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2024中考数学几何模型12讲第11讲阿氏圆最值模型含解析中考数学几何模型11：阿氏圆最值模型名师点睛 拨开云雾 开门见山在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题【模型来源】“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知A、B两点，点P满足PA：PB=k（k1），则满足条件的所有的点P的轨迹构成的图形为圆这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”.【模型建立】如图 1 所示，O 的半径为R，点 A、B 都在O 外 ，P为O上一动点，已知R=OB，连接 PA、PB，则当“PA+PB”的值最小时，P 点的位置如何确定？ 解决办法：如图2，在线段 OB 上截取OC使 OC=R，则可说明BPO与PCO相似，则有PB=PC。故本题求“PA+PB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，其中与A与C为定点，P为动点，故当 A、P、C 三点共线时，“PA+PC”值最小。【技巧总结】计算的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形问题：在圆上找一点P使得的值最小，解决步骤具体如下：1. 如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP，OB2. 计算出这两条线段的长度比3. 在OB上取一点C，使得，即构造POMBOP，则，4. 则，当A、P、C三点共线时可得最小值典题探究 启迪思维 探究重点例题1. 如图，在RtABC中，C=90°，AC=4，BC=3，以点C为圆心，2为半径作圆C，分别交AC、BC于D、E两点，点P是圆C上一个动点，则的最小值为_ 变式练习>>>1如图1，在RTABC中，ACB=90°，CB=4，CA=6，圆C的半径为2，点P为圆上一动点，连接AP,BP，求，的最小值. 例题2. 如图，点C坐标为(2,5)，点A的坐标为(7,0)，C的半径为,点B在C上一动点，的最小值为_.变式练习>>>2如图，在平面直角坐标系xoy中，A(6,-1)，M(4,4)，以M为圆心，为半径画圆，O为原点，P是M上一动点，则PO+2PA的最小值为_.例题3. 如图，半圆的半径为1，AB为直径，AC、BD为切线，AC1，BD2，P为上一动点，求PC+PD的最小值变式练习>>>3如图，四边形ABCD为边长为4的正方形，B的半径为2，P是B上一动点，则PD+PC的最小值为；PD+4PC的最小值为例题4. 如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则的最大值为_变式练习>>>4（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，那么PD+的最小值为，PD的最大值为（2）如图2，已知菱形ABCD的边长为4，B60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，那么PD+的最小值为，PD的最大值为 图1 图2例题5. 如图，抛物线y=x2+bx+c与直线AB交于A（4，4），B（0，4）两点，直线AC：y=x6交y轴于点C点E是直线AB上的动点，过点E作EFx轴交AC于点F，交抛物线于点G（1）求抛物线y=x2+bx+c的表达式；（2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；（3）在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标；在的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为E上一动点，求AM+CM它的最小值变式练习>>>5如图1，抛物线yax2+（a+3）x+3（a0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0m4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PMAB于点M（1）求a的值和直线AB的函数表达式；（2）设PMN的周长为C1，AEN的周长为C2，若，求m的值；（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE，旋转角为（0°90°），连接EA、EB，求EA+EB的最小值达标检测 领悟提升 强化落实1. 如图，在RTABC中，B=90°，AB=CB=2，以点B为圆心作圆与AC相切，圆C的半径为，点P为圆B上的一动点，则的最小值_.2. 如图，边长为4的正方形，内切圆记为O，P是O上一动点，则PA+PB的最小值为_.3. 如图，等边ABC的边长为6，内切圆记为O，P是O上一动点，则2PB+PC的最小值为_.4. 