2023-2024学年九年级数学下册举一反三系列（苏科版）专题6.7 图形的相似章末重难点突破（举一反三）（苏科版）（含解析）.docx

2023-2024学年九年级数学下册举一反三系列专题6.7 图形的相似章末重难点突破【苏科版】 【考点1比例线段与黄金分割】【例1】（2021秋石阡县期中）下列各组的四条线段a，b，c，d是成比例线段的是（）Aa4，b6，c5，d10Ba1，b2，c3，d4Ca2，b=5，c23，d=15Da=2，b3，c2，d=3【变式1-1】（2021秋芦溪县月考）已知线段a、b、c满足a：b：c3：2：6，且a+2b+c26（1）求a、b、c的值；（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值【变式1-2】（2021秋闵行区期末）古希腊艺术家发现当人的头顶至肚脐的长度（上半身的长度）与肚脐至足底的长度（下半身的长度）的比值为“黄金分割数”时，人体的身材是最优美的一位女士身高为154cm，她上半身的长度为62cm，为了使自己的身材显得更为优美，计划选择一双合适的高跟鞋，使自己的下半身长度增加你认为选择鞋跟高为多少厘米的高跟鞋最佳？（）A4cmB6cmC8cmD10cm【变式1-3】（2021秋市北区期末）如图，线段AB1，点P1是线段AB的黄金分割点（且AP1BP1，即P1B2=AP1AB），点P2是线段AP1的黄金分割点（AP2P1P2），点P3是线段AP2的黄金分割点（AP3P2P3），依此类推，则线段AP2020的长度是（）A(3-52)2020B(5-12)2020C(12)2020D(5-2)1010【考点2 比例的基本性质】【例2】（2021春鼓楼区校级期中）阅读下面的解题过程，然后解题：题目：已知xa-b=yb-c=zc-a（a、b、c互相不相等），求x+y+z的值解：设xa-b=yb-c=zc-a=k，则xk（ab），yk（bc），zk（ca）于是，x+y+zk（ab+bc+ca）k00，依照上述方法解答下列问题：已知：y+zx=z+xy=x+yz（x+y+z0），求x-y-zx+y+z的值【变式2-1】（2021秋河北月考）（1）若x3=y5=z7，求x-y+zx+y-z的值；（2）若a+23=b4=c+56，且2ab+3c21，求a：b：c【变式2-2】（2021渝中区校级三模）已知x=ab+c=bc+a=ca+b，求x的值【变式2-3】 （2021秋雁江区校级月考）已知a、b、c均为非零的实数，且满足a+b-cc=a-b+cb=-a+b+ca，求(a+b)(b+c)(c+a)abc的值【考点3平行线分线段成比例】【例3】（2021浙江自主招生）等腰ABC中，ABAC，E、F分别是AB、AC上的点，且BEAF，连接CE、BF交于点P，若CPPE=34，则AEAF的值为（）A12B13C3-12D5-12【变式3-1】（2021秋浠水县期中）如图，等腰三角形ABC中，ABAC，P点在BC边上的高AD上，且APPD=12，BP的延长线交AC于E，若SABC10，则SABE；SDEC【变式3-2】（2021秋房山区校级月考）如图，在ABC中，EFCD，DEBC（1）求证：AF：FDAD：DB；（2）若AB15，AD：BD2：1，求DF的长【变式3-3】（2021秋平房区期末）已知，在ABC中，点D为AB上一点，过点D作DEBC，DHAC分别交AC、BC于点E、H，点F是BC延长线上一点，连接FD交AC于点G，则下列结论中错误的是（）AADDB=AEDHBCFDE=DHCGCFDFG=ECCGDCHBC=AEAC【考点4 相似三角形的简单判定与性质】【例1】（2021温州模拟）如图，在RtABC中，ACB90°，CDAB于点D，正方形CDEF的顶点E在线段AD上，G是边EF上一点，连接AG，记AEG面积为S1，CBD面积为S2，若EGBD，S1+S216，则DE的长为（）A42B82C4D8【变式4-1】（2021秋南岸区期末）如图，在ABC中，C90°，AB10，BC8E是AC边上一动点，过点E作EFAB交BC于点F，D为线段EF的中点，当BD平分ABC时，AE的长度是（）A1613B3013C4013D4813【变式4-2】（2021秋江阴市校级月考）如图，在RtABC中，ACB90°，点D在BC上，连接AD，CEAD，垂足为E，连接BE（1）试证：CDEADC；（2）若点D是BC的中点，BED与ABC是否相等，并说明理由【变式4-3】（2021金州区一模）如图，在正方形ABCD中，点M是边BC上的一点（不与B、C重合），点N在边CD延长线上，且满足MAN90°，联结MN，AC，MN与边AD交于点E（1）求证：AMAN；（2）如果CAD2NAD，求证：AM2=2ABAE；（3）MN交AC点O，若CMBM=k，则OMON=（直接写答案、用含k的代数式表示）【考点5 