专题13二次函数与交点公共点综合问题-挑战2022年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘含答案.docx

挑战2024年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘 专题13二次函数与交点公共点综合问题 【例1】(2021宜昌)在平面直角坐标系中，抛物线y1(x+4)(xn)与x轴交于点A和点B(n，0)(n4)，顶点坐标记为(h1，k1)抛物线y2(x+2n)2n2+2n+9的顶点坐标记为(h2，k2)(1)写出A点坐标；(2)求k1，k2的值(用含n的代数式表示)(3)当4n4时，探究k1与k2的大小关系；(4)经过点M(2n+9，5n2)和点N(2n，95n2)的直线与抛物线y1(x+4)(xn)，y2(x+2n)2n2+2n+9的公共点恰好为3个不同点时，求n的值【例2】(2021德州)小刚在用描点法画抛物线C1：yax2+bx+c时，列出了下面的表格：x01234y36763(1)请根据表格中的信息，写出抛物线C1的一条性质： ；(2)求抛物线C1的解析式；(3)将抛物线C1先向下平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到新的抛物线C2；若直线yx+b与两抛物线C1，C2共有两个公共点，求b的取值范围；抛物线C2的顶点为A，与x轴交点为点B，C(点B在点C左侧)，点P(不与点A重合)在第二象限内，且为C2上任意一点，过点P作PDx轴，垂足为D，直线AP交y轴于点Q，连接AB，DQ求证：ABDQ【例3】(2021黔西南州)如图，直线l：y2x+1与抛物线C：y2x2+bx+c相交于点A(0，m)，B(n，7)(1)填空：m ，n ，抛物线的解析式为 (2)将直线l向下移a(a0)个单位长度后，直线l与抛物线C仍有公共点，求a的取值范围(3)Q是抛物线上的一个动点，是否存在以AQ为直径的圆与x轴相切于点P？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【例4】(2021绵阳)如图，二次函数yx22x+4a2的图象与一次函数y2x的图象交于点A、B(点B在右侧)，与y轴交于点C，点A的横坐标恰好为a动点P、Q同时从原点O出发，沿射线OB分别以每秒和2个单位长度运动，经过t秒后，以PQ为对角线作矩形PMQN，且矩形四边与坐标轴平行(1)求a的值及t1秒时点P的坐标；(2)当矩形PMQN与抛物线有公共点时，求时间t的取值范围；(3)在位于x轴上方的抛物线图象上任取一点R，作关于原点(0，0)的对称点为R，当点M恰在抛物线上时，求RM长度的最小值，并求此时点R的坐标【例5】(2020襄阳)如图，直线y=-12x+2交y轴于点A，交x轴于点C，抛物线y=-14x2+bx+c经过点A，点C，且交x轴于另一点B(1)直接写出点A，点B，点C的坐标及拋物线的解析式；(2)在直线AC上方的抛物线上有一点M，求四边形ABCM面积的最大值及此时点M的坐标；(3)将线段OA绕x轴上的动点P(m，0)顺时针旋转90°得到线段OA，若线段OA与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m的取值范围【题组一】1(2021苏州模拟)问题一：已知二次函数：y(xm)22m(m为常数)，当m取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”我们发现：是当m取不同数值时，此二次函数的图象的顶点在同一条直线上，那么这条直线的表达式是 问题二：已知直线l：yx2交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线L：y(xm)22m(m为常数)图象的顶点为C(1)如图1，若点C在RtAOB的内部(不包括边界)，求m的取值范围；(2)如图2，当抛物线L的图象经过点A，B时，在抛物线上(AB的下方)是否存在点P，使ABOABP？