如图，在RtABC中，C=90°，CA=3，CB=4，的半径为2，点P是上的一动点，则的最小值为？ 5. 如图，在平面直角坐标系中，P是AOB外部第一象限内的一动点，且BPA=135°，则的最小值是多少？6. 如图，RtABC，ACB90°，ACBC2，以C为顶点的正方形CDEF（C、D、E、F四个顶点按逆时针方向排列）可以绕点C自由转动，且CD，连接AF，BD（1）求证：BDCAFC；（2）当正方形CDEF有顶点在线段AB上时，直接写出BD+AD的值；（3）直接写出正方形CDEF旋转过程中，BD+AD的最小值7. （1）如图1，在ABC中，ABAC，BD是AC边上的中线，请用尺规作图做出AB边上的中线CE，并证明BDCE：（2）如图2，已知点P是边长为6的正方形ABCD内部一动点，PA3，求PC+PD的最小值；（3）如图3，在矩形ABCD中，AB18，BC25，点M是矩形内部一动点，MA15，当MC+MD最小时，画出点M的位置，并求出MC+MD的最小值中考数学几何模型11：阿氏圆最值模型名师点睛 拨开云雾 开门见山在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题【模型来源】“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知A、B两点，点P满足PA：PB=k（k1），则满足条件的所有的点P的轨迹构成的图形为圆这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”.【模型建立】如图 1 所示，O 的半径为R，点 A、B 都在O 外 ，P为O上一动点，已知R=OB，连接 PA、PB，则当“PA+PB”的值最小时，P 点的位置如何确定？ 解决办法：如图2，在线段 OB 上截取OC使 OC=R，则可说明BPO与PCO相似，则有PB=PC。故本题求“PA+PB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，其中与A与C为定点，P为动点，故当 A、P、C 三点共线时，“PA+PC”值最小。【技巧总结】计算的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形问题：在圆上找一点P使得的值最小，解决步骤具体如下：5. 如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP，OB6. 计算出这两条线段的长度比7. 在OB上取一点C，使得，即构造POMBOP，则，8. 则，当A、P、C三点共线时可得最小值典题探究 启迪思维 探究重点例题1. 如图，在RtABC中，C=90°，AC=4，BC=3，以点C为圆心，2为半径作圆C，分别交AC、BC于D、E两点，点P是圆C上一个动点，则的最小值为_ 【分析】这个问题最大的难点在于转化，此处P点轨迹是圆，注意到圆C半径为2，CA=4，连接CP，构造包含线段AP的CPA，在CA边上取点M使得CM=2，连接PM，可得CPACMP，故PA：PM=2:1，即PM=问题转化为PM+PBBM最小值，故当B，P，M三点共线时得最小值，直接连BM即可得变式练习>>>1如图1，在RTABC中，ACB=90°，CB=4，CA=6，圆C的半径为2，点P为圆上一动点，连接AP,BP，求，的最小值. 答案：=，=2，=，=.例题2. 如图，点C坐标为(2,5)，点A的坐标为(7,0)，C的半径为,点B在C上一动点，的最小值为_.答案：5.变式练习>>>2如图，在平面直角坐标系xoy中，A(6,-1)，M(4,4)，以M为圆心，为半径画圆，O为原点，P是M上一动点，则PO+2PA的最小值为_.答案：10.例题3. 如图，半圆的半径为1，AB为直径，AC、BD为切线，AC1，BD2，P为上一动点，求PC+PD的最小值【解答】解：如图当A、P、D共线时，PC+PD最小理由：连接PB、CO，AD与CO交于点M，ABBD4，BD是切线，ABD90°，BADD45°，AB是直径，APB90°，PABPBA45°，PAPB，POAB，ACPO2，ACPO，四边形AOPC是平行四边形，OAOP，AOP90°，四边形AOPC是正方形，PMPC，PC+PDPM+PDDM，DMCO，此时PC+DP最小ADAM2变式练习>>>3如图，四边形ABCD为边长为4的正方形，B的半径为2，P是B上一动点，则PD+PC的最小值为5；PD+4PC的最小值为10【解答】解：如图，连接PB、在BC上取一点E，使得BE1PB24，BEBC4，PB2BEBC，PBECBE，PBECBE，PD+PCPD+PE，PE+PDDE，在RtDCE中，DE5，PD+PC的最小值为5连接DB，PB，在BD上取一点E，使得BE，连接EC，作EFBC于FPB24，BEBD×44，BP2BEBD，PBEPBD，PBEDBP，PEPD，PD+4PC4（PD+PC）4（PE+PC），PE+PCEC，在RtEFC中，EF，FC，EC，PD+4PC的最小值为10故答案为5，10例题4. 