2023-2024学年九年级数学下册举一反三系列（苏科版）专题7.2 解直角三角形及其应用-重难点题型（举一反三）（苏科版）含解析.docx

2023-2024学年九年级数学下册举一反三系列（专题7.2 解直角三角形及其应用-重难点题型【苏科版】【知识点1 直角三角形的边角关系】（1） 两锐角关系： （2）三边关系：（勾股定理） （3）边角关系：， ，【知识点2 解直角三角形的类型和解法】已知条件图形解法对边邻边斜边ACBb已知一直角边和一个锐角已知斜边和一个锐角已知两直角边已知斜边和一条直角边【题型1 可直接解直角三角形（网格问题）】【例1】（2021碑林区校级模拟）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，连接AB、AC，则sinBAC的值为（）A12B55C255D52【变式1-1】（2021雁塔区校级模拟）如图所示，网格中的每个小正方形的边长都是1，ABC的顶点都在交点处，则ABC的正弦值为（）A12B655C35D31010【变式1-2】（2020秋周村区期末）如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A，B，P，Q四点均在正方形网格的格点上，线段AB，PQ相交于点M，则图中cosQMB的值是（）A55B255C22D105【变式1-3】（2021春淮南月考）如图，已知ABC的三个顶点均在格点上，求BAC的余弦值【题型2 不可直接解直角三角形（设元、借助方程）】【例2】（2021苍溪县模拟）在RtABC中，C90°，tanA=23若D是AC上一点，且CBDA，则sinABD的值为（）A513B813C1039D31010【变式2-1】（2021安徽模拟）如图，RtABC中，ABC90°，AB6，BC8，D为AC边上一动点，且tanABD=12，则BD的长度为（）A1558B25C5D24511【变式2-2】（2021相城区校级一模）如图，在四边形ABCD中，ABCD，CDCB，sinBAD=35，BCD60°，连接AC，则tanACD 【变式2-3】（2021嘉定区三模）如图6，在ABC中，C90°，sinA=35，AB5，BD平分ABC（1）求BC的长；（2）求CBD的正切值【题型3 “化斜为直”-解斜三角形】【例3】（2020秋香坊区月考）在ABC中，B30°，AB8，AC27，则BC的长为 【变式3-1】（2020秋汉寿县期末）如图，在ABC中，BAC120°，AC8，AB4，则BC的长是（）A43B47C6D8【变式3-2】（2021宝山区校级自主招生）如图，在ABC中，点D在BC上，AB6，BD4，ACCD5，则cosADC 【变式3-3】（2021春昌江区校级期末）如图，在ABC中，AD是中线，ABC30°，ADC45°（1）求ABBD的值；（2）求ACB的度数【题型4 解直角三角形的应用（仰角、俯角）】【例4】（2021卧龙区一模）如图，某工地有一辆吊车，AB为车身，AC为吊臂，吊车从水平地面C处吊起货物，此时测得吊臂AC与水平线的夹角为18°，当货物吊至D处时，测得吊臂AD与水平线的夹角为53°，且吊臂转动过程中长度始终保持不变，此时D处离水平地面的高度DE12m，求吊臂的长（结果保留一位小数，参考数据：sin18°0.30，cos18°0.95，tan18°0.32，sin53°0.80，cos53°0.60，tan53°1.33）【变式4-1】（2021秋沙坪坝区校级月考）如图，小文准备测量自己所住楼房的高度，他首先在A处测得楼房顶部E的仰角为53°，然后沿着直线走了7米到B处，再沿着斜坡BC走了13米到达C处，再测得楼房顶部E的仰角为37°，已知小文身高1.5米（即AMCN1.5米），且斜坡BC的坡度i1：2.4，则楼房EF的高度大约为（）米（参考数据：sin37°35，cos37°45，tan37°34，sin53°45，cos53°35，tan53°43）A42.5B44.5C45.5D47.4【变式4-2】（2021秋平阳县期中）小明在某次投篮中刚好把球打到篮板的点D处后进球已知小明与篮框内的距离BC5米，眼镜与底面的距离AB1.7米，视线AD与水平线的夹角为，已知tan=310，则点D到底面的距离CD是 米【变式4-3】（2021新野县三模）许昌市旅游服务中心由广场和“一门四阙”主题建筑组成，如图1广场为迎宾广场一门”为“许昌之门”，“四闕”为广场四角的汉阙，是许昌的标志性建筑某数学兴趣小组在迎宾广场测量旅游服务中心的高度，图2为测量示意图，MN为服务中心的对称轴，在地面的AB处架设测角仪，测得旅游服务中心的最高点D的仰角45°，利用无人机在点B的正上方57.8米处的点C处测得点D的俯角为32°，测角仪的高度AB1.6米，FH17.2米，DE19.8米（1）求旅游服务中心的高度为多少米？