若存在，求出点P的横坐标；若不存在请说明理由2(2021东城区二模)在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax23ax+1与y轴交于点A(1)求抛物线的对称轴；(2)点B是点A关于对称轴的对称点，求点B的坐标；(3)已知点P(0，2)，Q(a+1，1)若线段PQ与抛物线与恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围3(2021南关区一模)在平面直角坐标系中，把函数yax2+2bx+2(a、b为常数)的图象记为G(1)求G与y轴交点的坐标(2)当b2时，G与x轴只有一个交点，求a的值(3)设k0，若点A(2k，t)在G上，则点B(2+k，t)必在G上，且G过点C(3，1)，求G的函数表达式点D(1，y1)、E(4，y2)是中函数图象上的两点，比较y1与y2的大小点P(m，y3)、Q(m+3，y4)是中函数图象上的两点，比较y3与y4的大小(4)矩形FHMN四个顶点的坐标分别为F(1，2)、H(4，2)、M(4，4)、N(1，4)，当a1时，函数yax2+2bx+2(x0)的图象在矩形FHMN内部的部分均为自左向右下降时，直接写出b的取值范围4(2021九江一模)在平面直角坐标系xOy中，抛物线yx2+2mxm2+m的顶点为A(1)求抛物线的顶点坐标(用含m的式子表示)；(2)若点A在第一象限，且OA，求抛物线的解析式；(3)已知点B(m1，m2)，C(2，2)若该抛物线与线段BC有公共点，结合函数图象，求出m的取值范围【题组二】5(2021邯郸模拟)如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线G：yax24ax+1(a0)(1)若抛物线过点A(1，6)，求出抛物线的解析式；(2)当1x5时，y的最小值是1，求1x5时，y的最大值；(3)已知直线yx+1与抛物线yax24ax+1(a0)存在两个交点，若两交点到x轴的距离相等，求a的值；(4)如图2，作与抛物线G关于x轴对称的抛物线G'，当抛物线G与抛物线G'围成的封闭区域内(不包括边界)共有11个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出a的取值范围6(2021姜堰区一模)已知，二次函数yax2+2ax3a(a为常数，且a0)的图象与x轴交于点A、B(点B在点A的左侧)，与y轴交于点C，将点A绕着点C顺时针旋转90°至点P(1)求A、B两点的坐标；(2)设点P的坐标为(m，n)，试判断m+n的值是否发生变化？若不变，请求出m+n的值；若变化，请说明理由；(3)若点D、Q在平面直角坐标系中，且D(0，1)，D、Q、P、C四点构成CPDQ求点Q的坐标(用含a的代数式表示)；若CPDQ的边DQ与二次函数的图象有公共点，直接写出满足条件的a的取值范围7(2021襄州区二模)在平面直角坐标系中，二次函数yax2+bx+c的图象经过点A(0，6)和B(2，2)(1)求c的值，并用含a的代数式表示b(2)当a时，求此函数的表达式，并写出当4x2时，y的最大值和最小值如图，抛物线yax2+bx+c与x轴的左侧交点为C，作直线AC，D为直线AC下方抛物线上一动点，过点D作DEOC于点E，与AC交于点F，作DMAC于点M是否存在点D使DMF的周长最大？若存在，请求出D点的坐标；若不存在，请说明理由(3)若线段GH的端点G、H的坐标分别为(5，10)、(1，10)，此二次函数的图象与线段GH只有一个公共点，求出a的取值范围8(2021朝阳区校级三模)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线yx22x+1+m(1)求此抛物线的顶点坐标(用含m的式子表示)；(2)如果当2x1时，y0，并且当2x3时，y0，求该抛物线的表达式；(3)如果(2)中的抛物线与x轴相交于A、B(点A在点B左侧)，现将x轴下方的图象沿x轴向上翻折，得到的图象与剩