专题13函数与等腰三角形综合问题-【压轴必刷】2022中考数学压轴大题之经典模型培优案含答案.docx

【压轴必刷】2022中考数学压轴大题之经典模型培优案专题13函数与等腰三角形综合问题 经典例题【例1】在平面直角坐标系中，抛物线yax24ax+3a(a0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，其顶点为C(1)求抛物线的对称轴；(2)当ABC为等边三角形时，求a的值；(3)直线l：ykx+b经过点A，并与抛物线交于另一点D(4，3)，点P为直线l下方抛物线上一点，过点P分别作PMy轴交直线l于点M，PNx轴交直线l于点N，记WPM+PN，求W的最大值【例2】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线yax2+bx+c与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点，与轴交于C(0，1)(1)求抛物线的函数表达式；(2)连接AC，BC，过O点的直线lBC，点E，D分别为直线l和抛物线上的点，试探究第一象限是否存在这样的点E，D，使BDE为等腰直角三角形？若存在，请求出所有的E点的坐标；若不存在，请说明理由【例3】如图，在平面直角坐标系中，二次函数yx2+bx+c的图象与坐标轴相交于A、B、C三点，其中A点坐标为(3，0)，B点坐标为(1，0)，连接AC、BC动点P从点A出发，在线段AC上以每秒个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从点B出发，在线段BA上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t秒(1)求b、c的值(2)在P、Q运动的过程中，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为多少？(3)在线段AC上方的抛物线上是否存在点M，使MPQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由【例4】如图，已知抛物线yax2+bx+4(a0)与x轴交于点A(1，0)和B，与y轴交于点C，对称轴为直线x(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，若点P是线段BC上的一个动点(不与点B，C重合)，过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ，当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由；(3)如图2，在(2)的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且DQE2ODQ在y轴上是否存在点F，使得BEF为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由【例5】如图1，平面直角坐标系xOy中，A(4，3)，反比例函数y=kx(k0)的图象分别交矩形ABOC的两边AC，AB于E、F两点(E、F不与A重合)，沿着EF将矩形ABOC折叠使A、D两点重合(1)AE (用含有k的代数式表示)；(2)如图2，当点D恰好落在矩形ABOC的对角线BC上时，求CE的长度；(3)若折叠后，ABD是等腰三角形，求此时点D的坐标培优训练1如图，二次函数yx2+bx+c的图象过点A(4，4)，B(2，m)，交y轴于点C(0，4)直线BO与抛物线相交于另一点D，连接AB，AD，点E是线段AB上的一动点，过点E作EFBD交AD于点F(1)求二次函数yx2+bx+c的表达式；(2)判断ABD的形状，并说明理由；(3)在点E的运动过程中，直线BD上存在一点G，使得四边形AFGE为矩形，请判断此时AG与BD的数量关系，并求出点E的坐标；(4)点H是抛物线的顶点，在(3)的条件下，点P是平面内使得EPF90°的点，在抛物线的对称轴上，是否存在点Q，使得HPQ是以PQH为直角的等腰直角三角形，若存在，直接写出符合条件的所有点Q的坐标；若不存在，请说明理由2如图1，抛物线yx2+bx+c过点A(1，0)，点B(3，0)，与y轴交于点C在x轴上有一动点E(m，0)(0m3)，过点E作直线lx轴，交抛物线于点M(1)求抛物线的解析式及C点坐标；(2)当m1时，D是直线l上的点且在第一象限内，若ACD是以DCA为底角的等腰三角形，求点D的坐标；(3)如图2，连接BM并延长交y轴于点N，连接AM，OM，设AEM的面积为S1，MON的面积为S2，若S12S2，求m的值3如图，已