相似基本模型（一）】【例5】（2021丛台区校级三模）如图，ABC中，DE分别是AB、AC上的点，且BD2AD，CE2AE（1）求证：ADEABC；（2）若DF2，求FC的长度【变式5-1】（2021松江区一模）已知：如图，点D，F在ABC边AC上，点E在边BC上，且DEAB，CD2CFCA（1）求证：EFBD；（2）如果ACCFBCCE，求证：BD2DEBA【变式5-2】（2021秋黄浦区期中）如图，已知在ABC中，BE平分ABC交AC于E，点D在BE延长线上，且BABCBDBE（1）求证：ABDEBC；（2）求证：AD2BDDE【变式5-3】（2021黄浦区一模）如图，已知ABCD，AC与BD相交于点E，点F在线段BC上，ABCD=12，BFCF=12（1）求证：ABEF；（2）求SABE：SEBC：SECD【考点6 相似基本模型（二）】【例6】（2021秋资阳区期末）如图，在等边ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且APD60°，BP2，CD1，则ABC的边长为（）A3B4C5D6【变式6-1】（2021亳州模拟）已知：如图，在ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，点F在DE的延长线上，ADAF，AECEDEEF（1）求证：ADEACD；（2）如果AEBDEFAF，求证：ABAC【变式6-2】（2019南岗区二模）如图，AC是矩形ABCD的对角线，过点B作BEAC于点E，BE的延长线交AD于点F，若DFEF，BC2，则AF的长为 【变式6-3】（2021嘉定区二模）已知：ABC，ABAC，BAC90°，点D是边BC的中点，点E在边AB上（点E不与点A、B重合），点F在边AC上，联结DE、DF（1）如图1，当EDF90°时，求证：BEAF；（2）如图2，当EDF45°时，求证：DE2DF2=BECF【考点7 相似三角形中的折叠问题】【例7】（2021湖州模拟）如图，在RtABC中，BAC90°，B36°，AD是斜边BC上的中线，将ACD沿AD折叠，使点C落在点F处，线段DF与AB相交于点E（1）求BDE的度数；（2）求证：BD2BEBA【变式7-1】（2021渝中区校级三模）如图，在ABC中，ACB90°，点D、E分别在AC，BC上，且CDEB，将CDE沿DE折叠，点C恰好落在AB边上的点F处，若BC12，AB20，则CD的长为（）A193B254C258D6【变式7-2】（2021春文登区期末）已知，矩形ABCD，点E是AD上一点，将矩形沿BE折叠，点A恰好落在BD上点F处（1）如图1，若AB3，AD4，求AE的长；（2）如图2，若点F恰好是BD的中点，点M是BD上一点，过点M作MNBE交AD于点N，连接EM，若MN平分EMD，求证：DNDEDMBM【变式7-3】（2021台安县一模）在正方形ABCD中，点E为BC边的中点，把ABE沿直线AE折叠，B点落在点B处，BB与AE交于点F，连接AB，DB，FC下列结论：ABAD；FCB为等腰直角三角形；CBD135°；BBBC；AB2AEAF其中正确的个数为（）A2B3C4D5【考点8 相似三角形中的动点问题】【例8】（2021春文登区期末）如图，RtABC，C90°，AC10cm，BC8cm点P从点C出发，以2cm/s的速度沿CA向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BC向点C匀速运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止（1）求经过几秒后，PCQ的面积等于ABC面积的25？