江西省赣州市十八县市二十四校2023-2024学年高三下学期4月期中联考数学试卷含答案.pdf

第 1 页 共 10 页数学答案一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.【答案】C【解析】因为|22,|2AxxBx x 或0 x，所以(0,2AB.2.【答案】D【解析】因为2iz，所以2(42i)(2i)23izz，所以22|2|2(3)13.zz 3.【答案】B【解析】因为p：(21)(22)02201xxxx，:01qx，所以p是q的必要不充分条件.4.【答案】C【解析】设此时水面的高度为h，则23234370()2 1().23227hh 5.【答案】A【解析】因为对任意的x都有(1)(1)fxfx，所以令0 x，得(1)0f，所以2a ，所以(0)(2)(42)2.ff 6.【答案】C【解析】()e1(0)1xfxafa，且(0)fa，所以直线:(1)l yaxa，它与两坐标轴的交点坐标分别为(,0)1aa和(0,)a，所以12213aaa，解得2a.7.【答案】D【解析】因为111111110110101111116(7 1)77(1)7(1)(1)CC ，除以7的余数为6，所以选 D.8.【答案】A【解析】由已知得o90OPF，即FPOP，所以,PFb OPa.高三高三#QQABbQAEggAoAJAAABhCEQGiCECQkAECCKoGxEAMoAABiAFABAA=#第 2 页 共 10 页因为直线:bOP yxa，所以2(,)aabPcc.又 因 为MPOFc，所 以22(,)(,)aabbabMccccc，代 入 双 曲 线 方 程 可 得42244224422222222221()ba bbaa cbaaabbaaa cb c，即222ba，所以离心率2213bea.二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.9.【答案】ABD【解析】因为0.3xy 单调递减，所以0.30.3ab，选项 A 正确；因为lgyx单调递增，所以lglgab，选项 B 正确；当 a1b0 时，显然选项 C 不正确；选项 D 正确.10.【答案】BCD【解析】因为1B M与BC相交，所以1B M与平面PBC相交，故选项 A 错误；因为P平面11BBC C，N 平面11BBC C，1CC 平面11BBC C，所以直线PN与1CC为异面直线，故选项 B 正确；当点 P 与点 A 重合时，PN平面11BBC C，所以1B MPN,故选项 C 正确；当 AP=AN 时，直线PN与平面ABC所成的角为o45，故选项 D 正确.11.【答案】AD【解析】由直线6 x是函数()yf x图象的一条对称轴，得到,62 Z Znn.又因为0，得到3，所以选项 A 正确；因为在区间,2 上的值域为3 1,2，所以3()2f 或3(2)2f，且T ，因此202 .#QQABbQAEggAoAJAAABhCEQGiCECQkAECCKoGxEAMoAABiAFABAA=#第 3 页 共 10 页若3()2f，则233k ，或22,3 Z Zkk.因为02，得13，此时1()sin()33f xx，当,2 x 时，12,333x ，3()0,2f x，不符合条件.若3(2)2f，则23 23k，或22,3 Z Zkk.因为02，得1或16或76.当1时，()sin()3f xx，当,2 x 时，7,333x 4 4 ，3()1,2f x ，符合条件.当16时，1()sin()63f xx，当,2 x 时，1,6323x 2 2，3(),12f x，不符合条件.当76时，7()sin()63f xx，当,2 x 时，7,6323x 3 3 8 8，()1,1f x ，不符合条件.综上，当1时，()sin()3f xx，所以选项 D 正确，选项 B、C 错误.三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分,共 15 分12.【答案】8 55【解析】圆心(1,0)C，半径2r，所以点C到2yx的距离25d，故228 5|25ABrd.13.【答案】10025 33#QQABbQAEggAoAJAAABhCEQGiCECQkAECCKoGxEAMoAABiAFABAA=#第 4 页 共 10 页【解析】设展台所在的圆的圆心为O，半径为R，则10 3220sin32BCRBAC，即10R，120BAC，120BOC，所以展台的面积为22113100 1010 1025 3m.322314.【答案】69【解析】设x是数列 na中的任意一项，则xd，2xd均是数列 na中的项，设12(),(2)kkax xd ax xd，则2121kkaaxdkkd.因为0d，所以21xkkZ，即数列 na的每一项均是整数，所以数列 na的每一项均是自然数，且 d 是正整数.，则意中的项是数列3838，设由题1nkkadaa所以38(38)d是数列 na中的项.设38(38)mad，则38(38)3838 3738()mkaaddmkd，即(38)38 37mkd.因为*38,mkZ dN，故 d 是38 37的约数.所以1,2,19,37,2 19,2 37,19 37,38 37d，.当1d 时，138(1)0ak，得1,2,38,39k，故138,37,2,1,0a，共39种可能；当2d 时，1382(1)0ak，得1,2,18,19,20k，故138,36,34,4,2,0a，共20种可能；#QQABbQAEggAoAJAAABhCEQGiCECQkAECCKoGxEAMoAABiAFABAA=#第 5 页 共 10 页当19d 时，138 19(1)0ak，得1,2,3k，故138,19,0a，共3种可能；当37d 时，13837(1)0ak，得1,2k，故138,1a，共 2 种可能；当38d 时，13838(1)0ak，得1,2k，故138,0a，共 2 种可能；当2 37d 时，1382 37(1)0ak，得1k，故138a，共 1 种可能；当19 37d 时，138 19 37(1)0ak，得1k，故138a，共 1 种可能；当38 37d 时，13838 37(1)0ak，得1k，故138a，共 1 种可能.综上，满足题意的数列 na共有3920322 1 1 169 （种）.经检验，这些数列均符合题意.