知抛物线ya(x+6)(x2)过点C(0，2)，交x轴于点A和点B(点A在点B的左侧)，抛物线的顶点为D，对称轴DE交x轴于点E，连接EC(1)直接写出a的值，点A的坐标和抛物线对称轴的表达式；(2)若点M是抛物线对称轴DE上的点，当MCE是等腰三角形时，求点M的坐标；(3)点P是抛物线上的动点，连接PC，PE，将PCE沿CE所在的直线对折，点P落在坐标平面内的点P处求当点P恰好落在直线AD上时点P的横坐标4如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线F1：ya(x)2+与x轴交于点A(，0)和点B，与y轴交于点C(1)求抛物线F1的表达式；(2)如图2，将抛物线F1先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线F2，若抛物线F1与抛物线F2相交于点D，连接BD，CD，BC求点D的坐标；判断BCD的形状，并说明理由；(3)在(2)的条件下，抛物线F2上是否存在点P，使得BDP为等腰直角三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由5如图，抛物线yx2x与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，经过点C的直线l与抛物线交于另一点E(4，a)，抛物线的顶点为点Q，抛物线的对称轴与x轴交于点D(1)求直线CE的解析式(2)如图2，P为直线CE下方抛物线上一动点，直线CE与x轴交于点F，连接PF，PC当PCF的面积最大时，求点P的坐标及PCF面积的最大值(3)如图3，连接CD，将(1)中抛物线沿射线CD平移得到新抛物线y，y经过点D，y的顶点为点H，在直线QH上是否存在点G，使得DQG为等腰三角形？若存在，求出点G的坐标6如图1，在平面直角坐标系中，抛物线yx2+bx+c经过点A(5，0)和点B(1，0)(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2)点P是抛物线上A、D之间的一点，过点P作PEx轴于点E，PGy轴，交抛物线于点G，过点G作GFx轴于点F，当矩形PEFG的周长最大时，求点P的横坐标；(3)如图2，连接AD、BD，点M在线段AB上(不与A、B重合)，作DMNDBA，MN交线段AD于点N，是否存在这样点M，使得DMN为等腰三角形？若存在，求出AN的长；若不存在，请说明理由7如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C(0，2)，点A的坐标是(2，0)，P为抛物线上的一个动点，过点P作PDx轴于点D，交直线BC于点E，抛物线的对称轴是直线x1(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点P在第二象限内，且PEOD，求PBE的面积(3)在(2)的条件下，若M为直线BC上一点，在x轴的上方，是否存在点M，使BDM是以BD为腰的等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由8如图所示，二次函数yk(x1)2+2的图象与一次函数ykxk+2的图象交于A、B两点，点B在点A的右侧，直线AB分别与x、y轴交于C、D两点，其中k0(1)求A、B两点的横坐标；(2)若OAB是以OA为腰的等腰三角形，求k的值；(3)二次函数图象的对称轴与x轴交于点E，是否存在实数k，使得ODC2BEC，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由9在平面直角坐标系中，抛物线yx2+x+2与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，顶点为D，对称轴与x轴交于点Q(1)如图1，连接AC，BC若点P为直线BC上方抛物线上一动点，过点P作PEy轴交BC于点E，作PFBC于点F，过点B作BGAC交y轴于点G点H，K分别在对称轴和y轴上运动，连接PH，HK当PEF的周长最大时，求PH+HK+KG的最小值及点H的坐标(2)如图2，将抛物线沿射线AC方向平移，当抛物线经过原点O时停止平移，此时抛物线顶点记为D，N为直线DQ上一点，连接点D，C，N，DCN能否构成等腰三角形？