（2）经过几秒，PCQ与ABC相似？【变式8-1】（2021秋渭滨区期末）如图所示，在等腰ABC中，ABAC10cm，BC16cm点D由点A出发沿AB方向向点B匀速运动，同时点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s连接DE，设运动时间为t（s）（0t10），解答下列问题：（1）当t为何值时，BDE的面积为7.5cm2；（2）在点D，E的运动中，是否存在时间t，使得BDE与ABC相似？若存在，请求出对应的时间t；若不存在，请说明理由【变式8-2】（2021晋安区一模）如图，在ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE，且BADEC（1）证明：BDACED；（2）若B45°，BC2，当点D在BC上运动时（点D不与B、C重合），且ADE是等腰三角形，求此时BD的长【变式8-3】（2021启东市一模）如图，已知矩形ABCD中，AB4，动点P从点A出发，沿AD方向以每秒1个单位的速度运动，连接BP，作点A关于直线BP的对称点E，设点P的运动时间为t（s）（1）若AD6，P仅在边AD运动，求当P，E，C三点在同一直线上时对应的t的值（2）在动点P在射线AD上运动的过程中，求使点E到直线BC的距离等于3时对应的t的值【考点9 相似三角形的实际应用】【例9】（2021春垦利区期末）有一块直角三角形木板，B90°，AB1.5m，BC2m，要把它加工成一个面积尽可能大的正方形桌面甲、乙两位同学的加工方法分别如图1、图2所示请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法更好（加工损耗忽略不计）【变式9-1】（2021秋碑林区校级月考）为更好筹备“十四运”的召开，小颖及其小组成员将利用所学知识测量一个广告牌的高度EF在第一次测量中，小颖来回走动，走到点D时，其影子末端与广告牌影子末端重合于点H，其中DH1m随后，组员在直线DF上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线DF上的对应位置为点G镜子不动，小颖从点D沿着直线FD后退5m到B点时，恰好在镜子中看到顶端E的像与标记G重合，此时BG2m如图，已知ABBF，CDBF，EFBF，小颖的身高为1.5m（眼睛到头顶距离忽略不计），平面镜的厚度忽略不计根据以上信息，求广告牌的高度EF【变式9-2】（2021秋孝义市期末）阅读下面材料，完成学习任务：数学活动 测量树的高度在物理学中我们学过光的反射定律数学综合实践小组想利用光的反射定律测量池塘对岸一棵树的高度AB测量和计算的部分步骤如下：如图，在地面上的点C处放置了一块平面镜，小华站在BC的延长线上，当小华从平面镜中刚好看到树的顶点A时测得小华到平面镜的距离CD2米，小华的眼睛E到地面的距离ED1.5米；将平面镜从点C沿BC的延长线向后移动10米到点F处，小华向后移动到点H处时，小华的眼睛G又刚好在平面镜中看到树的顶点A，这时测得小华到平面镜的距离FH3米；计算树的高度AB：设ABx米，BCy米ABCEDC90°，ACBECDABCEDCABED=BCDC任务：请你根据材料中得到的测量数据和计算步骤，将剩余的计算部分补充完整【变式9-3】（2021碑林区校级模拟）如图，小明家窗外有一堵围墙AB，由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点C射进房间的地板F处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点D射进房间的地板E处，小明测得窗子距地面的高度OD1m，窗高CD1.5m，并测得OE1m，OF5m，求围墙AB的高度【考点10 图形的位似变换】【例10】（2021秋淅川县期中）如图，在平面直角坐标系中，OAB的顶点坐标分别为O（0，0）、A（2，1）、B（1，2）（1）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出OAB的一个位似OA1B1，使它与OAB的相似比为2：1，并分别写出点A、B的对应点A1、B1的坐标（2）画出将OAB向左平移2个单位，再向上平移1个单位后的O2A2B2，并写出点A、B的对应点A2、B2的坐标（3）判断OA1B1与O2A2B2，能否是关于某一点M为位似中心的位似图形？