余的图象组成的图形记为M，当直线l：yx+k与M有两个公共点时，直接写出k的取值范围【题组三】9(2021天心区二模)定义：二元一次不等式是指含有两个未知数(即二元)，并且未知数的次数是1次(即一次)的不等式；满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成有序数对(x，y)，所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集，如：x+y3是二元一次不等式，(1，4)是该不等式的解有序实数对可以看成直角坐标平面内点的坐标，于是二元一次不等式(组)的解集就可以看成直角坐标系内的点构成的集合(1)已知A(，1)，B(1，1)，C(2，1)，D(1，1)四个点请在直角坐标系中标出这四个点，这四个点中是xy20的解的点是 (2)设的解集在坐标系内所对应的点形成的图形为G求G的面积；反比例函数y(x0)的图象和图形G有公共点，求k的取值范围；(3)设的解集围成的图形为M，直接写出抛物线ymx22mx+m+与图形M有交点时m的取值范围10(2021西城区校级模拟)在平面直角坐标系xOy中，抛物线yx2+2mxm2+m+2，(1)该抛物线的顶点坐标为 (用含m的代数式表示)；(2)若该抛物线经过点A(x1，y1)和点B(x2，y2)，其中x1mx2，且x1+x22m，则y1与y2的大小关系是：y1 y2(填“，或”号)；(3)点C(4，2)，将点C向右平移6个单位长度，得到点D当抛物线yx2+2mxm2+m+2与线段CD有且只有一个公共点时，结合函数图象，求m的取值范围11(2021商水县三模)已知抛物线yax2+bx+c经过A(2，0)，B(1，)两点，对称轴是直线x1(1)求抛物线的解析式；(2)若C(m，y1)，D(n，y2)为抛物线yax2+bx+c上两点(mn)Q为抛物线上点C和点D之间的动点(含点C，D)，点Q纵坐标的取值范围为，求m+n的值；(3)已知点E(p，p)，F(2，1)，若抛物线与线段EF有一个交点，求p的取值范围12(2021靖江市一模)已知抛物线yx2+(m2)x3，抛物线与坐标轴交于点A(3，0)、B两点(1)求抛物线解析式；(2)当点P(2，a)在抛物线上时如图1，过点P不与坐标轴平行的直线l1与抛物线有且只有一个交点，求直线l1的方程；如图2，若直线l2：y2x+b交抛物线于M，点M在点P的右侧，过点P(2，a)作PQy轴交直线l2于点Q，延长MQ到点N使得MQNQ，试判断点N是否在抛物线上？请说明理由【题组四】13(2020滨湖区模拟)如图，在平面直角坐标系中，直线y=12x2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=12x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B(1)求抛物线的函数表达式；(2)点D为直线AC下方抛物线上一动点；连接CD，是否存在点D，使得AC平分OCD？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由在的条件下，若点P为抛物线上位于AC下方的一个动点，以P、C、A、D为顶点的四边形面积记作S，则S取何值或在什么范围时，相应的点P有且只有两个？14(2020姜堰区二模)二次函数y=m6x2-2m3x+m(m0)的图象交y轴于点A，顶点为P，直线PA与x轴交于点B(1)当m1时，求顶点P的坐标；(2)若点Q(a，b)在二次函数y=m6x2-2m3x+m(m0)的图象上，且bm0，试求a的取值范围；(3)在第一象限内，以AB为边作正方形ABCD求点D的坐标(用含m的代数式表示)；若该二次函数的图象与正方形ABCD的边CD有公共点，请直接写出符合条件的整数m的值15(2020天心区模拟)如图，抛物线y=-845(x+1538)(x3m)(其中m0)与x轴分别交于A、B两点(A在B的右侧)，与y轴交于点C；(1)点B的坐标为(-1538，0)，点A的坐标为(3m，0