若能，直接写出满足条件的点N的坐标；若不能，请说明理由10如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(m，m)，点B的坐标为(n，n)，抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C已知实数m、n(mn)分别是方程x22x30的两根(1)求抛物线的解析式；(2)若点P为线段OB上的一个动点(不与点O、B重合)，直线PC与抛物线交于D、E两点(点D在y轴右侧)，连接OD、BD求BOD面积的最大值，并写出此时点D的坐标；当OPC为等腰三角形时，请直接写出点P的坐标11如图，开口向上的抛物线与x轴交于A(x1，0)、B(x2，0)两点，与y轴交于点C，且ACBC，其中x1，x2是方程x2+3x40的两个根(1)求点C的坐标，并求出抛物线的表达式；(2)垂直于线段BC的直线l交x轴于点D，交线段BC于点E，连接CD，求CDE的面积的最大值及此时点D的坐标；(3)在(2)的结论下，抛物线的对称轴上是否存在点P，使得PDE是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由12抛物线yax2+bx+3过点A(1，0)，点B(3，0)，顶点为C(1)求抛物线的表达式及点C的坐标；(2)如图1，点P在抛物线上，连接CP并延长交x轴于点D，连接AC，若DAC是以AC为底的等腰三角形，求点P的坐标；(3)如图2，在(2)的条件下，点E是线段AC上(与点A，C不重合)的动点，连接PE，作PEFCAB，边EF交x轴于点F，设点F的横坐标为m，求m的取值范围13如图，直线yx+4与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线yx2+bx+c经过B，C两点，与x轴另一交点为A点P以每秒2个单位长度的速度在线段BC上由点B向点C运动(点P不与点B和点C重合)，设运动时间为t秒，过点P作x轴垂线交x轴于点E，交抛物线于点M(1)求抛物线的解析式；(2)如图，过点P作y轴垂线交y轴于点N，连接MN交BC于点Q，当MQNQ=12时，求t的值；(3)如图，连接AM交BC于点D，当PDM是等腰三角形时，直接写出t的值14如图，抛物线yax2+bx+4交x轴于A(3，0)，B(4，0)两点，与y轴交于点C，连接AC，BC点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m(1)求此抛物线的表达式；(2)过点P作PMx轴，垂足为点M，PM交BC于点Q试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由；(3)过点P作PNBC，垂足为点N请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？15如图，在直角坐标系xOy中，反比例函数y=1x(x0)的图象与直线ykx+b交于点A(m，2)、B(4，n)连接OA、OB(1)求直线ykx+b的解析式；(2)若点C是y轴上的点，当AOC为等腰三角形时，请直接写出点C的坐标；(3)求AOB的面积16在平面直角坐标系xOy中，已知A(0，2)，动点P在y=33x的图象上运动(不与O重合)，连接AP过点P作PQAP，交x轴于点Q，连接AQ(1)求线段AP长度的取值范围；(2)试问：点P运动的过程中，QAP是否为定值？如果是，求出该值；如果不是，请说明理由(3)当OPQ为等腰三角形时，求点Q的坐标17已知抛物线ya(x2)2+c经过点A(2，0)和C(0，94)，与x轴交于另一点B，顶点为D(1)求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；(2)如图，点E，F分别在线段AB，BD上(E点不与A，B重合)，且DEFA，则DEF能否为等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由；(3)若点P在抛物线上，且SPBDSCBD=m，试确定满足条件的点P的个数18如图所示，二次函数yk(x1)2+2的图象与一次函数ykxk+2的图象交于A、B两点，点B在点A的右侧，直线AB分别与x、y轴交于C、D两点，其中k0(1)求A、B两点的横坐标；(2)若OAB是以OA为腰的等腰三角形，求k的值；(3)二次函数图象的对称轴与x轴交于点E，是否存在实数k，使得ODC2BEC，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由19如图：一次函数y=-34x+3的图象与坐标轴交于A、B两点，点P是函数y=-34x+3(0x4)图象上任意一点，过点P作PMy轴于点M，连接OP(1)当AP为何值时，OPM的面积最大？