若是，请在图中标出位似中心M，并写出点M的坐标【变式10-1】（2021渝中区校级三模）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且面积比为1：9，点A、B、E点在x轴上，若点D的坐标为（1，2），则点G的坐标为（）A（3，6）B（4，8）C（6，12）D（6，10）【变式10-2】（2021秋乐亭县期中）如图，在平面直角坐标系中，ABC和ABC是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且点B（3，1），B（6，2）（1）若点A（52，3），则A的坐标为 ；（2）ABC与ABC的相似比等于 ；（3）若ABC的面积为m，则ABC的面积【变式10-3】（2021广阳区二模）如图，ABC与A1B1C1是位似图形（1）在网格上建立平面直角坐标系，使得点A的坐标为（6，1），点C1的坐标为（3，2），则点B的坐标为 ；（2）以点A为位似中心，在网格图中作AB2C2，使AB2C2和ABC位似，且位似比为1：2；（3）在图上标出ABC与A1B1C1的位似中心P，并写出点P的坐标为 ，计算四边形ABCP的周长为 专题6.7 图形的相似章末重难点突破【苏科版】 【考点1比例线段与黄金分割】【例1】（2021秋石阡县期中）下列各组的四条线段a，b，c，d是成比例线段的是（）Aa4，b6，c5，d10Ba1，b2，c3，d4Ca2，b=5，c23，d=15Da=2，b3，c2，d=3【解题思路】根据比例线段的定义即如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，对选项一一分析，即可得出答案【解答过程】解：A.4×106×5，故不符合题意，B.1×42×3，故不符合题意，C.2×15=5×23，故符合题意，D.2×33×2，故不符合题意，故选：C【变式1-1】（2021秋芦溪县月考）已知线段a、b、c满足a：b：c3：2：6，且a+2b+c26（1）求a、b、c的值；（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值【解题思路】（1）利用a：b：c3：2：6，可设a3k，b2k，c6k，则3k+2×2k+6k26，然后解出k的值即可得到a、b、c的值；（2）根据比例中项的定义得到x2ab，即x24×6，然后根据算术平方根的定义求解【解答过程】解：（1）a：b：c3：2：6，设a3k，b2k，c6k，又a+2b+c26，3k+2×2k+6k26，解得k2，a6，b4，c12；（2）x是a、b的比例中项，x2ab，x24×6，x26或x26（舍去），即x的值为26【变式1-2】（2021秋闵行区期末）古希腊艺术家发现当人的头顶至肚脐的长度（上半身的长度）与肚脐至足底的长度（下半身的长度）的比值为“黄金分割数”时，人体的身材是最优美的一位女士身高为154cm，她上半身的长度为62cm，为了使自己的身材显得更为优美，计划选择一双合适的高跟鞋，使自己的下半身长度增加你认为选择鞋跟高为多少厘米的高跟鞋最佳？（）A4cmB6cmC8cmD10cm【解题思路】她下半身的长度为92cm，设鞋跟高为x厘米时，她身材显得更为优美，利用黄金分割的定义得到6292+x0.618，然后解方程即可【解答过程】解：一位女士身高为154cm，她上半身的长度为62cm，她下半身的长度为92cm，设鞋跟高为x厘米时，她身材显得更为优美，根据题意得6292+x0.618，解得x8.3（cm）经检验x8.3为原方程的解，所以选择鞋跟高为8厘米的高跟鞋最佳故选：C【变式1-3】（2021秋市北区期末）如图，线段AB1，点P1是线段AB的黄金分割点（且AP1BP1，即P1B2=AP1AB），点P2是线段AP1的黄金分割点（AP2P1P2），点P3是线段AP2的黄金分割点（AP3P2P3），依此类推，则线段AP2020的长度是（）A(3-52)2020B(5-12)2020C(12)2020D(5-2)1010【解题思路】根据把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值5-12叫做黄金比进行解答即可【解答过程】解：根据黄金比的比值，BP1=5-12，则AP11-5-12=3-52，AP2（3-52）2，AP3（3-52）3，依此类推，则线段AP2020的长度是（3-52）2020故选：A【考点2 