)(用含m的代数式表示)，点C的坐标为(0，3m)(用含m的代数式表示)；(2)若点P为直线AC上的一点，且点P在第二象限，满足OP2PCPA，求tanAPO的值及用含m的代数式表示点P的坐标；(3)在(2)的情况下，线段OP与抛物线相交于点Q，若点Q恰好为OP的中点，此时对于在抛物线上且介于点C与顶点之间(含点C与顶点)的任意一点M(x0，y0)总能使不等式n43x0+23316及不等式2n-916-4x02+3x0+138恒成立，求n的取值范围16(2020开福区校级二模)如图，抛物线ymx2+4mx12m(m0)与x轴相交于点A、B(点A在点B的右边)，顶点为C(1)求A、B两点的坐标；(2)若ABC为等边三角形，点M(x0，y0)为抛物线ymx2+4mx12m(m0)上任意一点，总有n-8561633my02+403y0298成立，求n的最小值；(3)若m=-12，点P为x轴上一动点，若CAB+CPB，当tan4时，求P点的坐标【题组五】17(2020天心区校级模拟)对某一个函数给出如下定义：若存在实数M0，对于任意的函数值y，都满足MyM，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最大值称为这个函数的边界值例如，图中的函数是有界函数，其边界值是1(1)分别判断函数y=1x(x0)和yx+2(4x2)是不是有界函数？若是有界函数，求其边界值；(2)若函数yx+2(axb，ba)的边界值是3，且这个函数的最小值也是3，求b的取值范围；(3)将函数yx2(1xm，m0)的图象向下平移m个单位，得到的函数的边界值是t，当m在什么范围时，满足34t1？18(2020思明区校级模拟)已知抛物线C：y1a(xh)21，直线l：y2kxkh1(1)判断命题“抛物线C的对称轴不可能是y轴”的真假，并说明理由；(2)求证：直线l恒过抛物线C的顶点；(3)当a1，mx2时，y1x3恒成立，直接写出m的取值范围；当0a2，k0时，若在直线l下方的抛物线C上至少存在两个横坐标为整数的点，求k的取值范围19(2020海陵区一模)已知抛物线y1ax22amx+am2+4，直线y2kxkm+4，其中a0，a、k、m是常数(1)抛物线的顶点坐标是 ，并说明上述抛物线与直线是否经过同一点(说明理由)；(2)若a0，m2，txt+2，y1的最大值为4，求t的范围；(3)抛物线的顶点为P，直线与抛物线的另一个交点为Q，对任意的m值，若1k4，线段PQ(不包括端点)上至少存在两个横坐标为整数的点，求a的范围20(2020遵化市三模)已知点P(2，3)在抛物线L：yax22ax+a+k(a，k均为常数，且a0)上，L交y轴于点C，连接CP(1)用a表示k，并求L的对称轴及L与y轴的交点坐标；(2)当L经过(3，3)时，求此时L的表达式及其顶点坐标；(3)横、纵坐标都是整数的点叫做整点如图，当a0时，若L在点C，P之间的部分与线段CP所围成的区域内(不含边界)恰有4个整点，求a的取值范围；(4)点M(x1，y1)，N(x2，y2)是L上的两点，若tx1t+1，当x23时，均有y1y2，直接写出t的取值范围【题组六】21(2020中原区校级模拟)如图1所示，抛物线y=23x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知C点坐标为(0，4)，抛物线的顶点的横坐标为72，点P是第四象限内抛物线上的动点，四边形OPAQ是平行四边形，设点P的横坐标为m(1)求抛物线的解析式；(2)求使APC的面积为整数的P点的个数；(3)当点P在抛物线上运动时，四边形OPAQ可能是正方形吗？