2023-2024学年九年级数学下册举一反三系列（苏科版）专题6.3 相似三角形的判定-重难点题型（举一反三）（苏科版）含解析.docx

2023-2024学年九年级数学下册举一反三系列专题6.3 相似三角形的判定-重难点题型【苏科版】【知识点1 相似三角形的判定】判定定理判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似 简称为两角对应相等，两个三角形相似如图，如果，则判定定理2：如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似 简称为三边对应成比例，两个三角形相似如图，如果，则判定定理3：如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似 简称为两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似如图，如果，则【题型1 相似三角形的判定（判定定理1）】【例1】（2021越秀区校级二模）如图，在ABC中，四边形DBFE是平行四边形求证：ADEEFC【变式1-1】（2021越秀区校级二模）如图，在PAB中，点C、D在AB上，PCPDCD，ABPD，求证：APCPBD【变式1-2】（2020秋宁德期末）如图，在矩形ABCD中，点E是BC边上的点，ACDE，垂足为F求证：ABCECD【变式1-3】（2020秋淮安期末）如图，在矩形ABCD中，E为AD上一点，EFEC交AB于F，连接FC，求证：AEFDCE【题型2 相似三角形的判定（判定定理2）】【例2】根据下列条件，判断ABC与ABC是否相似，并说明理由（1）AB12，BC15，AC24，AB25，BC40，CA20（2）AB3，BC4，AC5，AB12，BC16，CA20【变式2-1】（2020秋南召县期中）如图，在ABC和ABC中，D、D分别是AB、AB上一点，ADAB=A'D'A'B'当CDC'D'=ACA'C'=ABA'B'时，判断ABC与ABC是否相似，并说明理由【变式2-2】（2020秋肥东县月考）如图，在矩形ABEF中，四边形ABCH、四边形CDGH和四边形DEFG都是正方形，图中的ACD与ECA相似吗？请说明理由【变式2-3】如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，ABC和DEF的顶点都在格点上，P1、P2、P3、P4、P5是DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题：（1）试证明ABC为直角三角形；（2）判断ABC和DEF是否相似，并说明理由；（3）直接写出一个与ABC相似的三角形，使它的三个顶点为P1、P2、P3、P4、P5中的三个格点【题型3 相似三角形的判定（判定定理3）】【例3】（2020秋浦东新区校级月考）如图，点D，E分别在线段AB和AC上，BE与CD相交于点O，ADABAEAC，DFAC，求证：DOFDOB【变式3-1】（2021春肇州县期末）如图，点B，C分别在ADE的边AD，AE上，且AC3，AB2.5，EC2，DB3.5求证：ABCAED【变式3-2】（2021春朝阳区校级期末）如图所示，在四边形ABCD中，CA是BCD的角平分线，且AC2CDBC，求证：ABCDAC【变式3-3】（2020秋蜀山区校级期中）如图，在ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE、BC的延长线相交于点F，且EFDFCFBF求证：CABDAE【题型4 相似三角形的判定（多结论问题）】【例4】（2021阿勒泰地区一模）如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC上的点，且AGCE，AEEF，AEEF，现有如下结论：BEDH；AGEECF；FCD45°；GBEECH其中，正确的结论有（）A4个B3个C2个D1个【变式4-1】（2020春淄川区期末）如图，在正方形ABCD中，E为CD的中点，P为BC边上一点，在下列条件中：APBEPC；ABPCECBP；P为BC的中点；PB：BC2：3其中能得到ABP与ECP相似的是（）ABCD【变式4-2】（2020秋南召县期中）如图，在ABC中，DEBC，AD：DB1：2，DE2，则下列叙述正确的是（）BC4；AEEC=12；SADESABC=14；ADEABCABCD【变式4-3】（2020秋天心区期中）如图，在ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中能判断ABCAED的是（）AEDB；ADEC；ADAE=ACAB；ADAB=AEACABCD【题型5 