（结果精确到0.1m参考数据：sin32°0.530，cos32°0.848，tan32°0.625，21.414）（2）兴趣小组测量后到旅游服务中心参观，发现讲解员讲解的高度为36.8m，请用物理知识解释测量值与实际值出现差距的原因，如何避免或者减小差距？【题型5 解直角三角形的应用（方向角）】【例5】（2021大连二模）如图，一艘海轮船位于灯塔P北偏东60°方向，与灯塔距离为80nmile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P南偏东37°方向的B处，求此时轮船所在B处与灯塔P的距离（参考数据：sin37°0.6，cos37°0.8，tan37°0.75，31.7，结果取整数）【变式5-1】（2021开平区一模）如图，台风在某海岛（设为点O）的南偏东45°方向的B点生成，测得OB=1006km台风中心从点B以40km/h的速度向正北方向移动，经5h后到达海面上的点C处因受气旋影响，台风中心从点C开始以30km/h的速度向北偏西60°方向继续移动，以O为原点建立如图所示的直角坐标系已知距台风中心20km的范围内均会受到台风的侵袭如果某城市（设为点A）位于点O的正北方向且处于台风中心的移动路线上，那么台风从生成到最初侵袭该城要经过的时间为（）A8小时B9小时C10小时D11小时【变式5-2】（2021荆州模拟）如图，某天然气公司的主输气管道从A市的北偏东60°方向直线延伸，测绘员在A处测得要安装天然气的M小区在A市北偏东30°方向，测绘员沿主输气管道步行2000米到达C处，测得小区M位于C的北偏西60°方向当在主输气管道AC上寻找支管道连接点N，使到该小区M铺设的管道最短时，AN的长为 米【变式5-3】（2021封丘县二模）2021年3月1日，我国第一部流域保护法中华人民共和国长江保护法正式实施作为我国经济发展的重要引擎，长期以来，生态保护为发展让路一直是长江流域生态环境保护工作的痛点，长江保护法最大的特点就是“生态优先、绿色发展”的国家战略被写入法律已知渔政执法船某一时刻在长江流域巡航时，从A出发以30千米/时的速度向正南方向行驶，在A处观测到码头C位于船的南偏东37°，2小时候到达B处，这时观察到码头C位于船的北偏东45°方向，若此时渔政执法船返回码头C，需要多少时间？（结果精确到0.1，21.41，sin37°35，cos37°45，tan37°34）【题型6 解直角三角形的应用（坡角、坡度）】【例6】（2021河南模拟）如图，AD是土坡AB左侧的一个斜坡，坡度为55°，村委会在坡底D处建另一个高为3米的平台，并将斜坡AD改为AC，坡比i1：1，求土坡AB的高度（精确到0.1米，参考数据：sin55°0.82，cos55°0.57，tan55°1.43）【变式6-1】（2021北碚区校级模拟）黑龙江亚布力地区的滑雪场在国内享誉盛名，如图所示为该地区某滑雪场的一段赛道示意图，AB段为助滑段，长为12米，坡角为16°，一个曲面平台BCD连接了助滑坡AB与着陆坡DE已知着陆坡DE的坡度为i1：2.4，DE长度为19.5米，B，D之间的垂直距离为5.5米，则一人从A出发到E处下降的垂直距离约为（参考数据sin16°0.28，cos16°0.96，tan16°0.29，结果保留一位小数）（）A15.9米B16.0米C16.4米D24.5米【变式6-2】（2021垦利区一模）自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造如图2所示，改造前的斜坡AB200米，坡度为1：3；将斜坡AB的高度AE降低AC20米后，斜坡AB改造为斜坡CD，其坡度为1：4则斜坡CD的长为 （结果保留根号）【变式6-3】（2021内乡县二模）如图，斜坡OA上有一竖直的电线杆ED，已知O30°，为保证电线杆不倾斜，现从电线杆上不同的M，N两处分别向地面引两条钢丝引线MF，NG（引线与电线杆位于同一平面内），其中MF与斜坡OA垂直，NGF70°，现测得DFFG4米，试求M，N两点间的距离（结果精确到0.1，31.732，tan40°0.840，tan70°2.750）专题7.2 解直角三角形及其应用-重难点题型【苏科版】【知识点1 直角三角形的边角关系】（2） 两锐角关系： （2）三边关系：（勾股定理） （3）边角关系：， ，【知识点2 解直角三角形的类型和解法】已知条件图形解法对边邻边斜边ACBb已知一直角边和一个锐角已知斜边和一个锐角已知两直角边已知斜边和一条直角边【题型1 可直接解直角三角形（网格问题）】【例1】（2021碑林区校级模拟）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，连接AB、AC，则sinBAC的值为（）A12B55C255D52【分析】利用勾股定理的逆定理先判定ABC为直角三角形，再利用正弦的定义可求结论【解答】解：连接BC，AC242+2220，AB232+4225，BC212+225，AC2+BC2AB2ACB90°sinBAC=BCAB=55故选：B【变式1-1】（2021雁塔区校级模拟）如图所示，网格中的每个小正方形的边长都是1，ABC的顶点都在交点处，则ABC的正弦值为（）A12B655C35D31010【分析】利用网格求出AC和AB的长，根据等腰三角形的性质可得ADBC，最后根据三角函数的意义求解即可【解答】解：如图，取BC的中点D，连接AD，由网格可得，ACAB=42+22=25，ADBC，RtABD中，AD=32+32=32，sinABC=ADAB=3225=31010故选：D【变式1-2】（2020秋周村区期末）如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A，B，P，Q四点均在正方形网格的格点上，线段AB，PQ相交于点M，则图中cosQMB的值是（）A55B255C22D105【分析】根据题意，作CQAB，然后利用勾股定理可以得到PC、CQ、PQ的长，再根据勾股定理的逆定理可以判断PCQ的形状，从而可以求得cosPQC的值，然后根据平行线的性质，可以得到QMBPQC，从而可以得到cosQMB的值【解答】解：作CQAB，连接PC，如右图所示，设每个小正方形的边长为1，则CQ=22+22=22，PQ=62+22=210，PC=42+42=42，CQ2+PC2（22）2+（42）28+3240（210）2PQ2，PCQ是直角三角形，PCQ90°，cosPQC=CQPQ=22210=55，ABCQ，QMBPQC，cosQMB的值是55，故选：A【变式1-3】（2021春淮南月考）如图，已知ABC的三个顶点均在格点上，求BAC的余弦值【分析】先作辅助线BDAC于点D，AECB交CB的延长线于点E，然后根据等积法即可求得BD的长，即可求得相应的角的三角函数值【解答】解：作BDAC于点D，作AECB交CB的延长线于点E，由图可得，BC2，AE3，AC32，AB=12+32=10，SABC=BCAE2=ACBD2，2×32=32BD2，解得，BD=2，AD=AB2-BD2=10-2=22，cosBAC=ADAB=2210=255【题型2 不可直接解直角三角形（设元、借助方程）】【例2】（2021苍溪县模拟）在RtABC中，C90°，tanA=23若D是AC上一点，且CBDA，则sinABD的值为（）A513B813C1039D31010【分析】过点D作DEAB于点E，由tanCBD=23，设CD2k，则CB3k，在RtACB，tanA=23，得BCAC=23，表示出AC=32BC=92k，ADACDC=52k，AB=AC2+BC2=(92k)2+(3k)2=3132k，由tanA=23，设DE2x，AE3x，根据勾股定理得，（2x）2+（3x）2（52k）2，解得：x=51326k，得DE=51313k，再求出DB=(2k)2+(3k)2=13k，即可求解【解答】解：过点D作DEAB于点E，CBDA，tanA=23，tanCBD=23，在RtDCB中，CDCB=23，设CD2k，则CB3k，RtACB，tanA=23，BCAC=23，AC=32BC=92k，ADACDC=52k，AB=AC2+BC2=(92k)2+(3k)2=3132k，RtADE，tanA=23，DEAE=23，设DE2x，AE3x，根据勾股定理得，（2x）2+（3x）2（52k）2，解得：x=51326k，DE=51313k，BD=DC2+CB2=(2k)2+(3k)2=13k，sinABD=EDDB=5131313=513故选：A【变式2-1】（2021安徽模拟）如图，RtABC中，ABC90°，AB6，BC8，D为AC边上一动点，且tanABD=12，则BD的长度为（）A1558B25C5D24511【分析】作DEAB于点E，设DE长为x，有tanA=43及tanABD=12求出EA与BE长度，再由勾股定理求解【解答】解：作DEAB于点E，设DE长为x，则tanA=DEEA=BCAB=43，EA=34x，tanABD=DEBE=12，BE2x，ABEA+BE=34x+2x6，x=2411，BD=BE2+DE2=4x2+x2=24511，故选：D【变式2-2】（2021相城区校级一模）如图，在四边形ABCD中，ABCD，CDCB，sinBAD=35，BCD60°，连接AC，则tanACD6-332【分析】延长AB到E，连接CE，使CEBE，由ABCD得出BACACD，求出tanACD即可得出答案【解答】解：如图，延长AB到E，连接CE，使CEBE，作DFAB于F，BCD60°，EBC60°，ABCD，DCACAB，sinBAD=35，设AD5k，则DFCE3k，AF4k，又CBE60°，CB=23CE=23k，CDCB，CD23k，tanACDtanCAE=CEAE=3k4k+23k=6-332，故答案为：6-332【变式2-3】（2021嘉定区三模）如图6，在ABC中，C90°，sinA=35，AB5，BD平分ABC（1）求BC的长；（2）求CBD的正切值【分析】（1）在直角ABC中，利用正弦函数定义即可求出BC3；（2）过D点作DEAB于E，根据角平分线的性质得出DCDE利用HL证明RtBDERtBDC，得出BEBC3，那么AEABBE2在RtABC中，由勾股定理求出AC4设CDx，在RtADE中，根据勾股定理列出方程（4x）222+x2，求出x，最后在RtDBC中，根据正切函数定义求解【解答】解：（1）在ABC中，C90°，sinA=BCAB=35，AB5，BC3；（2）如图，过D点作DEAB于E，BD平分ABC，C90°，DCDE在RtBDE与RtBDC中，BD=BDDE=DC，RtBDERtBDC（HL），BEBC3，AEABBE532在RtABC中，由勾股定理得AC=AB2-BC2=52-32=4设CDx，则DEx，AD4x在RtADE中，AED90°，AD2AE2+DE2，（4x）222+x2，解得x=32，CD=32在RtDBC中，C90°，tanCBD=CDBC=323=12【题型3 “化斜为直”-解斜三角形】【例3】（2020秋香坊区月考）在ABC中，B30°，AB8，AC27，则BC的长为23或63【分析】过A作ADBC于D，分为两种情况，画出图形，求出BD和CD，即可求出答案【解答】解：如图1，过点A作ADBC于点D，B30°，AB8，AD=12AB3，BDABcos30°6×32=43在RtACD中，AD4，AC27，DC=AC2-AD2=28-16=23，BCBD+DC43+23=63如图2，同理可得，AD4，BD43，CD23，BCBDDC43-23=23综上所述，BC的长为63或23【变式3-1】（2020秋汉寿县期末）如图，在ABC中，BAC120°，AC8，AB4，则BC的长是（）A43B47C6D8【分析】如图，过点C作CEBA交BA的延长线于E解直角三角形求出AE，EC，再利用勾股定理求出BC【解答】解：如图，过点C作CEBA交BA的延长线于EBAC120°，CAE180°120°60°，AEACcos60°4，ECACsin60°43，AB4，BEAB+AE8，BC=BE2+EC2=82+(43)2=47，故选：B【变式3-2】（2021宝山区校级自主招生）如图，在ABC中，点D在BC上，AB6，BD4，ACCD5，则cosADC13【分析】先在RtABE中和在RtACE中利用勾股定理用已知条件和DE表示出AE，然后再利用勾股定理求出AE和AD，从而求出结论【解答】解：如图：过点A作AEBC，交BC于点E，设DEx，则CE5x，在RtABE中，AE2AB2BE2，则AE262（4+x）2，在RtACE中，AE2AC2CE2，则AE252（5x）2，由得，62（4+x）252（5x）2，解得：x=109，则DE=109，在RtADE中，AD2AE2+DE2，将x=109代入式，得AE=2029，则AD2（2029）2+（109）2，解得AD=103，cosADC=DEAD=13【变式3-3】（2021春昌江区校级期末）如图，在ABC中，AD是中线，ABC30°，ADC45°（1）求ABBD的值；（2）求ACB的度数【分析】（1）过点A作BD的垂线交BD的延长线于点E，解直角三角形分别求出AB，BD，可得结论（2）如图，过点C作CEAB于E，连接DE分别求出ECB，ACE，可得结论【解答】解：（1）过点A作BD的垂线交BD的延长线于点E，在RtABE中，ABC30°，AB2AE，BE=AEtan30°=3AE，在RtADE中，ADC45°，DEAE，BDBEDE=3AEAE（3-1）AE，ABBD=2AE(3-1)AE=3+1；（2）如图，在AB上取一点E，使得DBDE，连接ECDBDE，DBEDEB30°，EDCB+DEB60°，DBDCDE，DEC是等边三角形，ECDCED60°，CEBCEA90°，ADC45°，EDAEDCADC15°，DEBEDA+AED，EDAEAD15°，EDEAEC，CEA90°，ECA45°，ACBACE+ECB45°+60°105°【题型4 解直角三角形的应用（仰角、俯角）】【例4】（2021卧龙区一模）如图，某工地有一辆吊车，AB为车身，AC为吊臂，吊车从水平地面C处吊起货物，此时测得吊臂AC与水平线的夹角为18°，当货物吊至D处时，测得吊臂AD与水平线的夹角为53°，且吊臂转动过程中长度始终保持不变，此时D处离水平地面的高度DE12m，求吊臂的长（结果保留一位小数，参考数据：sin18°0.30，cos18°0.95，tan18°0.32，sin53°0.80，cos53°0.60，tan53°1.33）【分析】过点A作AFDE，垂足为F，设ADACxm，根据锐角三角函数的定义以及图形中的等量关系列出方程，求解即可【解答】解：过点A作AFDE，垂足为F，则ABEF，设ADACxm，在RtAFD中，DAF53°，sinDAF=DFAD，DFADsinDAFxsin53°，在RtABC中，C18°，sinC=ABAC，ABACsinCxsin18°，EFABxsin18°，DEDF+EF，12xsin53°+xsin18°，解得：x10.9，即吊臂长约为10.9m【变式4-1】（2021秋沙坪坝区校级月考）如图，小文准备测量自己所住楼房的高度，他首先在A处测得楼房顶部E的仰角为53°，然后沿着直线走了7米到B处，再沿着斜坡BC走了13米到达C处，再测得楼房顶部E的仰角为37°，已知小文身高1.5米（即AMCN1.5米），且斜坡BC的坡度i1：2.4，则楼房EF的高度大约为（）米（参考数据：sin37°35，cos37°45，tan37°34，sin53°45，cos53°35，tan53°43）A42.5B44.5C45.5D47.4【分析】过N作NGEF于G，过M作MHEF于H，设NC的延长线与AB的延长线交于点D，则FHAM1.5米，MHAF，DNFG，GNFD，由坡比的定义和勾股定理得CD5（米），BD12（米），设MHAFm米，则GNFD（m+19）米，再由锐角三角函数定义得EG34（m+19）米，EH43m（米），求出m33，即可解决问题【解答】解：过N作NGEF于G，过M作MHEF于H，设NC的延长线与AB的延长线交于点D，如图所示：则FHAM1.5米，MHAF，DNFG，GNFD，由题意得：D90°，AB7米，BC13米，斜坡BC的坡度i1：2.4=CDBD=512，设CD5x米，则BD12x米，FGDNCD+CN6.5（米），ADAB+BD19（米），GHFGFH5（米），BC=CD2+BD2=(5x)2+(12x)2=13x13米，x1