比例的基本性质】【例2】（2021春鼓楼区校级期中）阅读下面的解题过程，然后解题：题目：已知xa-b=yb-c=zc-a（a、b、c互相不相等），求x+y+z的值解：设xa-b=yb-c=zc-a=k，则xk（ab），yk（bc），zk（ca）于是，x+y+zk（ab+bc+ca）k00，依照上述方法解答下列问题：已知：y+zx=z+xy=x+yz（x+y+z0），求x-y-zx+y+z的值【解题思路】设y+zx=z+xy=x+yz=k，根据比例的性质得到xyz，计算即可【解答过程】解：设y+zx=z+xy=x+yz=k，则y+zxk，z+xyk，x+yzk，2（x+y+z）k（x+y+z），解得，k2，y+z2x，z+x2y，x+y2z，解得，xyz，则x-y-zx+y+z=-13【变式2-1】（2021秋河北月考）（1）若x3=y5=z7，求x-y+zx+y-z的值；（2）若a+23=b4=c+56，且2ab+3c21，求a：b：c【解题思路】（1）设比值为k，然后用k表示出x、y、z，再代入代数式即可解答；（2）设比值为k，然后用k表示出a、b、c，再代入等式求出k值，然后相比即可【解答过程】解：（1）设x3=y5=z7=k，x3k，y5k，z7k，x-y+zx+y-z=3k-5k+7k3k+5k-7k=5kk=5；（2）设a+23=b4=c+56=k，则a3k2，b4k，c6k5，所以，2（3k2）4k+3（6k5）21，解得k2，所以a624，b8，c7，所以a：b：c4：8：7【变式2-2】（2021渝中区校级三模）已知x=ab+c=bc+a=ca+b，求x的值【解题思路】根据比例的等比性质计算，注意分两种情况：a+b+c0；a+b+c0进行讨论【解答过程】解：分情况进行：当a+b+c0时，根据等比性质，得x=a+b+c2a+2b+2c=12；当a+b+c0时，则a+bc，x1故x的值为1或12【变式2-3】 （2021秋雁江区校级月考）已知a、b、c均为非零的实数，且满足a+b-cc=a-b+cb=-a+b+ca，求(a+b)(b+c)(c+a)abc的值【解题思路】已知等式利用比例的性质化简表示出a+b，a+c，b+c，代入原式计算即可得到结果【解答过程】解：当a+b+c0时，利用比例的性质化简已知等式得：a+b-cc=a-b+cb=-a+b+ca=a+b-c+a-b+c-a+b+ca+b+c=a+b+ca+b+c=1，即a+bcc，ab+cb，a+b+ca，整理得：a+b2c，a+c2b，b+c2a，此时原式=8abcabc=8；当a+b+c0时，可得：a+bc，a+cb，b+ca，则原式1综上可知，(a+b)(b+c)(c+a)abc的值为8或1【考点3平行线分线段成比例】【例3】（2021浙江自主招生）等腰ABC中，ABAC，E、F分别是AB、AC上的点，且BEAF，连接CE、BF交于点P，若CPPE=34，则AEAF的值为（）A12B13C3-12D5-12【解题思路】作EDAC交BF于D，如图，根据平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例，设ED4x，BEy，则FC3x，AFy，易得AEFC3x，再利用DEAF得到对应边成比例，利用比例的性质和解方程得到y6x，进而可得结果【解答过程】解：作EDAC交BF于D，如图，EDFC，EDEP=EPPC=43，设ED4x，BEy，则FC3x，AFy，ABAC，AEFC3x，DEAF，BEBA=DEAF，即yy+3x=4xy，整理得y24xy12x20，（y+2x）（y6x）0，y6x，AEAF=3x6x=12故选：A【变式3-1】（2021秋浠水县期中）如图，等腰三角形ABC中，ABAC，P点在BC边上的高AD上，且APPD=12，BP的延长线交AC于E，若SABC10，则SABE2；SDEC4【解题思路】如果把ABE与ABC看作同高的两个三角形，那么它们的面积之比等于底之比，即等于AE：AC