专题11 存在性-等腰直角三角形（含答案）-2024年中考数学压轴满分突破之二次函数篇.doc

2024中考数学压轴题-二次函数-存在性问题第11节 等腰直角三角形的存在性 方法点拨第一步：易证BADECB，如果再加一个条件BD=BE，此时BADECB(AAS)所以，AB=CE，AD=CB第二步：根据点坐标来表示线段长度，列等式求解。 例题演练1如图所示，抛物线ya(x+1)(x5)(a0)的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C(1)当a时，求点A、B、C的坐标；如果点P是抛物线上一点，点M是该抛物线对称轴上的点，当OMP是以OM为斜边的等腰直角三角形时，求出点P的坐标；(2)点D是抛物线的顶点，连接BD、CD，当四边形OBDC是圆的内接四边形时，求a的值2如图，已知抛物线yax2+4x+c与直线AB相交于点A(0，1)和点B(3，4)(1)求该抛物线的解析式；(2)设C为直线AB上方的抛物线上一点，当ABC的面积最大时，求点C的坐标；(3)将该抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线ya1x2+b1x+c1(a10)，平移后的抛物线与原抛物线相交于点D，是否存在点E使得ADE是以AD为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由3如图，已知抛物线yx2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A(1，0)，C(0，3)(1)求该抛物线的函数表达式；(2)抛物线与直线yx1交于A、E两点，P是x轴上点B左侧一动点，当以P、B、C为顶点的三角形与ABE相似时，求点P的坐标；(3)若F是直线BC上一动点，在抛物线上是否存在动点M，使MBF为等腰直角三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；否则说明理由4如图，抛物线yax2+bx3(a0)与x轴交于A、B两点，交y轴于点C，OB3，抛物线经过点(2，5)(1)求该抛物线解析式；(2)如图1，该抛物线顶点D，连接BD、BC，点P是线段BD下方抛物线上一点，过点P作PEy轴，分别交线段BD、BC于点F、E，过点P作PGBD于点G，求2PG+EF的最大值，及此时点P的坐标；(3)如图2，在y轴左侧抛物线上有一动点M，在y轴上有一动点N，是否存在以AN为直角边的等腰直角三角形AMN？若存在，请直接写出点M的坐标5如图，抛物线C1：yx2+bx+c经过原点，与x轴的另一个交点为(2，0)，将抛物线C1向右平移m(m0)个单位得到物度C2，C2交x轴于A、B两点(点A在点B的左边)，交y轴于点C(1)求抛物线C1的解析式及顶点坐标；(2)以AC为斜边向上作等腰直角三角形ACD，当点D落在抛物线C2的对称轴上时，求抛物线C2的解析式及D点坐标6已知：如图，抛物线yax2+bx+6与x轴交于点B(6，0)，C(2，0)，与y轴交于点A，点P是线段AB上方抛物线上的一个动点(1)如图，连接PA、PB设PAB的面积为S，点P的横坐标为m请说明当点P运动到什么位置时，PAB的面积有最大值？(2)过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作PEx轴交抛物线于点E，连接DE，请问是否存在点P使PDE为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由7如图1二次函数yx2+6与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C(1)求出点A，B，C的坐标；(2)连接AC，求直线AC的表达式；(3)如图2，点D为线段AC上的一个动点，连接BD，以点D为直角顶点，BD为直角边，在x轴的上方作等腰直角三角形BDE，若点E在y轴上时，求点D的坐标；(4)若点D在线段AC上，点D由A到C运动的过程中，以点D为直角顶点，BD为直角边作等腰直角三角形BDE，当抛物线的顶点C在等腰直角三角形BDE的边上(包括三角形的顶点)时，请直接写出顶点E的坐标8如图，抛物线yax2+bx+5交x轴于A(1，0)、B(5，0)两点，交y轴于点C(1)求抛物线的解析式；(2)点P是对称轴上一点，当PA+PC达到最小值时，求点P的坐标；(3)M、N为线段BC上两点(N在M的右侧，且M、N不与B、C重合)，MN2，在第一象限的抛物线上是否存在这样的点R，使MNR为等腰直角三角形？