若可能，请求出点P的坐标，若不可能，请说明理由；(4)在点Q随点P运动的过程中，当点Q恰好落在直线AC上时，则称点Q为“和谐点”，如图(2)所示，请直接写出当Q为“和谐点”的横坐标的值22(2020丰台区二模)在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax24ax+3a与y轴交于点A(1)求点A的坐标(用含a的式子表示)；(2)求抛物线与x轴的交点坐标；(3)已知点P(a，0)，Q(0，a2)，如果抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围23(2020密云区二模)在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：yx2+bx+c与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C点B的坐标为(3，0)，将直线ykx沿y轴向上平移3个单位长度后，恰好经过B、C两点(1)求k的值和点C的坐标；(2)求抛物线C1的表达式及顶点D的坐标；(3)已知点E是点D关于原点的对称点，若抛物线C2：yax22(a0)与线段AE恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围24(2020惠安县校级模拟)已知抛物线C：yax2+bx+c(a0)的顶点在第一象限，且与直线y1只有一个公共点(1)若抛物线的对称轴为直线x1，求a、c之间应当满足的关系式；(2)若b2，点P是抛物线的顶点，且点P与点Q关于y轴对称，OPQ是等腰直角三角形求抛物线的解析式；直线ykx(k0)与抛物线C1交于两不同点A、B(点A在点B的左侧)，与直线y2x+4交于点R求证：对于每个给定的实数k，总有1OA+1OB=2OR成立挑战2024年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘 专题13二次函数与交点公共点综合问题 【例1】(2021宜昌)在平面直角坐标系中，抛物线y1(x+4)(xn)与x轴交于点A和点B(n，0)(n4)，顶点坐标记为(h1，k1)抛物线y2(x+2n)2n2+2n+9的顶点坐标记为(h2，k2)(1)写出A点坐标；(2)求k1，k2的值(用含n的代数式表示)(3)当4n4时，探究k1与k2的大小关系；(4)经过点M(2n+9，5n2)和点N(2n，95n2)的直线与抛物线y1(x+4)(xn)，y2(x+2n)2n2+2n+9的公共点恰好为3个不同点时，求n的值【分析】(1)令y10，得到x值即为A、B的横坐标，(2)由顶点坐标公式可得顶点的纵坐标(3)讨论k1k2n25与0比较大小得n的取值范围，即在不同的取值范围内得k1、k2大小(4)两点确定一条直线的解析式，直线MN的解析式为：yx5n2+2n+9当直线MN经过抛物线y1，y2的交点时，联立抛物线y1与y2得解析式(5n4)x5n22n+9，联立直线yx5n2+2n+9与抛物线y2得解析式x2+(4n1)x0，解得n，此时直线MN与抛物线y1，y2的公共点恰好为三个不同点，即(5n4)(14n)5n22n+9，该方程判别式0，当直线MN与抛物线y1或者与抛物线y2只有一个公共点时，当直线MN与抛物线y1只有一个公共点时，联立直线yx5n2+2n+9与抛物线yx2+(n4)x+4n可得，x2+(n3)x+5n2+2n90，解得n，由而知直线MN与抛物线y2公共点的横坐标为x10，x214n，x1x2，所以此时直线MN与抛物线y1，y2的公共点恰好为三个不同点，联立直线yx5n2+2n+9与抛物线y1得：x2+(n3)x+5n2+2n90，21n2+2n27，当n时，0，此时直线MN与抛物线y1，y2的公共点只有一个，n【解答】解：(1)y1(x+4)(xn)，令y10，(x+4)(xn)0，x14，x2n，A(4，0)；(2)y1(x+4)(xn)x2+(n4)x+4n，k1n2+2n+4，y2(x+2n)2n2+2n+9，k2n2+2n+9，(3)k1k2n25，当n250时，可得n2或n2，即当4n2或2n4时，k1k2；当n250时，可得2n2，即当2n2时，k1k2；当n250，可得n2或n2，即当n2或n2时，k1k2；(4)设直线MN的解析式为：ykx+b，则，由得，k1，b5n2+2n+9，直线MN的解析式为：yx5n2+2n+9如图：当直线