相似三角形的判定（网格问题）】【例5】（2021春芝罘区期末）如图，小正方形的边长均为1，则A、B、C、D四个选项中的三角形（阴影部分）与ABC相似的是（）ABCD【变式5-1】（2021龙港区一模）如图所示的4个三角形中，相似三角形有（）A1对B2对C3对D4对【变式5-2】（2020秋鹿邑县期末）如图，A、B、C、D、E、G、H、M、N都是方格中的格点（即小正方形的顶点），要使DEF与ABC相似，则点F应是G、H、M、N中的（）AH或NBG或HCM或NDG或M【变式5-3】（2020秋成华区期末）如图，在6×6的正方形的网格中，每个小正方形的边长为1，已知RtABC是网格中的格点三角形，则该网格中与RtABC相似且面积最大的格点三角形的面积是，符合条件的格点三角形共有 个【题型6 相似三角形的判定（动点问题）】【例6】（2021春龙口市期末）如图，在RtABC中，C90°，AC10cm，BC8cm点M从点C出发，以2cm/s的速度沿CA向点A匀速运动，点N从点B出发，以1cm/s的速度沿BC向点C匀速运动，当一个点到达终点时，另一点也随即停止运动（1）经过几秒后，MCN的面积等于ABC面积的25？（2）经过几秒，MCN与ABC相似？【变式6-1】（2021春濮阳期末）在ABC中，AB6cm，AC9cm，动点D从点B开始沿BA边运动，速度为1cm/s；动点E从点A开始沿AC边运动，速度为2cm/s如果D，E两动点同时运动，那么当它们运动 s时，由D，A，E三点连成的三角形与ABC相似【变式6-2】（2020秋渭滨区期末）如图所示，在平行四边形ABCD中，A90°，AB6cm，BC12cm，点E由点A出发沿AB方向向点B匀速移动，速度为1cm/s，点F由点B出发沿BC方向向点C匀速移动，速度为2cm/s，如果动点E，F同时从A，B两点出发，连接EF，若设运动时间为ts，解答下列问题：（1）当t为多少时，BEF为等腰直角三角形；（2）是否存在某一时刻t，使EFBFDC？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由【变式6-3】 （2020秋舒城县期末）如图，在ABC中，C90°，AC6cm，BC8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动（1）如果点P，Q同时出发，经过几秒钟时PCQ的面积为8cm2？（2）如果点P，Q同时出发，经过几秒钟时以P、C、Q为顶点的三角形与ABC相似？专题6.3 相似三角形的判定-重难点题型【苏科版】【知识点1 相似三角形的判定】判定定理判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似 简称为两角对应相等，两个三角形相似如图，如果，则判定定理2：如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似 简称为三边对应成比例，两个三角形相似如图，如果，则判定定理3：如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似 简称为两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似如图，如果，则【题型1 