若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由9抛物线yax26ax+4(a0)交y轴正半轴于点C，交x轴负半轴于点A，交x轴正半轴于点B，且AB10(1)如图(1)，求抛物线的解析式；(2)如图(2)，连接BC，点P为第一象限抛物线上一点，设点P横坐标为t，PBC的面积为S，求S与t之间的函数关系式(不用写出自变量t的取值范围)；(3)如图(3)，在(2)的条件下，连接PA交y轴于点D，过点P作x轴的垂线，交x轴于点E，交BC于点F，连接DF，当APE+CFD90°时，在抛物线上是否存在点Q，使得点Q、PE的中点N、点C、是构成以CN为斜边的等腰直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由10如图，抛物线yax2+bx过A(4，0)，B(1，3)两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BHx轴，交x轴于点H(1)求抛物线的表达式；(2)直接写出点C的坐标和ABC的面积(3)点P是抛物线对称轴上一点，且使得PAPC最大，求点P的坐标(4)若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，当以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时CMN的面积中考数学压轴题-二次函数-存在性问题第11节 等腰直角三角形的存在性 方法点拨第一步：易证BADECB，如果再加一个条件BD=BE，此时BADECB(AAS)所以，AB=CE，AD=CB第二步：根据点坐标来表示线段长度，列等式求解。 例题演练1如图所示，抛物线ya(x+1)(x5)(a0)的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C(1)当a时，求点A、B、C的坐标；如果点P是抛物线上一点，点M是该抛物线对称轴上的点，当OMP是以OM为斜边的等腰直角三角形时，求出点P的坐标；(2)点D是抛物线的顶点，连接BD、CD，当四边形OBDC是圆的内接四边形时，求a的值【解答】解：对于ya(x+1)(x5)(a0)，令ya(x+1)(x5)0，解得x5或1，令x0，则y5a，故点A、B、C的坐标分别为(5，1)、(1，0)、(0，5a)，当x2时，ya(x+1)(x5)9a，顶点的坐标为(2，9a)(1)当a时，函数的表达式为y(x+1)(x5)，则点A、B、C的坐标分别为(5，1)、(1，0)、(0，2)；过点P作y轴的平行线交过点M与x轴的平行线于点F，交x轴于点E，设点P的坐标为(x，(x+1)(x5)，MPO90°，MPF+OPE90°，OPE+POE90°，POEMPF，PFMOEP90°，PMPO，PFMOEP(AAS)，PEMF，则(x+1)(x5)x2，解得x或4，故点P的坐标为(，)或(4，2)； (2)点B、C的坐标分别为(1，0)、(0，5a)，顶点D的坐标为(2，9a)当四边形OBDC是圆的内接四边形时，则BC的中点为该圆的圆心，设BC的中点为点Q，由中点坐标公式得，点Q(，a)，则OQDQ，即()2+()2(2)2+(9a+a)2，解得a±2如图，已知抛物线yax2+4x+c与直线AB相交于点A(0，1)和点B(3，4)(1)求该抛物线的解析式；(2)设C为直线AB上方的抛物线上一点，当ABC的面积最大时，求点C的坐标；(3)将该抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线ya1x2+b1x+c1(a10)，平移后的抛物线与原抛物线相交于点D，是否存在点E使得ADE是以AD为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：(1)将A、B两点代入到解析式中，得，解得，抛物线的解析式为：yx2+4x+1；(2)设直线AB为：yk1x+1，代入点B，得，3k1+14，解得k11，直线AB为：yx+1，设C(m，m2+4m+1)，过C作CMy轴交AB于M，如图1，则M(m，m+1)，CMm2+4m+1m1m2+3m，SABCSACM+SBCM，C为直线AB上方抛物线上一点，0m3，时，ABC的面积最大值为，此