，CD5（米），BD12（米），设MHAFm米，则GNFD（m+19）米，在RtEGN中，ENG37°，tanENG=EGGN34，EG34GN=34（m+19）米，在RtEMH中，EMH53°，tanEMH=EHMH43，EH43MH=43m（米），EHEGGH，43m-34（m+19）5，解得：m33，EH43m44（米），EFEH+FH45.5（米），故选：C【变式4-2】（2021秋平阳县期中）小明在某次投篮中刚好把球打到篮板的点D处后进球已知小明与篮框内的距离BC5米，眼镜与底面的距离AB1.7米，视线AD与水平线的夹角为，已知tan=310，则点D到底面的距离CD是 3.2米【分析】过A作AECD于E，则四边形ABCE是矩形，得AEBC5米，CEAB1.7米，解RtADE得到DE的长度，再由CDCE+DE即可求解【解答】解：如图，过A作AECD于E，则四边形ABCE是矩形，AEBC5米，CEAB1.7米，在RtADE中，DAE，tan=DEAE=310，DE=310AE=310×51.5（米），CDCE+DE3.2米故答案为：3.2【变式4-3】（2021新野县三模）许昌市旅游服务中心由广场和“一门四阙”主题建筑组成，如图1广场为迎宾广场一门”为“许昌之门”，“四闕”为广场四角的汉阙，是许昌的标志性建筑某数学兴趣小组在迎宾广场测量旅游服务中心的高度，图2为测量示意图，MN为服务中心的对称轴，在地面的AB处架设测角仪，测得旅游服务中心的最高点D的仰角45°，利用无人机在点B的正上方57.8米处的点C处测得点D的俯角为32°，测角仪的高度AB1.6米，FH17.2米，DE19.8米（1）求旅游服务中心的高度为多少米？（结果精确到0.1m参考数据：sin32°0.530，cos32°0.848，tan32°0.625，21.414）（2）兴趣小组测量后到旅游服务中心参观，发现讲解员讲解的高度为36.8m，请用物理知识解释测量值与实际值出现差距的原因，如何避免或者减小差距？【分析】（1）根据题意作出合适的辅助线，然后根据锐角三角函数即可求得BG的值，也就是MN的值；（2）根据物理知识中误差产生的原因和减少误差的方法可以解答本题【解答】解：（1）作DGAC于点G，由题意可得，132°，245°，CDG32°，ADG45°，ADGDAG45°，GDGA，设CGx米，则AGBCBACG57.81.6x（56.2x）米，则GD（56.2x）米，tanCGD=CGGD，tan32°=x56.2-x，解得x21.6，BGBCGC57.821.636.2（米），MNBG36.2米，答：旅游服务中心的高度约为36.2米；（2）造成误差的主要原因有系统误差和随机误差，比如误读、误算、视差、刻度误差等，避免或者减小差距可以通过多次测量，求平均值【题型5 解直角三角形的应用（方向角）】【例5】（2021大连二模）如图，一艘海轮船位于灯塔P北偏东60°方向，与灯塔距离为80nmile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P南偏东37°方向的B处，求此时轮船所在B处与灯塔P的距离（参考数据：sin37°0.6，cos37°0.8，tan37°0.75，31.7，结果取整数）【分析】过点P作PDAB于D点，则在RtAPD中易得PD的长，再在直角BPD中求出PB【解答】解：过点P作PDAB于D点，由题意知，ABEF，ADPBDP90°，AP80nmile，AEPA60°，BBPF37°，RtADP中，sinA=PDAP，PDAPsinAAPsin60°=80×3268（nmile），RtBDP中，sinB=BDBP，PB=PDsinB=PDsin37°680.6113（nmile），答：轮船所在B处与灯塔P的距离约为113nmile【变式5-1】（2021开平区一模）如图，台风在某海岛（设为点O）的南偏东45°方向的B点生成，测得OB=1006km台风中心从点B以40km/h的速度向正北方向移动，经5h后到达海面上的点C处因受气旋影响，台风中心从点C开始以30km/h的速度向北偏西60°方向继续移动，以O为原点建立如图所示的直角坐标系已知距台风中心20km的范围内均会受到台风的侵袭如果某城市（设为点A）位于点O的正北方向且处于台风中心的移动路线上，那么台风从生成到最初侵袭该城要经过的时间为（）A8小时B9小时C10小时D11小时【分析】先求出点B的坐标，再求出点C的坐标过点C作CDOA与点D，构造直角三角形求出CA的长，然后再根据速度求台风从生成到最初侵袭该城要经过的时间【解答】解：由题意可知，B（1003，1003），C（1003，2001003）；过点C作CDOA于点D，如图，则CD1003 