MN经过抛物线y1，y2的交点时，联立抛物线y1x2+(n4)x+4n与y2x24nx5n2+2n+9的解析式可得：(5n4)x5n22n+9，联立直线yx5n2+2n+9与抛物线y2x24nx5n2+2n+9的解析式可得：x2+(4n1)x0，则x10，x214n，当x10时，把x10代入y1得：y4n，把x10，y4n代入直线的解析式得：4n5n2+2n+9，5n2+2n90，n，此时直线MN与抛物线y1，y2的公共点恰好为三个不同点，当x214n时，把x214n代入得：(5n4)(14n)5n22n+9，该方程判别式0，所以该方程没有实数根；如图：当直线MN与抛物线y1或者与抛物线y2只有一个公共点时，当直线MN与抛物线y1x2+(n4)x+4n只有一个公共点时，联立直线yx5n2+2n+9与抛物线yx2+(n4)x+4n可得，x2+(n3)x+5n2+2n90，此时0，即(n3)2+4(5n2+2n9)0，21n2+2n270，n，由而知直线MN与抛物线y2x24nx5n2+2n+9公共点的横坐标为x10，x214n，当n时，14n0，x1x2，所以此时直线MN与抛物线y1，y2的公共点恰好为三个不同点，如图：当直线MN与抛物线y2x24nx5n2+2n+9只有一个公共点，x10，x214n，n，联立直线yx5n2+2n+9与抛物线y1x2+(n4)x+4n，x2+(n3)x+5n2+2n90，(n3)2+4(5n2+2n9)21n2+2n27，当n时，0，此时直线MN与抛物线y1，y2的公共点只有一个，n，综上所述：n1，n2，n3，n4【例2】(2021德州)小刚在用描点法画抛物线C1：yax2+bx+c时，列出了下面的表格：x01234y36763(1)请根据表格中的信息，写出抛物线C1的一条性质：抛物线的顶点坐标为(2，7)；(2)求抛物线C1的解析式；(3)将抛物线C1先向下平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到新的抛物线C2；若直线yx+b与两抛物线C1，C2共有两个公共点，求b的取值范围；抛物线C2的顶点为A，与x轴交点为点B，C(点B在点C左侧)，点P(不与点A重合)在第二象限内，且为C2上任意一点，过点P作PDx轴，垂足为D，直线AP交y轴于点Q，连接AB，DQ求证：ABDQ【分析】(1)根据表格中数据的特征可得顶点坐标；(2)利用待定系数法可以确定抛物线的解析式；(3)利用已知得出C2的顶点坐标与解析式，结合两条抛物线的位置，两抛物线联立，利用判别式求解，即可得到b的取值范围；利用点P(不与点A重合)在第二象限内，且为C2上任意一点，设点P(m，m24m)，利用待定系数法求得直线AP的解析式，从而得到点Q的坐标；利用直角三角形的边角关系求得ABO和QDO的正切值，再利用同位角相等，两直线平行得出结论【解答】解：(1)表中的数据关于(2，7)对称，该抛物线的顶点为(2，7)故答案为：抛物线的顶点坐标为(2，7)(答案不唯一)；(2)由题意抛物线的解析式为yax2+bx+c，将表中的三对对应值代入得：，解得：抛物线C1的解析式为yx2+4x+3(3)由(1)知：抛物线C1的解析式为yx2+4x+3，将抛物线C1先向下平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到新的抛物线C2的顶点为(2，4)抛物线C2的解析式为y(x+2)2+4x24x由题意得：或，x2+4x+3x+b或x24xx+b即2x27x+2b60或x2+x+b0当0时，方程有两个相等的实数根，724×2×(2b6)0或()24×1×b0解得：b或b直线yx+b与两抛物线C1，C2共有两个公共点，b由题意画出图形如下：过点A作AEx轴于点E，抛物线C2的解析式为yx24x，令y0，则x24x0，解得：x0或x4抛物线C2与x轴交点为点B，C(点B在点C左侧)，B(4，0)，C(0，0)OB4由知：抛物线C2的顶点为A(2，4)AE4，OE2，BEOBOE2在RtABE中，tanABE2点P(不与点A重合)在第二象限内，且为C2上任意一点，设点P(m，m24m)，则m0，m24m0PDx轴，ODm设直线AP的解析式为ykx+n，则：，解得：直线AP的解析式为y(m+2)x2m令x0，则y2mQ(0，2m)OQ2m在RtODQ中，tanQDO2tanABEtanQDOABEQDOABDQ【例3】(2021黔西南州)如图，直线l：y2x+1与抛物线C：y2x2+bx+c相交于点A(0，m)，B(n，7)(1)填空：m1，n3，抛物线的解析式为 