时C()；(3)抛物线y(x2)2+5，将抛物线向右平移2个单位后得到的抛物线为：yx2+5，联立，解得，D(1，4)，如图2，当DADE，EDA90°，E在AD右侧时，过D作x轴平行线交y轴于N，过E作y轴平行线，两线交于F点DAN+NDANDA+EDF90°DANEDF，又DNAEFD90°，DADE，DNAEFD(AAS)，DNEF1，ANDF3，E(4，3)，当DADE，EDA90°，E在AD左侧，同理可得，E(2，5)，当ADAE，DAE90°，E在AD左侧时，同理可得，E(3，2)，当ADAE，DAE90°，E在AD右侧时，同理可得，E(3，0)，综上所述，E(4，3)或(2，5)或(3，2)或(3，0)3如图，已知抛物线yx2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A(1，0)，C(0，3)(1)求该抛物线的函数表达式；(2)抛物线与直线yx1交于A、E两点，P是x轴上点B左侧一动点，当以P、B、C为顶点的三角形与ABE相似时，求点P的坐标；(3)若F是直线BC上一动点，在抛物线上是否存在动点M，使MBF为等腰直角三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；否则说明理由【解答】解：(1)把A(1，0)，C(0，3)代入yx2+bx+c，得：，解得：，抛物线的函数表达式为yx2+2x+3；(2)联立直线AE和抛物线的函数关系式成方程组，得：，解得：，点E的坐标为(4，5)，AE5，在yx2+2x+3中，令y0，得：x2+2x+30，解得：x13，x21，点B的坐标为(3，0)，C(0，3)，OBOC3，BOC90°，CBO45°，BC3，直线AE的函数表达式为yx1，BAE45°CBO设点P的坐标为(m，0)，则PB3m，以P、B、C为顶点的三角形与ABE相似，或，或，解得：m或m，点P的坐标为(，0)或(，0)；(3)CBO45°，存在两种情况(如图2)取点M1与点A重合，过点M1作M1F1y轴，交直线BC于点F1，CBM145°，BM1F190°，此时BM1F1为等腰直角三角形，点M1的坐标为(1，0)；取点C(0，3)，连接BC，延长BC交抛物线于点M2，过点M2作M2F2y轴，交直线BC于点F2，点C、C关于x轴对称，OBC45°，CBC90°，BCBC，CBC为等腰直角三角形，M2F2y轴，M2BF2为等腰直角三角形点B(3，0)，点C(0，3)，直线BC的函数关系式为yx3，联立直线BC和抛物线的函数关系式成方程组，得：，解得：，点M2的坐标为(2，5)，综上所述：点M的坐标为(1，0)或(2，5)4如图，抛物线yax2+bx3(a0)与x轴交于A、B两点，交y轴于点C，OB3，抛物线经过点(2，5)(1)求该抛物线解析式；(2)如图1，该抛物线顶点D，连接BD、BC，点P是线段BD下方抛物线上一点，过点P作PEy轴，分别交线段BD、BC于点F、E，过点P作PGBD于点G，求2PG+EF的最大值，及此时点P的坐标；(3)如图2，在y轴左侧抛物线上有一动点M，在y轴上有一动点N，是否存在以AN为直角边的等腰直角三角形AMN？若存在，请直接写出点M的坐标【解答】解：(1)OB3，B(3，0)把C(3，0)和点(2，5)，代入抛物线yax2+bx3，得，解得，抛物线解析式为yx2+2x3；(2)延长PE与x轴交于点M，FMx轴，PGBD，如图所示，FMB90°，PGF90°，BFMPFG，MBFGPF，B(3，0)，D(1，4)，B、D两点的横坐标距离为2，纵坐标距离为4，由勾股定理得BD2，cosMBFcosGPF，2PG+EFEF+2FP，C(0，3)，设直线BC解析式为lBC：ykx+b(b0)，把B(3，0)和C(0，3)代入得，解得，lBC：yx3，同理，直线BD得解析式为：y2x6，设E(m，m3)，P(m，m2+2m3)，F(m，2m6)，EF+2FPm3(2m6)+2(2m6)(m2+2m3)2(m+)2+，当m时，EF+2FP有最大值，2PG+EFEF+2FP，此时，P点坐标为P(，)；(3)存在，设N(0，y1)，M(x2，+2x23)，当y0时，代入抛物线yx2+2x+3中，解得两根为3和1，A在y轴右侧，A(1，0)，AN2OA2+ON21+y12，AM2(x21)2+(+2x23)2，MN2+(+2x23y1)2，当ANMN时，此时由ANMN，等腰直角三角形各边比为1：1：，M点横坐标为1或31，