所以为了求出ABE的面积，由于已知SABC10，只需求出AE：AC即可为此，取EC中点F，连接DF先由等腰三角形三线合一的性质得出D为BC中点，又F为EC中点，根据三角形中位线定理证出DFBE，再由平行线分线段成比例定理求出AE：EF，进而得出AE：AC；根据SBECSABCSABE，先求出SBEC，再根据三角形的中线将三角形的面积二等分，得出SDEC【解答过程】解：取EC中点F，连接DFABAC，AD为BC边上的高，D为BC中点F为EC中点，DFBE，则DFPE，AEEF=APPD=12，AEAC=15SABESABC=AEAC=15，SABE=15SABC=15×102；SBECSABCSABE1028，又D为BC中点，SDEC=12SBEC=12×84故答案为2；4【变式3-2】（2021秋房山区校级月考）如图，在ABC中，EFCD，DEBC（1）求证：AF：FDAD：DB；（2）若AB15，AD：BD2：1，求DF的长【解题思路】（1）利用平行线分线段成比例定理，由EFCD得到AFFD=AEEC，由DEBC得到ADBD=AEEC，然后利用等量代换可得到结论；（2）根据比例的性质由AD：BD2：1可计算出AD10，则利用AF：FDAD：DB得到AF2DF，然后利用2DF+DF10可计算出DF【解答过程】（1）证明：EFCD，AFFD=AEEC，DEBC，ADBD=AEECAFFD=ADBD（2）AD：BD2：1，BD=12AD，AD+12AD15，AD10，AF：FDAD：DB，AF：FD2：1，AF2DF，AF+DF10，2DF+DF10，DF=103【变式3-3】（2021秋平房区期末）已知，在ABC中，点D为AB上一点，过点D作DEBC，DHAC分别交AC、BC于点E、H，点F是BC延长线上一点，连接FD交AC于点G，则下列结论中错误的是（）AADDB=AEDHBCFDE=DHCGCFDFG=ECCGDCHBC=AEAC【解题思路】首先证明四边形DECH是平行四边形，再利用平行线分线段成比例定理一一判断即可【解答过程】解：DEBC，DHAC，四边形DECH是平行四边形，DHCE，DECH，DEBC，ADDB=AEEC=AEDH，故选项A正确，不符合题意，DHCG，DFFG=DHGC=ECCG，故C正确，不符合题意，DEBC，DEBC=AEAC，CHBC=AEAC，故D正确，不符合题意，故选：B【考点4 相似三角形的简单判定与性质】【例1】（2021温州模拟）如图，在RtABC中，ACB90°，CDAB于点D，正方形CDEF的顶点E在线段AD上，G是边EF上一点，连接AG，记AEG面积为S1，CBD面积为S2，若EGBD，S1+S216，则DE的长为（）A42B82C4D8【解题思路】证明ACDCBD，可得CD2ADBD，根据EGBD，S1+S216，可得CD的长，进而可得DE的长【解答过程】解：CDAB，CDBACB90°，ACD+BCD90°，B+BCD90°，ACDB，ACDCBD，CDBD=ADCD，CD2ADBD，四边形CDEF是正方形，CDDE，AEG面积S1=12×AEEG，CBD面积S2=12×BDCD，且EGBD，S1+S2=12×AEEG+12×BDCD=12×BD（AE+CD）=12×BD（AE+ED）=12×BDAD=12CD216，CD232，CD42DECD42故选：A【变式4-1】（2021秋南岸区期末）如图，在ABC中，C90°，AB10，BC8E是AC边上一动点，过点E作EFAB交BC于点F，D为线段EF的中点，当BD平分ABC时，AE的长度是（）A1613B3013C4013D4813【解题思路】根据勾股定理求出AC，根据角平分线的定义、平行线的性质得到FBDBDF，可得FBFD，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可【解答过程】解：C90°，AB10，BC8AC=AB2-BC2=102-82=6，EFAB，ABDBDF，又ABDFBD，FBDBDF，FBFD，EF2FB，EFAB，CEFCAB，CECA=EFAB=CFBC，6-AE6=2BF10=8-BF8，解得，BF=4013，AE=3013故选：B【变式4-2】（2021秋江阴市校级月考）如图，在RtABC中，ACB90°，点D在BC上，连接AD，CEAD，垂足为E，连接BE（1）试证：CDEADC；（2）若点D是BC的中点，BED与ABC是否相等，并说明理由【解题思路】（1）根据题意即可判定AECCED；（2）BEDABC过点B作BFAD，交AD的延长线于点F，分别判定ACDCED，CDEBDF（AAS），得出条件判定ACBBFE，从而可得结论【解答过程】解：（1）在RtACD中，ECD+CAD90°，ECDCAD又AECCED，AECCED，（2）BEDABC，理由如下： 