2024数列求和的8种常用方法(最全)(1).doc

2024数列求和的8种常用方法(最全)(1)求数列前n项和的8种常用方法一.公式法（定义法）：1.等差数列求和公式：特别地，当前项的个数为奇数时，即前项和为中间项乘以项数。这个公式在很多时候可以简化运算；2.等比数列求和公式：（1），；（2），特别要注意对公比的讨论；3.可转化为等差、等比数列的数列；4.常用公式:（1）；（2）；（3）；（4）.例1 已知，求的前项和.解：由由等比数列求和公式得 1例2 设，,求的最大值.解：易知 ， 当 ，即时，.二.倒序相加法:如果一个数列，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法。如：等差数列的前项和即是用此法推导的，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到个.例3 求的值解：设将式右边反序得 （反序） 又因为 +得 （反序相加）89 S44.5例4 函数，求的值.三.错位相减法：适用于差比数列（如果等差，等比，那么叫做差比数列）即把每一项都乘以的公比，向后错一项，再对应同次项相减，即可转化为等比数列求和.如：等比数列的前项和就是用此法推导的. 例5 求和：解：由题可知，的通项是等差数列的通项与等比数列的通项之积设 （设制错位）得 （错位相减）即： 变式 求数列前项的和.解：由题可知，的通项是等差数列的通项与等比数列的通项之积设 （设制错位）得， （错位相减） 四.裂项相消法:即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。这是分解与组合思想（分是为了更好地合）在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 适用于，其中是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。其基本方法是.常见裂项公式：（1），；（的公差为）；（2）.（根式在分母上时可考虑利用分母有理化，因式相消求和）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）常见放缩公式：.例6 求数列的前项和.解：设 （裂项）则 （裂项求和） 例7 求和.例8 在数列中，又，求数列的前项的和.解： （裂项） 数列的前项和 （裂项求和） 例9 求证：解：设 （裂项） （裂项求和） 原等式成立变式 求.解：五.分段求和法：例10 在等差数列中，求：（1）数列前多少项和最大；（2）数列前项和.六.分组求和法: 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列， 可把数列的每一项分成多个项或把数列的项重新组合，使其转化成常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例11 求数列的前项和：，解：设将其每一项拆开再重新组合得 （分组）当a1时， （分组求和）当时，.例12 求数列的前项和.解：设 将其每一项拆开再重新组合得 （分组） （分组求和）变式 求数列的前项和.解： 七.并项求和法：在数列求和过程中，将某些项分组合并后即可转化为具有某种特殊的性质的特殊数列，可将这些项放在一起先求和，最后再将它们求和，则称之为并项求和.形如类型，可采用两项合并求.利用该法时要特别注意有时要对所分项数是奇数还是偶数进行讨论.例13 求cos1°+ cos2°+ cos3°+ cos178°+ cos179°的值.解：设Sn cos1°+ cos2°+ cos3°+.+ cos178°+ cos179° （找特殊性质项）Sn （cos1°+ cos179°）+（ cos2°+ cos178°）+ （cos3°+ cos177°）+（cos89°+ cos91°）+ cos90° （合并求和） 0例14 数列：，求.解：设由可得 （找特殊性质项） （合并求和）5例15 在各项均为正数的等比数列中，若的值.解：设由等比数列的性质 （找特殊性质项）和对数的运算性质 得 （合并求和） 10变式 求和.八.利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前项和，是一个重要的方法.例16 求之和.解：由于 （找通项及特征） （分组求和） 例17 已知数列：的值.解： （找通项及特征） （设制分组） （裂项） （分组、裂项求和） 变式 求的前项和.解：以上8种方法虽然各有其特点，但总的原则是要善于改变原数列的形式结构，使其能使用等差数列或等比数列的求和公式以及其它已知的基本求和公式或进行消项处理来解决，只要很好地把握这一规律，就能使数列求和化难为易，迎刃而解.三角形四心与向量的典型问题分析向量是数形结合的载体，有方向，大小，双重性，不能比较大小。在高中数学“平面向量”（必修4第二章）的学习中，一方面通过数形结合来研究向量的概念和运算；另一方面，我们又以向量为工具，运用数形结合的思想解决数学问题和物理的相关问题。在平面向量的应用中，用平面向量解决平面几何问题时，首先将几何问题中的几何元素和几何关系用向量表示，然后选择适当的基底向量，将相关向量表示为基向量的线性组合，把问题转化为基向量的运算问题，最后将运算的结果再还原为几何关系。下面就以三角形的四心为出发点，应用向量相关知识，巧妙的解决了三角形四心所具备的一些特定的性质。既学习了三角形四心的一些特定性质，又体会了向量带来的巧妙独特的数学美感。一、“重心”的向量风采【命题1】 已知是所在平面上的一点，若，则是的重心如图.M 图图 【命题2】 已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，则的轨迹一定通过的重心.【解析】 由题意，当时，由于表示边上的中线所在直线的向量，所以动点的轨迹一定通过的重心，如图.二、“垂心”的向量风采【命题3】 是所在平面上一点，若，则是的垂心【解析】 由，得，即，所以同理可证，是的垂心如图. 图图【命题4】 已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，则动点的轨迹一定通过的垂心【解析】 由题意，由于，即,所以表示垂直于的向量，即点在过点且垂直于的直线上，所以动点的轨迹一定通过的垂心，如图.三、“内心”的向量风采【命题5】 已知为所在平面上的一点，且， 若，则是的内心图图【解析】 ，则由题意得，与分别为和方向上的单位向量，与平分线共线，即平分同理可证：平分，平分从而是的内心，如图.【命题6】 已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，则动点的轨迹一定通过的内心【解析】 由题意得，当时，表示的平分线所在直线方向的向量，故动点的轨迹一定通过的内心，如图.四、“外心”的向量风采【命题7】 已知是所在平面上一点，若，则是的外心图图【解析】 若，则，则是的外心，如图。【命题7】 已知是平面上的一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，则动点的轨迹一定通过的外心。【解析】 由于过的中点，当时，表示垂直于的向量（注意：理由见二、4条解释。），所以在垂直平分线上，动点的轨迹一定通过的外心，如图。三角代换巧解不等问题 根据题目的特点，选取恰当的三角代换，能达到化难为易，化繁为简的目的，它是解不等式问题中常用的方法，现举例说明。一. 证明不等式例1 求证：。证明：设a=sin,b=cos,c=sin,d=cos 则有：，问题得证。例2 已知a,bR,且，求证：|a2+2ab-b2|解：可设a=ksin,b=kcos,其中|k|1于是有|a2+2ab-b2|=k2|sin2|=例3已知0<x<1,求证：分析：0<x<1，0<1x<1，且x+(1-x)=1,联想到三角代换。证明：因为0<x<1，0<1x<1设x=sin，且 所以例4 已知，且n 求证分析：因为 考虑到右边有1-x与1+x,故联想到利用2倍角余弦公式化简，从而采用三角代换之。证明：因为，设x=cos2则1-x=1-cos2所以故原不等式成立。二应用三角代换求最值例 设,不等式恒成立，求a的最小值。分析：原不等式等价于恒成立，则a必不小于右边代数式的最大值，即只需求出的最大值即可。解：因为令=cos , =sin ( )= cos+ sin=,a不小于右边函数的最大值，即的最大值。因此a的最小值是。例6求y=x+的最大值。 解：不妨设x=sin 则变为y=sin+cos=故当且仅当时，能取到最大值。点评：1、三角代换时，要注意新变量与原变量间的取值范围是否一致。2、三角代换的特点是将原来两个变元x,y问题转化为关于一个变元的问题，通过换元达到减元的目的。