2024年高一数学下学期期中押题预测卷（范围：三角函数、平面向量、复数）含答案.pdf

1 学科网（北京）股份有限公司期中押题预测卷 01（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题5 分，共 40 分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1下列函数中，以2为最小正周期的是（）A|sin|yx=Btanyx=Ccos4yx=Dcos2xy=2已知()1,2a=，(),3bx=，若()aab+，则x=（）A1 B1 C32D123已知i是虚数单位，若()()2i 1 i4ia+=，则实数=a（）A2 B0 C1 D2 4若1cos43=，则sin2=（）A59B59C79D795 如图，在ABC中，D为BC的中点，2AEEC=，AD与BE交于点F，若AB a =，ACb=，则BF=（）A3255ab+B2355abC2355ab D2355ab+6已知函数()cos2sin2f xxx=+，则下列说法中，正确的是（）A()f x的最小值为1 2024年高一数学下学期期中押题预测卷（范围：三角函数、平面向量、复数）2 学科网（北京）股份有限公司 B()f x在区间,4 4上单调递增 C()f x的图象关于点,08对称 D()f x的图象可由()2cos2g xx=的图象向右平移8个单位得到 7设向量221,ABxx=在向量()2,2AC=上的投影向量为AC，则的最小值为（）A12 B2 105 C1 D45 8在锐角ABC中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且ABC的外接圆半径为R，若ABC的面积28sinsin5SRBC=，则bc的取值范围为（）A3 5,5 3 B3,5+C3 5,5 3 D51,3 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分 9已知复数2iz=+，z为z的共轭复数，则下列结论正确的是（）Az的虚部为i Bz在复平面内对应的点在第一象限 C1zz=D3z z=10已知0，且4cos5=，sin()1=，则（）A3cos5=B4sin5=C24sin225=D44sin(2)125+=11如图，在ABC中，90,60,2,ABABD=为线段AC的中点，,DMBC F为线段AB的中点，E为线段DM上的动点，下列结论正确的是（）3 学科网（北京）股份有限公司 A若E为线段DM的中点，则1122EFDAMB=+B若E为线段DM的中点，则94EF=C4FM FD=DEF AB 的取值范围为1,22 三、填空题：本题共 4小题，每小题 5 分，共计 20 分.12已知3a=，且a与b的夹角为 30，e为与b方向相同的单位向量，则向量a在向量b上的投影向量为 13已知复数1cosiz=，()2siniz=+R，则1 2z z的实部的最大值为 14如图，四边形 ABCD是正方形，延长 CD至 E，使 DECD，若点 P 是以点 A为圆心，AB 为半径的圆弧（不超出正方形）上的任一点，设向量APABAE=+，则+的取值范围是 四、解答题：本题共6 小题，共计 70 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15已知复数12iz=4 学科网（北京）股份有限公司(1)求|z；(2)若134izz=+，求1z；(3)若2|5z=，且2zz是纯虚数，求2z 16在ABC中，2AB=，3BC=，=60B，且3BCAD=，AC与BD交于点O，设ABa=，BCb=(1)用向量a，b表示OC，OB；(2)求cos COD的值 17已知函数()sin2 coscos2 sinf xxx=，其中2，函数()f x在区间0,m上最小值为12，求实数m的取值范围 条件：对任意的xR，都有()3f xf成立；条件：142f=；条件：236ff=18在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点 A，B，C 满足 1233OCOAOB=+(1)求ACCB 的值；(2)已知(1,cos)Ax，(1cos,cos)Bxx+，,0 x，若函数()22cos3f xOA OCmx=+的最大值为 3，求实数 m的值 19已知ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，()()()sinsinsinbcBCbaA+=(1)求C的大小；(2)若3c=，D是边 AB 上的一点，且2BDAD=，求线段 CD的最大值 1 学科网（北京）股份有限公司 期中押题预测卷 01（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题5 分，共 40 分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1下列函数中，以2为最小正周期的是（）A|sin|yx=Btanyx=Ccos4yx=Dcos2xy=【答案】D【分析】依次计算 4 个选项的周期即可.