如图，过点B作BFAD，交AD的延长线于点F，ECDCAD，且在RtACD和RtCED中，ACDCED90°，ACDCED，CE：ACED：CD，D是BC的中点，CDBD，CEAD，BFAD，CEDBFD，又CDEBDF，CDEBDF（AAS），EDFD，CEBF，由可得：BF：ACCE：ACED：CD2ED：2CDEF：CB，ACBBFE90°，BF：ACEF：CB，ACBBFE，BEDABC【变式4-3】（2021金州区一模）如图，在正方形ABCD中，点M是边BC上的一点（不与B、C重合），点N在边CD延长线上，且满足MAN90°，联结MN，AC，MN与边AD交于点E（1）求证：AMAN；（2）如果CAD2NAD，求证：AM2=2ABAE；（3）MN交AC点O，若CMBM=k，则OMON=kk+2（直接写答案、用含k的代数式表示）【解题思路】（1）由正方形的性质可得ABAD，由“ASA”可证ABMADN，可得AMAN；（2）由题意可得CAMNAD22.5°，ACBMNA45°，即可证AMCAEN，即可证AM2AEAC，再根据AC=2AB可得结论；（3）过点M作MFAB交AC于点F，设BMa，由CMBM=k，BMa，BC（k+1）a，再根据OMON=MFCN可得答案【解答过程】证明（1）四边形ABCD是正方形，ABAD，CADACB45°，BADCDAB90°，BAM+MAD90°，MAN90°，MAD+DAN90°，BAMDAN，ADAB，ABCADN90°，ABMADN（ASA），AMAN（2）AMAN，MAN90°，MNA45°，CAD2NAD45°，NAD22.5°CAMMANCADNAD22.5°CAMNAD，ACBMNA45°，AMCAEN，AMAE=ACAN，AMANACAE，ANAM，AC=2AB，AM2=2ABAE；（3）OMON=kk+2理由：如图，过点M作MFAB交AC于点F，设BMa，CMBM=k，BMa，BC（k+1）a，即NDBMa，ABCDBC（k+1）a，MFABCD，MFAB=CMCB=k1+k，MFka，OMON=MFCN=ka(k+1+1)a=kk+2故答案为：kk+2【考点5相似基本模型（A/X/AX字型）】【例5】（2021丛台区校级三模）如图，ABC中，DE分别是AB、AC上的点，且BD2AD，CE2AE（1）求证：ADEABC；（2）若DF2，求FC的长度【解题思路】（1）由BD2AD，CE2AE可得出ADAB=AEAC，结合DAEBAC可证出ADEABC；（2）由ADEABC，利用相似三角形的性质可得出DEBC=13及ADEABC，利用“同位角相等，两直线平行”可得出DEBC，进而可得出DEFCBF，再利用相似三角形的性质可求出FC的长【解答过程】（1）证明：BD2AD，CE2AE，ADAB=AEAC=13，又DAEBAC，ADEABC；（2）解：ADEABC，DEBC=ADAB=13，ADEABC，DEBC，DEFCBF，DFCF=DECB，即2CF=13，FC6【变式5-1】（2021松江区一模）已知：如图，点D，F在ABC边AC上，点E在边BC上，且DEAB，CD2CFCA（1）求证：EFBD；（2）如果ACCFBCCE，求证：BD2DEBA【解题思路】（1）由平行线分线段成比例可得CDAC=CECB，由CD2CFCA，可得CFCD=CECB，可证EFBD；（2）通过证明BADDBE，可得BABD=BDDE，即可得结论【解答过程】证明：（1）DEAB，CDAC=CECB，CD2CFCACDAC=CFCD，CFCD=CECB，EFBD；（2）EFBD，CEFCBD，ACCFBCCE，ACBC=CECF，且CC，CEFCAB，CEFA，DBEA，DEAB，EDBDBA，且DBEA