如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则的最大值为_【分析】当P点运动到BC边上时，此时PC=3，根据题意要求构造，在BC上取M使得此时PM=，则在点P运动的任意时刻，均有PM=，从而将问题转化为求PD-PM的最大值连接PD，对于PDM，PD-PMDM，故当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值变式练习>>>4（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，那么PD+的最小值为，PD的最大值为（2）如图2，已知菱形ABCD的边长为4，B60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，那么PD+的最小值为，PD的最大值为 图1 图2【解答】解：（1）如图3中，在BC上取一点G，使得BG4，PBGPBC，PBGCBP，PGPC，PD+PCDP+PG，DP+PGDG，当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DGPDPCPDPGDG，当点P在DG的延长线上时，PDPC的值最大，最大值为DG故答案为，（2）如图4中，在BC上取一点G，使得BG1，作DFBC于F2，2，PBGPBC，PBGCBP，PGPC，PD+PCDP+PG，DP+PGDG，当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG，在RtCDF中，DCF60°，CD4，DFCDsin60°2，CF2，在RtGDF中，DGPDPCPDPGDG，当点P在DG的延长线上时，PDPC的值最大（如图2中），最大值为DG故答案为，例题5. 如图，抛物线y=x2+bx+c与直线AB交于A（4，4），B（0，4）两点，直线AC：y=x6交y轴于点C点E是直线AB上的动点，过点E作EFx轴交AC于点F，交抛物线于点G（1）求抛物线y=x2+bx+c的表达式；（2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；（3）在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标；在的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为E上一动点，求AM+CM它的最小值【解答】解：（1）点A（4，4），B（0，4）在抛物线y=x2+bx+c上，抛物线的解析式为y=x22x+4；（2）设直线AB的解析式为y=kx+n过点A，B，直线AB的解析式为y=2x+4，设E（m，2m+4），G（m，m22m+4），四边形GEOB是平行四边形，EG=OB=4，m22m+42m4=4，m=2，G（2，4）；（3）如图1，由（2）知，直线AB的解析式为y=2x+4，设E（a，2a+4），直线AC：y=x6，F（a，a6），设H（0，p），以点A，E，F，H为顶点的四边形是矩形，直线AB的解析式为y=2x+4，直线AC：y=x6，ABAC，EF为对角线，（4+0）=（a+a），（4+p）=（2a+4a6），a=2，P=1，E（2，0）H（0，1）；如图2，由知，E（2，0），H（0，1），A（4，4），EH=，AE=2，设AE交E于G，取EG的中点P，PE=，连接PC交E于M，连接EM，EM=EH=，=，=，=，PEM=MEA，PEMMEA，=，PM=AM，AM+CM的最小值=PC，设点P（p，2p+4），E（2，0），PE2=（p+2）2+（2p+4）2=5（p+2）2，PE=，5（p+2）2=，p=或p=（由于E（2，0），所以舍去），P（，1），C（0，6），PC=，即：AM+CM=变式练习>>>5如图1，抛物线yax2+（a+3）x+3（a0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0m4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PMAB于点M（1）求a的值和直线AB的函数表达式；（2）设PMN的周长为C1，AEN的周长为C2，若，求m的值；（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE，旋转角为（0°90°），连接EA、EB，求EA+EB的最小值【解答】解：（1）令y0，则ax2+（a+3）x+30，（x+1）（ax+3）0，x1或，抛物线yax2+（a+3）x+3（a0）与x轴交于点A（4，0），4，aA（4，0），B（0，3），设直线AB解析式为ykx+b，则，解得，直线AB解析式为yx+3（2）如图1中，PMAB，PEOA，PMNAEN，PNMANE，PNMANE，NEOB，AN（4m），抛物线解析式为yx2+x+3，PNm2+m+3（m+3）m2+3m，解得m2（3）如图2中，在y轴上 取一点M使得OM，连接AM，在AM上取一点E使得OEOEOE2，OMOB×34，OE2OMOB，BOEMOE，MOEEOB，MEBE，AE+BEAE+EMAM，此时AE+BE最小（两点间线段最短，A、M、E共线时），最小值AM达标检测 领悟提升 强化落实1. 