相似三角形的判定（判定定理1）】【例1】（2021越秀区校级二模）如图，在ABC中，四边形DBFE是平行四边形求证：ADEEFC【解题思路】根据平行得角相等，即可得证相似【解答过程】证明：四边形DBFE是平行四边形，DEBC，EFAB，CEFA，AEDC，ADEEFC【变式1-1】（2021越秀区校级二模）如图，在PAB中，点C、D在AB上，PCPDCD，ABPD，求证：APCPBD【解题思路】根据等腰三角形的性质得出PCDPDC，根据三角形的外角性质得出A+APCPCD，B+BPDPDC，求出BAPC，再根据相似三角形的判定推出即可【解答过程】证明：PCPD，PCDPDC，A+APCPCD，B+BPDPDC，又ABPD，BAPC，APCPBD【变式1-2】（2020秋宁德期末）如图，在矩形ABCD中，点E是BC边上的点，ACDE，垂足为F求证：ABCECD【解题思路】利用“两角法”证得结论【解答过程】证明：四边形ABCD是矩形，BBCD90°ACB+ACD90°又ACDE，CDE+ACD90°ACBCDEABCECD【变式1-3】（2020秋淮安期末）如图，在矩形ABCD中，E为AD上一点，EFEC交AB于F，连接FC，求证：AEFDCE【解题思路】用FEC90°，可得到AEF和DCE一对锐角相等，再加上一对直角相等，可证相似【解答过程】证明：FEC90°，AEF+DEC90°，四边形ABCD是矩形，AD90°，A+AFE+AEF180°，AFE+AEF90°，DECAFE，又AD，AEFDCE【题型2 相似三角形的判定（判定定理2）】【例2】根据下列条件，判断ABC与ABC是否相似，并说明理由（1）AB12，BC15，AC24，AB25，BC40，CA20（2）AB3，BC4，AC5，AB12，BC16，CA20【解题思路】（1）通过计算得出两个三角形三边成比例，即可得出结论（2）通过计算得出两个三角形三边成比例，即可得出结论【解答过程】解：（1）ABC'A'=1220=35，BCA'B'=1525=35，ACB'C'=2440=35，ABCABC（2）ABA'B'=312=14，BCB'C'=416=14，ACA'C'=520=14ABCABC【变式2-1】（2020秋南召县期中）如图，在ABC和ABC中，D、D分别是AB、AB上一点，ADAB=A'D'A'B'当CDC'D'=ACA'C'=ABA'B'时，判断ABC与ABC是否相似，并说明理由【解题思路】根据相似三角形的判定解答即可【解答过程】解：相似，理由如下：ADAB=A'D'A'B'ADA'D'=ABA'B'，又CDC'D'=ACA'C'=ABA'B'，CDC'D'=ACA'C'=ADA'D'，ADCADC，AA，又ACA'C'=ABA'B'，ABCABC【变式2-2】（2020秋肥东县月考）如图，在矩形ABEF中，四边形ABCH、四边形CDGH和四边形DEFG都是正方形，图中的ACD与ECA相似吗？请说明理由【解题思路】设小正方形的边长为1，分别求得两个三角形各边的长，再根据各边是否对应成比例来判定两三角形是否相似【解答过程】解：结论：相似理由：设正方形的边长为1，则AC=2，CD1，AD=5，EC2，EA=10，ACEC=CDCA=ADEA=22ACDECA【变式2-3】如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，ABC和DEF的顶点都在格点上，P1、P2、P3、P4、P5是DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题：（1）试证明ABC为直角三角形；（2）判断ABC和DEF是否相似，并说明理由；（3）直接写出一个与ABC相似的三角形，使它的三个顶点为P1、P2、P3、P4、P5中的三个格点【解题思路】（1）先根据勾股定理求出各个边的长度，再根据勾股定理的逆定理判断即可；（2）先根据勾股定理求出各个边的长度，再根据相似三角形的判定定理得出即可；（3）先根据勾股定理求出各个边的长度，再根据相似三角形的判定定理得出即可【解答过程】（1）证明：由勾股定理得：AB222+4220，AC222+125，BC232+4225，即AB2+AC2BC2，所以ABC是直角三角形；（2）解：相似，理由是：由勾股定理得：DF=22+22=22，DE=42+42=42，EF=22+62=210，由（1）知：AB25，AC=5，BC5，所以DFAC=DEAB=EFBC=2105，所以ABC和DEF相似；（3）解：和ABC相似的三角形是P2P4P5，理由是：由勾股定理得：P5P2=12+32=10，P2P4=12+12=2，P4P522，又AB25，AC=5，BC5，ACP2P4=ABP5P4=BCP5P2，ABCP4P5P2 