【详解】对于 A，|sin|yx=为sinyx=把x轴下方的图像翻折上去，最小正周期变为，错误；对于 B，tanyx=的最小正周期为，错误；对于 C，cos4yx=的最小正周期为242=，错误；对于 D，cos2xy=为cos2xy=把x轴下方的图像翻折上去，最小正周期变为2，故 D 正确；故选：D.2已知()1,2a=，(),3bx=，若()aab+，则x=（）A1 B1 C32 D12【答案】A【分析】利用向量垂直的坐标表示即可求解.【详解】()1,1abx+=+，由()aab+得()()()11210aabx+=+=，解得1x=.故选：A.3已知i是虚数单位，若()()2i 1 i4ia+=，则实数=a（）A2 B0 C1 D2【答案】A【分析】利用复数乘法运算法则，根据复数相等列方程组即可求.【详解】因为Ra，()()()2i 1 i22 i4iaaa+=+=，2 学科网（北京）股份有限公司 所以2024aa=+=，解得2a=故选:A 4若1cos43=，则sin2=（）A59 B59 C79 D79【答案】C【分析】根据二倍角公式以及诱导公式即可求解.【详解】由1cos43=可得27cos 2=2cos1249=，故7cos 2=sin229=，故选：C 5 如图，在ABC中，D为BC的中点，2AEEC=，AD与BE交于点F，若AB a =，ACb=，则BF=（）A3255ab+B2355ab C2355ab D2355ab+【答案】A【分析】由向量共线的性质分别设BFxBE=，AFyAD=，结合条件依次表示出23BFxbxa=，122yyBFba=+，对应解出x，y即可求解.【详解】设()23BFxBEx AEABxbxa=，AFyAD=，则()1222yyyBFABAFAByADABABACba=+=+=+=+，而a与b不共线，23212yxyx=，解得3545xy=，3255BFab=+.故选：A.6已知函数()cos2sin2f xxx=+，则下列说法中，正确的是（）3 学科网（北京）股份有限公司 A()f x的最小值为1 B()f x在区间,4 4上单调递增 C()f x的图象关于点,08对称 D()f x的图象可由()2cos2g xx=的图象向右平移8个单位得到【答案】D【分析】根据辅助角公式得()2sin(2)4f xx=+，即可根据三角函数的性质求解 ABC，根据函数平移，以及诱导公式可判断 D.【详解】()cos2sin22sin(2)4f xxxx=+=+，()f x的最小值为2,故 A 错误，,4 4x 时，3 2,4442 2x+，所以函数()f x在,4 4不单调，故 B 错误；2sin(2)2884f=+=，故()f x的图象关于8x=对称，C 错误，将函数()2cos2g xx=的图象向右平移8个单位得()()2cos(2)2sin22sin 284244g xxxxf x=+=+=，故 D 正确 故选：D 7设向量221,ABxx=在向量()2,2AC=上的投影向量为AC，则的最小值为（）A12 B2 105 C1 D45【答案】A【分析】根据投影向量的知识列式，然后利用基本不等式求得正确答案.【详解】依题意，20,0 xx，向量221,ABxx=在向量()2,2AC=上的投影向量：2AB ACACAB ACACACACACAC=，4 学科网（北京）股份有限公司 所以22222221212218442xxxAB ACxxxAC+=，当且仅当221,1xxx=时等号成立.故选：A 8在锐角ABC中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且ABC的外接圆半径为R，若ABC的面积28sinsin5SRBC=，则bc的取值范围为（）A3 5,5 3 B3,5+C3 5,5 3 D51,3【答案】A【分析】利用正弦定理及三角形面积公式求得4sin5A=，进而求得3cos5A=，再利用正弦定理及两角和正弦公式化简得btc=435tan5C+，再利用正切函数性质结合锐角三角形的性质求解范围即可.【详解】由正弦定理得sin,sin22bcBCRR=，所以282sinsin55SRBCbc=，又三角形面积公式1sin2SbcA=，可知12sin25A=，所以4sin5A=，又02A，所以3cos5A=，由正弦定理得sinsin()sin()sinsinsinbBACACtcCCC+=sincoscossinsin43cossintan5tan5ACACAACCC+=+=+，锐角ABC中，有022AC=，从而343435355tan55354tC=+=.