如图，在RTABC中，B=90°，AB=CB=2，以点B为圆心作圆与AC相切，圆C的半径为，点P为圆B上的一动点，求的最小值.答案：.2. 如图，边长为4的正方形，内切圆记为O，P是O上一动点，则PA+PB的最小值为_.答案：.3. 如图，等边ABC的边长为6，内切圆记为O，P是O上一动点，则2PB+PC的最小值为_.答案：.4. 如图，在RtABC中，C=90°，CA=3，CB=4，的半径为2，点P是上的一动点，则的最小值为？ 5. 如图，在平面直角坐标系中，P是AOB外部第一象限内的一动点，且BPA=135°，则的最小值是多少？答案6. 如图，RtABC，ACB90°，ACBC2，以C为顶点的正方形CDEF（C、D、E、F四个顶点按逆时针方向排列）可以绕点C自由转动，且CD，连接AF，BD（1）求证：BDCAFC；（2）当正方形CDEF有顶点在线段AB上时，直接写出BD+AD的值；（3）直接写出正方形CDEF旋转过程中，BD+AD的最小值【解答】（1）证明：如图1中，四边形CDEF是正方形，CFCD，DCFACB90°，ACFDCB，ACCB，FCADCB（SAS）（2）解：如图2中，当点D，E在AB边上时，ACBC2，ACB90°，AB2，CDAB，ADBD，BD+AD+1如图3中，当点E，F在边AB上时BDCF，AD，BD+AD+（3）如图4中取AC的中点M连接DM，BMCD，CM1，CA2，CD2CMCA，DCMACD，DCMACD，DMAD，BD+ADBD+DM，当B，D，M共线时，BD+AD的值最小，最小值7. （1）如图1，在ABC中，ABAC，BD是AC边上的中线，请用尺规作图做出AB边上的中线CE，并证明BDCE：（2）如图2，已知点P是边长为6的正方形ABCD内部一动点，PA3，求PC+PD的最小值；（3）如图3，在矩形ABCD中，AB18，BC25，点M是矩形内部一动点，MA15，当MC+MD最小时，画出点M的位置，并求出MC+MD的最小值【解答】解：（1）如图1中，作线段AB的垂直平分线MN交AB于点E，连接EC线段EC即为所求；ABAC，AEEC，ADCD，AEAD，ABAC，AA，ADAE，BADCAE（SAS），BDCE（2）如图2中，在AD上截取AE，使得AEPA29，AEAD×69，PA2AEAD，PAEDAP，PAEDAP，PEPD，PC+PDPC+PE，PC+PEEC，PC+PD的最小值为EC的长，在RtCDE中，CDE90°，CD6，DE，EC，PC+PD的最小值为（3）如图3中，如图2中，在AD上截取AE，使得AE9MA2225，AEAD9×25225，MA2AEAE，MAEDAM，MAEDAM，MEMD，MC+MDMC+ME，MC+MEEC，MC+MD的最小值为EC的长，在RtCDE中，CDE90°，CD18，DE16，EC2，MC+MD的最小值为2中考数学几何模型12：主从联动模型名师点睛 当轨迹为直线时思考1如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？ 揭秘：将点P看成主动点，点Q看成从动点，当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线可以这样理解：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线，且Q点运动路径长为P点运动路径长的一半思考2如图，点C为定点，点P、Q为动点，CP=CQ，且PCQ为定值，当点P在直线AB上运动，请探究点Q的运动轨迹. 揭秘：当CP与CQ夹角固定，且AP=AQ时，P、Q轨迹是同一种图形，且PP1=QQ1可以这样理解：易知CPP1CPP1，则CPP1=CQQ1，故可知Q点轨迹为一条直线.思考3如图，点C为定点，点P是直线AB上的一动点，以CP为斜边作RtCPQ，且P=30°，当点P在直线AB上运动，请探究点Q的运动轨迹. 揭秘：条件CP与CQ夹角固定时，P、Q轨迹是同一种图形，且有可以这样理解：由CPQCP1Q1，易得CPP1CPP1，则CPP1=CQQ1，故可知Q点轨迹为一条直线.;轨迹是直线总结条件：主动点、从动点与定点连线的夹角是定量； 主动点、从动点到定点的距离之比是定量结论： 主动点、从动点的运动轨迹是同样的图形； 主动点路径做在直线与从动点路径所在直线的夹角等于定角 当主动点、从动点到定点的距离相等时，从动点的运动路径长等于主动点的运动路径长； 当主动点、从动点到定点的距离不相等时，.典题探究 启迪思维 探究重点例题1. 如图，在等边ABC中，AB=10，BD=4，BE=2，点P从点E出发沿EA方向运动，连结PD，以PD为边，在PD的右侧按如图所示的方式作等边DPF，当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径长是_变式练习>>>1如图，在平面直角坐标系中，A（-3,0），点B是y轴正半轴上一动点，以AB为边在AB的下方作等边ABP，点B在y轴上运动时，求OP的最小值例题2. 