四、解答题：共 70 分 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.(13 分）解析：（1）()cos()fxAx，由图可以得到：2,2A，-3 分()f x图象过点(,0)12，22，所以所以6,122k所以()2sin(2)6f xx.-6 分（2）由6()5f，得3sin(2)65，-9 分()4cos(2)6fxx，(2)4cos(4)123f24cos2(2)412sin(2)662825.-13 分16.（15 分）解析：（1）设,AD BC的中点分别为,O E，连接,OP OE PE.因为PAPD，所以OPAD.-2 分因为PBPC，所以BCPE.#QQABbQAEggAoAJAAABhCEQGiCECQkAECCKoGxEAMoAABiAFABAA=#第 6 页 共 10 页在梯形ABCD中，224(42)2 5AD，所以2352OP，1()32OEABDC，217213PE，因此222OPOEPE，所以OPOE，-6 分所以OP 平面ABCD.又因为OP 平面PAD，所以平面PAD 平面ABCD.-7 分（2）如图，以O为原点，,OE OP所在直线分别为y轴,z轴，作出x轴，建立空间直角坐标系Oxyz，则(2,1,0),(2,3,0),(2,1,0),(0,0,2)ACDP.设平面PAD的法向量111(,)mx y z，则1111110(,)(2,1,2)0220m APx y zxyz ，111110(,)(4,2,0)0420m ADx y zxy ，令11x，得到12y，10z，即(1,2,0)m.-10 分设平面PAC的法向量222(,)nxyz，则2222220(,)(2,1,2)0220n APxyzxyz ，#QQABbQAEggAoAJAAABhCEQGiCECQkAECCKoGxEAMoAABiAFABAA=#第 7 页 共 10 页.000,44,022222yxzyxACn），（）（令21x，得到21y，212z，即1(1,1,)2n.32 5cos,3552m n.因为二面角 C-PA-D 是锐二面角，所以二面角CPAD的余弦值是2 55.-15 分17.（15 分）解析：（1）当0a 时，()(2)ln(2)f xxxx，()ln(2)(2)fxxx，-2 分由()0fx得3x，所以函数()f x的单调递增区间是(3,)；-6 分（2）2()ln(2)1afxxax，(3)0f，依题意，存在实数,m n且23mn，使得当3mx时，()0fx，当3xn时，()0fx.-8 分记()()g xfx，则222122(1)14()2(1)(2)(1)axaxag xxxxx（2x）.记2()2(1)14,(3)42h xxaxa ha.当2a 时，(3)0h，13a，()h x在区间(2,1)a上单调递减，存在实数,m n且23mn，使得(,)xm n时，()0h x，即()0g x，()fx单调递减，因此当3mx时，()(3)0fxf，当3xn时，()(3)0fxf，函数()f x在3x 时取得极大值.-11 分#QQABbQAEggAoAJAAABhCEQGiCECQkAECCKoGxEAMoAABiAFABAA=#第 8 页 共 10 页当2a 时，(3)0,13ha，因此()(3)0h xh，即()0g x，()fx在区间(2,)上单调递增，当3x 时，()0fx，3x 不是函数()f x的极大值点.12 分当2a 时，(3)0h，13a，函数()h x在区间(3,)上单调递增，当(3,)x时，()(3)0h xh，即()0g x，函数()fx单调递增，即当3x 时，()(3)0fxf，因此，3x 不是函数()f x的极大值点.综上，实数a的取值范围是(2,).-15 分18.（17 分）解析：（1）记“一个患有该疾病的病人服用该药一个疗程康复”为事件A，则()0.8 0.90.2 0.40.8P A，-2 分因此(3,0.8)XB，分布列为：X0123P0.0080.0960.3840.512-6 分X的数学期望3 0.82.4EX .-7 分（2）若该药品的有效率为80%，由（1）得，一个疗程内，使用该药后的康复率也为80%，记康复的人数为随机变量1X，则1(100,0.8)XB，设2100 0.880,100 0.8 0.216，设2(80,4)YN，-10 分.9772.0)5.0()(kYPkXP所以分，因为149772.029544.011)2(YP,5.72,72428025.0kk即所以所以整数k的最大值为72.-17 分#QQABbQAEggAoAJAAABhCEQGiCECQkAECCKoGxEAMoAABiAFABAA=#第 9 页 共 10 页19.（17 分）解析：（1）由条件得2,1222abab，解得2,1ab，所以椭圆C的方程为2212xy；-6 分（2）由PAQ的平分线经过点F，得到,AP AQ的斜率都存在，点A的坐标为(0,1)，可设12:1,:1AP yk xAQ yk x，点F的坐标为(1,0)，所以122212|1|1|11kkkk，化简得到121k k.-9 分由已知得到直线PQ的斜率存在，设PQ的方程为ykxm，1122(,),(,)P x yQ xy，联立方程组22,12ykxmxy，得222(12)4220kxkmxm（#）.由121k k，得到1212(1)(1)yyx x，所以1212(1)(1)kxmkxmx x，得22121212(1)()(1)k x xk mxxmx x，根据韦达定理得222222222(1)(4)22(1)121212mk mkmmkmkkk，化简得2230mm，即1m 或3.#QQABbQAEggAoAJAAABhCEQGiCECQkAECCKoGxEAMoAABiAFABAA=#第 10 页 共 10 页又当1m 时，直线PQ经过点A，不符合题意，因此，3m ，直线PQ经过定点(0,3)N，-13 分将3m 代入方程（#）得22(12)12160kxkx，由0，解得24k.APQ面积21212121|2()42SANxxxxx x224812kk.设24kt，0t,则28882 299232 9 22tSttt，当且仅当322t 时取等号，因此APQ面积的最大值为2 23.-17 分#QQABbQAEggAoAJAAABhCEQGiCECQkAECCKoGxEAMoAABiAFABAA=#