并求出最大值；(2)当BOP为等腰三角形时，试确定点P的坐标20已知一次函数y3x+3的图象分别与x轴，y轴交于A，B两点，点C(3，0)(1)如图1，点D与点C关于y轴对称，点E在线段BC上且到两坐标轴的距离相等，连接DE，交y轴于点F求点E的坐标；AOB与FOD是否全等，请说明理由；(2)如图2，点G与点B关于x轴对称，点P在直线GC上，若ABP是等腰三角形，直接写出点P的坐标【压轴必刷】2022中考数学压轴大题之经典模型培优案专题13函数与等腰三角形综合问题经典例题【例1】在平面直角坐标系中，抛物线yax24ax+3a(a0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，其顶点为C(1)求抛物线的对称轴；(2)当ABC为等边三角形时，求a的值；(3)直线l：ykx+b经过点A，并与抛物线交于另一点D(4，3)，点P为直线l下方抛物线上一点，过点P分别作PMy轴交直线l于点M，PNx轴交直线l于点N，记WPM+PN，求W的最大值【分析】(1)根据对称轴直线公式直接代入系数即可；(2)若ABC为等边三角形，则C点的纵坐标等于AB，即可求出a值；(3)把D点代入解析式可求出抛物线解析式，A点坐标和D点坐标可确定直线解析式，设出P点坐标，分别用P点横坐标字母表示出PM和PN，利用二次函数性质求出最值即可【解答】解：(1)抛物线yax24ax+3a(a0)，对称轴为直线x2，即对称轴为直线x2；(2)当y0时，ax24ax+3a0，解得x11，x23，A(1，0)，B(3，0)，当ABC为等边三角形时，抛物线开口向上，C点的横坐标为2，纵坐标为ACsin60°ABsin60°AB×(31)，即C(2，)，把C点坐标代入抛物线得4a8a+3a，解得a；(3)A(1，0)，D(4，3)在直线ykx+b上，解得，直线l的解析式为yx1，抛物线过点D(4，3)，316a16a+3a，解得a1，抛物线解析式为yx24x+3，PMy轴交直线l于点M，PNx轴交直线l于点N，设P点坐标为(m，m24m+3)，M点坐标为(m，m1)，点P与N的纵坐标相同，m24m+3xN1，xNm24m+4，PMyMyPm1m2+4m3m2+5m4，PNxPxNmm2+4m4m2+5m4，WPM+PNm2+5m4m2+5m42(m)2+，当m时，W有最大值，最大值为【例2】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线yax2+bx+c与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点，与轴交于C(0，1)(1)求抛物线的函数表达式；(2)连接AC，BC，过O点的直线lBC，点E，D分别为直线l和抛物线上的点，试探究第一象限是否存在这样的点E，D，使BDE为等腰直角三角形？若存在，请求出所有的E点的坐标；若不存在，请说明理由【分析】(1)用待定系数法即可求解；(2)当EBD为直角时，证明BMEDNB(AAS)，求出点D的坐标为(3+m，3m)，进而求解；当EDB为直角时，同理可解【解答】解：(1)将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得，解得，故抛物线的表达式为yx2x1；(2)存在，理由：由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为yx1，lBC，且过点O，则直线l的表达式为yx，故设点E的坐标为(m，m)，而点B的坐标为(3，0)，当EBD为直角时，则BEBD，分别过点E、D作x轴的垂线，垂足分别为M、N，EBM+DBN90°，DBN+BDN90°，EBMBDN，又BMEDNB90°，BEBD，BMEDNB(AAS)，BNEMm，DNBM3m，故点D的坐标为(3+m，3m)，将点D的坐标代入抛物线表达式得：3m(3+m)2(3+m)1，解得m(负值已舍去)，故点E的坐标为(，)；当EDB为直角时，当点D在点E的右侧时，如图2，设点D的坐标为(x，y)，过点D作MNx轴交x轴于点N，过点E作EMMN于点M，同理可得：EMDDNB(AAS)，则EMDN，MDBN，即xmy，myx3，解得，即点D的坐标为(，)，将点D的坐标代入抛物线表达式得：()2()1，整理得：16m2+60m2970，解得：m(负值已舍去)，故点E的坐标为(，)；当点D在点E的左侧时，如图3，过点D作MNx轴，过点E作ENMN于点N，作BMMN于点M，同理可得，点D的坐标为(，)，将点D的坐标代入抛物线表达式并整理得：4m260m+270，解得m(不合题意的值已舍去)，故点E的坐标为(，)；当点DEB为直角时，如图4，过点E作MNx轴于点N，过点D作DMMN于点M，同理可得，点D的坐标为(m，3)，将点D的坐标代入抛物线表达式并整理得：2m224m+270，解得m(不合题意的值已舍去)，故点E的坐标为(，)；综上，点E的坐标为(，)或(，)