km在RtACD中，ACD30°，CD1003 km，CDCA=cos30°=32，CA200 km200-2030=6（h），5+611（h），台风从生成到最初侵袭该城要经过11小时，故选：D【变式5-2】（2021荆州模拟）如图，某天然气公司的主输气管道从A市的北偏东60°方向直线延伸，测绘员在A处测得要安装天然气的M小区在A市北偏东30°方向，测绘员沿主输气管道步行2000米到达C处，测得小区M位于C的北偏西60°方向当在主输气管道AC上寻找支管道连接点N，使到该小区M铺设的管道最短时，AN的长为 1500米【分析】过C作东西方向线的平行线交过A的南北方向线AE于B，过M作MNAC交于N点，即MN最短，根据方向角可以证得AMC90°，再求得MC的长、NC的长，进而求得AN的长【解答】解：如图，过C作东西方向线的平行线交过A的南北方向线AE于B，过M作MNAC交于N点，则MN最短，EAC60°，EAM30°，CAM30°，AMN60°，又C处看M点为北偏西60°，FCM60°，MCB30°，EAC60°，CAD30°，BCA30°，MCAMCB+BCA60°，AMC90°，MAC30°，MC=12AC1000，CMN30°，NC=12MC500，AC2000米，ANACNC20005001500（米），即该小区M铺设的管道最短时，AN的长为1500米，故答案为：1500【变式5-3】（2021封丘县二模）2021年3月1日，我国第一部流域保护法中华人民共和国长江保护法正式实施作为我国经济发展的重要引擎，长期以来，生态保护为发展让路一直是长江流域生态环境保护工作的痛点，长江保护法最大的特点就是“生态优先、绿色发展”的国家战略被写入法律已知渔政执法船某一时刻在长江流域巡航时，从A出发以30千米/时的速度向正南方向行驶，在A处观测到码头C位于船的南偏东37°，2小时候到达B处，这时观察到码头C位于船的北偏东45°方向，若此时渔政执法船返回码头C，需要多少时间？（结果精确到0.1，21.41，sin37°35，cos37°45，tan37°34）【分析】过C作CDAB于D，设CDBDx，解直角三角形即可得到结论【解答】解：过C作CDAB于D，由题意得，AB30×260（千米/时），A37°，B45°，设CDBDx，在RtBCD中，B45°，BDC90°，CDBDx，在RtACD中，A37°，ADC90°，AD=CDtan37°x34=4x3，AD+BDAB，43x+x60，解得：x25.7，BC=2BD25.7×237.1（千米），37.1÷301.2（小时），答：渔政执法船返回码头C，需要1.2小时【题型6 解直角三角形的应用（坡角、坡度）】【例6】（2021河南模拟）如图，AD是土坡AB左侧的一个斜坡，坡度为55°，村委会在坡底D处建另一个高为3米的平台，并将斜坡AD改为AC，坡比i1：1，求土坡AB的高度（精确到0.1米，参考数据：sin55°0.82，cos55°0.57，tan55°1.43）【分析】过点C作CEAB于E，根据坡度的概念得到CEAE，根据正切的定义列方程，解方程得到答案【解答】解：过点C作CEAB于E，设AEx米，CDBD，ABCD，四边形CDBE为矩形，BECD3米，CEDB，斜坡AC的坡比i1：1，CEAEx米，AB（x+3）米，在RtADB中，tanADB=ABBD，即x+3x1.43，解得：x6.98，则ABx+39.9810.0（米），答：土坡AB的高度约为10.0米【变式6-1】（2021北碚区校级模拟）黑龙江亚布力地区的滑雪场在国内享誉盛名，如图所示为该地区某滑雪场的一段赛道示意图，AB段为助滑段，长为12米，坡角为16°，一个曲面平台BCD连接了助滑坡AB与着陆坡DE已知着陆坡DE的坡度为i1：2.4，DE长度为19.5米，B，D之间的垂直距离为5.5米，则一人从A出发到E处下降的垂直距离