将M的横坐标为1或31，代入yx2+2x3中得，M点坐标为(1，2)或(31，14)，由ANMA得：M点横坐标为22或22，将M点横坐标为22或22代入yx2+2x+3中，得M点坐标为(22，17+844)或(22，33+844)，综上所述，M点坐标为(1，2)或(31，14)，(22，17+844)或(22，33+844)，5如图，抛物线C1：yx2+bx+c经过原点，与x轴的另一个交点为(2，0)，将抛物线C1向右平移m(m0)个单位得到物度C2，C2交x轴于A、B两点(点A在点B的左边)，交y轴于点C(1)求抛物线C1的解析式及顶点坐标；(2)以AC为斜边向上作等腰直角三角形ACD，当点D落在抛物线C2的对称轴上时，求抛物线C2的解析式及D点坐标【解答】解：(1)抛物线C1经过原点，与x轴的另一个交点为(2，0)，解得，抛物线C1的解析式为yx22x，抛物线C1的顶点坐标(1，1)(2)如图，抛物线C1的向右平衡m(m0)个单位得到抛物线C2，C2的解析式为y(xm1)21，A(m，0)，B(m+2，0)，C(0，m2+2m)，过点C作CH对称轴DE，垂足为H，ACD为等腰直角三角形，ADCD，ADC90°，CDH+ADE90°，HCDADE，DEA90°，CHDDEA，AEHD1，CHDEm+1，EHHD+DE1+m+1m+2，由OCEH得m2+2mm+2，解得m11，m22(舍去)，抛物线C2的解析式为：y(x2)21，D点坐标(2，2)6已知：如图，抛物线yax2+bx+6与x轴交于点B(6，0)，C(2，0)，与y轴交于点A，点P是线段AB上方抛物线上的一个动点(1)如图，连接PA、PB设PAB的面积为S，点P的横坐标为m请说明当点P运动到什么位置时，PAB的面积有最大值？(2)过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作PEx轴交抛物线于点E，连接DE，请问是否存在点P使PDE为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：(1)抛物线yax2+bx+6与x轴交于点B(6，0)，C(2，0)，可设抛物线的表达式为：ya(x+2)(x6)，12a6，解得a，抛物线的表达式为：yx2+2x+6，A(0，6)直线AB的表达式为：yx+6，点P的横坐标为m，则P(m，m2+2m+6)，过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，则D(m，m+6)，S×OB×PD×6×(m2+2m+6+m6)(m3)2+，当m3时，S的值取最大，此时P(3，)；(2)存在，理由如下：由题意可知，PDPE，若PDE是等腰直角三角形，则PEPD，由(1)可得，PDm2+2m+6+m6m2+3m，PEx轴，E(4m，m2+2m+6)，PE|2m4|，|2m4|m2+3m，解得m12(舍)，m24，m35+(舍)，m45，当PDE是等腰直角三角形时，点P的坐标为(4，6)，(5，35)7如图1二次函数yx2+6与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C(1)求出点A，B，C的坐标；(2)连接AC，求直线AC的表达式；(3)如图2，点D为线段AC上的一个动点，连接BD，以点D为直角顶点，BD为直角边，在x轴的上方作等腰直角三角形BDE，若点E在y轴上时，求点D的坐标；(4)若点D在线段AC上，点D由A到C运动的过程中，以点D为直角顶点，BD为直角边作等腰直角三角形BDE，当抛物线的顶点C在等腰直角三角形BDE的边上(包括三角形的顶点)时，请直接写出顶点E的坐标【解答】解：(1)当x0时，y6C点坐标为(0，6)当y0时，解得x14，x24A点在B点左侧，点A坐标为(4，0)，点B坐标为(4，0)(2)设直线AC的表达式为：ykx+b点A坐标为(4，0)，点C坐标为(6，0)解得直线AC的表达式为(3)如答图1，过点D分别作DFx轴于点F，DGy轴于G.四边形DGOF为矩形，FDG90°BDE为等腰直角三角形，BD为直角边BDED，EDB90°EDBGDBFDGGDB即EDGBDF在BDF和EDG中，BDFEDG(AAS)DFDG设点D的坐标为(m，)解得m，点D的坐标为()(4)由(2)可得直线AC的表达式为点D在直线AC上，设点D坐标为()设直线BC的解析式为：ykx+b将B(4，0)，C(0，6)代入得解得直线BC的解析式为当C位于斜边BE上时，点E在直线BC上，设点E坐标为(b，)如答图2所示.