦达定理表弦长，斜率转化过中点.  选参建模求轨迹，曲线对称找距离；  动点相关归定义，动中求静助解析”来概括。下面是对解析几何部分的思想方法总结，当然最好的方法还是典型的例题。五、我个人在复习时的做法（1）勤研究、注意高考动态；（2）狠抓三基 ；（3）分类推进 ；（4）每周一考，而且迅速批改，及时讲解；（5）将知识系统化，便于学生掌握；（6）将课本冷、热点知识进行分类，防止因“习惯”而漏点。平面向量复习导航 “平面向量”是高中新课程新增加的内容之一，高考每年都考，考查内容以向量的概念、运算、数量积和模的运算为主题型主要有选择题、填空题，也可以与其他知识相结合在解答题中出现，试题多以中、低档题为主一、高考热点透析综观近年来的高考试题，可知命题热点为：1向量的概念，几何表示，向量的加法、减法，实数与向量的积2平面向量的坐标运算，平面向量的数量积及其几何意义3两非零向量平行、垂直的充要条件4由于向量具有“数”与“形”双重身份，加之向量的工具性作用，向量经常与数列、三角、解析几何、立体几何等知识相结合，综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关问题，处理有关长度、夹角、垂直与平行等问题以及圆锥曲线中的典型问题等5利用化归思想处理共线、平行、垂直问题向向量的坐标运算方面转化，向量模的运算转化为向量的运算等；利用数形结合思想将几何问题代数化，通过代数运算解决几何问题二、知识例析解读1注意理解向量、有向线段、向量的模、共线向量（平行向量）、相等向量、零向量、单位向量等概念，考题中多在共线向量、零向量等概念上设计问题，着重考查学生对于概念的深刻理解。例1. （08高考海南宁夏理8）平面向量a，b共线的充要条件是（ ）Aa，b方向相同Ba，b两向量中至少有一个为零向量C，D存在不全为零的实数，解析：本题主要考查向量共线的条件，特别注意零向量和任意向量共线，故答案选D。2考查向量的几何运算，掌握向量的加法、减法、实数与向量积、理解用一组基底向量表示其他向量的方法对于几何运算主要包括三种：向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，另外，向量加法还可利用“三角形法则”：设，那么向量叫做与的和，即，此时，要注意向量的“首尾”相连；向量的减法：用“三角形法则”：设，由减向量的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。数乘向量：它的长度和方向规定如下：当>0时，的方向与的方向相同，当<0时，的方向与的方向相反，当0时，而不是：0。注意：数乘向量是一个向量，不是实数。例2.如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是 （ ）ABCDA BC D解析：由向量的几何运算易知选C例3. （08高考全国理3）在中，若点满足，则（ ）ABCD解析： 由，；故答案应为A.3考查向量的坐标表示及其坐标形式的运算，提高坐标运算的能力主要包括向量的模、夹角、投影、平行、垂直的坐标表示方法，注意记准公式，确保运算结果正确特别地：在上的投影为，它是一个实数，但不一定大于0。例4.（06高考湖南卷）已知向量若时，；时，则 A B. C. D. 解析：向量若时， ；时，选C.例5.已知a(2，1)，b(2，3)，则a在b方向上的投影是（ ）A B C0 D1解析：由向量a在b方向上的投影的定义可得，故答案B4考查向量数量积的几何运算的定义与坐标运算，注意学会用几何法或坐标法转化与模、夹角、垂直、最值等问题向量数量积的性质：设两个非零向量，其夹角为，则：；当，同向时，特别地，；当与反向时，；当为锐角时，0，且不同向，是为锐角的必要非充分条件；当为钝角时，0，且不反向，是为钝角的必要非充分条件；非零向量，夹角的计算公式：；。注意：数量积是一个实数，不再是一个向量。例6.（06高考福建卷）已知向量与的夹角为，则等于（A）5（B）4（C）3（D）1解析：向量与的夹角为， ， ，则=1(舍去)或=4，选B.5考查向量与其他知识的交汇点，掌握向量方法与向量语言在函数、数列、不等式、几何等数学分支中的应用例7.在ABC中，O为中线AM上一个动点，若AM=2，则×()的最小值是_解析：在ABC中，设，则，又由向量加法的平行四边形法则知，而与方向相反，所以，由二次函数的知识知当时取得最小值2点评：本题很好地将向量的几何运算性质、数量积和函数的最值等知识结合在一起，立意新颖，考查基本。例8.直角坐标平面xOy中，若定点A(1，2)与动点P(x，y)满足×4，则点P的轨迹方程是_解析：用坐标形式将×4表示即得x2y40点评：本题中主要体现出向量的工具作用。三、易错点警示1零向量的方向是任意的。 2平行向量无传递性。3注意数量积是一个实数，不再是一个向量。4向量的运算律中注意：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；（2）向量的“乘法”不满足结合律，即四、向量中一些常用的结论：（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；（2），特别地，当同向或有；当反向或有；当不共线(这些和实数比较类似).（3）在中，为的外心；为的垂心；向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线)；（4）向量中三终点共线存在实数使得且.平面向量数量积中的易错问题平面向量是由物理学和工程技术抽象出来的知识，连同它的运算法则、性质，都来源于实践，应用于实践，属于教材新增添的内容“欲善工其事，必先利其器”，对于本章内容的学习，我们一定要抓住定义，理清概念，只有真正理解了向量中的概念，才能熟练的应用否则在做题时就容易出错，下面列举几种平面向量数量积中的易错问题：一、夹角大小的判断例1、在边长都为1的ABC中，已知，求的值错解：ABC是边长为1的等边三角形，与，与，与的夹角都是，=错解原因：夹角的定义为：在平面内任取一点O，作向量，=，则AOB=（），则叫与的夹角通过定义可以看出，在夹角的定义中，要求和必须是共起点的，这是定义中的一个关键，按照这个定义，和的夹角是吗？显然和的夹角是，同理，与，与的夹角也都是所以 = 二、如何判定两向量夹角是锐角或钝角例2、已知，=3，和的夹角为，求当向量与的夹角为锐角时，的取值范围错解：设向量与的夹角为， 两向量的夹角为锐角， 0， （）（）0，即0，0， 或 ，即错解原因：由于，所以-11当0时，01，包括=1的情况，即夹角有可能为，此时不为锐角，所以我们应该从上述的的取值范围中再去掉与共线同向时的的值就可以了当与共线同向时，设=t()，(t0)， 与的夹角为锐角时的三、实数中的结论不要拿到向量中来应用例3、已知，是两个非零向量，证明当与（）垂直时，的模取到最小值错解：当 与垂直时有（）=0，即+=0，= = =0的最小值为0，当，即与垂直时，的模取到最小值错解原因：结论并不正确，只有在和共线时才成立，所以不能用这个结论在向量这一章中，不能把许多实数的结论想当然拿过来用，实数中的好多结论在向量中是不成立的如：若，则或；若，且，则；若，则；若，则等都是错误的在应用课本上没有的结论时，我们必须慎重，必须给出严格的证明后才可以应用本题的正确解法应把看做是的二次函数：= 在对称轴，即时，模取最小值此时，恰好即当与垂直时，的模取最小值 通过讲解，你掌握了多少呢？下面我们做几个练习题来巩固一下吧：练习：1、已知，且与的夹角是锐角，则的取值范围_ 2、在ABC中，若，试判断ABC的形状3、已知ABC中，a=5,b=8,求4、已知，是否存在常数，使和的夹角是锐角，若存在求出的取值范围，若不存在说明理由（答案： 1、；2、直角三角形；3、-20；4、）