y2x24x+1(2)将直线l向下移a(a0)个单位长度后，直线l与抛物线C仍有公共点，求a的取值范围(3)Q是抛物线上的一个动点，是否存在以AQ为直径的圆与x轴相切于点P？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【分析】(1)将A(0，m)，B(n，7)代入y2x+1，可求m、n的值，再将A(0，1)，B(3，7)代入y2x2+bx+c，可求函数解析式；(2)由题意可得y2x+1a，联立，得到2x26x+a0，再由判别式0即可求a是取值范围；(3)设Q(t，s)，则M(，)，P(，0)，半径r，再由AQ2t2+(s1)2(s+1)2，即可求t的值【解答】解：(1)将A(0，m)，B(n，7)代入y2x+1，可得m1，n3，A(0，1)，B(3，7)，再将A(0，1)，B(3，7)代入y2x2+bx+c得，可得，y2x24x+1，故答案为：1，3，y2x24x+1；(2)由题意可得y2x+1a，联立，2x26x+a0，直线l与抛物线C仍有公共点368a0，a，0a；(3)存在以AQ为直径的圆与x轴相切，理由如下：设Q(t，s)，M(，)，P(，0)，半径r，AQ2t2+(s1)2(s+1)2，t24s，s2t24t+1，t24(2t24t+1)，t2或t，P(1，0)或P(，0)，以AQ为直径的圆与x轴相切时，P点坐标为P(1，0)或P(，0)【例4】(2021绵阳)如图，二次函数yx22x+4a2的图象与一次函数y2x的图象交于点A、B(点B在右侧)，与y轴交于点C，点A的横坐标恰好为a动点P、Q同时从原点O出发，沿射线OB分别以每秒和2个单位长度运动，经过t秒后，以PQ为对角线作矩形PMQN，且矩形四边与坐标轴平行(1)求a的值及t1秒时点P的坐标；(2)当矩形PMQN与抛物线有公共点时，求时间t的取值范围；(3)在位于x轴上方的抛物线图象上任取一点R，作关于原点(0，0)的对称点为R，当点M恰在抛物线上时，求RM长度的最小值，并求此时点R的坐标【分析】(1)将A(a，2a)代人yx22x+4a2，解方程求出a，即可求得抛物线解析式，当t1秒时，OP，设P的坐标为(x，y)，建立方程求解即可；(2)经过t秒后，OPt，OQ2t，得出P的坐标为(1，2t)，Q的坐标为(2t，4t)，进而得出M的坐标为(2t，2t)，N的坐标为(t，4t)，将M(2t，2t)代入yx22x+2，得2t2+t10，解方程即可，将N(1，4t)代入yx22x+2，得(t1)23，解方程即可得出答案；(3)设R(m，n)，则R关于原点的对称点为R'(m，n)，当点M恰好在抛物线上时，M坐标为(1，1)，过R'和M作坐标轴平行线相交于点S，如图3，利用勾股定理可得R'M，当n时，R'M长度的最小值为，进而可得出答案【解答】解：(1)由题意知，交点A坐标为(a，2a)，代人yx22x+4a2，解得：a，抛物线解析式为：yx22x+2，当t1秒时，OP，设P的坐标为(x，y)，则，解得或(舍去)，P的坐标为(1，2)；(2)经过t秒后，OPt，OQ2t，由(1)方法知，P的坐标为(t，2t)，Q的坐标为(2t，4t)，由矩形PMQN的邻边与坐标轴平行可知，M的坐标为(2t，2t)，N的坐标为(t，4t)，矩形PMQN在沿着射线OB移动的过程中，点M与抛物线最先相交，如图1，然后公共点变为2个，点N与抛物线最后相离，然后渐行渐远，如图2，将M(2t，2t)代入yx22x+2，得2t2+t10，解得：t，或t1(舍)，将N(1