作EMx轴于点M，DQx轴于点Q，DNEM于点N易知四边形DQMN为矩形QDN90°BDE为等腰直角三角形，BD为直角边BDED，EDB90°EDBNDBQDNNDB即EDNBDQ在BDQ和EDN中，BDQEDN(AAS)DNDQ，ENBQE坐标为(b，)，D坐标为()DNba，ENDQ，BQ4a解得点E的坐标是()当点D在直角边DE上时，BD交y轴于点F，如答图3所示CDFBOF90°，CFDBFODCFOBFtanDCFtanOBF即亦即OF点F坐标为(0，)设直线BF解析式为ykx+b将B(4，0)，F(0，)代入得解得直线BF解析式为yB、F、D三点共线，亦即直线BD解析式为y联立直线AC解析式得解得故点D坐标为()BDAC，BDDE，BD2DE2解得b点E的坐标为()当点D与点C重合时，即点C为直角顶点时如答图4所示.作EGy轴于点GBCE90°ECG+BCO90°又ECG+GEC90°BCOGEC在GEC和OCB中，GECOCB(AAS)GEOC6，GCOB4点E的坐标为(6，10)由图知点E关于点C对称的点E'亦满足题意则由中点坐标公式可得点E'的横坐标为2×066，纵坐标为2×6102故点E'坐标为(6，2)综上所述，点E的坐标为()或()或(6，10)或(6，2)8如图，抛物线yax2+bx+5交x轴于A(1，0)、B(5，0)两点，交y轴于点C(1)求抛物线的解析式；(2)点P是对称轴上一点，当PA+PC达到最小值时，求点P的坐标；(3)M、N为线段BC上两点(N在M的右侧，且M、N不与B、C重合)，MN2，在第一象限的抛物线上是否存在这样的点R，使MNR为等腰直角三角形？若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：(1)抛物线yax2+bx+5交x轴于A(1，0)，B(5，0)，解得：，抛物线的解析式为：yx2+4x+5；(2)当x0时，y5，C(0，5)，A与B关于抛物线的对称轴对称，直线BC与对称轴的交点就是点P，此时PA+PC达到最小值，yx2+4x+5(x2)2+9，抛物线对称轴为直线x2，设直线BC的解析式为：ykx+b(k0)，点B坐标为(5，0)，则，解得：，直线BC的解析式为yx+5，与对称轴的交点为(2，3)，点P的坐标(2，3)；(3)分三种情况：以点M为直角顶点，如图1，MN2，RNMN4，C(0，5)，B(5，0)，OCOB5，OCBOBC45°，RNM45°BCO，RNOC，由(2)知：直线BC的解析式为yx+5，设R(m，m2+4m+5)，则N(m，m+5)，则RN(m2+4m+5)(m+5)4，解得m14，m21，点N在点M右侧，m4，R(4，5)；以点R为直角顶点，如图2，MN2，RNMN2，设R(m，m2+4m+5)，则Q(m，m+5)，RN(m2+4m+5)(m+5)2，解得m1，m2，点N在点M右侧，m，R(，)；以点N为直角顶点，如图3，MN2，RMMN4，RMNOBC45°，MROB，设R(m，m2+4m+5)，则M(m4，m2+4m+5)，把M(m4，m2+4m+5)代入yx+5，得(m4)+5m2+4m+5，解得m14，m21，此时点M(0，5)，因为点M在线段BC上运动，且不与B、C重合，所以不存在以N为直角顶点的情况；综上所述：当 R(4，5)或(，)时，MNR为等腰直角三角形9抛物线yax26ax+4(a0)交y轴正半轴于点C，交x轴负半轴于点A，交x轴正半轴于点B，且AB10(1)如图(1)，求抛物线的解析式；(2)如图(2)，连接BC，点P为第一象限抛物线上一点，设点P横坐标为t，PBC的面积为S，求S与t之间的函数关系式(不用写出自变量t的取值范围)；(3)如图(3)，在(2)的条件下，连接PA交y轴于点D，过点P作x轴的垂线，交x轴于点E，交BC于点F，连接DF，当APE+CFD90°时，在抛物线上是否存在点Q，使得点Q、PE的中点N、点C、是构成以CN为斜边的等腰直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由【解答】解：(1)如图1中，设A(m，0)，B(n，0)，由题意：，解得，A(2，0)，B(8，0)，把A(2，0)代入yax26ax+4，得到a，抛物线的解析式为yx2+x+4 (2)如图2中，连接OP设P(t，t2+t+4)，B(8，0)，C(0，4)，OB8，OC4，SSPOC+SPOBSOBC×4×t+×8×(t2+t+4)×4×8t2+8t(0t8) (3)存在理由：如图3中，设P(t，t2+t+4)，A(2，0)，B(8，0)，C(0，4)，直线PA的解析式为y(t8)xt+4，直线BC的解析式为yx+4，PEx轴，F(t，t+4)，D(0，t+4)，FDAB，CFDCBA，APF+CFD90°，APF+PAE90°，PABCFDCBO，tanCBOtanPAB，OA2，OD1，t+41，t6，P(6，4)，E(6，0)，PNNE，N(6，2)，C(0，4)，CNQ是等腰直角三角形，CN是斜边，当点Q在CN的上方时，如图3，过点Q作x轴的平行线交y轴于点G，交EP的延长线于点H，设点Q(s，k)，易证QGCNHQ(AAS)，则GCQH，GQHN，即sk2，k46s，解得，点Q的坐标为(4，6)，当x4时，y×42+×4+46，点Q在抛物线yx2+x+4上，满足条件的点Q的坐标为(4，6)10如图，抛物线yax2+bx过A(4，0)，B(1，3)两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BHx轴，交x轴于点H(1)求抛物线的表达式；(2)直接写出点C的坐标和ABC的面积(3)点P是抛物线对称轴上一点，且使得PAPC最大，求点P的坐标(4)若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，当以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时CMN的面积【解答】解：(1)抛物线yax2+bx过A(4，0)，B(1，3)两点，解得，抛物线的解析式为yx2+4x (2)如图1中，yx2+4x(x2)2+4，对称轴x2，B，C关于对称轴对称，B(1，3)，C(3，3)，SABC×2×33 (3)如图1中，A(4，0)，C(3，3)，直线AC的解析式为y3x+12，PAPCAC，当点P在直线AC上时，PAPC的值最大，此时P(2，6) (4)如图41中，如图，当CNM90°，NCNM时，可知N(4，0)，M(1，1)，CNNM，SMNC×CN×MN5 如图42中，当CMN90°，MNMC时，M(1，2)，N(4，0)，可知MNMC，SMNC 如图43中，当CMN90°，MCMN时，可知M(1，2)，N(2，0)，MNCM，SMNC××，如图44中，当CNM90°，CNMN时，N(2，0)，M(1，5)，可得SMNC17 综上所述，满足条件的MNC的面积为5或或或17中考数学压轴题-二次函数-存在性问题第12节 相似三角形的存在性 方法点拨三角形相似的判定方法、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似、平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，可简述为两角对应相等，两三角形相似。、判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简述为三边对应成比例，两三角形相似 例题演练1如图已知抛物线yax2+bx+3与x轴交于A(1，0)、B两点，与y轴交于点C对称轴为直线x1，P为顶点(1)求出点B的坐标及抛物线的表达式；(2)在x轴上是否存在点M，使得MOC与BCP相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由2如图所示，抛物线yx2+bx+c与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C(0，3)，其对称轴x1与x轴相交于点D，点M为抛物线的顶点(1)求抛物线的表达式(2)若直线CM交x轴于点E，求证：BCEC(3)若点P是线段EM上的一个动点，是否存在以点P、E、O为顶点的三角形与ABC相似若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由3如图，已知二次函数yx2+bx+c的图象经过点A(4，0)和点B(3，2)，点C是函数图象与y轴的公共点、过点C作直线CEAB(1)求这个二次函数的解析式；(2)求直线CE的表达式；(3)如果点D在直线CE上，且四边形ABCD是等腰梯形，求点D的坐标；(4)若P是抛物线上x轴上方的一动点，过P作PMx轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