【题型3 相似三角形的判定（判定定理3）】【例3】（2020秋浦东新区校级月考）如图，点D，E分别在线段AB和AC上，BE与CD相交于点O，ADABAEAC，DFAC，求证：DOFDOB【解题思路】根据相似三角形的判定得出ABE与ACD相似，利用相似三角形的性质得出BC，再利用平行线的性质和相似三角形的判定解答即可【解答过程】证明：ADABAEAC，ADAE=ACAB，AA，ABEACD，BC，DFAC，CODF，BODF，DOFBOD，DOFDOB【变式3-1】（2021春肇州县期末）如图，点B，C分别在ADE的边AD，AE上，且AC3，AB2.5，EC2，DB3.5求证：ABCAED【解题思路】根据相似三角形的判定解答即可【解答过程】证明：AC3，AB2.5，EC2，DB3.5AE5，AD6，ACAD=36=12，ABAE=2.55=12，ACAD=ABAE，AA，ABCAED【变式3-2】（2021春朝阳区校级期末）如图所示，在四边形ABCD中，CA是BCD的角平分线，且AC2CDBC，求证：ABCDAC【解题思路】根据两边成比例夹角相等两三角形相似证明即可【解答过程】证明：AC平分BCD，ACBACD，AC2CDBC，ACCD=BCAC，ABCDAC【变式3-3】（2020秋蜀山区校级期中）如图，在ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE、BC的延长线相交于点F，且EFDFCFBF求证：CABDAE【解题思路】根据相似三角形的判定得出EFCBFD，得出CEFB，进而证明CABDAE即可【解答过程】证明：EFDFCFBFEFBF=CFDF，EFCBFD，EFCBFD，CEFB，BAED，CABDAE，CABDAE【题型4 相似三角形的判定（多结论问题）】【例4】（2021阿勒泰地区一模）如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC上的点，且AGCE，AEEF，AEEF，现有如下结论：BEDH；AGEECF；FCD45°；GBEECH其中，正确的结论有（）A4个B3个C2个D1个【解题思路】由BEG45°知BEA45°，结合AEF90°得HEC45°，据此知HCEC，即可判断；求出GAE+AEG45°，推出GAEFEC，根据SAS推出GAECEF，即可判断；求出AGEECF135°，即可判断；求出FEC45°，根据相似三角形的判定得出GBE和ECH不相似，即可判断【解答过程】解：四边形ABCD是正方形，ABBCCD，AGCE，BGBE，BEG45°，BEA45°，AEF90°，HEC45°，则HCEC，CDCHBCCE，即DHBE，故错误；BGBE，B90°，BGEBEG45°，AGE135°，GAE+AEG45°，AEEF，AEF90°，BEG45°，AEG+FEC45°，GAEFEC，在GAE和CEF中，AG=CEGAE=CEFAE=EFGAECEF（SAS），正确；AGEECF135°，FCD135°90°45°，正确；BGEBEG45°，AEG+FEC45°，FEC45°，GBE和ECH不相似，错误；故选：C【变式4-1】（2020春淄川区期末）如图，在正方形ABCD中，E为CD的中点，P为BC边上一点，在下列条件中：APBEPC；ABPCECBP；P为BC的中点；PB：BC2：3其中能得到ABP与ECP相似的是（）ABCD【解题思路】根据正方形的性质求出BC90°，ABBCCD，再逐个判断即可【解答过程】解：四边形ABCD是正方形，BC90°，APBEPC，ABP和ECP相似，故正确；ABPCECBP，ABEC=BPCP，BC，ABPECP，故正确，P为BC的中点，E为DC的中点，BPCP=12BC，CE=12CD，四边形ABCD是正方形，ABBCCD，BPCPCE，ABBP=21=2，PCCE=1，即ABBPPCCE，即ABP和ECP不相似，故错误；设PB2x，BC3x，则PC3x2xx，ABBC3x，CE=12BC=32x，ABBP=3x2x=32，PCCE=x32x=23，即ABBP=CEPC，ABCE=BPPC，BC90°，即ABP和ECP相似，故正确；所以正确的为，故选：C【变式4-2】（2020秋南召县期中）如图，在ABC中，DEBC，AD：DB1：2，DE2，则下列叙述正确的是（）BC4；AEEC=12；SADESABC=14；ADEABCABCD【解题思路】利用平行线的性质以及相似三角形的性质一一判断即可【解答过程】解：DEBC，ADEABC，ADAB=DEBC=AEAC=13，SADESABC=（DEBC）2=19，AEEC=12，DE2，BC6，正确，故选：D【变式4-3】（2020秋天心区期中）如图，在ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中能判断ABCAED的是（）AEDB；ADEC；ADAE=ACAB；ADAB=AEACABCD【解题思路】根据相似三角形的判定方法一一判断即可【解答过程】解：AA，AEDB或ADEC时，ABCAEDADAE=ACAB，ADAC=AEABAA，ABCAED，故可以判断三角形相似，故选：B【题型5 相似三角形的判定（网格问题）】【例5】（2021春芝罘区期末）如图，小正方形的边长均为1，则A、B、C、D四个选项中的三角形（阴影部分）与ABC相似的是（）ABCD【解题思路】应用两三角形相似判定定理，三边对应成比例，分别对各选项进行分析即可得出答案【解答过程】解：已知给出的三角形的各边分别为 2、2、10、只有选项A的各边为1、2、5与它的各边对应成比例故选：A【变式5-1】（2021龙港区一模）如图所示的4个三角形中，相似三角形有（）A1对B2对C3对D4对【解题思路】先分别求出三角形的三条边，根据相似三角形的判定方法判断即可【解答过程】解：第一个三角形的三边的三边之比为：1：2：5，第二个三角形的三边的三边之比为：2：5：5，第三个三角形的三边的三边之比为：1：2：5，第一个四角形的三边的三边之比为：1：1：2，只有第一和第三个三角形的三边成比例，所以只有第一和第三个三角形相似，故选：A【变式5-2】（2020秋鹿邑县期末）如图，A、B、C、D、E、G、H、M、N都是方格中的格点（即小正方形的顶点），要使DEF与ABC相似，则点F应是G、H、M、N中的（）AH或NBG或HCM或NDG或M【解题思路】根据两三角形三条边对应成比例，两三角形相似进行解答【解答过程】解：设小正方形的边长为1，则ABC的各边分别为3、13、10，只能F是M或N时，其各边是6、213，210与ABC各边对应成比例，故选：C【变式5-3】（2020秋成华区期末）如图，在6×6的正方形的网格中，每个小正方形的边长为1，已知RtABC是网格中的格点三角形，则该网格中与RtABC相似且面积最大的格点三角形的面积是10，符合条件的格点三角形共有16个【解题思路】根据RtABC的各边长得出与其相似的三角形的两直角边之比为1：2，在6×6的网格图形中可得出与RtABC相似的三角形的短直角边长应小于4，在图中尝试可画出符合题意的最大三角形，进而解答即可【解答过程】解：在RtABC中，AC1，BC2，AB=5，AC：BC1：2，与RtABC相似的格点三角形的两直角边的比值为1：2，若该三角形最短边长为4，则另一直角边长为8，但在6×6网格图形中，最长线段为62，但此时画出的直角三角形为等腰直角三角形，从而画不出端点都在格点且长为8的线段，故最短直角边长应小于4，在图中尝试，可画出DE=10，EF210，DF52的三角形，101=2102=525=10，ABCDFE，DEFC90°，此时DEF的面积为：10×210÷210，DEF为面积最大的三角形，RtABC的三边为1：2：5的直角三角形，相似，直角边为1：2，直角边最长应为10与210，如图中4个，每旋转90°又有4个，共4×416（个）故答案为：10；16【题型6 相似三角形的判定（动点问题）】【例6】（2021春龙口市期末）如图，在RtABC中，C90°，AC10cm，BC8cm点M从点C出发，以2cm/s的速度沿CA向点A匀速运动，点N从点B出发，以1cm/s的速度沿BC向点C匀速运动，当一个点到达终点时，另一点也随即停止运动（1）经过几秒后，MCN的面积等于ABC面积的25？（2）经过几秒，MCN与ABC相似？