或(，)或(，)【例3】如图，在平面直角坐标系中，二次函数yx2+bx+c的图象与坐标轴相交于A、B、C三点，其中A点坐标为(3，0)，B点坐标为(1，0)，连接AC、BC动点P从点A出发，在线段AC上以每秒个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从点B出发，在线段BA上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t秒(1)求b、c的值(2)在P、Q运动的过程中，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为多少？(3)在线段AC上方的抛物线上是否存在点M，使MPQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由【分析】(1)利用待定系数法求解即可；(2)过点P作PHx轴，垂足为E，利用S四边形BCPQSABCSAPQ表示出四边形BCPQ的面积，求出t的范围，利用二次函数的性质求出最值即可；(3)画出图形，过点P作x轴的垂线，交x轴于E，过M作y轴的垂线，与EP交于F，证明PFMQEP，得到MFPEt，PFQE42t，得到点M的坐标，再代入二次函数表达式，求出t值，即可算出M的坐标【解答】解：(1)二次函数yx2+bx+c的图象经过点A(3，0)，B(1，0)，则 ，解得：；(2)由(1)得：抛物线表达式为yx2+2x+3，C(0，3)，A(3，0)，OAC是等腰直角三角形，BAC45°，由点P的运动可知：APt，过点P作PHx轴，垂足为H，如图，AHPHt，即H(3t，0)，又Q(1+t，0)，S四边形BCPQSABCSAPQ(t2)2+4，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，AC，AB4，0t3，当t2时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为4；(3)存在假设点M是线段AC上方的抛物线上的点，如图，过点P作x轴的垂线，交x轴于E，过M作y轴的垂线，与EP交于F，连接MQ，MPPMQ是等腰直角三角形，PMPQ，MPQ90°，MPF+QPE90°，又MPF+PMF90°，PMFQPE，在PFM和QEP中，PFMQEP(AAS)，MFPEt，PFQE42t，EF42t+t4t，又OE3t，点M的坐标为(32t，4t)，点M在抛物线yx2+2x+3上，4t(32t)2+2(32t)+3，解得：t或(舍)，M点的坐标为(，)【例4】如图，已知抛物线yax2+bx+4(a0)与x轴交于点A(1，0)和B，与y轴交于点C，对称轴为直线x(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，若点P是线段BC上的一个动点(不与点B，C重合)，过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ，当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由；(3)如图2，在(2)的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且DQE2ODQ在y轴上是否存在点F，使得BEF为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由【分析】(1)用待定系数法即可求解；(2)设点P的坐标为(x，x+4)，则点Q的坐标为(x，x25x+4)，则PQ(x+4)(x25x+4)x2+4x，进而求解；(3)当DQE2ODQ，则HQAHQE，则直线AQ和直线QE关于直线QH对称，进而求出点E的坐标为(5，4)，再分BEBF、BEEF、BFEF三种情况，分别求解即可【解答】解：(1)由题意得：，解得，故抛物线的表达式为yx25x+4；(2)对于yx25x+4，令yx25x+40，解得x1或4，令x0，则y4，故点B的坐标为(4，0)，点C(0，4)，设直线BC的表达式为ykx+t，则，解得，故直线BC的表达式为yx+4，设点P的坐标为(x，x+4)，则点Q的坐标为(x，x25x+4)，则PQ(x+4)(x25x+4)x2+4x，10，故PQ有最大值，当x2时，PQ的最大值为4CO，此时点Q的坐标为(2，2)；PQCO，PQOC，故四边形OCPQ为平行四边形；(3)D是OC的中点，则点D(0，2)，由点D、Q的坐标，同理可得，直线DQ的表达式为y2x+2，过点Q作QHx轴于点H，则QHCO，故AQHODA，而DQE2ODQHQAHQE，则直线AQ和直线QE关于直线QH对称，故设直线QE的表达式为y2x+r，将点Q的坐标代入上式并解得r6，故直线QE的表达式为y2x6，联立并解得(不合题意的值已舍去)，故点E的坐标为(5，4)，设点F的坐标为(0，m)，由点B、E的坐标得：BE2(54)2+(40)217，同理可得，当BEBF时，即16+m217，解得m±1；当BEEF时，即25+(m4)217，方程无解；当BFEF时，即16+m225+(m4)2，解得m；故点F的坐标为(0，1)或(0，1)或(0，)【例5】如图1，平面直角坐标系xOy中，A(4，3)，反比例函数y=kx(k0)的图象分别交矩形ABOC的两边AC，AB于E、F两点(E、F不与A重合)，沿着EF将矩形ABOC折叠使A、D两点重合(1)AE4-k3(用含有k的代数式表示)；(2)如图2，当点D恰好落在矩形ABOC的对角线BC上时，求CE的长度；(3)若折叠后，ABD是等腰三角形，求此时点D的坐标【分析】(1)根据点A的坐标可得点E的纵坐标为3，所以得CE=k3，从而得AE的长；(2)如图2中，连接AD交EF于M，想办法证明AEFACB，推出EFBC，再利用平行线的性质和等腰三角形的判定证明AEEC2即可；(3)分三种情况讨论：ADBD，ADAB，ABBD，分别计算DN和BN的长确定点D的坐标即可解答【解答】解：(1)四边形ABOC是矩形，且A(4，3)，AC4，OC3，点E在反比例函数y=kx上，E(k3，3)，CE=k3，AE4-k3；故答案为：4-k3；(2)如图2，A(4，3)，AC4，AB3，ACAB=43，点F在y=kx上，F(4，k4)，AEAF=4-k33-k4=43，AEAF=ACAB=43，AA，AEFACB，AEFACB，EFBC，FEDCDE，连接AD交EF于M点，AEFDEF，AEMDEM，AEDE，FEDCDEAEFACB，CEDEAE=12AC2；(3)过D点作DNAB，当BDAD时，如图3，有AND90°，ANBN=12AB=32，DAN+ADN90°，DAN+AFM90°，ADNAFM，tanADNtanAFM=AEAF=43，ANDN=43，AN=32，DN=98，D(4-98，32)，即D(238，32)；当ABAD3时，如图4，在RtADN中，sinADNsinAFM=AEAF=43，ANAD=45，AN=45AD=45×3=125，BN3AN3-125=35，DN=34AN=34×125=95，D(4-95，35)，即D(115，35)；当ABBD时，AEFDEF，DFAF，DF+BFAF+BF，即DF+BFAB，DF+BFBD，此时D、F、B三点共线且F点与B点重合，不符合题意舍去，ABBD，综上所述，所求D点坐标为(238，32)或(115，35)培优训练1如图，二次函数yx2+bx+c的图象过点A(4，4)，B(2，m)，交y轴于点C(0，4)直线BO与抛物线相交于另一点D，连接AB，AD，点E是线段AB上的一动点，过点E作EFBD交AD于点F(1)求二次函数yx2+bx+c的表达式；(2)判断ABD的形状，并说明理由；(3)在点E的运动过程中，直线BD上存在一点G，使得四边形AFGE为矩形，请判断此时AG与BD的数量关系，并求出点E的坐标；(4)点H是抛物线的顶点，在(3)的条件下，点P是平面内使得EPF90°的点，在抛物线的对称轴上，是否存在点Q，使得HPQ是以PQH为直角的等腰直角三角形，若存在，直接写出符合条件的所有点Q的坐标；若不存在，请说明理由【分析】(1)把A，C两点坐标代入抛物线的解析式，转化为解方程组，即可解决问题(2)求出AB，AD，BD，利用勾股定理的逆定理判断即可(3)利用矩形的性质以及平行线分线段成比例定理证明BEAE，BGGD，即可解决问题(4)如图2中，设EF的中点为K，P(x，y)，连接PK求直线PH的解析式，想办法构建方程求出点P的纵坐标y即可解决问题【解答】解：(1)二次函数yx2+bx+c的图象过点A(4，4)，点C(0，4)，解得，二次函数的解析式为yx2x4(2)ABD是直角三角形，理由：B(2，m)在yx2x4，B(2，1)，直线OB的解析式为yx，由，解得(即点B)或，D(8，4)，A(4，4)，AB3，AD4，BD5，BD2AB2+AD2，BAD90°，ABD是直角三角形(3)结论AGBD理由：如图1中，连接AG，交EF于H四边形AEGF是矩形，AHHG，EHFH，EFBD，1，AEBE，E(1，)，EHFH，BGGD，BAD90°，AGBD(4)如图2中，设EF的中点为K，P(x，y)，连接PKE(1，)，F(6，0)，K(，)，EF，EPF90°，点P在以EF为直径的K上运动，PQH是等腰直角三角形，PQH90°，QHP45°，抛物线的顶点H(2，5)，直线PH的解