由4已知，如图，已知抛物线yax2+bx与x轴交于A(3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C，连接AC，BC，若点M是x轴上的动点(不与点B重合)，MNAC于点N，连接CM(1)求抛物线的解析式；(2)当MN1时，求点N的坐标；(3)是否存在以点C，M，N为顶点的三角形与ABC相似，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由5如图，抛物线yax28x+c经过A(2，0)，B(6，0)两点，直线l为抛物线的对称轴并与x轴交于点C直线yx+2与抛物线分别交于点B，D两点，与直线l交于点E(1)求抛物线的解析式；(2)若以点A为圆心适当的长为半径画圆，使圆A与直线BD相切于点F，求点F的坐标并说明直线l，y轴与圆A的位置关系(3)在(2)的条件下，在圆A上是否存在点G，使得以G，O，C为顶点的三角形与BCE相似若存在，请直接写出G点坐标；若不存在，请说明理由6如图所示，抛物线yax2+bx+c的图象过A(0，3)，B(1，0)，C(3，0)三点，顶点为P(1)求抛物线的解析式；(2)设点G在y轴上，且OGB+OABACB，求AG的长；(3)若ADx轴且D在抛物线上，过D作DEBC于E，M在直线DE上运动，点N在x轴上运动，是否存在这样的点M、N使以A、M、N为顶点的三角形与APD相似？若存在，请求出点M、N的坐标7如图，已知直线yx4与坐标轴分别交于点B、点C，二次函数yx2+2x的图象经过点C(1)求直线与抛物线的另一个交点A的坐标及线段AB的长；(2)若点D在x轴的正半轴上，是否存在以点D，C，B构成的三角形与OAB相似？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由8已知抛物线yx2+bx+c与x轴交于A，B两点(点A在点B左边)，与y轴交于点C直线yx4经过B，C两点(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，动点M，K同时从A点出发，点M以每秒4个单位的速度在线段AB上运动，点K以每秒个单位的速度在线段AC上运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动设运动的时间为t(t0)秒如图1，连接MK，再将线段MK绕点M逆时针旋转90°，设点K落在点H的位置，若点H恰好落在抛物线上，求t的值及此时点H的坐标；如图2，过点M作x轴的垂线，交BC于点D，交抛物线于点P，过点P作PNBC于N，当点M运动到线段OB上时，是否存在某一时刻t，使PNC与AOC相似若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由9如图，直线y2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，把AOB沿y轴翻折，点A落到点C，过点B的抛物线yx2+bx+c与直线BC交于点D(3，4)(1)求直线BD和抛物线的解析式；(2)在第一象限内的抛物线上，是否存在一点M，作MN垂直于x轴，垂足为点N，使得以M，O，N为顶点的三角形与BOC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由10如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2+bx+6与x轴交于点A(1，0)、B(3，0)，与y轴交于点C，点P是第一象限内抛物线上的动点(1)求抛物线的解析式；(2)连接BC与OP，交于点D，当PD：OD的值最大时，求点P的坐标；(3)点M在抛物线上运动，点N在y轴上运动，是否存在点M、点N使CMN90°，且CMN与BOC相似，若存在，请直接写出点M的坐标 中考数学压轴题-二次函数-存在性问题第12节 相似三角形的存在性 方法点拨三角形相似的判定方法、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似、平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，可简述为两角对应相等，两三角形相似。、判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的