故选：A 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分 9已知复数2iz=+，z为z的共轭复数，则下列结论正确的是（）Az的虚部为i Bz在复平面内对应的点在第一象限 5 学科网（北京）股份有限公司 C1zz=D3z z=【答案】BC【分析】求出z，结合复数的意义判断 AB；利用复数模及乘法运算判断 CD 即得.【详解】复数2iz=+，则2iz=，对于 A，z的虚部为1，A 错误；对于 B，z在复平面内对应的点(2,1)在第一象限，B 正确；对于 C，22|2(1)5z=+=，22215z=+=，则1zz=，C 正确；对于 D，()()532i 2iz z=+，D 错误.故选：BC 10已知0，且4cos5=，sin()1=，则（）A3cos5=B4sin5=C24sin225=D44sin(2)125+=【答案】BCD【分析】根据给定条件，确定,的关系及范围，再利用同角公式、二倍角公式、和角的正弦公式求解即得.【详解】由0，得0，由sin()1=，得2=，即2=+，显然02，而4cos5=，则23sin1 cos5=，对于 A，3cossin5=，A 错误；对于 B，4sincos5=，B 正确；对于 C，24sin22sincos25=，C 正确；对于 D，27cos22cos125=，则sin(2)sin2 coscos2 sin+=+2437444()255255125=+=，D 正确.故选：BCD 6 学科网（北京）股份有限公司 11如图，在ABC中，90,60,2,ABABD=为线段AC的中点，,DMBC F为线段AB的中点，E为线段DM上的动点，下列结论正确的是（）A若E为线段DM的中点，则1122EFDAMB=+B若E为线段DM的中点，则94EF=C4FM FD=DEF AB 的取值范围为1,22【答案】ACD【分析】利用平面向量的线性运算表示向量，结合平面向量的数量积运算，逐项判断即可.【详解】易知：3ADCD=，32DM=，,30DM AB=.对 A：EFEDDAAF=+，且EFEMMBBF=+，两式相加得1122EFDAMB=+，故 A 正确；对 B：1122EFDAMB=+22122DAMBDA MB=+125532 3cos30242=+674=.故 B 错误；对 C：设G为线段DM的中点，()()FM FDFGGMFGGD=+()()FGGMFGGM=+22FGGM=22673444=，故 C 正确；对 D：()EF ABEDDAAFAB=+ED ABDA ABAF AB=+2102ED ABAB=+2cos15002ED=+23 ED=，又30,2ED，所以1,22EF AB .故 D 正确.故选：ACD 7 学科网（北京）股份有限公司 三、填空题：本题共 4小题，每小题 5 分，共计 20 分.12已知3a=，且a与b的夹角为 30，e为与b方向相同的单位向量，则向量a在向量b上的投影向量为 【答案】32e【分析】利用投影向量的公式计算即可.【详解】由已知beb=则向量a在向量b上的投影向量为()333 122a b ba eeeebb=.故答案为：32e.13已知复数1cosiz=，()2siniz=+R，则1 2z z的实部的最大值为 【答案】32/1.5【分析】直接计算可知1 2z z的实部为cossin1+，然后求cossin1+的最大值即可.【详解】直接计算知：()()()()1 2cosisinicossin1cossiniz z=+=+，故1 2z z的实部为cossin1+.而113cos sin1sin211222+=+=，223cossin1144222+=+=，所以cossin1+的最大值为32，故1 2z z的实部的最大值为32.故答案为：32.14如图，四边形 ABCD是正方形，延长 CD至 E，使 DECD，若点 P 是以点 A为圆心，AB 为半径的圆弧（不超出正方形）上的任一点，设向量APABAE=+，则+的取值范围是 8 学科网（北京）股份有限公司 【答案】1,5【分析】如图，建立平面直角坐标系，设1AB=，则(1,0),(1,1)ABAE=，设(0,)2BAP=，则(cos,sin)AP=，则由已知可得cossinsin=+=，从而可得cos2sin5sin()+=+=+，然后利用正弦函数的性质可求得其范围【详解】如图，建立平面直角坐标系，设1AB=，则(1,0),(1,1)ABAE=,设(0,)2BAP=，则(cos,sin)AP=，因为APABAE=+，所以(cos,sin)(1,0)(1,1)=+，所以cossin=，解得cossinsin=+=，所以cos2sin5sin()+=+=+，其中52 5sin,cos55=，因为0,2，所以当0=时，sin()+取得最小值55，此时+取得最小值 1，当2+=时，sin()+取得最大值 1，此时+取得最大值5 所以+的取值范围为1,5，故答案为：1,5 9 学科网（北京）股份有限公司 四、解答题：本题共6 小题，共计 70 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15已知复数12iz=(1)求|z；(2)若134izz=+，求1z；(3)若2|5z=，且2zz是纯虚数，求2z【答案】(1)5(2)12i55(3)22iz=或22zi=+【分析】（1）根据模的计算公式直接求解；（2）利用复数的除法进行计算；（3）设2zabi=+，根据条件列方程求解即可.