如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE=1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边EFG，连接CG，则CG的最小值为 变式练习>>>2（2017秋江汉区校级月考）如图，ABC是边长为6的等边三角形，点E在AB上，点D为BC的中点，EDM为等边三角形若点E从点B运动到点A，则M点所经历的路径长为例3. 如图，已知点A是第一象限内横坐标为的一个定点，ACx轴于点M，交直线y=-x于点N，若点P是线段ON上的一个动点，APB=30°，BAPA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是_变式练习>>>3（2019东台市模拟）如图，平面直角坐标系中，点A（0，2），B（1，0），C（5，0），点D从点B出发，沿x轴负方向运动到点C，E为AD上方一点，若在运动过程中始终保持AEDAOB，则点E运动的路径长为名师点睛 当轨迹为弧线时 思考1： 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？揭秘：Q点轨迹是一个圆，考虑到Q点始终为AP中点，连接AO，取AO中点M，则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径MQ是OP一半，任意时刻，均有AMQAOP，小结：确定Q点轨迹圆即确定其圆心与半径，由A、Q、P始终共线可得：A、M、O三点共线，由Q为AP中点可得：AM=1/2AOQ点轨迹相当于是P点轨迹成比例缩放根据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系；根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系轨迹是圆思考2：如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQAP且AQ=AP 当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？揭秘： Q点轨迹是个圆，可理解为将AP绕点A逆时针旋转90°得AQ，故Q点轨迹与P点轨迹都是圆接下来确定圆心与半径考虑APAQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AMAO；考虑AP=AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO，且可得半径MQ=PO即可确定圆M位置，任意时刻均有APOAQM思考3：如图，APQ是直角三角形，PAQ=90°，且AP=2AQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？揭秘： 考虑APAQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AMAO；考虑AP：AQ=2：1，可得Q点轨迹圆圆心M满足AO：AM=2：1即可确定圆M位置，任意时刻均有APOAQM，且相似比为2推理： （1）如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，以AP为一边作等边APQ当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是和圆O全等的一个圆. （2）如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，以AP为斜边作等腰直角APQ当点P在圆O上运动时，Q点轨迹为按AP：AQ=AO：AM=：1的比例缩放的一个圆. 总结： 为了便于区分动点P、Q，可称点P为“主动点”，点Q为“从动点”此类问题的必要条件：两个定量，即：主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（PAQ是定值）；主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP：AQ是定值）结论：（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：PAQ=OAM；（2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点距离之比：AP：AQ=AO：AM，也等于两圆半径之比，也等于两动点运动轨迹长之比，按以上两点即可确定从动点轨迹圆，Q与P的关系相当于旋转+伸缩古人云：种瓜得瓜，种豆得豆“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”典题探究 启迪思维 探究重点例题4. 如图，点P（3，4），圆P半径为2，A（2.8，0），B（5.6，0），点M是圆P上的动点，点C是MB的中点，则AC的最小值是_变式练习>>>4如图，在等腰RtABC中，AC=BC=，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点，当点P从点A运动至点B时，点M运动的路径长为_ 例题5. 