，4t)代入yx22x+2，得(t1)23，解得：t1+或t1(舍)所以，当矩形PMQN与抛物线有公共点时，时间t的取值范围是：t1+；(3)设R(m，n)，则R关于原点的对称点为R'(m，n)，当点M恰好在抛物线上时，M坐标为(1，1)，过R'和M作坐标轴平行线相交于点S，如图3，则R'M，又nm22m+2得(m+1)23n，消去m得：R'M，当n时，R'M长度的最小值为，此时，nm22m+2，解得：m1±，点R的坐标是(1±，)【例5】(2020襄阳)如图，直线y=-12x+2交y轴于点A，交x轴于点C，抛物线y=-14x2+bx+c经过点A，点C，且交x轴于另一点B(1)直接写出点A，点B，点C的坐标及拋物线的解析式；(2)在直线AC上方的抛物线上有一点M，求四边形ABCM面积的最大值及此时点M的坐标；(3)将线段OA绕x轴上的动点P(m，0)顺时针旋转90°得到线段OA，若线段OA与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m的取值范围【分析】(1)令x0，由y=-12x+2，得A点坐标，令y0，由y=-12x+2，得C点坐标，将A、C的坐标代入抛物线的解析式便可求得抛物线的解析式，进而由二次函数解析式令y0，便可求得B点坐标；(2)过M点作MNx轴，与AC交于点N，设M(a，-14a2+12a+2)，则N(a，-12a+2)，由三角形的面积公式表示出四边形的面积关于a的函数关系式，再根据二次函数的性质求得最大值，并求得a的值，便可得M点的坐标；(3)根据旋转性质，求得O点和A点的坐标，令O点和A点在抛物线上时，求出m的最大和最小值便可【解析】(1)令x0，得y=-12x+22，A(0，2)，令y0，得y=-12x+20，解得，x4，C(4，0)，把A、C两点代入y=-14x2+bx+c得，c=2-4+4b+c=0，解得b=12c=2，抛物线的解析式为y=-14x2+12x+2，令y0，得y=-14x2+12x+2=0，解得，x4，或x2，B(2，0)；(2)过M点作MNx轴，与AC交于点N，如图1，设M(a，-14a2+12a+2)，则N(a，-12a+2)，SACM=12MNOC=12(-14a2+a)×4=-12a2+2a，SABC=12BCOA=12×(4+2)×2=6，S四边形ABCMSACM+SABC=-12a2+2a+6=-12(a-2)2+8，当a2时，四边形ABCM面积最大，其最大值为8，此时M的坐标为(2，2)；(3)将线段OA绕x轴上的动点P(m，0)顺时针旋转90°得到线段OA，如图2，POPOm，OAOA2，O(m，m)，A(m+2，m)，当A(m+2，m)在抛物线上时，有-14(m+2)2+12(m+2)+2=m，解得，m3±17，当点O(m，m)在抛物线上时，有-14m2+12m+2=m，解得，m4或2，当3-17m4或3+17m2时，线段OA与抛物线只有一个公共点【题组一】1(2021苏州模拟)问题一：已知二次函数：y(xm)22m(m为常数)，当m取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”我们发现：是当m取不同数值时，此二次函数的图象的顶点在同一条直线上，那么这条直线的表达式是y2x问题二：已知直线l：yx2交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线L：y(xm)22m(m为常数)图象的顶点为C(1)如图1，若点C在RtAOB的内部(不包括边界)，求m的取值范围；(2)如图2，当抛物线L的图象经过点A，B时，在抛物线上(AB的下方)是否存在点P，使ABOABP？若存在，求出点P的横坐标；若不存在请说明理由【分析】问题一：由抛物线的表达式知，顶点的坐标为(m，2m)，故设xm，则y2m2x，即可求解；问题二：(1)当顶点在y2x上和直线AB的交点左侧时，点C在RtAOB的内部(不包括边界)，即可求解；(2)证明BQPABOABP，则PBPQ，即可求解【解答】解：问题一：由