【解题思路】（1）设经过x秒，MCN的面积等于ABC面积的25，根据三角形的面积和已知列出方程，求出方程的解即可；（2）根据相似三角形的判定得出两种情况，再求出t即可【解答过程】解：（1）设经过x秒，MCN的面积等于ABC面积的2512×2x（8x）=12×8×10×25解得x1x24答：经过4秒后，MCN的面积等于ABC面积的25；（2）设经过t秒，MCN与ABC相似CC，可分为两种情况：MCBC=NCAC，即2t8=8-t10，解得t=167；MCAC=NCBC，即2t10=8-t8解得t=4013答：经过167或4013秒，MCN与ABC相似【变式6-1】（2021春濮阳期末）在ABC中，AB6cm，AC9cm，动点D从点B开始沿BA边运动，速度为1cm/s；动点E从点A开始沿AC边运动，速度为2cm/s如果D，E两动点同时运动，那么当它们运动 32或187s时，由D，A，E三点连成的三角形与ABC相似【解题思路】分两种情形当AEAB=ADAC时，当AEAC=ADAB时，分别构建方程求解即可【解答过程】解：根据题意得：AE2t，BDt，AD6t，AA，分两种情况：当AEAB=ADAC时，即2t6=6-t9，解得：t=32；当AEAC=ADAB时，即2t9=6-t6，解得：t=187；综上所述：当t=32或187时，ADE与ABC相似【变式6-2】（2020秋渭滨区期末）如图所示，在平行四边形ABCD中，A90°，AB6cm，BC12cm，点E由点A出发沿AB方向向点B匀速移动，速度为1cm/s，点F由点B出发沿BC方向向点C匀速移动，速度为2cm/s，如果动点E，F同时从A，B两点出发，连接EF，若设运动时间为ts，解答下列问题：（1）当t为多少时，BEF为等腰直角三角形；（2）是否存在某一时刻t，使EFBFDC？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由【解题思路】（1）由已知条件易证四边形ABCD是矩形，所以ABC90°，若BEF为等腰直角三角形，则BEBF，进而可求出t的值；（2）若EFBFDC，则BE：CFBF：DC，结合题目的已知条件可得到关于t的方程，解方程即可得知是否存在t的值【解答过程】解：（1）四边形ABCD是平行四边形，A90°，四边形ABCD为矩形，B90°当BEF为等腰直角三角形时，只能是BEBF，AEt，则BEABAE6t，BF2t，2t6t解得：t2当t2时，BEF为等腰直角三角形（2）存在，理由如下：EFBFDC，BF：DCBE：CFBE6t，BF2t，CF122t，6-t12-2t=2t6解得：t=32或t6又t6时，B与E重合，所以不符合题意，舍去，综上所述，当t=32时，EFBFDC【变式6-3】 （2020秋舒城县期末）如图，在ABC中，C90°，AC6cm，BC8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动（1）如果点P，Q同时出发，经过几秒钟时PCQ的面积为8cm2？（2）如果点P，Q同时出发，经过几秒钟时以P、C、Q为顶点的三角形与ABC相似？【解题思路】（1）设P、Q同时出发，x秒钟后，APxcm，PC（6x）cm，CQ2xcm，依据PCQ的面积为8，由此等量关系列出方程求出符合题意的值（2）分两种情况讨论，依据相似三角形对应边成比例列方程求解即可【解答过程】解：（1）设xs后，可使PCQ的面积为8cm2由题意得，APxcm，PC（6x）cm，CQ2xcm，则12（6x）2x8，整理得x26x+80，解得x12，x24所以P、Q同时出发，2s或4s后可使PCQ的面积为8cm2（2）设t秒后以P、C、Q为顶点的三角形与ABC相似，则PC（6t）cm，CQ2tcm当PCQACB时，PCAC=QCBC，即6-t6=2t8，解得：t=125当PCQBCA时，PCBC=QCAC，即6-t8=2t6，解得：t=1811综上所述，经过125秒或1811秒时，以P、C、Q为顶点的三角形与ABC相似专题6.4 相似三角形的性质-重难点题型【苏科版】【知识点1 