析式为yx7，PKEF，(x)2+(y+)2()2，(y+7)2+(y+)2()2，解得y4或，Q(2，4)或(2，)2如图1，抛物线yx2+bx+c过点A(1，0)，点B(3，0)，与y轴交于点C在x轴上有一动点E(m，0)(0m3)，过点E作直线lx轴，交抛物线于点M(1)求抛物线的解析式及C点坐标；(2)当m1时，D是直线l上的点且在第一象限内，若ACD是以DCA为底角的等腰三角形，求点D的坐标；(3)如图2，连接BM并延长交y轴于点N，连接AM，OM，设AEM的面积为S1，MON的面积为S2，若S12S2，求m的值【分析】(1)用待定系数法即可求解；(2)若ACD是以DCA为底角的等腰三角形，则可以分CDAD或ACAD两种情况，分别求解即可；(3)S1AE×yM，2S2ONxM，即可求解【解答】解：(1)将点A、B的坐标代入抛物线表达式得，解得，故抛物线的表达式为yx2+2x+3，当x0时，y3，故点C(0，3)；(2)当m1时，点E(1，0)，设点D的坐标为(1，a)，由点A、C、D的坐标得，AC，同理可得：AD，CD，当CDAD时，即，解得a1；当ACAD时，同理可得a(舍去负值)；故点D的坐标为(1，1)或(1，)；(3)E(m，0)，则设点M(m，m2+2m+3)，设直线BM的表达式为ysx+t，则，解得，故直线BM的表达式为y(m1)x+3m+3，当x0时，y3m+3，故点N(0，3m+3)，则ON3m+3；S1AE×yM×(m+1)×(m2+2m+3)，2S2ONxM(3m+3)×mS1×(m+1)×(m2+2m+3)，解得m2±或1(舍去负值)，故m23如图，已知抛物线ya(x+6)(x2)过点C(0，2)，交x轴于点A和点B(点A在点B的左侧)，抛物线的顶点为D，对称轴DE交x轴于点E，连接EC(1)直接写出a的值，点A的坐标和抛物线对称轴的表达式；(2)若点M是抛物线对称轴DE上的点，当MCE是等腰三角形时，求点M的坐标；(3)点P是抛物线上的动点，连接PC，PE，将PCE沿CE所在的直线对折，点P落在坐标平面内的点P处求当点P恰好落在直线AD上时点P的横坐标【分析】(1)将点C坐标代入抛物线解析式中，即可得出结论；(2)分三种情况：直接利用等腰三角形的性质，即可得出结论；(3)先判断出PQEP'Q'E(AAS)，得出PQP'Q'，EQEQ'，进而得出P'Q'n，EQ'QEm+2，确定出点P'(n2，2+m)，将点P'的坐标代入直线AD的解析式中，和点P代入抛物线解析式中，联立方程组，求解即可得出结论【解答】解：(1)抛物线ya(x+6)(x2)过点C(0，2)，2a(0+6)(02)，a，抛物线的解析式为y(x+6)(x2)(x+2)2+，抛物线的对称轴为直线x2；针对于抛物线的解析式为y(x+6)(x2)，令y0，则(x+6)(x2)0，x2或x6，A(6，0)；(2)如图1，由(1)知，抛物线的对称轴为x2，E(2，0)，C(0，2)，OCOE2，CEOC2，CED45°，CME是等腰三角形，当MEMC时，ECMCED45°，CME90°，M(2，2)，当CECM时，MM1CM2，EM14，M1(2，4)，当EMCE时，EM2EM32，M2(2，2)，M3(2，2)，即满足条件的点M的坐标为(2，2)或(2，4)或(2，2)或(2，2)；(3)如图2，由(1)知，抛物线的解析式为y(x+6)(x2)(x+2)2+，D(2，)，令y0，则(x+6)(x2)0，x6或x2，点A(6，0)，直线AD的解析式为yx+4，过点P作PQx轴于Q，过点P'作P'Q'DE于Q'，EQ'P'EQP90°，由(2)知，CEDCEB45°，由折叠知，EP'EP，CEP'CEP，PQEP'Q'E(AAS)，PQP'Q'，EQEQ'，设点P(m，n)，OQm，PQn，P'Q'n，EQ'QEm+2，点P'(n2，2+m)，点P'在直线AD上，2+m(n2)+4，点P在抛物线上，n(m+6)(m2)，联立解得，m或m，即点P的横坐标为或4如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线F1：ya(x)2+与x轴交于点A(，0)和点B，与y轴交于点C(1)求抛物线F1的表达式；(2)如图2，将抛物线F1先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线F2，若抛物线F1与抛物线F2相交于点D，连接BD，CD，BC求点D的坐标；判断BCD的形状，并说明理由；(3)在(2)的条件下，抛物线F2上是否存在点P，使得BDP为等腰直角三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【分析】(1)把点A(，0