【详解】（1）22|=1(2)5z+=；（2）()()()()()21221 2i34i1 2i34i6i8i5 10i12i34i34i34i34i255534izz+=+；（3）设2zabi=+，则222|5zab=+=，所以225ab+=10 学科网（北京）股份有限公司()()()()21 2ii22izzababba=+=+，因为2zz是纯虚数，所以20,20abba+=由联立，解得 21ab=或21.ab=所以22iz=或22zi=+16在ABC中，2AB=，3BC=，=60B，且3BCAD=，AC与BD交于点O，设ABa=，BCb=(1)用向量a，b表示OC，OB；(2)求cos COD的值【答案】(1)3344OCab=+，3144OBab=(2)17【分析】（1）利用向量的线性运算来表示即可；（2）求出OC OB 和,OCOB，然后利用夹角公式求解即可.【详解】（1）因为3BCAD=，即/ADBC，且3BCAD=，则3,3OCOA OBOD=，()333333444444OCACABBCABBCab=+=+=+，333131444444OBOCCBABBCBCABBCab=+=+=；（2）由（1）得223331933444416816OC OBABBCABBCABAB BCBC=+=+9313942 3916821616=+=，23399193 7422 394416162164OCABBC=+=+=，23193113 7422 394416162164OBABBC=+=11 学科网（北京）股份有限公司 则9116cos73 73 744OC OBCOBOCOB=，所以()1coscos 7CODCOB=17已知函数()sin2 coscos2 sinf xxx=，其中2，函数()f x在区间0,m上最小值为12，求实数m的取值范围 条件：对任意的xR，都有()3f xf成立；条件：142f=；条件：236ff=【答案】(1)答案见解析(2)20,3【分析】（1）根据所选条件分别计算能否使()f x成立，从而可求解.（2）根据（1）中可得()sin 26f xx=，再利用整体代换法得2,2666xm，从而可求得266m+，再结合0m，从而可求解.【详解】（1）由()()sin2 coscos2 sinsin 2f xxxx=，若选条件：可知当3x=时，2sin133f=，因为2，即6=，且对任意xR，都有()13f xf=恒成立，故选条件时()f x存在，故可选；若选条件：1sincos422f=，解得22 3k=+或42 3k=+，kZ，因为2，所以与条件矛盾，故不选；若选条件：2sinsinsin sinsinsin236333333ff=+=+=，12 学科网（北京）股份有限公司 所以sin13+=，因为2，所以203m，即23m 时，()g t的最大值为4(1)1 2133gm=+=，解得76m=.综上可知，实数m的值为16或76.19已知ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，()()()sinsinsinbcBCbaA+=(1)求C的大小；(2)若3c=，D是边 AB 上的一点，且2BDAD=，求线段 CD的最大值【答案】(1)3(2)13+【分析】（1）根据正弦定理及余弦定理可得到1cos2C=，进而即可求得C的大小；（2）由正弦定理得到2 3sin3ACA=+，由余弦定理得到242 3sin2BDA=+，从而求出()2max42 3BD=+，进而即可求解【详解】（1）因为()()()bcsinBsinCba sinA+=，则由正弦定理得()()()bcbcba a+=，整理得222cabab=+，又由余弦定理有2222coscababC=+，得1cos2C=，又()0,C，所以3C=（2）在ABC中，由正弦定理得32 3sinsinsin3ACABBACB=，所以2 3sin2 3sin3ACBA=+，又2BDAD=，所以1AD=，2BD=，在ACD中，由余弦定理得 2222cosCDACADAC ADA=+22 3sin1 2 2 3sincos33AAA=+1 cos2133121 4 3sincoscos222AAAA+=+14 学科网（北京）股份有限公司 13131 cos276cos2sin24 3sin222422AAAA+=+42 3sin2A=+，又20,3A，则(sin20,1A，所以()2max42 3CD=+，当且仅当sin21A=，即4A=时，等号成立，所以max42 313CD=+=+，即线段CD的最大值为13+