相似三角形的性质】相似三角形的对应角相等如图，则有相似三角形的对应边成比例如图，则有（为相似比）相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比如图，和是中边上的中线、高线和角平分线，、和是中边上的中线、高线和角平分线，则有相似三角形周长的比等于相似比如图，则有相似三角形面积的比等于相似比的平方如图，则有【题型1 相似三角形的性质（对应角相等问题）】【例1】（2020秋岳阳期末）如图，AE与BD相交于点C，已知AC5，BC3，EC10，DC6求证：ABDE【变式1-1】（2020秋德江县期末）如图，12，ABAE=ACAD，求证：CD【变式1-2】（2020秋遂川县期末）如图，在等腰直角ABC中，ACBC，D为平面上一动点，在运动过程上保持ADBD于点D，将BCD沿BD翻折得到BED，在直线AD上取点F，作CFDE（1）如图1，若AD与BC相交于点G，求证DGCG=BGAG；（2）猜想CDF的形状，并说明理由【变式1-3】（2020秋中方县期末）在锐角ABC中，点D，E分别在AC、AB上，AGBC与点G，AFDE于F，EAFGAC（1）求证：AEFACG（2）求证：ADEB（3）若AD3，AB5，求AFAG【题型2 相似三角形的性质（对应边成比例问题）】【例2】（2020秋崇左期末）如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，连接AE，过点E作EFAE交DC于点F若AB4，BC6，则DF的长为（）A94B74C3D1【变式2-1】（2020秋万荣县期末）如图，在ABC中，D、E分别在边AB、AC上，且DEBC，若AEEC=23，DE=2，则BC的长为（）A522B5C225D532【变式2-2】（2021岳麓区校级二模）如图，在正方形ABCD中，点G是对角线上一点，CG的延长线交AB于点E，交DA的延长线于点F，连接AG（1）求证：AGCG；（2）若GEGF9，求CG的长【变式2-3】（2021滕州市一模）在矩形ABCD中，E为DC上的一点，把ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F（1）求证：ABFFCE；（2）若AB23，AD4，求CE的长【题型3 相似三角形的性质（周长问题）】【例3】（2020春罗定市月考）已知ABCABC，ABC的边长分别为3，4，5，ABC中最小的边长为7，求ABC的周长【变式3-1】（2020秋北碚区校级期中）已知：ABCA1B1C1，相似比为3：4，AB：BC：CA2：3：4，A1B1C1的周长是72cm，求ABC的各边的长【变式3-2】（2020秋泰兴市期末）如图，分别以ABC的边AC和BC为腰向外作等腰直角DAC和等腰直角EBC，连接DE（1）求证：DACEBC；（2）求ABC与DEC的周长比【变式3-3】（2020秋东莞市校级月考）如图，OABOCD，OA：OC3：2OAB与OCD的面积分别是S1与S2，周长分别是C1与C2则下列说法正确的是（）AOAOD=32BOBCD=32CC1C2=32DS1S2=32【题型4 相似三角形的性质（面积问题）】【例4】（2021春海阳市期末）如图，在ABC中，C90°，AD与BD分别是ABC的内角BAC，ABC的平分线，过点A作AEAD交BD的延长线于点E，ABCEDA（1）求ABC的度数；（2）求SABCSEDA的值【变式4-1】（2020秋道里区期末）如图，ABCADE，且BC2DE，则SADES四边形BEDC的值为（）A12B13C23D14【变式4-2】（2020河北模拟）如图，在等腰三角形ABC中，ABAC，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，ABC的面积为44，则四边形DBCE的面积是（）A22B24C26D28【变式4-3】（2020秋德江县期末）如图，在ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，那么SBEF：SBCF（）A1：2B1：3C1：4D2：3【题型5 相似三角形的性质（多结论问题）】【例5】（2021大埔县模拟）如图，正方形ABCD的边长是3，BPCQ，连接AQ，DP交于点O，并分别与边CD，BC交于点F，E，连接AE，下列结论：AQDP；OA2OEOP；SAODS四边形OECF；其中正确结论的个数（）A1B3C2D