如图，正方形ABCD中，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE=2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE、CF求线段OF长的最小值变式练习>>>5ABC中，AB=4，AC=2，以BC为边在ABC外作正方形BCDE，BD、CE交于点O，则线段AO的最大值为_ 名师点睛 当轨迹为其他种类时根据刚才我们的探究，所谓“瓜豆原理”，就是主动点的轨迹与从动点的轨迹是相似性，根据主、从动点与定点连线形成的夹角以及主、从动点到定点的距离之比，可确定从动点的轨迹，而当主动点轨迹是其他图形时，从动点轨迹必然也是典题探究 启迪思维 探究重点例题6. 如图，在反比例函数的图像上有一个动点A，连接AO并延长交图像的另一支于点B，在第一象限内有一点C，满足AC=BC，当点A运动时，点C始终在函数的图像上运动，若tanCAB=2，则k的值为（ ） A2B4C6D8变式练习>>>6（2017深圳模拟）如图，反比例函数y的图象上有一动点A，连接AO并延长交图象的另一支于点B，在第二象限内有一点C，满足ACBC，当点A运动时，点C始终在函数y的图象上运动，tanCAB2，则关于x的方程x25x+k0的解为 例题7. 如图，A（-1,1），B（-1,4），C（-5,4），点P是ABC边上一动点，连接OP，以OP为斜边在OP的右上方作等腰直角OPQ，当点P在ABC边上运动一周时，点Q的轨迹形成的封闭图形面积为_变式练习>>>7（2017春工业园区期末）如图，ABC的面积为9，点P在ABC的边上运动作点P关于原点O的对称点Q，再以PQ为边作等边PQM当点P在ABC的边上运动一周时，点M随之运动所形成的图形面积为（）A3B9C27D例题8. 如图所示，AB=4，AC=2，以BC为底边向上构造等腰直角三角形BCD，连接AD并延长至点P，使AD=PD，则PB的取值范围为_ 变式练习>>>8（2018秋新吴区期末）如图已知：正方形OCAB，A（2，2），Q（5，7），ABy轴，ACx轴，OA，BC交于点P，若正方形OCAB以O为位似中心在第一象限内放大，点P随正方形一起运动，当PQ达到最小值时停止运动以PQ的长为边长，向PQ的右侧作等边PQD，求在这个位似变化过程中，D点运动的路径长（）A5B6C2D4例题9. （2019秋硚口区期中）如图，一副含30°和45°角的三角板ABC和EDF拼合在一个平面上，边AC与EF重合，BC4cm当点E从点A出发沿AC方向滑动时，点F同时从点C出发沿射线BC方向滑动，当点E从点A滑动到点C时，点D运动的路径长为cm变式练习>>>9（2018金华模拟）如图，RtABC中，BC4，AC8，RtABC的斜边在x轴的正半轴上，点A与原点重合，随着顶点A由O点出发沿y轴的正半轴方向滑动，点B也沿着x轴向点O滑动，直到与点O重合时运动结束在这个运动过程中（1）AB中点P经过的路径长（2）点C运动的路径长是达标检测 领悟提升 强化落实1. （2018秋黄冈期中）在ABC中，BAC90°，ABAC2cm，线段BC上一动点P从C点开始运动，到B点停止，以AP为边在AC的右侧作等边APQ，则Q点运动的路径为cm2如图，在矩形ABCD中，AB4，DCA30°，点F是对角线AC上的一个动点，连接DF，以DF为斜边作DFE30°的直角三角形DEF，使点E和点A位于DF两侧，点F从点A到点C的运动过程中，点E的运动路径长是3（2019铜山区二模）如图，已知点M（0，4），N（4，0），开始时，ABC的三个顶点A、B、C分别与点M、N、O重合，点A在y轴上从点M开始向点O滑动，到达点O结束运动，同时点B沿着x轴向右滑动，则在此运动过程中，点C的运动路径长3（2018宝应县三模）在RtABC中，C90°，AC2，BC2，若P是以AB为直径所作半圆上由A沿着半圆向B运动的一点，连接CP，过P向下作PMCP，且有PM0.5CP，如图示，求点P运动过程中，点M的运动路径长是4如图，已知线段AB8，O为AB的中点，P是平面内的一个动点，在运动过程中保持OP2不变，连结BP，将PB绕点P逆时针旋转90°到PC，连结BC、AC，则线段AC长的最大值是5（2017江阴市二模）如图，线段AB为O的直径，点C在AB的延长线上，AB4，BC2，点P是O上一动点，连接CP，以CP为斜边在PC的上方作RtPCD，且使DCP60°，连接OD，则OD长的最大值为6（2018建湖县一模）如图，在平面直角坐标系中，A（4，0）、B（0，3），以点B为圆心、2为半径的B上有一动点P连接AP，若点C为AP的中点，连接OC，则OC的最小值为7（2016江岸区校级模拟）如图，线段AB2，C是AB上一动点，以AC、BC为边在AB同侧作正ACE、正BCF，连EF，点P为EF的中点当点C从A运动到B时，P点运动路径长为8（2019秋江岸区校级月考）如图，正ABC中，AB2，ADBC于D，P，Q分别是AB，BC上的动点，且PQAD，点M在PQ的右上方且PMQM，M120°，当P从点A运动到点B时，M运动的路径长为9如图，点P（t，0）（t0）是x轴正半轴上的一定点，以原点为圆心作半径为1的弧分别交x轴y轴于A，B两点，点M是上的一个动点，连结PM，作MPM190°，PMM160°，当P是x轴正半轴上的任意